Identidad de Beltrami

Caso especial de las ecuaciones de Euler-Lagrange

La identidad de Beltrami , llamada así en honor a Eugenio Beltrami , es un caso especial de la ecuación de Euler-Lagrange en el cálculo de variaciones .

La ecuación de Euler-Lagrange sirve para extremar los funcionales de acción de la forma

${\displaystyle I[u]=\int _{a}^{b}L[x,u(x),u'(x)]\,dx\,,}$

donde y son constantes y . ^[1] ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle u'(x)={\frac {du}{dx}}}$

Si , entonces la ecuación de Euler-Lagrange se reduce a la identidad de Beltrami, ${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial x}}=0}$

${\displaystyle L-u'{\frac {\partial L}{\partial u'}}=C\,,}$

donde C es una constante. ^{[2] [nota 1]}

Derivación

Por la regla de la cadena , la derivada de L es

${\displaystyle {\frac {dL}{dx}}={\frac {\partial L}{\partial x}}{\frac {dx}{dx}}+{\frac {\partial L}{\partial u}}{\frac {du}{dx}}+{\frac {\partial L}{\partial u'}}{\frac {du'}{dx}}\,.}$

Porque escribimos ${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial x}}=0}$

${\displaystyle {\frac {dL}{dx}}={\frac {\partial L}{\partial u}}u'+{\frac {\partial L}{\partial u'}}u''\,.}$

Tenemos una expresión para de la ecuación de Euler-Lagrange, ${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial u}}}$

${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial u}}={\frac {d}{dx}}{\frac {\partial L}{\partial u'}}\,}$

que podemos sustituir en la expresión anterior por para obtener ${\displaystyle {\frac {dL}{dx}}}$

${\displaystyle {\frac {dL}{dx}}=u'{\frac {d}{dx}}{\frac {\partial L}{\partial u'}}+u''{\frac {\partial L}{\partial u'}}\,.}$

Por la regla del producto , el lado derecho es equivalente a

${\displaystyle {\frac {dL}{dx}}={\frac {d}{dx}}\left(u'{\frac {\partial L}{\partial u'}}\right)\,.}$

Al integrar ambos lados y poner ambos términos en un lado, obtenemos la identidad de Beltrami,

${\displaystyle L-u'{\frac {\partial L}{\partial u'}}=C\,.}$

Aplicaciones

Solución al problema de la braquistócrona

La solución al problema de la braquistócrona es la cicloide.

Un ejemplo de una aplicación de la identidad de Beltrami es el problema de la braquistócrona , que implica encontrar la curva que minimiza la integral ${\displaystyle y=y(x)}$

${\displaystyle I[y]=\int _{0}^{a}{\sqrt {{1+y'^{\,2}} \over y}}dx\,.}$

El integrando

${\displaystyle L(y,y')={\sqrt {{1+y'^{\,2}} \over y}}}$

no depende explícitamente de la variable de integración , por lo que se aplica la identidad de Beltrami, ${\displaystyle x}$

${\displaystyle L-y'{\frac {\partial L}{\partial y'}}=C\,.}$

Sustituyendo y simplificando, ${\displaystyle L}$

${\displaystyle y(1+y'^{\,2})=1/C^{2}~~{\text{(constant)}}\,,}$

que se puede resolver con el resultado puesto en forma de ecuaciones paramétricas

${\displaystyle x=A(\phi -\sin \phi )}$

${\displaystyle y=A(1-\cos \phi )}$

siendo la mitad de la constante anterior, y siendo una variable. Estas son las ecuaciones paramétricas para un cicloide . ^[3] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\frac {1}{2C^{2}}}}$ ${\displaystyle \phi }$

Solución al problema de la catenaria

Una cadena que cuelga de unos puntos forma una catenaria .

Consideremos una cuerda con densidad uniforme de longitud suspendida de dos puntos de igual altura y a una distancia . Por la fórmula para la longitud de arco , donde es la trayectoria de la cuerda, y y son las condiciones de contorno. ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle D}$ $${\displaystyle l=\int _{S}dS=\int _{s_{1}}^{s_{2}}{\sqrt {1+y'^{2}}}dx,}$$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle s_{1}}$ ${\displaystyle s_{2}}$

La curva debe minimizar su energía potencial y está sujeta a la restricción donde está la fuerza de gravedad. $${\displaystyle U=\int _{S}g\mu y\cdot dS=\int _{s_{1}}^{s_{2}}g\mu y{\sqrt {1+y'^{2}}}dx,}$$ $${\displaystyle \int _{s_{1}}^{s_{2}}{\sqrt {1+y'^{2}}}dx=l,}$$ ${\displaystyle g}$

Como la variable independiente no aparece en el integrando, se puede utilizar la identidad de Beltrami para expresar la trayectoria de la cuerda como una ecuación diferencial de primer orden separable . ${\displaystyle x}$

$${\displaystyle L-y\prime {\frac {\partial L}{\partial y\prime }}=\mu gy{\sqrt {1+y\prime ^{2}}}+\lambda {\sqrt {1+y\prime ^{2}}}-\left[\mu gy{\frac {y\prime ^{2}}{\sqrt {1+y\prime ^{2}}}}+\lambda {\frac {y\prime ^{2}}{\sqrt {1+y\prime ^{2}}}}\right]=C,}$$¿Dónde está el multiplicador de Lagrange ? ${\displaystyle \lambda }$

Es posible simplificar la ecuación diferencial de la siguiente manera: $${\displaystyle {\frac {g\rho y-\lambda }{\sqrt {1+y'^{2}}}}=C.}$$

Resolviendo esta ecuación se obtiene el coseno hiperbólico , donde es una segunda constante obtenida a partir de la integración. ${\displaystyle C_{0}}$

$${\displaystyle y={\frac {C}{\mu g}}\cosh \left[{\frac {\mu g}{C}}(x+C_{0})\right]-{\frac {\lambda }{\mu g}}.}$$

Las tres incógnitas , , y se pueden resolver utilizando las restricciones para los puntos finales de la cuerda y la longitud del arco , aunque a menudo es muy difícil obtener una solución de forma cerrada. ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C_{0}}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle l}$

Notas

1. Por tanto, la transformada de Legendre del lagrangiano , el hamiltoniano , es constante a lo largo de la trayectoria dinámica.

Referencias

1. Courant R , Hilbert D (1953). Métodos de física matemática . Vol. I (primera edición en inglés). Nueva York: Interscience Publishers, Inc., pág. 184. ISBN 978-0471504474.
2. Weisstein, Eric W. "Ecuación diferencial de Euler-Lagrange". De MathWorld, un recurso web de Wolfram. Véase la ecuación (5).
3. Esta solución del problema de la braquistócrona corresponde a la de — Mathews, Jon; Walker, RL (1965). Métodos matemáticos de la física . Nueva York: WA Benjamin, Inc. pp. 307–9.