onda cnoidal

Solución de onda periódica exacta y no lineal de la ecuación de Korteweg-de Vries

Bombarderos del ejército estadounidense sobrevolando marejadas casi periódicas en aguas poco profundas, cerca de la costa de Panamá (1933). Las crestas afiladas y los valles muy planos son característicos de las ondas cnoidales.

En dinámica de fluidos , una onda cnoidal es una solución de onda periódica exacta y no lineal de la ecuación de Korteweg-de Vries . Estas soluciones están en términos de la función elíptica de Jacobi cn , por lo que se denominan ondas cn oidales. Se utilizan para describir ondas de gravedad superficiales de longitud de onda bastante larga , en comparación con la profundidad del agua.

Las soluciones de las ondas cnoidales fueron derivadas por Korteweg y de Vries , en su artículo de 1895 en el que también proponen su ecuación dispersiva de onda larga, ahora conocida como ecuación de Korteweg-de Vries. En el límite de la longitud de onda infinita , la onda cnoidal se convierte en una onda solitaria .

La ecuación de Benjamin-Bona-Mahony ha mejorado el comportamiento en longitudes de onda corta , en comparación con la ecuación de Korteweg-de Vries, y es otra ecuación de onda unidireccional con soluciones de onda cnoidal. Además, dado que la ecuación de Korteweg-de Vries es una aproximación a las ecuaciones de Boussinesq para el caso de propagación de ondas unidireccionales , las ondas cnoidales son soluciones aproximadas de las ecuaciones de Boussinesq.

Las soluciones de ondas cnoidales también pueden aparecer en otras aplicaciones además de las ondas de gravedad superficiales, por ejemplo, para describir ondas acústicas iónicas en la física del plasma . ^[1]

Onda cnoidal, caracterizada por crestas más pronunciadas y valles más planos que en una onda sinusoidal . Para el caso mostrado, el parámetro elíptico es m  = 0,9.

Oleaje cruzado , formado por trenes de ondas casi cnoidales. Foto tomada desde Phares des Baleines (Faro de las Ballenas) en el punto occidental de Île de Ré (Isla de Rhé), Francia, en el Océano Atlántico .

Fondo

Ecuaciones de Korteweg-de Vries y Benjamin-Bona-Mahony

Validez de varias teorías para las ondas periódicas del agua, según Le Méhauté (1976). ^[2] El área azul claro indica el rango de validez de la teoría de ondas cnoidales; amarillo claro para la teoría de ondas de Airy ; y las líneas azules discontinuas delimitan el orden requerido en la teoría ondulatoria de Stokes . El sombreado gris claro proporciona la extensión del rango mediante aproximaciones numéricas utilizando la teoría de la función de corriente de quinto orden , para ondas altas ( H  > 1/4 H _rompiéndose ).

La ecuación de Korteweg-de Vries (ecuación KdV) se puede utilizar para describir la propagación unidireccional de ondas largas y débilmente no lineales (donde onda larga significa: tener longitudes de onda largas en comparación con la profundidad media del agua) de ondas de gravedad superficiales en un fluido. capa. La ecuación KdV es una ecuación de onda dispersiva , que incluye efectos de dispersión de frecuencia y de dispersión de amplitud . En su uso clásico, la ecuación KdV es aplicable para longitudes de onda λ superiores a aproximadamente cinco veces la profundidad promedio del agua h , por lo que para λ  > 5  h ; y para el período τ mayor que con g la fuerza de la aceleración gravitacional . ^[3] Para visualizar la posición de la ecuación KdV dentro del alcance de las aproximaciones de ondas clásicas, se distingue de las siguientes maneras: ${\displaystyle \scriptstyle 7{\sqrt {h/g}}}$

• Ecuación de Korteweg-de Vries : describe la propagación directa de ondas débilmente no lineales y dispersivas, para ondas largas con λ  > 7  h .
• Las ecuaciones de aguas poco profundas también son no lineales y tienen dispersión de amplitud, pero no dispersión de frecuencia; son válidos para ondas muy largas, λ  > 20  h .
• Las ecuaciones de Boussinesq tienen el mismo rango de validez que la ecuación de KdV (en su forma clásica), pero permiten la propagación de ondas en direcciones arbitrarias, por lo que no solo ondas que se propagan hacia adelante. El inconveniente es que las ecuaciones de Boussinesq suelen ser más difíciles de resolver que la ecuación de KdV; y en muchas aplicaciones las reflexiones de las ondas son pequeñas y pueden despreciarse.
• Teoría de ondas aéreas : tiene dispersión de frecuencia completa, por lo que es válida para profundidad y longitud de onda arbitrarias, pero es una teoría lineal sin dispersión de amplitud, limitada a ondas de baja amplitud.
• Teoría de ondas de Stokes : un enfoque de series de perturbaciones para la descripción de ondas débilmente no lineales y dispersivas, especialmente exitoso en aguas más profundas para longitudes de onda relativamente cortas, en comparación con la profundidad del agua. Sin embargo, para ondas largas suele preferirse el método de Boussinesq, que también se aplica en la ecuación de KdV. Esto se debe a que en aguas poco profundas la serie de perturbaciones de Stokes necesita muchos términos antes de converger hacia la solución, debido a las crestas puntiagudas y los valles largos y planosde las ondas no lineales. Mientras que los modelos KdV o Boussinesq dan buenas aproximaciones para estas ondas largas no lineales.

La ecuación de KdV se puede derivar de las ecuaciones de Boussinesq, pero se necesitan suposiciones adicionales para poder dividir la propagación de la onda directa. Para aplicaciones prácticas, la ecuación de Benjamin-Bona-Mahony (ecuación BBM) es preferible a la ecuación de KdV, un modelo de propagación directa similar a KdV pero con un comportamiento de dispersión de frecuencia mucho mejor en longitudes de onda más cortas. Se pueden obtener mejoras adicionales en el rendimiento de la onda corta comenzando a derivar una ecuación de onda unidireccional a partir de un modelo moderno mejorado de Boussinesq, válido para longitudes de onda aún más cortas. ^[4]

ondas cnoidales

Perfiles de onda cnoidal para tres valores del parámetro elíptico m .

Las soluciones de onda cnoidal de la ecuación de KdV fueron presentadas por Korteweg y de Vries en su artículo de 1895, cuyo artículo se basa en la tesis doctoral de de Vries en 1894. ^[5] Anteriormente se habían encontrado soluciones de onda solitaria para ondas largas no lineales y dispersivas. por Boussinesq en 1872, y Rayleigh en 1876. La búsqueda de estas soluciones fue desencadenada por las observaciones de esta onda solitaria (u "onda de traslación") por Russell , tanto en la naturaleza como en experimentos de laboratorio. ^[4] Las soluciones de ondas cnoidales de la ecuación KdV son estables con respecto a pequeñas perturbaciones. ^[6]

La elevación de la superficie η ( x , t ), en función de la posición horizontal x y el tiempo t , para una onda cnoidal viene dada por: ^[7]

${\displaystyle \eta (x,t)=\eta _{2}+H\,\operatorname {cn} ^{2}\,\left({\begin{array}{c|c}\displaystyle 2\,K(m)\,{\frac {x-c\,t}{\lambda }}&m\end{array}}\right),}$

donde H es la altura de la ola , λ es la longitud de onda , c es la velocidad de fase y η ₂ es la elevación del valle . Además, cn es una de las funciones elípticas de Jacobi y K ( m ) es la integral elíptica completa del primer tipo ; ambos dependen del parámetro elíptico m . Este último, m , determina la forma de la onda cnoidal. Para m igual a cero, la onda cnoidal se convierte en una función coseno , mientras que para valores cercanos a uno, la onda cnoidal obtiene crestas puntiagudas y valles (muy) planos. Para valores de m menores que 0,95, la función cnoidal se puede aproximar con funciones trigonométricas. ^[8]

Un parámetro adimensional importante para ondas largas no lineales ( λ  ≫  h ) es el parámetro Ursell :

${\displaystyle U={\frac {H\,\lambda ^{2}}{h^{3}}}={\frac {H}{h}}\,\left({\frac {\lambda }{h}}\right)^{2}.}$

Para valores pequeños de U , digamos U  < 5, ^[9] se puede usar una teoría lineal, y para valores más altos se deben usar teorías no lineales, como la teoría de ondas cnoidales. La zona de demarcación entre las teorías de Stokes y de ondas cnoidales (de tercer o quinto orden) está en el rango 10-25 del parámetro Ursell. ^[10] Como puede verse en la fórmula del parámetro Ursell, para una altura de onda relativa determinada H / h, el parámetro Ursell (y por tanto también la no linealidad) crece rápidamente al aumentar la longitud de onda relativa λ / h .

Con base en el análisis del problema no lineal completo de las ondas de gravedad superficiales dentro de la teoría del flujo potencial , las ondas cnoidales anteriores pueden considerarse el término de orden más bajo en una serie de perturbaciones. Las teorías de ondas cnoidales de orden superior siguen siendo válidas para ondas más cortas y no lineales. Fenton desarrolló una teoría de ondas cnoidales de quinto orden en 1979. ^[11] En el artículo de revisión de Fenton se ofrece una descripción detallada y una comparación de las teorías de Stokes de quinto orden y de las ondas cnoidales de quinto orden. ^[12]

Las descripciones de ondas cnoidales, mediante una renormalización, también se adaptan bien a ondas en aguas profundas, incluso en aguas infinitas; como lo encontró Clamond. ^{[13] [14]} Osborne proporcionó en 1994 una descripción de las interacciones de las ondas cnoidales en aguas poco profundas, tal como se encuentran en mares reales. ^[15]

Tensión superficial

En caso de que los efectos de la tensión superficial sean (también) importantes, estos pueden incluirse en las soluciones de ondas cnoidales para ondas largas. ^[dieciséis]

Soluciones de ondas periódicas

Ecuación de Korteweg-de Vries

La ecuación de Korteweg-de Vries (ecuación KdV), tal como se utiliza para las ondas de agua y en forma dimensional, es: ^[17]

${\displaystyle \partial _{t}\eta +{\sqrt {gh}}\;\partial _{x}\eta +{\tfrac {3}{2}}\,{\sqrt {\frac {g}{h}}}\;\eta \,\partial _{x}\eta +{\tfrac {1}{6}}\,h^{2}\,{\sqrt {gh}}\;\partial _{x}^{3}\eta =0,}$

dónde

  Detalles de la derivación

Adimensionalización

Todas las cantidades se pueden hacer adimensionales usando la aceleración gravitacional g y la profundidad del agua h :

${\displaystyle {\tilde {\eta }}={\frac {\eta }{h}},}$   ${\displaystyle {\tilde {x}}={\frac {x}{h}}}$  y  ${\displaystyle {\tilde {t}}={\sqrt {\frac {g}{h}}}\,t.}$

La forma adimensional resultante de la ecuación KdV es ^[17]

${\displaystyle \partial _{\tilde {t}}{\tilde {\eta }}+\partial _{\tilde {x}}{\tilde {\eta }}+{\tfrac {3}{2}}\,{\tilde {\eta }}\,\partial _{\tilde {x}}{\tilde {\eta }}+{\tfrac {1}{6}}\,\partial _{\tilde {x}}^{3}{\tilde {\eta }}=0,}$

En el resto, se eliminarán las tildes para facilitar la notación.

Relación con una forma estándar

La forma

${\displaystyle \partial _{\hat {t}}\phi +6\,\phi \ \partial _{\hat {x}}\phi +\partial _{\hat {x}}^{3}\phi =0}$

se obtiene mediante la transformación

${\displaystyle {\hat {t}}={\tfrac {1}{6}}\,t,\,}$   ${\displaystyle {\hat {x}}=x-t\,}$  y  ${\displaystyle \phi ={\tfrac {3}{2}}\,\eta ,\,}$

pero esta forma no se utilizará más en esta derivación.

Ondas que se propagan de forma fija

Se buscan soluciones de ondas periódicas, que viajan con velocidad de fase c . Estas ondas permanentes tienen que ser de las siguientes:

${\displaystyle \eta =\eta (\xi )\,}$  con la fase de onda : ${\displaystyle \xi }$  ${\displaystyle \xi =x-c\,t.\,}$

En consecuencia, las derivadas parciales con respecto al espacio y al tiempo quedan como:

${\displaystyle \partial _{x}\eta =\eta '\,}$  y  ${\displaystyle \partial _{t}\eta =-c\,\eta ',\,}$

donde η ′ denota la derivada ordinaria de η ( ξ ) con respecto al argumento ξ .

Utilizando estos en la ecuación KdV, se obtiene la siguiente ecuación diferencial ordinaria de tercer orden : ^[18]

${\displaystyle {\tfrac {1}{6}}\,\eta '''+\left(1-c\right)\,\eta '+{\tfrac {3}{2}}\,\eta \,\eta '=0.\,}$

Integración a una ecuación diferencial ordinaria de primer orden.

Esto se puede integrar una vez, para obtener: ^[18]

${\displaystyle {\tfrac {1}{6}}\eta ''+\left(1-c\right)\,\eta +{\tfrac {3}{4}}\,\eta ^{2}={\tfrac {1}{4}}r,\,}$

siendo r una constante de integración . Después de multiplicar con 4  η ′ e integrar una vez más ^[18]

${\displaystyle {\tfrac {1}{3}}\left(\eta '\right)^{2}+2\,\left(1-c\right)\,\eta ^{2}+\eta ^{3}=r\,\eta +s,\,}$

Polinomio cúbico f (η) como se encuentra en las soluciones de ondas periódicas de la ecuación de Korteweg-de Vries y la ecuación de Benjamin-Bona-Mahony .

con s otra constante de integración. Esto está escrito en la forma

El polinomio cúbico f ( η ) se vuelve negativo para valores positivos grandes de η y positivo para valores negativos grandes de η . Dado que la elevación de la superficie η tiene un valor real , también las constantes de integración r y s son reales. El polinomio f se puede expresar en términos de sus raíces η ₁ , η ₂ y η ₃ : ^[7]

Debido a que f ( η ) tiene un valor real, las tres raíces η ₁ , η ₂ y η ₃ son las tres reales o, de lo contrario, una es real y las dos restantes son un par de conjugados complejos . En el último caso, con sólo una raíz de valor real, sólo hay una elevación η en la que f ( η ) es cero. Y, por tanto, también sólo una elevación en la que la pendiente de la superficie η ′ es cero. Sin embargo, estamos buscando soluciones ondulatorias, con dos elevaciones: la cresta y el valle de la onda (física) , donde la pendiente de la superficie es cero. La conclusión es que las tres raíces de f ( η ) deben tener valores reales.

Sin pérdida de generalidad, se supone que las tres raíces reales están ordenadas como:

${\displaystyle \eta _{1}\geq \eta _{2}\geq \eta _{3}.\,}$

Solución de la ecuación diferencial ordinaria de primer orden.

Ahora, de la ecuación ( A ) se puede ver que solo existen valores reales para la pendiente si f ( η ) es positiva. Esto corresponde con η ₂  ≤  η ≤  η ₁ , que por lo tanto es el rango entre el cual oscila la elevación de la superficie, ver también la gráfica de f ( η ). Esta condición se cumple con la siguiente representación de la elevación η ( ξ ): ^[7]

de acuerdo con el carácter periódico de las soluciones de onda buscadas y con ψ ( ξ ) la fase de las funciones trigonométricas sen y cos. A partir de este formulario, se pueden obtener las siguientes descripciones de varios términos en las ecuaciones ( A ) y ( B ):

${\displaystyle {\begin{aligned}\eta -\eta _{1}&=-\left(\eta _{1}-\eta _{2}\right)\;\sin ^{2}\,\psi (\xi ),\\\eta -\eta _{2}&=+\left(\eta _{1}-\eta _{2}\right)\;\cos ^{2}\,\psi (\xi ),\\\eta -\eta _{3}&=\left(\eta _{1}-\eta _{3}\right)-\left(\eta _{1}-\eta _{2}\right)\;\sin ^{2}\,\psi (\xi ),&&{\text{and}}\\\eta '&=-2\,\left(\eta _{1}-\eta _{2}\right)\;\sin \,\psi (\xi )\;\cos \,\psi (\xi )\;\;\psi '(\xi )&&{\text{with}}\quad \psi '(\xi )={\frac {{\text{d}}\psi (\xi )}{{\text{d}}\xi }}.\end{aligned}}}$

Usando estos en las ecuaciones ( A ) y ( B ), se obtiene la siguiente ecuación diferencial ordinaria que relaciona ψ y ξ , después de algunas manipulaciones: ^[7]

${\displaystyle {\frac {4}{3}}\,\left({\frac {{\text{d}}\psi }{{\text{d}}\xi }}\right)^{2}=\left(\eta _{1}-\eta _{3}\right)-\left(\eta _{1}-\eta _{2}\right)\;\sin ^{2}\,\psi (\xi ),}$

con el lado derecho todavía positivo, ya que η ₁  −  η ₃  ≥  η ₁  −  η ₂ . Sin pérdida de generalidad, podemos asumir que ψ ( ξ ) es una función monótona, ya que f ( η ) no tiene ceros en el intervalo η ₂  <  η  <  η ₁ . Entonces, la ecuación diferencial ordinaria anterior también se puede resolver en términos de que ξ ( ψ ) sea función de ψ : ^[7]

${\displaystyle {\frac {1}{\Delta }}\,{\frac {{\text{d}}\xi }{{\text{d}}\psi }}=\pm \,{\frac {1}{\sqrt {1-m\sin ^{2}\,\psi }}},}$

con:

${\displaystyle \Delta ^{2}={\frac {4}{3}}\,{\frac {1}{\eta _{1}-\eta _{3}}}}$  y  ${\displaystyle m={\frac {\eta _{1}-\eta _{2}}{\eta _{1}-\eta _{3}}},}$

donde m es el llamado parámetro elíptico, ^{[19] [20]} que satisface 0  ≤  m  ≤ 1 (porque η ₃  ≤  η ₂  ≤  η ₁ ). Si  se elige ξ = 0 en la cresta de la onda η (0) =  η ₁ , la integración da ^[7]

con F ( ψ | m ) la integral elíptica incompleta de primer tipo . Las funciones elípticas de Jacobi cn y sn son inversas de F ( ψ | m ) dada por

${\displaystyle \cos \,\psi =\operatorname {cn} \left({\begin{array}{c|c}\displaystyle {\frac {\xi }{\Delta }}&m\end{array}}\right)}$  y  ${\displaystyle \sin \,\psi =\operatorname {sn} \left({\begin{array}{c|c}\displaystyle {\frac {\xi }{\Delta }}&m\end{array}}\right).}$

Con el uso de la ecuación ( C ), se encuentra la solución de onda cnoidal resultante de la ecuación KdV ^[7]

${\displaystyle \eta (\xi )=\eta _{2}+\left(\eta _{1}-\eta _{2}\right)\,\operatorname {cn} ^{2}\left({\begin{array}{c|c}\displaystyle {\frac {\xi }{\Delta }}&m\end{array}}\right).}$

Lo que queda es determinar los parámetros: η ₁ , η ₂ , Δ y m .

Relaciones entre los parámetros de la onda cnoidal.

Primero, dado que η ₁ es la elevación de la cresta y η ₂ es la elevación del valle, es conveniente introducir la altura de la ola , definida como H  =  η ₁  −  η ₂ . En consecuencia, encontramos para m y para Δ :

${\displaystyle m={\frac {H}{\eta _{1}-\eta _{3}}}}$  y entonces  ${\displaystyle {\frac {\Delta ^{2}}{m}}={\frac {4}{3\,H}}}$    ${\displaystyle \Delta ={\sqrt {{\frac {4}{3}}{\frac {m}{H}}}}.}$

La solución de la onda cnoidal se puede escribir como:

${\displaystyle \eta (\xi )=\eta _{2}+H\,\operatorname {cn} ^{2}\left({\begin{array}{c|c}\displaystyle {\frac {\xi }{\Delta }}&m\end{array}}\right).}$

En segundo lugar, el canal está ubicado en ψ  = 1/2 π , entonces la distancia entre ξ  = 0 y ξ  = 1/2 λ es, siendo λ la longitud de onda , de la ecuación ( D ):

${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\,\lambda =\Delta \,F\left({\begin{array}{c|c}{\tfrac {1}{2}}\,\pi &m\end{array}}\right)=\Delta \,K(m),}$  donación  ${\displaystyle \lambda =2\,\Delta \,K(m)={\sqrt {{\frac {16}{3}}{\frac {m}{H}}}}\;K(m),}$

donde K ( m ) es la integral elíptica completa de primer tipo . En tercer lugar, dado que la ola oscila alrededor de la profundidad media del agua, el valor promedio de η ( ξ ) tiene que ser cero. Entonces ^[7]

${\displaystyle {\begin{aligned}0&=\int _{0}^{\lambda }\eta (\xi )\;{\text{d}}\xi =2\,\int _{0}^{{\tfrac {1}{2}}\lambda }\left[\eta _{2}+\left(\eta _{1}-\eta _{2}\right)\,\operatorname {cn} ^{2}\,\left({\begin{array}{c|c}\displaystyle {\frac {\xi }{\Delta }}&m\end{array}}\right)\right]\;{\text{d}}\xi \\&=2\,\int _{0}^{{\tfrac {1}{2}}\pi }{\Bigl [}\eta _{2}+\left(\eta _{1}-\eta _{2}\right)\,\cos ^{2}\,\psi {\Bigr ]}\,{\frac {{\text{d}}\xi }{{\text{d}}\psi }}\;{\text{d}}\psi =2\,\Delta \,\int _{0}^{{\tfrac {1}{2}}\pi }{\frac {\eta _{1}-\left(\eta _{1}-\eta _{2}\right)\,\sin ^{2}\,\psi }{\sqrt {1-m\,\sin ^{2}\,\psi }}}\;{\text{d}}\psi \\&=2\,\Delta \,\int _{0}^{{\tfrac {1}{2}}\pi }{\frac {\eta _{1}-m\,\left(\eta _{1}-\eta _{3}\right)\,\sin ^{2}\,\psi }{\sqrt {1-m\,\sin ^{2}\,\psi }}}\;{\text{d}}\psi =2\,\Delta \,\int _{0}^{{\tfrac {1}{2}}\pi }\left[{\frac {\eta _{3}}{\sqrt {1-m\,\sin ^{2}\,\psi }}}+\left(\eta _{1}-\eta _{3}\right)\,{\sqrt {1-m\,\sin ^{2}\,\psi }}\right]\;{\text{d}}\psi \\&=2\,\Delta \,{\Bigl [}\eta _{3}\,K(m)+\left(\eta _{1}-\eta _{3}\right)\,E(m){\Bigr ]}=2\,\Delta \,{\Bigl [}\eta _{3}\,K(m)+{\frac {H}{m}}\,E(m){\Bigr ]},\end{aligned}}}$

donde E ( m ) es la integral elíptica completa de segundo tipo . Resultan las siguientes expresiones para η ₁ , η ₂ y η ₃ en función del parámetro elíptico m y la altura de ola H : ^[7]

${\displaystyle \eta _{3}=-\,{\frac {H}{m}}\,{\frac {E(m)}{K(m)}},}$   ${\displaystyle \eta _{1}={\frac {H}{m}}\,\left(1-{\frac {E(m)}{K(m)}}\right)}$  y  ${\displaystyle \eta _{2}={\frac {H}{m}}\,\left(1-m-{\frac {E(m)}{K(m)}}\right).}$

Cuarto, a partir de las ecuaciones ( A ) y ( B ) se puede establecer una relación entre la velocidad de fase c y las raíces η ₁ , η ₂ y η ₃ : ^[7]

${\displaystyle c=1+{\tfrac {1}{2}}\,\left(\eta _{1}+\eta _{2}+\eta _{3}\right)=1+{\frac {H}{m}}\,\left(1-{\frac {1}{2}}\,m-{\frac {3}{2}}\,{\frac {E(m)}{K(m)}}\right).}$

Los cambios relativos de velocidad de fase se muestran en la siguiente figura. Como puede verse, para m  > 0,96 (así que para 1 −  m  < 0,04) la velocidad de fase aumenta al aumentar la altura de la ola H. Esto se corresponde con las ondas más largas y no lineales. El cambio no lineal en la velocidad de fase, para m fijo , es proporcional a la altura de la ola H. Tenga en cuenta que la velocidad de fase c está relacionada con la longitud de onda λ y el período τ como:

${\displaystyle c={\frac {\lambda }{\tau }}.}$

Resumen de la solución.

Todas las cantidades aquí se darán en sus formas dimensionales, válidas para las ondas de gravedad superficiales antes de la adimensionalización .

Aumento relativo de la velocidad de fase de las soluciones de ondas cnoidales para la ecuación de Korteweg-de Vries en función de 1 − m , siendo m el parámetro elíptico.
El eje horizontal está en escala logarítmica , de 10 ⁻⁶ a 10 ⁰ =1.
La cifra es para cantidades adimensionales, es decir , la velocidad de la fase c se vuelve adimensional con la velocidad de la fase en aguas poco profundas , y la altura de la ola H se vuelve adimensional con la profundidad media del agua h . ${\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {gh}}}$

La solución de onda cnoidal de la ecuación KdV es: ^[7]

${\displaystyle \eta (x,t)=\eta _{2}+H\,\operatorname {cn} ^{2}\left({\begin{array}{c|c}\displaystyle {\frac {x-c\,t}{\Delta }}&m\end{array}}\right),}$

con H la altura de la ola : la diferencia entre la elevación de la cresta y la vaguada , η ₂ la elevación de la vaguada, m el parámetro elíptico, c la velocidad de fase y cn una de las funciones elípticas de Jacobi . El nivel del valle η ₂ y el parámetro de ancho Δ se pueden expresar en términos de H , h y m : ^[7]

${\displaystyle \eta _{2}={\frac {H}{m}}\,\left(1-m-{\frac {E(m)}{K(m)}}\right),}$  y  ${\displaystyle \Delta ={\frac {\lambda }{2\,K(m)}}\,=h\,{\sqrt {{\frac {4}{3}}{\frac {m\,h}{H}}}},}$

con K ( m ) la integral elíptica completa de primer tipo y E ( m ) la integral elíptica completa de segundo tipo . Tenga en cuenta que K ( m ) y E ( m ) se denotan aquí como una función del parámetro elíptico my no como una función del módulo elíptico k , con m  =  k ² .

La longitud de onda λ , la velocidad de fase c y el período de onda τ están relacionados con H , h y m mediante: ^[7]

${\displaystyle \lambda =h\,{\sqrt {{\frac {16}{3}}{\frac {m\,h}{H}}}}\;K(m),}$   ${\displaystyle c={\sqrt {gh}}\,\left[1+{\frac {H}{m\,h}}\,\left(1-{\frac {1}{2}}\,m-{\frac {3}{2}}\,{\frac {E(m)}{K(m)}}\right)\right]}$  y  ${\displaystyle \tau ={\frac {\lambda }{c}},}$

con g la gravedad de la Tierra .

En la mayoría de los casos, los parámetros de onda conocidos son la altura de onda H , la profundidad media del agua h , la aceleración gravitacional g y la longitud de onda λ o el período τ . Luego, las relaciones anteriores para λ , c y τ se utilizan para encontrar el parámetro elíptico m . Esto requiere una solución numérica mediante algún método iterativo . ^[3]

Ecuación de Benjamin-Bona-Mahony

La ecuación de Benjamin-Bona-Mahony (ecuación BBM), o ecuación de onda larga regularizada (RLW), está en forma dimensional dada por: ^[21]

${\displaystyle \partial _{t}\eta +{\sqrt {g\,h}}\,\partial _{x}\eta +{\tfrac {3}{2}}\,{\sqrt {\frac {g}{h}}}\,\eta \,\partial _{x}\eta -{\tfrac {1}{6}}\,h^{2}\,\partial _{t}\,\partial _{x}^{2}\eta =0.}$

Todas las cantidades tienen el mismo significado que para la ecuación KdV. A menudo se prefiere la ecuación BBM a la ecuación KdV porque tiene un mejor comportamiento de onda corta. ^[21]

  Detalles de la derivación

Derivación

La derivación es análoga a la de la ecuación KdV. ^[22] La ecuación adimensional de BBM no está dimensionalizada utilizando la profundidad media del agua h y la aceleración gravitacional g : ^[21]

${\displaystyle \partial _{t}\eta +\partial _{x}\eta +{\tfrac {3}{2}}\,\eta \,\partial _{x}\eta -{\tfrac {1}{6}}\,\partial _{t}\,\partial _{x}^{2}\eta =0.}$

Esto se puede llevar a la forma estándar.

${\displaystyle \partial _{\hat {t}}\varphi +\partial _{\hat {x}}\varphi +\varphi \,\partial _{\hat {x}}\varphi -\partial _{\hat {t}}\,\partial _{\hat {x}}^{2}\varphi =0\,}$

a través de la transformación:

${\displaystyle {\hat {t}}={\sqrt {6}}\,t,}$   ${\displaystyle {\hat {x}}={\sqrt {6}}\,x}$  y  ${\displaystyle \varphi ={\tfrac {3}{2}}\,\eta ,}$

pero este formulario estándar no se utilizará aquí.

De manera análoga a la derivación de la solución de onda cnoidal para la ecuación KdV, se consideran soluciones de onda periódica η ( ξ ), con ξ  =  x − ct. Entonces la ecuación de BBM se convierte en una ecuación diferencial ordinaria de tercer orden, que se puede integrar dos veces, para obtener:

${\displaystyle {\tfrac {1}{3}}\,c\,\left(\eta '\right)^{2}=f(\eta )\,}$  con  ${\displaystyle f(\eta )=-\eta ^{3}+2\,\left(c-1\right)\,\eta ^{2}+r\,\eta +s.\,}$

Lo cual solo se diferencia de la ecuación de KdV en el factor c delante de ( η ′ ) ² en el lado izquierdo. Mediante una transformación de coordenadas β  =  ξ  /  se puede eliminar el factor c , lo que da como resultado la misma ecuación diferencial ordinaria de primer orden tanto para la ecuación de KdV como para la de BBM. Sin embargo, aquí se utiliza la forma dada en la ecuación anterior. Esto da como resultado una formulación diferente para Δ tal como se encuentra para la ecuación de KdV: ${\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {c}}}$

${\displaystyle \Delta ={\sqrt {{\frac {4}{3}}{\frac {m\,c}{H}}}}.}$

La relación de la longitud de onda λ , en función de H y m , se ve afectada por este cambio en ${\displaystyle \Delta :}$

${\displaystyle \lambda ={\sqrt {{\frac {16}{3}}\,{\frac {m\,c}{H}}}}\;K(m).}$

Por lo demás, la derivación es análoga a la de la ecuación KdV y no se repetirá aquí.

Reanudar

Los resultados se presentan en forma dimensional, para ondas de agua en una capa fluida de profundidad h .

La solución de onda cnoidal de la ecuación de BBM, junto con las relaciones asociadas para los parámetros es: ^[22]

${\displaystyle {\begin{aligned}\eta (x,t)&=\eta _{2}+H\,\operatorname {cn} ^{2}\left({\begin{array}{c|c}\displaystyle {\frac {x-c\,t}{\Delta }}&m\end{array}}\right),\\\eta _{2}&={\frac {H}{m}}\,\left(1-m-{\frac {E(m)}{K(m)}}\right),\\\Delta &=h\,{\sqrt {{\frac {4}{3}}\,{\frac {m\,h}{H}}\,{\frac {c}{\sqrt {g\,h}}}}}&&={\frac {\lambda }{2\,K(m)}},\\\lambda &=h\,{\sqrt {{\frac {16}{3}}\,{\frac {m\,h}{H}}\,{\frac {c}{\sqrt {gh}}}}}\;K(m),\\c&={\sqrt {gh}}\,\left[1+{\frac {H}{m\,h}}\,\left(1-{\frac {1}{2}}\,m-{\frac {3}{2}}\,{\frac {E(m)}{K(m)}}\right)\right]&&{\text{and}}\\\tau &={\frac {\lambda }{c}}.\end{aligned}}}$

La única diferencia con la solución de onda cnoidal de la ecuación KdV está en la ecuación para la longitud de onda λ . ^[22] Para aplicaciones prácticas, normalmente se proporcionan la profundidad del agua h , la altura de la ola H , la aceleración gravitacional g y la longitud de onda λ o, con mayor frecuencia, el período (físico) τ . Entonces el parámetro elíptico m debe determinarse a partir de las relaciones anteriores para λ , cy τ mediante algún método iterativo . ^[3]

Ejemplo

Relaciones de parámetros para soluciones de ondas cnoidales de la ecuación de Korteweg-de Vries. Se muestra −log ₁₀  (1− m ), siendo m el parámetro elíptico de las integrales elípticas completas , ^[20] en función del período adimensional τ  √ g / h y la altura relativa de la ola H  /  h . Los valores a lo largo de las líneas de contorno son −log ₁₀  (1− m ), por lo que un valor 1 corresponde a m  = 1 − 10 ⁻¹  = 0,9 y un valor 40 a m  = 1 − 10 ⁻⁴⁰ .

En este ejemplo se considera una onda cnoidal según la ecuación de Korteweg-de Vries (KdV). Se dan los siguientes parámetros de la onda:

• profundidad media del agua h = 5 m (16 pies),
• altura de ola H = 3 m (9,8 pies),
• período de onda τ = 7 s , y
• aceleración gravitacional g = 9,81 m/s ² (32 pies/s ² ).

En lugar del período τ , en otros casos la longitud de onda λ puede presentarse como una cantidad conocida de antemano.

Primero, se calcula el período adimensional:

${\displaystyle \tau \,{\sqrt {\frac {g}{h}}}=9.80,}$

que es mayor que siete, tiempo suficiente para que la teoría cnoidal sea válida. La principal incógnita es el parámetro elíptico m . Esto debe determinarse de tal manera que el período de onda τ , calculado a partir de la teoría de ondas cnoidales para la ecuación KdV:

${\displaystyle \lambda =h\,{\sqrt {{\frac {16}{3}}{\frac {m\,h}{H}}}}\;K(m),}$   ${\displaystyle c={\sqrt {gh}}\,\left[1+{\frac {H}{m\,h}}\,\left(1-{\frac {1}{2}}\,m-{\frac {3}{2}}\,{\frac {E(m)}{K(m)}}\right)\right]}$  y  ${\displaystyle \tau ={\frac {\lambda }{c}},}$

es consistente con el valor dado de τ ; donde λ es la longitud de onda y c es la velocidad de fase de la onda. Además, K ( m ) y E ( m ) son integrales elípticas completas de primer y segundo tipo, respectivamente. La búsqueda del parámetro elíptico m se puede realizar mediante prueba y error , o mediante el uso de un algoritmo numérico de búsqueda de raíces . En este caso, partiendo de una estimación inicial m _init  = 0,99, por prueba y error se obtiene la respuesta

${\displaystyle m=0.9832\,}$

es encontrado. Dentro del proceso, se han calculado la longitud de onda λ y la velocidad de fase c :

• longitud de onda λ = 50,8 m (167 pies), y
• velocidad de fase c = 7,26 m/s (23,8 pies/s).

La velocidad de fase c se puede comparar con su valor según las ecuaciones de aguas poco profundas : ${\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {gh}}}$

${\displaystyle {\frac {c}{\sqrt {g\,h}}}=1.0376,}$

mostrando un aumento del 3,8% debido al efecto de la dispersión de amplitud no lineal , que gana en este caso con la reducción de la velocidad de fase por dispersión de frecuencia .

Ahora que se conoce la longitud de onda, también se puede calcular el número de Ursell :

${\displaystyle U={\frac {H\,\lambda ^{2}}{h^{3}}}=62,}$

que no es pequeño, por lo que la teoría de ondas lineales no es aplicable, pero la teoría de ondas cnoidales sí. Finalmente, la relación entre la longitud de onda y la profundidad es λ  /  h  = 10,2 > 7, lo que nuevamente indica que esta onda es lo suficientemente larga como para ser considerada una onda cnoidal.

Límite de onda solitaria

Para ondas no lineales muy largas, con el parámetro m cercano a uno, m  → 1, la función elíptica de Jacobi cn se puede aproximar mediante ^[23]

${\displaystyle \operatorname {cn} \left(z|m\right)\approx \operatorname {sech} (z)-{\tfrac {1}{4}}\,(1-m)\,{\Bigl [}\sinh(z)\;\cosh(z)-z{\Bigr ]}\,\tanh(z)\;\operatorname {sech} (z),}$  con  ${\displaystyle \operatorname {sech} (z)={\frac {1}{\cosh(z)}}.}$

Aquí sinh, cosh, tanh y sech son funciones hiperbólicas . En el límite m  = 1:

${\displaystyle \operatorname {cn} \left(z|m\right)\to \operatorname {sech} (z),}$

con sech( z ) = 1 / cosh( z ).

Además, para el mismo límite de m  → 1, la integral elíptica completa de primer tipo K ( m ) va al infinito, mientras que la integral elíptica completa de segundo tipo E ( m ) va a uno. ^[24] Esto implica que los valores límite de la velocidad de fase c y la elevación mínima η ₂ se convierten en: ^[25]

${\displaystyle c={\sqrt {g\,h}}\,\left(1+{\frac {1}{2}}\,{\frac {H}{h}}\right)}$  y  ${\displaystyle \eta _{2}=0.\,}$

En consecuencia, en términos del parámetro de ancho Δ , la solución de onda solitaria tanto para la ecuación de KdV como para la de BBM es: ^[25]

${\displaystyle \eta (x,t)=H\,\operatorname {sech} ^{2}\left({\frac {x-c\,t}{\Delta }}\right).}$

El parámetro de ancho, tal como se encontró para las ondas cnoidales y ahora en el límite m  → 1, es diferente para KdV y la ecuación BBM: ^[25]

Pero la velocidad de fase de la onda solitaria en ambas ecuaciones es la misma, para una cierta combinación de altura H y profundidad h .

Límite de altura de ola infinitesimal

Para una altura de onda infinitesimal , se espera que los resultados de la teoría de ondas cnoidales converjan hacia los de la teoría de ondas de Airy para el límite de ondas largas λ  ≫  h . Primero se examinará la elevación de la superficie, y luego la velocidad de fase, de las ondas cnoidales para una altura de onda infinitesimal.

Elevación de la superficie

  Detalles de la derivación

La función elíptica de Jacobi cn se puede ampliar a una serie de Fourier ^[26]

${\displaystyle \operatorname {cn} (z|m)={\frac {\pi }{{\sqrt {m}}\,K(m)}}\,\sum _{n=0}^{\infty }\,\operatorname {sech} \left((2n+1)\,{\frac {\pi \,K'(m)}{2\,K(m)}}\right)\;\cos \left((2n+1)\,{\frac {\pi \,z}{2\,K(m)}}\right).}$

K ′ ( m ) se conoce como cuarto de período imaginario, mientras que K ( m ) también se llama cuarto de período real de la función elíptica de Jacobi. Están relacionados a través de: K ′ ( m ) =  K (1− m ) ^[27]

Dado que el interés aquí está en la altura de ola pequeña, correspondiente a un parámetro pequeño m  ≪ 1, es conveniente considerar la serie de Maclaurin para los parámetros relevantes, para comenzar con las integrales elípticas completas K y E : ^{[28] [29]}

${\displaystyle {\begin{aligned}K(m)&={\frac {\pi }{2}}\,\left[1+\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}\,m+\left({\frac {1\,\cdot \,3}{2\,\cdot \,4}}\right)^{2}\,m^{2}+\left({\frac {1\,\cdot \,3\,\cdot \,5}{2\,\cdot \,4\,\cdot \,6}}\right)^{2}\,m^{3}+\cdots \right],\\E(m)&={\frac {\pi }{2}}\,\left[1-\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}\,{\frac {m}{1}}-\left({\frac {1\,\cdot \,3}{2\,\cdot \,4}}\right)^{2}\,{\frac {m^{2}}{3}}-\left({\frac {1\,\cdot \,3\,\cdot \,5}{2\,\cdot \,4\,\cdot \,6}}\right)^{2}\,{\frac {m^{3}}{5}}-\cdots \right].\end{aligned}}}$

Entonces, los términos del coseno hiperbólico, que aparecen en la serie de Fourier, se pueden expandir para m  ≪ 1 pequeño de la siguiente manera: ^[26]

${\displaystyle \operatorname {sech} \left((2n+1)\,{\frac {\pi \,K'(m)}{2\,K(m)}}\right)=2\,{\frac {q^{n+{\tfrac {1}{2}}}}{1+q^{2n+1}}}}$  con el nombre q dado por  ${\displaystyle q=\exp \left(-\pi \,{\frac {K'(m)}{K(m)}}\right).}$

El nombre q tiene el siguiente comportamiento para m pequeño : ^[30]

${\displaystyle q={\frac {m}{16}}+8\,\left({\frac {m}{16}}\right)^{2}+84\,\left({\frac {m}{16}}\right)^{3}+992\,\left({\frac {m}{16}}\right)^{4}+\cdots .}$

En consecuencia, las amplitudes de los primeros términos de la serie de Fourier son:

Entonces, para m  ≪ 1 la función elíptica de Jacobi tiene los primeros términos de la serie de Fourier:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {cn} \,(z|m)&={\Bigl (}1-{\tfrac {1}{16}}\,m-{\tfrac {9}{16}}\,m^{2}+\cdots &&{\Bigr )}\;\cos \,\alpha \,z\;\\&+\;{\Bigl (}{\tfrac {1}{16}}\,m+{\tfrac {1}{32}}\,m^{2}+\cdots &&{\Bigr )}\;\cos \,2\,\alpha \,z\;\\&+\;{\Bigl (}{\tfrac {1}{256}}\,m^{2}+\cdots &&{\Bigr )}\;\cos \,3\,\alpha \,z\;+\;\cdots ,\end{aligned}}}$  con  ${\displaystyle \alpha \equiv {\frac {\pi }{2\,K(m)}}.}$

Y su cuadrado es

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {cn} ^{2}\,(z|m)&={\Bigl (}{\tfrac {1}{2}}-{\tfrac {1}{16}}\,m-{\tfrac {1}{32}}\,m^{2}+\cdots &&{\Bigr )}\\&+\;{\Bigl (}{\tfrac {1}{2}}-{\tfrac {3}{512}}\,m^{2}+\cdots &&{\Bigr )}\;\cos \,2\,\alpha \,z\;\\&+\;{\Bigl (}{\tfrac {1}{16}}\,m+{\tfrac {1}{32}}\,m^{2}+\cdots &&{\Bigr )}\;\cos \,4\,\alpha \,z\;\\&+\;{\Bigl (}{\tfrac {3}{512}}\,m^{2}+\cdots &&{\Bigr )}\;\cos \,6\,\alpha \,z\;+\;\cdots .\end{aligned}}}$

La superficie libre η ( x , t ) de la onda cnoidal se expresará en su serie de Fourier, para valores pequeños del parámetro elíptico m . Primero, observe que el argumento de la función cn es ξ / Δ , y que la longitud de onda λ  = 2  Δ  K ( m ), entonces:

${\displaystyle \theta \equiv {\frac {\pi \,\xi }{K(m)}}\,{\frac {\xi }{\Delta }}=2\,\pi \,{\frac {\xi }{\lambda }}.}$  

Además, la elevación media de la superficie libre es cero. Por lo tanto, la elevación de la superficie de ondas de pequeña amplitud es

${\displaystyle \eta (x,t)=\;H\,{\Bigl (}{\tfrac {1}{2}}-{\tfrac {3}{512}}\,m^{2}+\cdots {\Bigr )}\,\cos \,\theta \;+\;H\,{\Bigl (}{\tfrac {1}{16}}\,m+{\tfrac {1}{32}}\,m^{2}+\cdots {\Bigr )}\,\cos \,2\theta \;+\;H\,{\Bigl (}{\tfrac {3}{512}}\,m^{2}+\cdots {\Bigr )}\,\cos \,3\theta \;+\;\cdots .}$

Además, la longitud de onda λ se puede expandir a una serie de Maclaurin del parámetro elíptico m , de manera diferente para la ecuación KdV y BBM, pero esto no es necesario para el presente propósito.

Para una altura de ola infinitesimal , en el límite m  → 0, la elevación de la superficie libre se convierte en:

${\displaystyle \eta (x,t)={\tfrac {1}{2}}\,H\,\cos \,\theta ,}$  con  ${\displaystyle \theta =2\,\pi \,{\frac {\xi }{\lambda }}=2\,\pi \ {\frac {x-c\,t}{\lambda }}.}$

Entonces la amplitud de la onda es1/2H , la mitad de la altura de la ola . Esto es de la misma forma que se estudia en la teoría de ondas de Airy , pero tenga en cuenta que la teoría de ondas cnoidales solo es válida para ondas largas con una longitud de onda mucho más larga que la profundidad promedio del agua.

Velocidad de fase

  Detalles de la derivación

La velocidad de fase de una onda cnoidal, tanto para la ecuación KdV como para BBM, viene dada por: ^{[7] [22]}

${\displaystyle c={\sqrt {gh}}\,\left[1+{\frac {H}{m\,h}}\,\left(1-{\frac {1}{2}}\,m-{\frac {3}{2}}\,{\frac {E(m)}{K(m)}}\right)\right].}$

En esta formulación, la velocidad de fase es función de la altura de la ola H y el parámetro m . Sin embargo, para la determinación de la propagación de ondas de altura infinitesimal, es necesario determinar el comportamiento de la velocidad de fase a longitud de onda constante λ en el límite en que el parámetro m tiende a cero. Esto se puede hacer usando la ecuación para la longitud de onda, que es diferente para la ecuación de KdV y BBM: ^{[7] [22]}

Introduciendo el número de onda relativo κh :

${\displaystyle \kappa \,h={\frac {2\,\pi }{\lambda }}\,h,}$

y usando las ecuaciones anteriores para la velocidad de fase y la longitud de onda, el factor H  /  m en la velocidad de fase se puede reemplazar por κh y m . Las velocidades de fase resultantes son:

El comportamiento límite para m pequeño se puede analizar mediante el uso de la serie de Maclaurin para K ( m ) y E ( m ), ^[28] dando como resultado la siguiente expresión para el factor común en ambas fórmulas para c :

${\displaystyle \gamma ={\frac {4}{3\,\pi ^{2}}}\,K^{2}(m)\,\left(1-{\frac {1}{2}}\,m-\,{\frac {3}{2}}\,{\frac {E(m)}{K(m)}}\right)=-{\tfrac {1}{6}}+{\tfrac {1}{64}}\,m^{2}+{\tfrac {1}{64}}\,m^{3}+\cdots ,}$

entonces en el límite m  → 0, el factor γ  → −1/6.  Resulta directamente el valor límite de la velocidad de fase para m ≪ 1.

Las velocidades de fase para una altura de onda infinitesimal, según las teorías de ondas cnoidales para la ecuación KdV y la ecuación BBM, son ^[32]

con κ  = 2 π  /  λ el número de onda y κh el número de onda relativo. Estas velocidades de fase concuerdan totalmente con el resultado obtenido al buscar directamente soluciones de onda sinusoidal de las ecuaciones linealizadas de KdV y BBM. Como se desprende de estas ecuaciones, la ecuación BBM linealizada tiene una velocidad de fase positiva para todo κh . Por otro lado, la velocidad de fase de la ecuación KdV linealizada cambia de signo para ondas cortas con κh  >  . Esto está en conflicto con la derivación de la ecuación KdV como una ecuación de onda unidireccional. ${\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {6}}}$

Derivación directa de las ecuaciones completas de flujo no viscoso.

Perforación ondular y crías cerca de la desembocadura del río Araguari en el noreste de Brasil. La vista es oblicua hacia la boca desde un avión a aproximadamente 100 pies (30 m) de altitud. ^[33]

Las ondas cnoidales pueden derivarse directamente de las ecuaciones de flujo no viscoso , irrotacional e incompresible , y expresarse en términos de tres invariantes del flujo, como lo demostraron Benjamin y Lighthill (1954) en su investigación sobre orificios ondulares . En un marco de referencia que se mueve con la velocidad de fase , en cuyo marco de referencia el flujo se convierte en un flujo constante , las soluciones de la onda cnoidal pueden relacionarse directamente con el flujo de masa , el flujo de momento y la carga de energía del flujo. Siguiendo a Benjamin y Lighthill (1954), utilizando una descripción de la función de la corriente de este flujo incompresible, los componentes horizontal y vertical de la velocidad del flujo son las derivadas espaciales de la función de la corriente Ψ ( ξ , z ): + ∂ _z Ψ y − ∂ _ξ Ψ , en la dirección ξ y z respectivamente ( ξ  =  x − ct ). La coordenada vertical z es positiva en la dirección hacia arriba, opuesta a la dirección de la aceleración gravitacional, y el nivel cero de z está en el límite inferior impermeable del dominio del fluido. Mientras que la superficie libre está en z  =  ζ ( ξ ); tenga en cuenta que ζ es la profundidad del agua local, relacionada con la elevación de la superficie η ( ξ ) como ζ  =  h  +  η , siendo h la profundidad media del agua.

En este flujo estacionario, la descarga Q a través de cada sección transversal vertical es una constante independiente de ξ , y debido al lecho horizontal también se conserva el flujo de momento horizontal S , dividido por la densidad ρ , a través de cada sección transversal vertical. Además, para este flujo no viscoso e irrotacional, se puede aplicar el principio de Bernoulli y tiene la misma constante de Bernoulli R en todas partes del dominio del flujo. Se definen como: ^[34]

${\displaystyle {\begin{aligned}Q&=\int _{0}^{\zeta (\xi )}\partial _{z}\Psi \;{\text{d}}z,\\R&={\frac {p}{\rho }}+{\tfrac {1}{2}}\,{\Bigl [}\left(\partial _{\xi }\Psi \right)^{2}+\left(\partial _{z}\Psi \right)^{2}{\Bigr ]}+g\,z\qquad {\text{and}}\\S&=\int _{0}^{\zeta (\xi )}\left[{\frac {p}{\rho }}+\left(\partial _{z}\Psi \right)^{2}\right]\;{\text{d}}z.\end{aligned}}}$

Para olas bastante largas, suponiendo que la profundidad del agua ζ es pequeña en comparación con la longitud de onda λ , se obtiene la siguiente relación entre la profundidad del agua ζ ( ξ ) y los tres invariantes Q , R y S : ^[34]

Esta ecuación diferencial ordinaria no lineal y de primer orden tiene soluciones de onda cnoidal.

Para ondas muy largas de amplitud infinitesimal en un fluido de profundidad h y con una velocidad de flujo uniforme v , las constantes de flujo están de acuerdo con las ecuaciones de aguas poco profundas : ^[34]

${\displaystyle Q_{0}=v\,h,}$   ${\displaystyle R_{0}={\tfrac {1}{2}}\,v^{2}+g\,h}$  y  ${\displaystyle S_{0}=v^{2}\,h+{\tfrac {1}{2}}\,g\,h^{2}.}$

La ecuación ( E ) se puede llevar a una forma adimensional mediante el uso de la descarga Q y la aceleración gravitacional g , y definiendo la profundidad crítica hc _:

${\displaystyle h_{c}={\sqrt[{3}]{\frac {Q^{2}}{g}}},}$

relacionado con la demarcación del flujo crítico entre flujo subcrítico y flujo supercrítico (ver también número de Froude ). En consecuencia, la forma adimensional de la ecuación es

${\displaystyle {\tfrac {1}{3}}\,\left({\tilde {\zeta }}'\right)^{2}\approx -\zeta ^{3}+2\,{\tilde {R}}\,{\tilde {\zeta }}^{2}-2\,{\tilde {S}}\,{\tilde {\zeta }}+1,}$

con

${\displaystyle {\tilde {\zeta }}={\frac {\zeta }{h_{c}}},}$   ${\displaystyle {\tilde {\xi }}={\frac {\xi }{h_{c}}},}$   ${\displaystyle {\tilde {R}}={\frac {R}{g\,h_{c}}},}$  y  ${\displaystyle {\tilde {S}}={\frac {S}{g\,h_{c}^{2}}}.}$

Derivación

Primero elimine la presión p del flujo de impulso S mediante el uso de la ecuación de Bernoulli:

${\displaystyle S=R\,\zeta -{\tfrac {1}{2}}\,g\,\zeta ^{2}+\int _{0}^{\zeta }{\tfrac {1}{2}}\left[\left(\partial _{z}\Psi \right)^{2}-\left(\partial _{\xi }\Psi \right)^{2}\right]\;{\text{d}}z.}$

La función de corriente Ψ se expande como una serie de Maclaurin alrededor del lecho en z  = 0, y usando que el lecho impermeable es una línea de corriente y la irrotacionalidad del flujo: Ψ  = 0 y ∂ _z ² Ψ  = 0 en z  = 0: ^{[34 ]}

${\displaystyle \Psi =z\,u_{b}(\xi )-{\frac {z^{3}}{3!}}\,u_{b}''(\xi )+{\frac {z^{5}}{5!}}\,u_{b}^{\text{iv}}(\xi )+\cdots ,}$

siendo u _b la velocidad horizontal en el lecho z  = 0. Debido a que las ondas son largas, h  ≫  λ , sólo se retienen los términos hasta z ³ y ζ ³ en las aproximaciones a Q y S . El flujo de impulso S entonces se convierte en: ^[34]

${\displaystyle S=R\,\zeta -{\tfrac {1}{2}}\,g\,\zeta ^{2}+{\tfrac {1}{2}}\,\zeta \,u_{b}^{2}-{\tfrac {1}{6}}\,\zeta ^{3}\,u_{b}\,u_{b}''-{\tfrac {1}{6}}\,\zeta ^{3}\,\left(u_{b}'\right)^{2}+\cdots .}$

La descarga Q se convierte, ya que es el valor de la función de flujo Ψ en la superficie libre z  =  ζ :

${\displaystyle Q=\zeta \,u_{b}(\xi )-{\tfrac {1}{6}}\,\zeta ^{3}\,u_{b}''{\xi }+\cdots .}$

Como puede verse, la descarga Q es una cantidad O( ζ ). A partir de esto, se ve que la velocidad del lecho es ^[34]

${\displaystyle u_{b}={\frac {Q}{\zeta }}+{\tfrac {1}{6}}\,\zeta ^{2}\,u_{b}''+\cdots .}$

Tenga en cuenta que Q  /  ζ es una cantidad de pedido uno. Esta relación se utilizará para reemplazar la velocidad del lecho u _b por Q y ζ en el flujo de momento S. De él se pueden derivar los siguientes términos:

${\displaystyle {\begin{aligned}u_{b}^{2}&={\frac {Q^{2}}{\zeta ^{2}}}+{\tfrac {1}{3}}\,\zeta \,Q\,u_{b}''+\cdots ,\\u_{b}'&=-{\frac {Q}{\zeta }}\,\zeta '+{\tfrac {1}{3}}\,\zeta \,\zeta '\,u_{b}''+{\tfrac {1}{6}}\,\zeta ^{2}\,u_{b}'''+\cdots \qquad {\text{and}}\\\left(u_{b}'\right)^{2}&={\frac {Q^{2}}{\zeta ^{4}}}\,\left(\zeta '\right)^{2}-{\tfrac {2}{3}}\,{\frac {Q}{\zeta }}\,\zeta '\,u_{b}''+\cdots .\end{aligned}}}$

En consecuencia, el flujo de impulso S se vuelve, conservando nuevamente sólo los términos hasta, proporcional a ζ ³ : ^[34]

${\displaystyle S\approx R\,\zeta -{\tfrac {1}{2}}\,g\,\zeta ^{2}+{\tfrac {1}{2}}\,{\frac {Q^{2}}{\zeta }}-{\tfrac {1}{6}}\,{\frac {Q^{2}}{\zeta }}\,\left(\zeta '\right)^{2}.}$

Que se puede reformular directamente en forma de ecuación ( E ).

Energía potencial

La densidad de energía potencial.

${\displaystyle E_{\text{pot}}={\frac {1}{\lambda }}\,\int _{0}^{\lambda }{\tfrac {1}{2}}\,\rho \,g\,\eta ^{2}(x,t)\;{\text{d}}x}$

con ρ la densidad del fluido , es uno de los infinitos invariantes de la ecuación KdV. ^[35] Esto se puede ver multiplicando la ecuación de KdV por la elevación de la superficie η ( x , t ); Después del uso repetido de la regla de la cadena, el resultado es:

${\displaystyle \partial _{t}\left({\tfrac {1}{2}}\,\eta ^{2}\right)+\partial _{x}\left\{{\tfrac {1}{2}}\,{\sqrt {g\,h}}\,\eta ^{2}+{\tfrac {1}{2}}\,{\sqrt {\frac {g}{h}}}\,\eta ^{3}+{\tfrac {1}{12}}\,h^{2}{\sqrt {g\,h}}\,\left[\partial _{x}^{2}\left(\eta ^{2}\right)-3\left(\partial _{x}\eta \right)^{2}\right]\right\}=0,}$

que está en forma de conservación y es una invariante después de la integración durante el intervalo de periodicidad: la longitud de onda de una onda cnoidal. La energía potencial no es una invariante de la ecuación de BBM, sino1/2ρg  [ η ²  + 1/6 h ²  ( ∂ _x  η ) ² ] es. ^[36]

Primero se calcula la varianza de la elevación de la superficie en una onda cnoidal. Tenga en cuenta que η ₂  = −(1/ λ )  ₀ ∫ ^λ  H  cn ² ( ξ / Δ |m) d x , cn( ξ / Δ |m) = cos  ψ ( ξ ) y λ  = 2  Δ  K ( m ) , entonces ^[37]

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{\lambda }}\,\int _{0}^{\lambda }\eta ^{2}\;{\text{d}}x&={\frac {1}{\lambda }}\int _{0}^{\lambda }\left\{\eta _{2}+H\,\operatorname {cn} ^{2}\left({\begin{array}{c|c}\displaystyle {\frac {\xi }{\Delta }}&m\end{array}}\right)\right\}^{2}\;{\text{d}}\xi ={\frac {H^{2}}{\lambda }}\int _{0}^{\lambda }\operatorname {cn} ^{4}\left({\begin{array}{c|c}\displaystyle {\frac {\xi }{\Delta }}&m\end{array}}\right)\;{\text{d}}\xi -\eta _{2}^{2}\\&={\frac {\Delta \,H^{2}}{\lambda }}\int _{0}^{\pi }\cos ^{4}\,\psi \,{\frac {{\text{d}}\xi }{{\text{d}}\psi }}\;{\text{d}}\psi -\eta _{2}^{2}={\frac {H^{2}}{2\,K(m)}}\int _{0}^{\pi }{\frac {\cos ^{4}\,\psi }{\sqrt {1-m\,\sin ^{2}\,\psi }}}\;{\text{d}}\psi -\eta _{2}^{2}\\&={\frac {1}{3}}\,{\frac {H^{2}}{m^{2}}}\,\left[\left(2-5\,m+3\,m^{2}\right)+\left(4\,m-2\right)\,{\frac {E(m)}{K(m)}}\right]-{\frac {H^{2}}{m^{2}}}\,\left(1-m-{\frac {E(m)}{K(m)}}\right)^{2}\end{aligned}}}$

Posteriormente se encuentra que la energía potencial, tanto para la ecuación KdV como para la ecuación BBM, es ^[37]

${\displaystyle E_{\text{pot}}={\tfrac {1}{2}}\,\rho \,g\,H^{2}\,\left[-{\frac {1}{3\,m}}+{\frac {2}{3\,m}}\,\left(1+{\frac {1}{m}}\right)\left(1-{\frac {E(m)}{K(m)}}\right)-{\frac {1}{m^{2}}}\,\left(1-{\frac {E(m)}{K(m)}}\right)^{2}\right].}$

El límite de altura de onda infinitesimal ( m  → 0) de la energía potencial es E _pot  = 1/dieciséis ρ  g  H ² , que está de acuerdo con la teoría de ondas de Airy . ^[37] La ​​altura de la onda es el doble de la amplitud, H  = 2 a , en el límite de onda infinitesimal.

Ver también

• solitón
• Olas y aguas poco profundas

notas y referencias

Notas

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2. Le Méhauté, B. (1976), Introducción a la hidrodinámica y las ondas del agua , Springer, ISBN 978-0-387-07232-6
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9. Debido a la forma en que se ha normalizado, el parámetro Ursell indica que la teoría lineal es aplicable cuando U  ≪ ​​32  π ^2/3  ≈ 100.
10. Sorensen, RM (1993), Mecánica ondulatoria básica: para ingenieros costeros y oceánicos , Wiley-Interscience, ISBN 978-0-471-55165-2, pag. 61.
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17. Dingemans (1997) págs.
18. Dingemans (1997) pág. 701.
19. Abramowitz y Stegun (1965) pág. 590.
20. El parámetro elíptico m es distinto del módulo elíptico k : m  =  k ² . Véase Abramowitz y Stegun (1965) pág. 590.
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22. Dingemans (1997) pág. 715.
23. Abramowitz y Stegun (1965) Ec. 16.15.2, pág. 574.
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29. Abramowitz y Stegun (1965) Ecs. 17.3.9 y 17.3.10, pág. 591.
30. Abramowitz y Stegun (1965) 17.3.21, pág. 591.
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34. Benjamín y Lighthill (1954)
35. Dingemans (1997) págs. 730–733.
36. Benjamín, Bona y Mahony (1972)
37. Dingemans (1997) págs. 791–794.

Referencias

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• Benjamín, TB ; Bona, JL ; Mahony, JJ (1972), "Ecuaciones modelo para ondas largas en sistemas dispersivos no lineales", Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Serie A, Ciencias Físicas y Matemáticas , 272 (1220): 47–78, Bibcode :1972RSPTA.272...47B, doi :10.1098/rsta.1972.0032, JSTOR  74079, S2CID  120673596
• Dingemans, MW (1997), Propagación de olas sobre fondos irregulares, Serie avanzada sobre ingeniería oceánica 13 , World Scientific, Singapur, ISBN 978-981-02-0427-3, archivado desde el original el 8 de febrero de 2012 , consultado el 18 de abril de 2009 Consulte la Parte 2, Capítulo 6 .
• Korteweg, DJ ; de Vries, G. (1895), "Sobre el cambio de forma de ondas largas que avanzan en un canal rectangular y sobre un nuevo tipo de ondas largas estacionarias", Philosophical Magazine , 39 (240): 422–443, doi :10.1080 /14786449508620739

Otras lecturas

• Benjamín, TB ; Lighthill, MJ (1954), "Sobre ondas cnoidales y perforaciones", Actas de la Royal Society de Londres. Serie A, Ciencias Físicas y Matemáticas , 224 (1159): 448–460, Bibcode :1954RSPSA.224..448B, doi :10.1098/rspa.1954.0172, S2CID  119869484
• de Jager, EM (2006). "Sobre el origen de la ecuación Korteweg-de Vries". arXiv : matemáticas/0602661v1 .
• Drazin, PG ; Johnson, RS (1996), Solitones: una introducción , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-33655-0
• Fenton, JD (1979), "Una teoría de ondas cnoidales de alto orden", Journal of Fluid Mechanics , 94 (1): 129–161, Bibcode :1979JFM....94..129F, doi :10.1017/S0022112079000975, S2CID  123177506
• Keulegan, GH; Patterson, GW (1940), "Teoría matemática de las ondas de traducción irrotacionales", Revista de investigación de la Oficina Nacional de Estándares , 24 (enero): 47–101, doi : 10.6028/jres.024.027
• Miles, JW (1981), "La ecuación de Korteweg-de Vries: un ensayo histórico", Journal of Fluid Mechanics , 106 : 131–147, Bibcode :1981JFM...106..131M, doi :10.1017/S0022112081001559, S2CID  122811526
• Wehausen, JV ; Laitone, EV (1960), "Ondas superficiales", en Flügge, S .; Truesdell, C. (eds.), Enciclopedia de Física, vol. IX, Springer Verlag, págs. 446–778, archivado desde el original el 5 de enero de 2009 , consultado el 18 de abril de 2009, ver págs. 702–714 para ondas cnoidales
• Wiegel, RL (1960), "Una presentación de la teoría de ondas cnoidales para una aplicación práctica", Journal of Fluid Mechanics , 7 (2): 273–286, Bibcode :1960JFM.....7..273W, doi :10.1017/ S0022112060001481, S2CID  30587200