Velocidad de fase

Velocidad a la que se propaga la fase de la onda en el espacio

Dispersión de frecuencia en grupos de ondas de gravedad en la superficie de aguas profundas. El ■ cuadrado rojo se mueve con la velocidad de fase y los ● círculos verdes se propagan con la velocidad de grupo . En este caso de aguas profundas, la velocidad de fase es el doble de la velocidad del grupo . El cuadrado rojo supera a dos círculos verdes cuando se mueve de izquierda a derecha de la figura.

Nuevas ondas parecen surgir en la parte posterior de un grupo de ondas, crecen en amplitud hasta estar en el centro del grupo y desaparecen en el frente del grupo de ondas.

Para las ondas de gravedad superficiales, las velocidades de las partículas de agua son mucho más pequeñas que la velocidad de fase, en la mayoría de los casos.

Propagación de un paquete de ondas que demuestra una velocidad de fase mayor que la velocidad del grupo sin dispersión.

Esto muestra una onda con la velocidad de grupo y la velocidad de fase yendo en diferentes direcciones. La velocidad del grupo es positiva, mientras que la velocidad de la fase es negativa. ^[1]

La velocidad de fase de una onda es la velocidad a la que la onda se propaga en cualquier medio . Esta es la velocidad a la que viaja la fase de cualquier componente de frecuencia de la onda. Para tal componente, cualquier fase dada de la onda (por ejemplo, la cresta ) parecerá viajar a la velocidad de fase. La velocidad de fase se da en términos de la longitud de onda λ (lambda) y el período de tiempo T como

${\displaystyle v_{\mathrm {p} }={\frac {\lambda }{T}}.}$

De manera equivalente, en términos de la frecuencia angular de la onda ω , que especifica el cambio angular por unidad de tiempo, y el número de onda (o número de onda angular) k , que representa el cambio angular por unidad de espacio,

${\displaystyle v_{\mathrm {p} }={\frac {\omega }{k}}.}$

Para obtener una intuición básica sobre esta ecuación, consideramos una onda (coseno) que se propaga A cos( kx − ωt ) . Queremos ver qué tan rápido viaja una fase particular de la onda. Por ejemplo, podemos elegir kx - ωt = 0 , la fase de la primera cresta. Esto implica kx = ω t , por lo que v = x / t = ω / k .

Formalmente, dejamos la fase φ = kx - ωt y vemos inmediatamente que ω = -dφ / d t y k = dφ / d x . Entonces, se sigue inmediatamente que

${\displaystyle {\frac {\partial x}{\partial t}}=-{\frac {\partial \phi }{\partial t}}{\frac {\partial x}{\partial \phi }}={\frac {\omega }{k}}.}$

Como resultado, observamos una relación inversa entre la frecuencia angular y el vector de onda . Si la onda tiene oscilaciones de mayor frecuencia, la longitud de onda debe acortarse para que la velocidad de fase permanezca constante. ^[2] Además, la velocidad de fase de la radiación electromagnética puede, bajo ciertas circunstancias (por ejemplo, dispersión anómala ), exceder la velocidad de la luz en el vacío, pero esto no indica ninguna información superluminal o transferencia de energía. ^{[ cita requerida ]} Fue descrito teóricamente por físicos como Arnold Sommerfeld y Léon Brillouin .

La definición anterior de velocidad de fase se ha demostrado para una onda aislada. Sin embargo, esta definición puede ampliarse a un latido de ondas o a una señal compuesta de múltiples ondas. Para ello es necesario escribir matemáticamente el ritmo o señal como una envolvente de baja frecuencia multiplicando una portadora. Por tanto, la velocidad de fase de la portadora determina la velocidad de fase del conjunto de ondas. ^[3]

Velocidad de grupo

Una superposición de ondas planas 1D (azules), cada una de las cuales viaja a una velocidad de fase diferente (trazada por puntos azules) da como resultado un paquete de ondas gaussianas (roja) que se propaga a la velocidad del grupo (trazada por la línea roja).

La velocidad de grupo de un conjunto de ondas se define como

${\displaystyle v_{g}={\frac {\partial \omega }{\partial k}}.}$

Cuando varias ondas sinusoidales se propagan juntas, la superposición resultante de las ondas puede dar como resultado una onda "envolvente" así como una onda "portadora" que se encuentra dentro de la envoltura. Esto aparece comúnmente en la comunicación inalámbrica cuando se emplea modulación (un cambio en amplitud y/o fase) para enviar datos. Para obtener cierta intuición sobre esta definición, consideramos una superposición de ondas (coseno) f(x, t) con sus respectivas frecuencias angulares y vectores de onda.

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x,t)&=\cos(k_{1}x-\omega _{1}t)+\cos(k_{2}x-\omega _{2}t)\\&=2\cos \left({\frac {(k_{2}-k_{1})x-(\omega _{2}-\omega _{1})t}{2}}\right)\cos \left({\frac {(k_{2}+k_{1})x-(\omega _{2}+\omega _{1})t}{2}}\right)\\&=2f_{1}(x,t)f_{2}(x,t).\end{aligned}}}$

Entonces, tenemos un producto de dos ondas: una onda envolvente formada por f ₁ y una onda portadora formada por f ₂ . A la velocidad de la onda envolvente la llamamos velocidad de grupo. Vemos que la velocidad de fase de f ₁ es

${\displaystyle {\frac {\omega _{2}-\omega _{1}}{k_{2}-k_{1}}}.}$

En el caso diferencial continuo, esto se convierte en la definición de velocidad de grupo.

Índice de refracción

En el contexto del electromagnetismo y la óptica, la frecuencia es una función ω ( k ) del número de onda, por lo que, en general, la velocidad de fase y la velocidad del grupo dependen del medio y la frecuencia específicos. La relación entre la velocidad de la luz c y la velocidad de fase v _p se conoce como índice de refracción , n = c / v _p = ck / ω .

De esta manera, podemos obtener otra forma de velocidad de grupo para el electromagnetismo. Escribiendo n = n (ω) , una forma rápida de derivar esta forma es observar

${\displaystyle k={\frac {1}{c}}\omega n(\omega )\implies dk={\frac {1}{c}}\left(n(\omega )+\omega {\frac {\partial }{\partial \omega }}n(\omega )\right)d\omega .}$

Luego podemos reorganizar lo anterior para obtener

${\displaystyle v_{g}={\frac {\partial w}{\partial k}}={\frac {c}{n+\omega {\frac {\partial n}{\partial \omega }}}}.}$

De esta fórmula, vemos que la velocidad del grupo es igual a la velocidad de fase solo cuando el índice de refracción es independiente de la frecuencia . Cuando esto ocurre, el medio se llama no dispersivo, a diferencia de dispersivo , donde varias propiedades del medio dependen de la frecuencia ω . La relación se conoce como relación de dispersión del medio. ${\textstyle \partial n/\partial \omega =0}$ ${\displaystyle \omega (k)}$

Ver también

• Radiación Cherenkov
• Dispersión (óptica)
• Velocidad de grupo
• Retardo de propagación
• División de ondas de corte
• Propagación de onda
• Velocidad de propagación de la onda
• constante de planck
• Velocidad de la luz
• Onda de materia # Velocidad de fase

Referencias

Notas a pie de página

1. Nemirovsky, Jonathan; Rechtsman, Mikael C; Segev, Mordejai (9 de abril de 2012). "Presión de radiación negativa e índice de refracción efectivo negativo mediante birrefringencia dieléctrica". Óptica Express . 20 (8): 8907–8914. Código Bib : 2012OExpr..20.8907N. doi : 10.1364/OE.20.008907 . PMID  22513601.
2. "Fase, grupo y velocidad de la señal". Mathpages.com . Consultado el 24 de julio de 2011 .
3. "Velocidad de fase: ondas y señales". electroagenda.com.

Bibliografía

• Crawford hijo., Frank S. (1968). Waves (Curso de física de Berkeley, vol. 3) , McGraw-Hill, ISBN 978-0070048607 Versión gratuita en línea 
• Brillouin, Léon (1960), Propagación de ondas y velocidad de grupo , Nueva York y Londres: Academic Press Inc., ISBN 978-0-12-134968-4
• Main, Iain G. (1988), Vibraciones y ondas en física (2ª ed.), Nueva York: Cambridge University Press, págs. 214–216, ISBN 978-0-521-27846-1
• Tipler, Paul A.; Llewellyn, Ralph A. (2003), Física moderna (4ª ed.), Nueva York: WH Freeman and Company, págs. 222–223, ISBN 978-0-7167-4345-3