Par laxo

En matemáticas , en la teoría de sistemas integrables , un par Lax es un par de matrices u operadores dependientes del tiempo que satisfacen una ecuación diferencial correspondiente , llamada ecuación de Lax . Los pares Lax fueron introducidos por Peter Lax para analizar los solitones en medios continuos . La transformada de dispersión inversa hace uso de las ecuaciones de Lax para resolver dichos sistemas.

Definición

Un par Lax es un par de matrices u operadores dependientes del tiempo, que actúan sobre un espacio de Hilbert fijo y satisfacen la ecuación de Lax : ${\displaystyle L(t),P(t)}$

${\displaystyle {\frac {dL}{dt}}=[P,L],}$

donde es el conmutador . A menudo, como en el ejemplo siguiente, depende de de una manera prescrita, por lo que esta es una ecuación no lineal para como función de . ${\displaystyle [P,L]=PL-LP}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle t}$

Propiedad isoespectral

Se puede demostrar entonces que los valores propios y, de manera más general, el espectro de L son independientes de t . Se dice que las matrices/operadores L son isoespectrales cuando varía. ${\displaystyle t}$

La observación central es que las matrices son todas similares en virtud de ${\displaystyle L(t)}$

${\displaystyle L(t)=U(t,s)L(s)U(t,s)^{-1},}$

¿Dónde está la solución del problema de Cauchy? ${\displaystyle U(t,s)}$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}U(t,s)=P(t)U(t,s),\quad U(s,s)=I,}$

donde I denota la matriz identidad. Nótese que si P ( t ) es antiadjunta , U ( t ,  s ) será unitaria .

En otras palabras, para resolver el problema de valor propio Lψ = λψ en el tiempo t , es posible resolver el mismo problema en el tiempo 0, donde L generalmente se conoce mejor, y propagar la solución con las siguientes fórmulas:

${\displaystyle \lambda (t)=\lambda (0)}$ (sin cambios en el espectro),

${\displaystyle {\frac {\partial \psi }{\partial t}}=P\psi .}$

A través de invariantes principales

El resultado también se puede demostrar utilizando los invariantes para cualquier . Estos se satisfacen debido a la ecuación de Lax, y dado que el polinomio característico se puede escribir en términos de estas trazas, el espectro se conserva por el flujo. ^[1] ${\displaystyle \operatorname {tr} (L^{n})}$ ${\displaystyle n}$ $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\operatorname {tr} (L^{n})=0}$$

Enlace con el método de dispersión inversa

La propiedad anterior es la base del método de dispersión inversa. En este método, L y P actúan en un espacio funcional (por lo tanto, ψ = ψ ( t ,  x )) y dependen de una función desconocida u ( t ,  x ) que se debe determinar. En general, se supone que u (0,  x ) es conocida y que P no depende de u en la región de dispersión donde El método entonces toma la siguiente forma: ${\displaystyle \|x\|\to \infty .}$

1. Calcular el espectro de , dando y ${\displaystyle L(0)}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \psi (0,x).}$
2. En la región de dispersión donde se conoce, se propaga en el tiempo utilizando la condición inicial ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle {\frac {\partial \psi }{\partial t}}(t,x)=P\psi (t,x)}$ ${\displaystyle \psi (0,x).}$
3. Conociendo en la región de dispersión, calcular y/o ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle L(t)}$ ${\displaystyle u(t,x).}$

Curva espectral

Si la matriz Lax depende adicionalmente de un parámetro complejo (como es el caso, por ejemplo, de seno-Gordon ), la ecuación define una curva algebraica en con coordenadas Por la propiedad isoespectral, esta curva se conserva bajo la traslación temporal. Esta es la curva espectral . Tales curvas aparecen en la teoría de sistemas de Hitchin . ^[2] ${\displaystyle z}$ $${\displaystyle \det {\big (}wI-L(z){\big )}=0}$$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$ ${\displaystyle w,z.}$

Representación de curvatura cero

Cualquier EDP que admita una representación de par Lax también admite una representación de curvatura cero. ^[3] De hecho, la representación de curvatura cero es más general y para otras EDP integrables, como la ecuación de seno-Gordon , el par Lax se refiere a matrices que satisfacen la ecuación de curvatura cero en lugar de la ecuación de Lax. Además, la representación de curvatura cero hace manifiesto el vínculo entre los sistemas integrables y la geometría, que culmina en el programa de Ward para formular sistemas integrables conocidos como soluciones a las ecuaciones de Yang-Mills anti-auto-duales (ASDYM).

Ecuación de curvatura cero

Las ecuaciones de curvatura cero se describen mediante un par de funciones con valores matriciales donde los subíndices denotan índices de coordenadas en lugar de derivadas. A menudo, la dependencia se da a través de una única función escalar y sus derivadas. La ecuación de curvatura cero es entonces Se llama así porque corresponde a la desaparición del tensor de curvatura , que en este caso es . Esto difiere de la expresión convencional por algunos signos menos, que en última instancia no son importantes. ${\displaystyle A_{x}(x,t),A_{t}(x,t),}$ ${\displaystyle (x,t)}$ ${\displaystyle \varphi (x,t)}$ $${\displaystyle \partial _{t}A_{x}-\partial _{x}A_{t}+[A_{x},A_{t}]=0.}$$ ${\displaystyle F_{\mu \nu }=[\partial _{\mu }-A_{\mu },\partial _{\nu }-A_{\nu }]=-\partial _{\mu }A_{\nu }+\partial _{\nu }A_{\mu }+[A_{\mu },A_{\nu }]}$

Par laxo con curvatura cero

Para una solución propia del operador Lax , se tiene Si en cambio aplicamos estos, junto con la independencia temporal de , surge la ecuación de Lax como una ecuación de consistencia para un sistema sobredeterminado. ${\displaystyle L}$ $${\displaystyle L\psi =\lambda \psi ,\psi _{t}+A\psi =0.}$$ ${\displaystyle \lambda }$

El par Lax se puede utilizar para definir los componentes de conexión . Cuando una EDP admite una representación de curvatura cero pero no una representación de ecuación Lax, los componentes de conexión se denominan par Lax y la conexión, conexión Lax. ${\displaystyle (L,P)}$ ${\displaystyle (A_{x},A_{t})}$ ${\displaystyle (A_{x},A_{t})}$

Ejemplos

Ecuación de Korteweg-de Vries

La ecuación de Korteweg-de Vries

${\displaystyle u_{t}=6uu_{x}-u_{xxx}}$

puede reformularse como la ecuación de Lax

${\displaystyle L_{t}=[P,L]}$

con

${\displaystyle L=-\partial _{x}^{2}+u}$(un operador de Sturm-Liouville ),

${\displaystyle P=-4\partial _{x}^{3}+6u\partial _{x}+3u_{x},}$

donde todas las derivadas actúan sobre todos los objetos a la derecha. Esto explica el número infinito de primeras integrales de la ecuación KdV.

Cima de Kovalevskaya

El ejemplo anterior utilizó un espacio de Hilbert de dimensión infinita. También son posibles ejemplos con espacios de Hilbert de dimensión finita. Estos incluyen el top de Kovalevskaya y la generalización para incluir un campo eléctrico . ^[4] ${\displaystyle {\vec {h}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}L&={\begin{pmatrix}g_{1}+h_{2}&g_{2}+h_{1}&g_{3}&h_{3}\\g_{2}+h_{1}&-g_{1}+h_{2}&h_{3}&-g_{3}\\g_{3}&h_{3}&-g_{1}-h_{2}&g_{2}-h_{1}\\h_{3}&-g_{3}&g_{2}-h_{1}&g_{1}+h_{2}\\\end{pmatrix}}\lambda ^{-1}\\&+{\begin{pmatrix}0&0&-l_{2}&-l_{1}\\0&0&l_{1}&-l_{2}\\l_{2}&-l_{1}&-2\lambda &-2l_{3}\\l_{1}&l_{2}&2l_{3}&2\lambda \\\end{pmatrix}},\\P&={\frac {-1}{2}}{\begin{pmatrix}0&-2l_{3}&l_{2}&l_{1}\\2l_{3}&0&-l_{1}&l_{2}\\-l_{2}&l_{1}&2\lambda &2l_{3}+\gamma \\-l_{1}&-l_{2}&-2l_{3}&-2\lambda \\\end{pmatrix}}.\end{aligned}}}$

Imagen de Heisenberg

En la imagen de Heisenberg de la mecánica cuántica , un observable A sin dependencia explícita del tiempo t satisface

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}A(t)={\frac {i}{\hbar }}[H,A(t)],}$

donde H es el hamiltoniano y ħ la constante de Planck reducida . Aparte de un factor, se puede ver que los observables (sin dependencia temporal explícita) en esta imagen forman pares Lax junto con el hamiltoniano. La imagen de Schrödinger se interpreta entonces como la expresión alternativa en términos de evolución isoespectral de estos observables.

Más ejemplos

Otros ejemplos de sistemas de ecuaciones que pueden formularse como un par Lax incluyen:

• Ecuación de Benjamin-Ono
• Ecuación de Schrödinger no lineal cúbica unidimensional
• Sistema Davey-Stewartson
• Sistemas integrables con pares de contacto Lax ^[5]
• Ecuación de Kadomtsev-Petviashvili
• Ecuación de Korteweg-de Vries
• Jerarquía de KdV
• Ecuación de Marchenko
• Ecuación modificada de Korteweg-de Vries
• Ecuación de seno-Gordon
• Enrejado de Toda
• Máximos de Lagrange, Euler y Kovalevskaya
• Transformada de Belinski-Zakharov , en relatividad general.

Esto último es notable, ya que implica que tanto la métrica de Schwarzschild como la métrica de Kerr pueden entenderse como solitones.

Referencias

1. Hitchin, NJ (1999). Sistemas integrables: twistores, grupos de bucles y superficies de Riemann . Oxford: Clarendon Press. ISBN 0198504217.
2. Hitchin, NJ (1999). Sistemas integrables: twistores, grupos de bucles y superficies de Riemann . Oxford: Clarendon Press. ISBN 9780198504214.
3. Dunajski, Maciej (2010). Solitones, instantones y tornadores . Oxford: Prensa de la Universidad de Oxford. págs. 54–56. ISBN 978-0-19-857063-9.
4. Bobenko, AI; Reyman, AG; Semenov-Tian-Shansky, MA (1989). "El top de Kowalewski 99 años después: un par de Lax, generalizaciones y soluciones explícitas". Communications in Mathematical Physics . 122 (2): 321–354. Bibcode :1989CMaPh.122..321B. doi :10.1007/BF01257419. ISSN  0010-3616. S2CID  121752578.
5. A. Sergyeyev, Nuevos sistemas integrables (3+1)-dimensionales y geometría de contacto, Lett. Math. Phys. 108 (2018), n.º 2, 359-376, arXiv :1401.2122 doi :10.1007/s11005-017-1013-4

• Lax, P. (1968), "Integrales de ecuaciones no lineales de evolución y ondas solitarias", Communications on Pure and Applied Mathematics , 21 (5): 467–490, doi :10.1002/cpa.3160210503archivo
• P. Lax y RS Phillips, Teoría de dispersión para funciones automórficas [1], (1976) Princeton University Press.