Transformación de Belinski-Zakharov

Transformación matemática para generar soluciones de solitones de las ecuaciones de campo de Einstein

La transformada de Belinski-Zakharov (inversa) es una transformación no lineal que genera nuevas soluciones exactas de la ecuación de campo de Einstein del vacío . Fue desarrollado por Vladimir Belinski y Vladimir Zakharov en 1978. ^[1] La transformada de Belinski-Zakharov es una generalización de la transformada de dispersión inversa . Las soluciones producidas por esta transformada se denominan solitones gravitacionales (gravisolitones). A pesar de que el término "solitón" se utiliza para describir los solitones gravitacionales, su comportamiento es muy diferente al de otros solitones (clásicos). ^[2] En particular, los solitones gravitacionales no conservan su amplitud y forma en el tiempo, y hasta junio de 2012 su interpretación general sigue siendo desconocida. Sin embargo, lo que se sabe es que la mayoría de los agujeros negros (y particularmente la métrica de Schwarzschild y la métrica de Kerr ) son casos especiales de solitones gravitacionales.

Introducción

La transformada de Belinski-Zakharov funciona para intervalos de espacio-tiempo de la forma

${\displaystyle ds^{2}=f(-d(x^{0})^{2}+d(x^{1})^{2})+g_{ab}\,dx^{a}\,dx^{b}}$

donde usamos la convención de suma de Einstein para . Se supone que tanto la función como la matriz dependen de las coordenadas y únicamente. A pesar de ser una forma específica del intervalo espaciotemporal que depende sólo de dos variables, incluye una gran cantidad de soluciones interesantes como casos especiales, como la métrica de Schwarzschild , la métrica de Kerr , la métrica de Einstein-Rosen y muchas otras. ${\displaystyle a,b=2,3}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g=g_{ab}}$ ${\displaystyle x^{0}}$ ${\displaystyle x^{1}}$

En este caso, la ecuación del vacío de Einstein se descompone en dos conjuntos de ecuaciones para la matriz y la función . Usando coordenadas del cono de luz , la primera ecuación de la matriz es ${\displaystyle R_{\mu \nu }=0}$ ${\displaystyle g=g_{ab}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \zeta =x^{0}+x^{1},\eta =x^{0}-x^{1}}$ ${\displaystyle g}$

${\displaystyle (\alpha g_{,\zeta }g^{-1})_{,\eta }+(\alpha g_{,\eta }g^{-1})_{,\zeta }=0}$

¿Dónde está la raíz cuadrada del determinante de , es decir? ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle g}$

${\displaystyle \det g=\alpha ^{2}}$

El segundo conjunto de ecuaciones es

${\displaystyle (\ln f)_{,\zeta }={\frac {(\ln \alpha )_{,\zeta \zeta }}{(\ln \alpha )_{,\zeta }}}+{\frac {\alpha }{4\alpha _{,\zeta }}}\operatorname {tr} (g_{,\zeta }g^{-1}g_{,\zeta }g^{-1})}$

${\displaystyle (\ln f)_{,\eta }={\frac {(\ln \alpha )_{,\eta \eta }}{(\ln \alpha )_{,\eta }}}+{\frac {\alpha }{4\alpha _{,\eta }}}\operatorname {tr} (g_{,\eta }g^{-1}g_{,\eta }g^{-1})}$

Tomando la traza de la ecuación matricial se revela que de hecho satisface la ecuación de onda ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle \alpha _{,\zeta \eta }=0}$

La pareja laxa

Considere los operadores lineales definidos por ${\displaystyle D_{1},D_{2}}$

${\displaystyle D_{1}=\partial _{\zeta }+{\frac {2\alpha _{,\zeta }\lambda }{\lambda -\alpha }}\partial _{\lambda }}$

${\displaystyle D_{2}=\partial _{\eta }-{\frac {2\alpha _{,\eta }\lambda }{\lambda +\alpha }}\partial _{\lambda }}$

donde es un parámetro espectral complejo auxiliar. Un cálculo simple muestra que desde satisface la ecuación de onda, . Este par de operadores conmutan, este es el par Lax . ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \left[D_{1},D_{2}\right]=0}$

La esencia detrás de la transformada de dispersión inversa es reescribir la ecuación no lineal de Einstein como un sistema de ecuaciones lineal sobredeterminado para una nueva función matricial . Considere las ecuaciones de Belinski-Zakharov: ${\displaystyle \psi =\psi (\zeta ,\eta ,\lambda )}$

${\displaystyle D_{1}\psi ={\frac {A}{\lambda -\alpha }}\psi }$

${\displaystyle D_{2}\psi ={\frac {B}{\lambda +\alpha }}\psi }$

Al operar en el lado izquierdo de la primera ecuación con y en el lado izquierdo de la segunda ecuación con y restar los resultados, el lado izquierdo desaparece como resultado de la conmutatividad de y . En cuanto al lado derecho, un breve cálculo muestra que, de hecho, también desaparece precisamente cuando satisface la ecuación matricial no lineal de Einstein. ${\displaystyle D_{2}}$ ${\displaystyle D_{1}}$ ${\displaystyle D_{1}}$ ${\displaystyle D_{2}}$ ${\displaystyle g}$

Esto significa que las ecuaciones lineales sobredeterminadas de Belinski-Zakharov se pueden resolver simultáneamente exactamente cuando se resuelve la ecuación matricial no lineal. En realidad, se puede restaurar fácilmente desde la función matricial mediante un simple proceso de limitación. Tomando el límite en las ecuaciones de Belinski-Zakharov y multiplicando por desde la derecha se obtiene ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \lambda \rightarrow 0}$ ${\displaystyle \psi ^{-1}}$

${\displaystyle \psi _{,\zeta }\psi ^{-1}=g_{,\zeta }g^{-1}}$

${\displaystyle \psi _{,\eta }\psi ^{-1}=g_{,\eta }g^{-1}}$

Así , se obtiene una solución de la ecuación no lineal a partir de una solución de la ecuación lineal de Belinski-Zakharov mediante una evaluación simple ${\displaystyle g}$

${\displaystyle g(\zeta ,\eta )=\psi (\zeta ,\eta ,0)}$

Referencias

1. Belinskii, V.; Zakharov, V. (1978). "Integración de las ecuaciones de Einstein mediante la técnica del problema de dispersión inversa y construcción de soluciones exactas de solitones". soviético. Física. JETP . 48 (6): 985–994. ISSN  0038-5646.
2. Belinski, V.; Verdaguer, E. (2001). Solitones gravitacionales . Monografías de Cambridge sobre física matemática.