Curvatura de Ricci

2 tensor obtenido como contracción de la curvatura de Rieman 4 tensor en una variedad de Riemann

En geometría diferencial , el tensor de curvatura de Ricci , llamado así en honor a Gregorio Ricci-Curbastro , es un objeto geométrico que se determina mediante la elección de una métrica riemanniana o pseudoriemanniana en una variedad . Puede considerarse, en términos generales, como una medida del grado en que la geometría de un tensor métrico dado difiere localmente de la del espacio euclidiano ordinario o del espacio pseudoeuclidiano .

El tensor de Ricci se puede caracterizar midiendo cómo se deforma una forma a medida que uno se mueve a lo largo de geodésicas en el espacio. En la relatividad general , que involucra el escenario pseudo-riemanniano, esto se refleja en la presencia del tensor de Ricci en la ecuación de Raychaudhuri . En parte por esta razón, las ecuaciones de campo de Einstein proponen que el espacio-tiempo puede describirse mediante una métrica pseudoriemanniana, con una relación sorprendentemente simple entre el tensor de Ricci y el contenido de materia del universo.

Al igual que el tensor métrico, el tensor de Ricci asigna a cada espacio tangente de la variedad una forma bilineal simétrica (Besse 1987, p. 43). ^[1] En términos generales, se podría hacer una analogía entre el papel de la curvatura de Ricci en la geometría de Riemann y el de la curvatura laplaciana en el análisis de funciones; en esta analogía, el tensor de curvatura de Riemann , del cual la curvatura de Ricci es un subproducto natural, correspondería a la matriz completa de segundas derivadas de una función. Sin embargo, hay otras formas de establecer la misma analogía.

En topología tridimensional , el tensor de Ricci contiene toda la información que en dimensiones superiores está codificada por el tensor de curvatura de Riemann, más complicado . En parte, esta simplicidad permite la aplicación de muchas herramientas geométricas y analíticas, lo que llevó a la solución de la conjetura de Poincaré a través del trabajo de Richard S. Hamilton y Grigori Perelman .

En geometría diferencial, los límites inferiores del tensor de Ricci en una variedad de Riemann permiten extraer información geométrica y topológica global por comparación (cf. teorema de comparación ) con la geometría de una forma espacial de curvatura constante . Esto se debe a que los límites inferiores del tensor de Ricci se pueden utilizar con éxito para estudiar la longitud funcional en la geometría de Riemann, como se demostró por primera vez en 1941 mediante el teorema de Myers .

Una fuente común del tensor de Ricci es que surge cada vez que se conmuta la derivada covariante con el tensor laplaciano. Esto, por ejemplo, explica su presencia en la fórmula de Bochner , que se utiliza de forma omnipresente en la geometría de Riemann. Por ejemplo, esta fórmula explica por qué las estimaciones de gradiente debidas a Shing-Tung Yau (y sus desarrollos, como las desigualdades de Cheng-Yau y Li-Yau) casi siempre dependen de un límite inferior para la curvatura de Ricci.

En 2007, John Lott , Karl-Theodor Sturm y Cedric Villani demostraron decisivamente que los límites inferiores de la curvatura de Ricci pueden entenderse enteramente en términos de la estructura espacial métrica de una variedad de Riemann, junto con su forma de volumen. ^[2] Esto estableció un vínculo profundo entre la curvatura de Ricci y la geometría de Wasserstein y el transporte óptimo , que actualmente es objeto de mucha investigación. ^{[ cita necesaria ]}

Definición

Supongamos que se trata de una variedad riemanniana o pseudo-riemanniana de dimensiones , equipada con su conexión Levi-Civita . La curvatura de Riemann es un mapa que toma campos vectoriales suaves , y , y devuelve el campo vectorial. ${\displaystyle \left(M,g\right)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Z}$

$${\displaystyle R(X,Y)Z:=\nabla _{X}\nabla _{Y}Z-\nabla _{Y}\nabla _{X}Z-\nabla _{[X,Y]}Z}$$

campos vectoriales ${\displaystyle X,Y,Z}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle p\in M}$

$${\displaystyle \operatorname {R} _{p}:T_{p}M\times T_{p}M\times T_{p}M\to T_{p}M.}$$

${\displaystyle p\in M}$ ${\displaystyle \operatorname {Ric} _{p}:T_{p}M\times T_{p}M\to \mathbb {R} }$

$${\displaystyle \operatorname {Ric} _{p}(Y,Z):=\operatorname {tr} {\big (}X\mapsto \operatorname {R} _{p}(X,Y)Z{\big )}.}$$

Es decir, habiendo fijado y , entonces para cualquier base ortonormal del espacio vectorial , se tiene ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{n}}$ ${\displaystyle T_{p}M}$

$${\displaystyle \operatorname {Ric} _{p}(Y,Z)=\sum _{i=1}\langle \operatorname {R} _{p}(v_{i},Y)Z,v_{i}\rangle .}$$

Es un ejercicio estándar de álgebra (multi)lineal verificar que esta definición no depende de la elección de la base . ${\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{n}}$

En notación de índice abstracta ,

$${\displaystyle \mathrm {Ric} _{ab}=\mathrm {R} ^{c}{}_{bca}=\mathrm {R} ^{c}{}_{acb}.}$$

Convenciones de signos. Tenga en cuenta que algunas fuentes definen como lo que aquí se llamaría y luego definirían como Aunque las convenciones de signos difieren en cuanto al tensor de Riemann, no difieren en cuanto al tensor de Ricci. ${\displaystyle R(X,Y)Z}$ ${\displaystyle -R(X,Y)Z;}$ ${\displaystyle \operatorname {Ric} _{p}}$ ${\displaystyle -\operatorname {tr} (X\mapsto \operatorname {R} _{p}(X,Y)Z).}$

Definición mediante coordenadas locales en una variedad suave

Sea una variedad riemanniana o pseudo-riemanniana suave . Dado un gráfico fluido , se tienen funciones y para cada una que satisfacen ${\displaystyle \left(M,g\right)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \left(U,\varphi \right)}$ ${\displaystyle g_{ij}:\varphi (U)\rightarrow \mathbb {R} }$ ${\displaystyle g^{ij}:\varphi (U)\rightarrow \mathbb {R} }$ ${\displaystyle i,j=1,\ldots ,n}$

$${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}g^{ik}(x)g_{kj}(x)=\delta _{j}^{i}={\begin{cases}1&i=j\\0&i\neq j\end{cases}}}$$

para todos . Esto último muestra que, expresado como matrices, . Las funciones se definen evaluando campos vectoriales de coordenadas, mientras que las funciones se definen de modo que, como función con valores de matriz, proporcionen una función inversa a la función con valores de matriz . ${\displaystyle x\in \varphi (U)}$ ${\displaystyle g^{ij}(x)=(g^{-1})_{ij}(x)}$ ${\displaystyle g_{ij}}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g^{ij}}$ ${\displaystyle x\mapsto g_{ij}(x)}$

Ahora defina, para cada , , , y entre 1 y , las funciones ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle n}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma _{ab}^{c}&:={\frac {1}{2}}\sum _{d=1}^{n}\left({\frac {\partial g_{bd}}{\partial x^{a}}}+{\frac {\partial g_{ad}}{\partial x^{b}}}-{\frac {\partial g_{ab}}{\partial x^{d}}}\right)g^{cd}\\R_{ij}&:=\sum _{a=1}^{n}{\frac {\partial \Gamma _{ij}^{a}}{\partial x^{a}}}-\sum _{a=1}^{n}{\frac {\partial \Gamma _{ai}^{a}}{\partial x^{j}}}+\sum _{a=1}^{n}\sum _{b=1}^{n}\left(\Gamma _{ab}^{a}\Gamma _{ij}^{b}-\Gamma _{ib}^{a}\Gamma _{aj}^{b}\right)\end{aligned}}}$$

como mapas . ${\displaystyle \varphi :U\rightarrow \mathbb {R} }$

Ahora sean y dos gráficos suaves con . Sean las funciones calculadas como arriba a través del gráfico y sean las funciones calculadas como arriba a través del gráfico . Entonces se puede comprobar mediante un cálculo con la regla de la cadena y la regla del producto que ${\displaystyle \left(U,\varphi \right)}$ ${\displaystyle \left(V,\psi \right)}$ ${\displaystyle U\cap V\neq \emptyset }$ ${\displaystyle R_{ij}:\varphi (U)\rightarrow \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \left(U,\varphi \right)}$ ${\displaystyle r_{ij}:\psi (V)\rightarrow \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \left(V,\psi \right)}$

$${\displaystyle R_{ij}(x)=\sum _{k,l=1}^{n}r_{kl}\left(\psi \circ \varphi ^{-1}(x)\right)D_{i}{\Big |}_{x}\left(\psi \circ \varphi ^{-1}\right)^{k}D_{j}{\Big |}_{x}\left(\psi \circ \varphi ^{-1}\right)^{l}.}$$

¿Dónde está la primera derivada en la dirección de ? Esto muestra que la siguiente definición no depende de la elección de . Para cualquiera , defina un mapa bilineal por ${\displaystyle D_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \left(U,\varphi \right)}$ ${\displaystyle p\in U}$ ${\displaystyle \operatorname {Ric} _{p}:T_{p}M\times T_{p}M\rightarrow \mathbb {R} }$

$${\displaystyle (X,Y)\in T_{p}M\times T_{p}M\mapsto \operatorname {Ric} _{p}(X,Y)=\sum _{i,j=1}^{n}R_{ij}(\varphi (x))X^{i}(p)Y^{j}(p),}$$

donde y son los componentes de los vectores tangentes en y en relación con los campos vectoriales de coordenadas de . ${\displaystyle X^{1},\ldots ,X^{n}}$ ${\displaystyle Y^{1},\ldots ,Y^{n}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \left(U,\varphi \right)}$

Es común abreviar la presentación formal anterior en el siguiente estilo:

Sea una variedad suave y sea g una métrica riemanniana o pseudoriemanniana. En coordenadas suaves locales, defina los símbolos de Christoffel. ${\displaystyle M}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma _{ij}^{k}&:={\frac {1}{2}}g^{kl}\left(\partial _{i}g_{jl}+\partial _{j}g_{il}-\partial _{l}g_{ij}\right)\\R_{jk}&:=\partial _{i}\Gamma _{jk}^{i}-\partial _{j}\Gamma _{ki}^{i}+\Gamma _{ip}^{i}\Gamma _{jk}^{p}-\Gamma _{jp}^{i}\Gamma _{ik}^{p}.\end{aligned}}}$$

Se puede comprobar directamente que

$${\displaystyle R_{jk}={\widetilde {R}}_{ab}{\frac {\partial {\widetilde {x}}^{a}}{\partial x^{j}}}{\frac {\partial {\widetilde {x}}^{b}}{\partial x^{k}}},}$$

de modo que defina un campo tensor (0,2) en . En particular, si y son campos vectoriales en , entonces en relación con cualquier coordenada suave que uno tenga ${\displaystyle R_{ij}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle M}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}R_{jk}X^{j}Y^{k}&=\left({\widetilde {R}}_{ab}{\frac {\partial {\widetilde {x}}^{a}}{\partial x^{j}}}{\frac {\partial {\widetilde {x}}^{b}}{\partial x^{k}}}\right)\left({\widetilde {X}}^{c}{\frac {\partial x^{j}}{\partial {\widetilde {x}}^{c}}}\right)\left({\widetilde {Y}}^{d}{\frac {\partial x^{k}}{\partial {\widetilde {x}}^{d}}}\right)\\&={\widetilde {R}}_{ab}{\widetilde {X}}^{c}{\widetilde {Y}}^{d}\left({\frac {\partial {\widetilde {x}}^{a}}{\partial x^{j}}}{\frac {\partial x^{j}}{\partial {\widetilde {x}}^{c}}}\right)\left({\frac {\partial {\widetilde {x}}^{b}}{\partial x^{k}}}{\frac {\partial x^{k}}{\partial {\widetilde {x}}^{d}}}\right)\\&={\widetilde {R}}_{ab}{\widetilde {X}}^{c}{\widetilde {Y}}^{d}\delta _{c}^{a}\delta _{d}^{b}\\&={\widetilde {R}}_{ab}{\widetilde {X}}^{a}{\widetilde {Y}}^{b}.\end{aligned}}}$$

La última línea incluye la demostración de que el mapa bilineal Ric está bien definido, lo cual es mucho más fácil de escribir con la notación informal.

Comparación de las definiciones

Las dos definiciones anteriores son idénticas. Las fórmulas que definen y en el enfoque de coordenadas tienen un paralelo exacto en las fórmulas que definen la conexión Levi-Civita y la curvatura de Riemann a través de la conexión Levi-Civita. Podría decirse que las definiciones que utilizan directamente coordenadas locales son preferibles, ya que la "propiedad crucial" del tensor de Riemann mencionada anteriormente requiere ser Hausdorff para mantenerse. Por el contrario, el enfoque de coordenadas locales sólo requiere un atlas fluido. También es algo más fácil conectar la filosofía de "invariancia" que subyace al enfoque local con los métodos de construcción de objetos geométricos más exóticos, como los campos de espinores . ${\displaystyle \Gamma _{ij}^{k}}$ ${\displaystyle R_{ij}}$ ${\displaystyle M}$

La complicada fórmula que se define en la sección introductoria es la misma que la de la siguiente sección. La única diferencia es que los términos se han agrupado de manera que sea fácil ver que ${\displaystyle R_{ij}}$ ${\displaystyle R_{ij}=R_{ji}.}$

Propiedades

Como puede verse en las simetrías del tensor de curvatura de Riemann, el tensor de Ricci de una variedad de Riemann es simétrico , en el sentido de que

$${\displaystyle \operatorname {Ric} (X,Y)=\operatorname {Ric} (Y,X)}$$

para todos ${\displaystyle X,Y\in T_{p}M.}$

Por tanto, de forma lineal-algebraica se deduce que el tensor de Ricci está completamente determinado conociendo la cantidad de todos los vectores de longitud unitaria. Esta función sobre el conjunto de vectores unitarios tangentes suele denominarse también curvatura de Ricci , ya que conocerla equivale a conocer el tensor de curvatura de Ricci. ${\displaystyle \operatorname {Ric} (X,X)}$ ${\displaystyle X}$

La curvatura de Ricci está determinada por las curvaturas seccionales de una variedad de Riemann, pero generalmente contiene menos información. De hecho, si es un vector de longitud unitaria en una variedad de Riemann, entonces es precisamente multiplicado por el valor promedio de la curvatura seccional, tomado en todos los 2 planos que contienen . Existe una familia dimensional de tales planos bidimensionales, por lo que sólo en las dimensiones 2 y 3 el tensor de Ricci determina el tensor de curvatura total. Una excepción notable es cuando la variedad se da a priori como una hipersuperficie del espacio euclidiano . La segunda forma fundamental , que determina la curvatura completa mediante la ecuación de Gauss-Codazzi , está determinada a su vez por el tensor de Ricci y las direcciones principales de la hipersuperficie son también las direcciones propias del tensor de Ricci. Por esta razón Ricci introdujo el tensor. ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \operatorname {Ric} (\xi ,\xi )}$ ${\displaystyle (n-1)}$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle (n-2)}$

Como puede verse en la segunda identidad de Bianchi, se tiene

$${\displaystyle \operatorname {div} \operatorname {Ric} ={\frac {1}{2}}dR,}$$

¿Dónde está la curvatura escalar , definida en coordenadas locales como? Esto a menudo se denomina segunda identidad de Bianchi contraída. ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle g^{ij}R_{ij}.}$

Significado geométrico directo

Cerca de cualquier punto de una variedad de Riemann , se pueden definir coordenadas locales preferidas, llamadas coordenadas normales geodésicas . Estos se adaptan a la métrica de manera que las geodésicas de paso corresponden a líneas rectas que pasan por el origen, de forma que la distancia geodésica de corresponde a la distancia euclidiana del origen. En estas coordenadas, el tensor métrico está bien aproximado por la métrica euclidiana, en el sentido preciso de que ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \left(M,g\right)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$

$${\displaystyle g_{ij}=\delta _{ij}+O\left(|x|^{2}\right).}$$

De hecho, al tomar la expansión de Taylor de la métrica aplicada a un campo de Jacobi a lo largo de una geodésica radial en el sistema de coordenadas normal, se tiene

$${\displaystyle g_{ij}=\delta _{ij}-{\frac {1}{3}}R_{ikjl}x^{k}x^{l}+O\left(|x|^{3}\right).}$$

En estas coordenadas, el elemento de volumen métrico tiene la siguiente expansión en p :

$${\displaystyle d\mu _{g}=\left[1-{\frac {1}{6}}R_{jk}x^{j}x^{k}+O\left(|x|^{3}\right)\right]d\mu _{\text{Euclidean}},}$$

lo que sigue expandiendo la raíz cuadrada del determinante de la métrica.

Por lo tanto, si la curvatura de Ricci es positiva en la dirección de un vector , la región cónica barrida por una familia estrechamente enfocada de segmentos geodésicos de longitud que emanan de , con velocidad inicial dentro de un pequeño cono aproximadamente , tendrá un volumen menor que el correspondiente. región cónica en el espacio euclidiano, al menos siempre que sea suficientemente pequeña. De manera similar, si la curvatura de Ricci es negativa en la dirección de un vector dado , dicha región cónica en la variedad tendrá en cambio un volumen mayor que el que tendría en el espacio euclidiano. ${\displaystyle \operatorname {Ric} (\xi ,\xi )}$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \xi }$

La curvatura de Ricci es esencialmente un promedio de curvaturas en los planos que incluyen . Así, si un cono emitido con una sección transversal inicialmente circular (o esférica) se distorsiona en una elipse ( elipsoide ), es posible que la distorsión del volumen desaparezca si las distorsiones a lo largo de los ejes principales se contrarrestan entre sí. La curvatura de Ricci desaparecería entonces . En aplicaciones físicas, la presencia de una curvatura seccional que no desaparece no indica necesariamente la presencia de ninguna masa localmente; Si una sección transversal inicialmente circular de un cono de líneas de mundo luego se vuelve elíptica, sin cambiar su volumen, entonces esto se debe a los efectos de marea de una masa en algún otro lugar. ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle \xi }$

Aplicaciones

La curvatura de Ricci juega un papel importante en la relatividad general , donde es el término clave en las ecuaciones de campo de Einstein .

La curvatura de Ricci también aparece en la ecuación de flujo de Ricci , introducida por primera vez por Richard S. Hamilton en 1982, donde ciertas familias de un parámetro de métricas de Riemann se seleccionan como soluciones de una ecuación diferencial parcial definida geométricamente. En coordenadas locales armónicas, el tensor de Ricci se puede expresar como (Chow y Knopf 2004, Lema 3.32). ^[3]

$${\displaystyle R_{ij}=-{\frac {1}{2}}\Delta \left(g_{ij}\right)+{\text{lower-order terms}},}$$

operador de Laplace-Beltramide flujo de Ricciecuación de calorde EinsteinGrigori Perelmanconjetura de geometrizaciónWilliam Thurston ${\displaystyle g_{ij}}$ ${\displaystyle \Delta }$

En una variedad Kähler , la curvatura de Ricci determina la primera clase Chern de la variedad (torsión mod). Sin embargo, la curvatura de Ricci no tiene una interpretación topológica análoga en una variedad riemanniana genérica.

Geometría global y topología.

Aquí hay una breve lista de resultados globales relacionados con variedades con curvatura de Ricci positiva; véanse también teoremas clásicos de la geometría de Riemann . Brevemente, la curvatura de Ricci positiva de una variedad de Riemann tiene fuertes consecuencias topológicas, mientras que (para la dimensión al menos 3), la curvatura de Ricci negativa no tiene implicaciones topológicas. (Se dice que la curvatura de Ricci es positiva si la función de curvatura de Ricci es positiva en el conjunto de vectores tangentes distintos de cero ). También se conocen algunos resultados para variedades pseudo-riemannianas. ${\displaystyle \operatorname {Ric} (\xi ,\xi )}$ ${\displaystyle \xi }$

1. El teorema de Myers (1941) establece que si la curvatura de Ricci está limitada desde abajo en una variedad n completa de Riemann por , entonces la variedad tiene un diámetro de . Por un argumento de espacio de cobertura, se deduce que cualquier variedad compacta de curvatura de Ricci positiva debe tener un grupo fundamental finito . Cheng (1975) demostró que, en este contexto, la igualdad en la desigualdad del diámetro se produce sólo si la variedad es isométrica a una esfera de curvatura constante . ${\displaystyle (n-1)k>0}$ ${\displaystyle \leq \pi /{\sqrt {k}}}$ ${\displaystyle k}$
2. La desigualdad de Bishop-Gromov establece que si una variedad de Riemann de dimensión completa tiene una curvatura de Ricci no negativa, entonces el volumen de una bola geodésica es menor o igual al volumen de una bola geodésica del mismo radio en el espacio euclidiano. Además, si denota el volumen de la bola con centro y radio en la variedad y denota el volumen de la bola de radio en el espacio euclidiano, entonces la función no es creciente. Esto se puede generalizar a cualquier límite inferior de la curvatura de Ricci (no sólo a la no negatividad) y es el punto clave en la demostración del teorema de compacidad de Gromov ). ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle v_{p}(R)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle V(R)=c_{n}R^{n}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle v_{p}(R)/V(R)}$
3. El teorema de división de Cheeger-Gromoll establece que si una variedad de Riemann completa contiene una línea , es decir, una geodésica tal que para todos , entonces es isométrica a un espacio producto . En consecuencia, una variedad completa de curvatura de Ricci positiva puede tener como máximo un extremo topológico. El teorema también es cierto bajo algunas hipótesis adicionales para variedades Lorentzianas completas (de firma métrica ) con tensor de Ricci no negativo (Galloway 2000). ${\displaystyle \left(M,g\right)}$ ${\displaystyle \operatorname {Ric} \geq 0}$ ${\displaystyle \gamma :\mathbb {R} \to M}$ ${\displaystyle d(\gamma (u),\gamma (v))=\left|u-v\right|}$ ${\displaystyle u,v\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} \times L}$ ${\displaystyle \left(+--\ldots \right)}$
4. El primer teorema de convergencia de Hamilton para el flujo de Ricci tiene, como corolario, que las únicas 3 variedades compactas que tienen métricas riemannianas de curvatura de Ricci positiva son los cocientes de las 3 esferas por subgrupos discretos de SO(4) que actúan adecuadamente de forma discontinua. Más tarde amplió esto para permitir la curvatura de Ricci no negativa. En particular, la única posibilidad simplemente conectada es la propia 3-esfera.

Estos resultados, particularmente los de Myers y Hamilton, muestran que la curvatura de Ricci positiva tiene fuertes consecuencias topológicas. Por el contrario, excluyendo el caso de las superficies, ahora se sabe que la curvatura de Ricci negativa no tiene implicaciones topológicas; Lohkamp (1994) ha demostrado que cualquier variedad de dimensión mayor que dos admite una métrica riemanniana completa de curvatura de Ricci negativa. En el caso de variedades bidimensionales, la negatividad de la curvatura de Ricci es sinónimo de negatividad de la curvatura gaussiana, lo que tiene implicaciones topológicas muy claras . Hay muy pocas variedades bidimensionales que no admitan métricas de Riemann de curvatura gaussiana negativa.

Comportamiento bajo reescalado conforme

Si la métrica se cambia multiplicándola por un factor conforme , el tensor de Ricci de la nueva métrica relacionada conformemente viene dado (Besse 1987, p. 59) por ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle e^{2f}}$ ${\displaystyle {\tilde {g}}=e^{2f}g}$

$${\displaystyle {\widetilde {\operatorname {Ric} }}=\operatorname {Ric} +(2-n)\left[\nabla df-df\otimes df\right]+\left[\Delta f-(n-2)\|df\|^{2}\right]g,}$$

¿Dónde está el Hodge Laplaciano (espectro positivo), es decir, lo opuesto a la traza habitual del Hessiano? ${\displaystyle \Delta =*d*d}$

En particular, dado un punto en una variedad de Riemann, siempre es posible encontrar métricas conformes a la métrica dada para la cual el tensor de Ricci desaparece en . Tenga en cuenta, sin embargo, que esto es sólo una afirmación puntual; Por lo general, es imposible hacer que la curvatura de Ricci desaparezca de manera idéntica en toda la variedad mediante un cambio de escala conforme. ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle p}$

Para variedades bidimensionales, la fórmula anterior muestra que si es una función armónica , entonces el escalamiento conforme no cambia el tensor de Ricci (aunque todavía cambia su traza con respecto a la métrica a menos que . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g\mapsto e^{2f}g}$ ${\displaystyle f=0}$

Tensor de Ricci sin rastro

En geometría riemanniana y geometría pseudoriemanniana , el tensor de Ricci sin trazas (también llamado tensor de Ricci sin trazas ) de una variedad riemanniana o pseudoriemanniana es el tensor definido por ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \left(M,g\right)}$

$${\displaystyle Z=\operatorname {Ric} -{\frac {1}{n}}Rg,}$$

donde y denotan la curvatura de Ricci y la curvatura escalar de . El nombre de este objeto refleja el hecho de que su rastro desaparece automáticamente: Sin embargo, es un tensor bastante importante ya que refleja una "descomposición ortogonal" del tensor de Ricci. ${\displaystyle \operatorname {Ric} }$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \operatorname {tr} _{g}Z\equiv g^{ab}Z_{ab}=0.}$

La descomposición ortogonal del tensor de Ricci.

La siguiente propiedad, no tan trivial, es

$${\displaystyle \operatorname {Ric} =Z+{\frac {1}{n}}Rg.}$$

Es menos obvio que los dos términos del lado derecho son ortogonales entre sí:

$${\displaystyle \left\langle Z,{\frac {1}{n}}Rg\right\rangle _{g}\equiv g^{ab}\left(R_{ab}-{\frac {1}{n}}Rg_{ab}\right)=0.}$$

Una identidad que está íntimamente relacionada con esto (pero que podría demostrarse directamente) es que

$${\displaystyle \left|\operatorname {Ric} \right|_{g}^{2}=|Z|_{g}^{2}+{\frac {1}{n}}R^{2}.}$$

El tensor de Ricci sin traza y las métricas de Einstein

Al tomar una divergencia y utilizar la identidad contraída de Bianchi, se ve que eso implica . Entonces, siempre que n ≥ 3 y sea conexo, la desaparición de implica que la curvatura escalar es constante. Entonces se puede ver que los siguientes son equivalentes: ${\displaystyle Z=0}$ ${\textstyle {\frac {1}{2}}dR-{\frac {1}{n}}dR=0}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle Z}$

• ${\displaystyle Z=0}$
• ${\displaystyle \operatorname {Ric} =\lambda g}$por algun numero ${\displaystyle \lambda }$
• ${\displaystyle \operatorname {Ric} ={\frac {1}{n}}Rg}$

En el entorno riemanniano, la descomposición ortogonal anterior muestra que también es equivalente a estas condiciones. En el contexto pseudo-riemmanniano, por el contrario, la condición no implica necesariamente, por lo que lo máximo que se puede decir es que estas condiciones implican ${\displaystyle R^{2}=n|\operatorname {Ric} |^{2}}$ ${\displaystyle |Z|_{g}^{2}=0}$ ${\displaystyle Z=0,}$ ${\displaystyle R^{2}=n\left|\operatorname {Ric} \right|_{g}^{2}.}$

En particular, la desaparición del tensor de Ricci sin trazas caracteriza las variedades de Einstein , tal como se definen por la condición de un número. En la relatividad general , esta ecuación establece que es una solución de las ecuaciones de campo de vacío de Einstein con constante cosmológica . ${\displaystyle \operatorname {Ric} =\lambda g}$ ${\displaystyle \lambda .}$ ${\displaystyle \left(M,g\right)}$

Colectores Kähler

En una variedad de Kähler , la curvatura de Ricci determina la forma de curvatura del haz de líneas canónicas (Moroianu 2007, Capítulo 12). El haz de líneas canónicas es la potencia exterior superior del haz de diferenciales holomorfos de Kähler : ${\displaystyle X}$

$${\displaystyle \kappa ={\textstyle \bigwedge }^{n}~\Omega _{X}.}$$

La conexión Levi-Civita correspondiente a la métrica on da lugar a una conexión on . La curvatura de esta conexión es la forma 2 definida por ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \kappa }$

$${\displaystyle \rho (X,Y)\;{\stackrel {\text{def}}{=}}\;\operatorname {Ric} (JX,Y)}$$

¿Dónde está el mapa de estructura compleja en el paquete tangente determinado por la estructura de la variedad de Kähler? La forma de Ricci es una forma cerrada de 2. Su clase de cohomología es, hasta un factor constante real, la primera clase de Chern del paquete canónico y, por lo tanto, es una invariante topológica de (para compacto ) en el sentido de que depende únicamente de la topología y de la clase de homotopía del complejo. estructura. ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Por el contrario, la forma de Ricci determina el tensor de Ricci por

$${\displaystyle \operatorname {Ric} (X,Y)=\rho (X,JY).}$$

En coordenadas holomorfas locales , la forma de Ricci viene dada por ${\displaystyle z^{\alpha }}$

$${\displaystyle \rho =-i\partial {\overline {\partial }}\log \det \left(g_{\alpha {\overline {\beta }}}\right)}$$

donde ∂ es el operador de Dolbeault y

$${\displaystyle g_{\alpha {\overline {\beta }}}=g\left({\frac {\partial }{\partial z^{\alpha }}},{\frac {\partial }{\partial {\overline {z}}^{\beta }}}\right).}$$

Si el tensor de Ricci desaparece, entonces el paquete canónico es plano, por lo que el grupo de estructura se puede reducir localmente a un subgrupo del grupo lineal especial . Sin embargo, las variedades de Kähler ya poseen holonomía en , por lo que la holonomía (restringida) de una variedad de Kähler plana de Ricci está contenida en . Por el contrario, si la holonomía (restringida) de una variedad de Riemann bidimensional está contenida en , entonces la variedad es una variedad de Ricci-plana de Kähler (Kobayashi y Nomizu 1996, IX, §4). ${\displaystyle SL(n;\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle U(n)}$ ${\displaystyle SU(n)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle SU(n)}$

Generalización a conexiones afines

El tensor de Ricci también puede generalizarse a conexiones afines arbitrarias , donde es un invariante que juega un papel especialmente importante en el estudio de la geometría proyectiva (geometría asociada a geodésicas no parametrizadas) (Nomizu & Sasaki 1994). Si denota una conexión afín, entonces el tensor de curvatura es el tensor (1,3) definido por ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle R}$

$${\displaystyle R(X,Y)Z=\nabla _{X}\nabla _{Y}Z-\nabla _{Y}\nabla _{X}Z-\nabla _{[X,Y]}Z}$$

para cualquier campo vectorial . El tensor de Ricci se define como la traza: ${\displaystyle X,Y,Z}$

$${\displaystyle \operatorname {ric} (X,Y)=\operatorname {tr} {\big (}Z\mapsto R(Z,X)Y{\big )}.}$$

En esta situación más general, el tensor de Ricci es simétrico si y sólo si existe localmente una forma de volumen paralelo para la conexión.

Curvatura de Ricci discreta

Se han definido nociones de curvatura de Ricci en variedades discretas en gráficos y redes, donde cuantifican las propiedades de divergencia local de los bordes. La curvatura de Ricci de Ollivier se define utilizando la teoría del transporte óptimo. ^[4] Una noción diferente (y anterior), la curvatura de Ricci de Forman, se basa en argumentos topológicos. ^[5]

Ver también

• Curvatura de variedades de Riemann
• Curvatura escalar
• cálculo de ricci
• Descomposición de Ricci
• Colector plano Ricci
• Símbolos de Christoffel
• Introducción a las matemáticas de la relatividad general.

Notas a pie de página

1. Aquí se supone que el colector lleva su conexión Levi-Civita única . Para una conexión afín general , el tensor de Ricci no necesita ser simétrico.
2. Lott, Juan; Villani, Cedric (23 de junio de 2006). "Curvatura de Ricci para espacios de medidas métricas mediante transporte óptimo". arXiv : matemáticas/0412127 .
3. Chow, Bennett (2004). El flujo de Ricci: una introducción. Dan Knopf. Providence, RI: Sociedad Estadounidense de Matemáticas. ISBN 0-8218-3515-7. OCLC  54692148.
4. Ollivier, Yann (1 de febrero de 2009). "Curvatura de Ricci de cadenas de Markov en espacios métricos". Revista de análisis funcional . 256 (3): 810–864. doi : 10.1016/j.jfa.2008.11.001 . ISSN  0022-1236. S2CID  14316364.
5. Forman (1 de febrero de 2003). "Método de Bochner para complejos celulares y curvatura combinatoria de Ricci". Geometría discreta y computacional . 29 (3): 323–374. doi : 10.1007/s00454-002-0743-x . ISSN  1432-0444. S2CID  9584267.

Referencias

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enlaces externos

• Z. Shen, C. Sormani "La topología de variedades abiertas con curvatura de Ricci no negativa" (un estudio)
• G. Wei, "Múltiples con un límite de curvatura de Ricci inferior" (un estudio)