Teoría clásica de campos

Teoría física que describe campos clásicos.

Una teoría de campo clásica es una teoría física que predice cómo uno o más campos en física interactúan con la materia a través de ecuaciones de campo , sin considerar los efectos de la cuantificación ; Las teorías que incorporan la mecánica cuántica se denominan teorías cuánticas de campos . En la mayoría de los contextos, la "teoría clásica de campos" pretende específicamente describir el electromagnetismo y la gravitación , dos de las fuerzas fundamentales de la naturaleza.

Se puede pensar en un campo físico como la asignación de una cantidad física en cada punto del espacio y el tiempo . Por ejemplo, en un pronóstico del tiempo, la velocidad del viento durante un día sobre un país se describe asignando un vector a cada punto en el espacio. Cada vector representa la dirección del movimiento del aire en ese punto, por lo que el conjunto de todos los vectores de viento en un área en un momento dado constituye un campo vectorial . A medida que avanza el día, las direcciones en las que apuntan los vectores cambian a medida que cambian las direcciones del viento.

Las primeras teorías de campo, la gravitación newtoniana y las ecuaciones de campos electromagnéticos de Maxwell se desarrollaron en la física clásica antes del advenimiento de la teoría de la relatividad en 1905, y tuvieron que revisarse para que fueran consistentes con esa teoría. En consecuencia, las teorías de campo clásicas suelen categorizarse como no relativistas y relativistas . Las teorías de campo modernas suelen expresarse utilizando las matemáticas del cálculo tensorial . Un formalismo matemático alternativo más reciente describe los campos clásicos como secciones de objetos matemáticos llamados haces de fibras .

Teorías de campo no relativistas

Algunos de los campos físicos más simples son los campos de fuerza vectoriales. Históricamente, la primera vez que se tomaron en serio los campos fue con las líneas de fuerza de Faraday al describir el campo eléctrico . Luego se describió de manera similar el campo gravitacional .

gravitación newtoniana

La primera teoría de campo de la gravedad fue la teoría de la gravitación de Newton en la que la interacción mutua entre dos masas obedece a una ley del cuadrado inverso . Esto resultó muy útil para predecir el movimiento de los planetas alrededor del Sol.

Cualquier cuerpo masivo M tiene un campo gravitacional g que describe su influencia sobre otros cuerpos masivos. El campo gravitacional de M en un punto r en el espacio se encuentra determinando la fuerza F que M ejerce sobre una pequeña masa de prueba m ubicada en r , y luego dividiéndola por m : ^[1]

$${\displaystyle \mathbf {g} (\mathbf {r} )={\frac {\mathbf {F} (\mathbf {r} )}{m}}.}$$

mMmM.

Según la ley de gravitación universal de Newton , F ( r ) viene dada por ^[1]

$${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} )=-{\frac {GMm}{r^{2}}}{\hat {\mathbf {r} }},}$$

vector unitarioMmG es la constante gravitacionalM^[1] ${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}}$

$${\displaystyle \mathbf {g} (\mathbf {r} )={\frac {\mathbf {F} (\mathbf {r} )}{m}}=-{\frac {GM}{r^{2}}}{\hat {\mathbf {r} }}.}$$

La observación experimental de que la masa inercial y la masa gravitacional son iguales con niveles de precisión sin precedentes conduce a la identificación de la intensidad del campo gravitacional como idéntica a la aceleración experimentada por una partícula. Éste es el punto de partida del principio de equivalencia , que conduce a la relatividad general .

Para un conjunto discreto de masas, M _i , ubicadas en puntos r _i , el campo gravitacional en un punto r debido a las masas es

$${\displaystyle \mathbf {g} (\mathbf {r} )=-G\sum _{i}{\frac {M_{i}(\mathbf {r} -\mathbf {r_{i}} )}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{i}|^{3}}}\,,}$$

Si en cambio tenemos una distribución de masa continua ρ , la suma se reemplaza por una integral,

$${\displaystyle \mathbf {g} (\mathbf {r} )=-G\iiint _{V}{\frac {\rho (\mathbf {x} )d^{3}\mathbf {x} (\mathbf {r} -\mathbf {x} )}{|\mathbf {r} -\mathbf {x} |^{3}}}\,,}$$

Tenga en cuenta que la dirección del campo apunta desde la posición r hasta la posición de las masas r _i ; esto está garantizado por el signo menos. En pocas palabras, esto significa que todas las masas se atraen.

En la forma integral, la ley de gravedad de Gauss es

$${\displaystyle \iint \mathbf {g} \cdot d\mathbf {S} =-4\pi GM}$$

$${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {g} =-4\pi G\rho _{m}}$$

Por lo tanto, el campo gravitacional g se puede escribir en términos del gradiente de un potencial gravitacional φ ( r ) :

$${\displaystyle \mathbf {g} (\mathbf {r} )=-\nabla \phi (\mathbf {r} ).}$$

Fconservadora

Electromagnetismo

Electrostática

Una partícula de prueba cargada con carga q experimenta una fuerza F basada únicamente en su carga. Podemos describir de manera similar el campo eléctrico E generado por la carga fuente Q de modo que F = q E :

$${\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} )={\frac {\mathbf {F} (\mathbf {r} )}{q}}.}$$

Usando esto y la ley de Coulomb, el campo eléctrico debido a una sola partícula cargada es

$${\displaystyle \mathbf {E} ={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Q}{r^{2}}}{\hat {\mathbf {r} }}\,.}$$

El campo eléctrico es conservativo y, por tanto, viene dado por el gradiente de un potencial escalar, V ( r ).

$${\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} )=-\nabla V(\mathbf {r} )\,.}$$

La ley de Gauss para la electricidad está en forma integral.

$${\displaystyle \iint \mathbf {E} \cdot d\mathbf {S} ={\frac {Q}{\varepsilon _{0}}}}$$

$${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho _{e}}{\varepsilon _{0}}}\,.}$$

Magnetostática

Una corriente constante I que fluye a lo largo de una trayectoria ℓ ejercerá una fuerza sobre las partículas cargadas cercanas que es cuantitativamente diferente de la fuerza del campo eléctrico descrita anteriormente. La fuerza ejercida por I sobre una carga cercana q con velocidad v es

$${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} )=q\mathbf {v} \times \mathbf {B} (\mathbf {r} ),}$$

Brcampo magnéticoIley de Biot-Savart

$${\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}I}{4\pi }}\int {\frac {d{\boldsymbol {\ell }}\times d{\hat {\mathbf {r} }}}{r^{2}}}.}$$

El campo magnético no es conservativo en general y, por tanto, normalmente no puede expresarse en términos de un potencial escalar. Sin embargo, se puede escribir en términos de un potencial vectorial , A ( r ):

$${\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} )=\nabla \times \mathbf {A} (\mathbf {r} )}$$

La ley de Gauss para el magnetismo en forma integral es

$${\displaystyle \iint \mathbf {B} \cdot d\mathbf {S} =0,}$$

$${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =0.}$$

La interpretación física es que no existen monopolos magnéticos .

Electrodinámica

En general, en presencia de una densidad de carga ρ ( r , t ) y una densidad de corriente J ( r , t ), habrá un campo eléctrico y uno magnético, y ambos variarán en el tiempo. Están determinados por las ecuaciones de Maxwell , un conjunto de ecuaciones diferenciales que relacionan directamente E y B con la densidad de carga eléctrica (carga por unidad de volumen) ρ y la densidad de corriente (corriente eléctrica por unidad de área ) J. ^[2]

Alternativamente, se puede describir el sistema en términos de sus potenciales escalares y vectoriales V y A. Un conjunto de ecuaciones integrales conocidas como potenciales retardados permiten calcular V y A a partir de ρ y J , ^{[nota 1]} y a partir de ahí se determinan los campos eléctrico y magnético mediante las relaciones ^[3]

$${\displaystyle \mathbf {E} =-\nabla V-{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}}$$

$${\displaystyle \mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A} .}$$

Mecánica de Medios Continuos

Dinámica de fluidos

La dinámica de fluidos tiene campos de presión, densidad y caudal que están conectados por leyes de conservación de la energía y el impulso. La ecuación de continuidad de masa es una ecuación de continuidad que representa la conservación de la masa.

$${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot (\rho \mathbf {u} )=0}$$

ecuaciones de Navier-Stokes

$${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}(\rho \mathbf {u} )+\nabla \cdot (\rho \mathbf {u} \otimes \mathbf {u} +p\mathbf {I} )=\nabla \cdot {\boldsymbol {\tau }}+\rho \mathbf {b} }$$

ρpel tensor de tensión desviatoria τb . campo de velocidad u

Otros ejemplos

En 1839, James MacCullagh presentó ecuaciones de campo para describir la reflexión y la refracción en "Un ensayo hacia una teoría dinámica de la reflexión y la refracción cristalinas". ^[4]

Teoría potencial

El término " teoría potencial " surge del hecho de que, en la física del siglo XIX, se creía que las fuerzas fundamentales de la naturaleza derivaban de potenciales escalares que satisfacían la ecuación de Laplace . Poisson abordó la cuestión de la estabilidad de las órbitas planetarias , que ya había sido resuelta por Lagrange en el primer grado de aproximación a partir de las fuerzas de perturbación, y derivó la ecuación de Poisson , que lleva su nombre. La forma general de esta ecuación es

$${\displaystyle \nabla ^{2}\phi =\sigma }$$

donde σ es una función fuente (como densidad, una cantidad por unidad de volumen) y ø el potencial escalar a resolver.

En la gravitación newtoniana; las masas son las fuentes del campo, de modo que las líneas de campo terminan en objetos que tienen masa. De manera similar, las cargas son las fuentes y los sumideros de los campos electrostáticos: las cargas positivas emanan líneas de campo eléctrico y las líneas de campo terminan en cargas negativas. Estos conceptos de campo también se ilustran en el teorema general de la divergencia , específicamente en las leyes de Gauss para la gravedad y la electricidad. Para los casos de gravedad y electromagnetismo independientes del tiempo, los campos son gradientes de potenciales correspondientes.

$${\displaystyle \mathbf {g} =-\nabla \phi _{g}\,,\quad \mathbf {E} =-\nabla \phi _{e}}$$

$${\displaystyle \nabla ^{2}\phi _{g}=4\pi G\rho _{g}\,,\quad \nabla ^{2}\phi _{e}=4\pi k_{e}\rho _{e}=-{\rho _{e} \over \varepsilon _{0}}}$$

donde ρ _g es la densidad de masa , ρ _e la densidad de carga , G la constante gravitacional y k _e = 1/4πε ₀ la constante de fuerza eléctrica.

Por cierto, esta similitud surge de la similitud entre la ley de gravitación de Newton y la ley de Coulomb .

En el caso de que no exista un término fuente (por ejemplo, vacío o cargas emparejadas), estos potenciales obedecen a la ecuación de Laplace :

$${\displaystyle \nabla ^{2}\phi =0.}$$

Para una distribución de masa (o carga), el potencial se puede expandir en una serie de armónicos esféricos , y el enésimo término de la serie se puede ver como un potencial que surge de los 2 ⁿ momentos (ver expansión multipolar ). Para muchos propósitos, en los cálculos sólo se necesitan los términos monopolar, dipolo y cuadrupolo.

Teoría de campo relativista

Las formulaciones modernas de las teorías de campos clásicas generalmente requieren la covarianza de Lorentz , ya que ahora se reconoce como un aspecto fundamental de la naturaleza. Una teoría de campo tiende a expresarse matemáticamente mediante el uso de lagrangianos . Esta es una función que, sometida a un principio de acción , da lugar a las ecuaciones de campo y a una ley de conservación de la teoría. La acción es un escalar de Lorentz, del cual se pueden derivar fácilmente las ecuaciones de campo y las simetrías.

En todo momento utilizamos unidades tales que la velocidad de la luz en el vacío es 1, es decir, c = 1. ^{[nota 2]}

dinámica lagrangiana

Dado un tensor de campo , un escalar llamado densidad lagrangiana ${\displaystyle \phi }$

$${\displaystyle {\mathcal {L}}(\phi ,\partial \phi ,\partial \partial \phi ,\ldots ,x)}$$

${\displaystyle \phi }$

$${\displaystyle {\mathcal {S}}=\int {{\mathcal {L}}{\sqrt {-g}}\,\mathrm {d} ^{4}x}.}$$

¿ Dónde está la forma del volumen en el espacio-tiempo curvo? ${\displaystyle {\sqrt {-g}}\,\mathrm {d} ^{4}x}$ ${\displaystyle (g\equiv \det(g_{\mu \nu }))}$

Por tanto, el Lagrangiano en sí es igual a la integral de la densidad Lagrangiana en todo el espacio.

Luego, aplicando el principio de acción , se obtienen las ecuaciones de Euler-Lagrange.

$${\displaystyle {\frac {\delta {\mathcal {S}}}{\delta \phi }}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \phi }}-\partial _{\mu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi )}}\right)+\cdots +(-1)^{m}\partial _{\mu _{1}}\partial _{\mu _{2}}\cdots \partial _{\mu _{m-1}}\partial _{\mu _{m}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu _{1}}\partial _{\mu _{2}}\cdots \partial _{\mu _{m-1}}\partial _{\mu _{m}}\phi )}}\right)=0.}$$

Campos relativistas

A continuación se describen dos de las teorías de campo clásicas covariantes de Lorentz más conocidas.

Electromagnetismo

Históricamente, las primeras teorías de campo (clásicas) fueron aquellas que describían los campos eléctrico y magnético (por separado). Después de numerosos experimentos, se descubrió que estos dos campos estaban relacionados, o, en realidad, dos aspectos de un mismo campo: el campo electromagnético . La teoría del electromagnetismo de Maxwell describe la interacción de la materia cargada con el campo electromagnético. La primera formulación de esta teoría de campos utilizó campos vectoriales para describir los campos eléctrico y magnético . Con la llegada de la relatividad especial, se encontró una formulación más completa utilizando campos tensoriales . En lugar de utilizar dos campos vectoriales que describen los campos eléctrico y magnético, se utiliza un campo tensor que representa estos dos campos juntos.

El cuatro potencial electromagnético se define como A _a = (− φ , A ) , y el electromagnético de cuatro corrientes j _a = (− ρ , j ) . El campo electromagnético en cualquier punto del espacio-tiempo se describe mediante el tensor de campo electromagnético de rango antisimétrico (0,2).

$${\displaystyle F_{ab}=\partial _{a}A_{b}-\partial _{b}A_{a}.}$$

El lagrangiano

Para obtener la dinámica de este campo, intentamos construir un escalar a partir del campo. En el vacío tenemos

$${\displaystyle {\mathcal {L}}=-{\frac {1}{4\mu _{0}}}F^{ab}F_{ab}\,.}$$

Podemos usar la teoría de campos calibre para obtener el término de interacción, y esto nos da

$${\displaystyle {\mathcal {L}}=-{\frac {1}{4\mu _{0}}}F^{ab}F_{ab}-j^{a}A_{a}\,.}$$

las ecuaciones

Para obtener las ecuaciones de campo, es necesario sustituir el tensor electromagnético en la densidad lagrangiana por su definición en términos del 4 potencial A , y es este potencial el que entra en las ecuaciones de Euler-Lagrange. El campo EM F no varía en las ecuaciones EL. Por lo tanto,

$${\displaystyle \partial _{b}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \left(\partial _{b}A_{a}\right)}}\right)={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial A_{a}}}\,.}$$

Evaluación de la derivada de la densidad lagrangiana con respecto a las componentes del campo.

$${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial A_{a}}}=\mu _{0}j^{a}\,,}$$

$${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{b}A_{a})}}=F^{ab}\,,}$$

las ecuaciones de Maxwell

$${\displaystyle \partial _{b}F^{ab}=\mu _{0}j^{a}\,.}$$

FAidentidad de Bianchi^[5]

$${\displaystyle 6F_{[ab,c]}\,=F_{ab,c}+F_{ca,b}+F_{bc,a}=0.}$$

donde la coma indica una derivada parcial .

Gravitación

Después de que se descubrió que la gravitación newtoniana era incompatible con la relatividad especial , Albert Einstein formuló una nueva teoría de la gravitación llamada relatividad general . Este trata la gravitación como un fenómeno geométrico (' espacio-tiempo curvo ') causado por masas y representa matemáticamente el campo gravitacional mediante un campo tensor llamado tensor métrico . Las ecuaciones de campo de Einstein describen cómo se produce esta curvatura. La gravitación newtoniana ahora es reemplazada por la teoría de la relatividad general de Einstein , en la que se piensa que la gravitación se debe a un espacio-tiempo curvo , causado por masas. Las ecuaciones de campo de Einstein,

$${\displaystyle G_{ab}=\kappa T_{ab}}$$

G _abtensor de Einstein

$${\displaystyle G_{ab}\,=R_{ab}-{\frac {1}{2}}Rg_{ab}}$$

tensor de Ricci R _abel escalar de Ricci R = R _ab g ^abT _abtensor de tensión-energíaκ = 8 πG / c ⁴ecuaciones de campo del vacío' ,

$${\displaystyle G_{ab}=0}$$

acción de Einstein-Hilbert

$${\displaystyle S=\int R{\sqrt {-g}}\,d^{4}x}$$

gdeterminantetensor métrico g ^absoluciones de vacíoArthur Eddington ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \kappa }$

Más ejemplos

Otros ejemplos de teorías de campo clásicas covariantes de Lorentz son

• Teoría de Klein-Gordon para campos escalares reales o complejos
• Teoría de Dirac para un campo de espinores de Dirac
• Teoría de Yang-Mills para un campo de calibre no abeliano

Intentos de unificación

Los intentos de crear una teoría de campo unificado basada en la física clásica son teorías de campo unificado clásicas. Durante los años entre las dos guerras mundiales, la idea de unificar la gravedad con el electromagnetismo fue perseguida activamente por varios matemáticos y físicos como Albert Einstein , Theodor Kaluza , ^[6] Hermann Weyl , ^[7] Arthur Eddington , ^[8] Gustav Mie ^{[ 9]} y Ernst Reichenbacher. ^[10]

Los primeros intentos de crear dicha teoría se basaron en la incorporación de campos electromagnéticos a la geometría de la relatividad general . En 1918, Hermann Weyl propuso la primera geometrización del campo electromagnético. ^{[11] En 1919,} Theodor Kaluza sugirió la idea de un enfoque de cinco dimensiones . ^[11] A partir de ahí, se desarrolló una teoría llamada Teoría de Kaluza-Klein . Intenta unificar la gravitación y el electromagnetismo , en un espacio-tiempo de cinco dimensiones . Hay varias formas de ampliar el marco de representación de una teoría de campo unificado que han sido consideradas por Einstein y otros investigadores. Estas extensiones en general se basan en dos opciones. ^[11] La primera opción se basa en relajar las condiciones impuestas a la formulación original, y la segunda se basa en introducir otros objetos matemáticos en la teoría. ^[11] Un ejemplo de la primera opción es relajar las restricciones al espacio-tiempo de cuatro dimensiones al considerar representaciones de dimensiones superiores. ^[11] Que se utiliza en la teoría de Kaluza-Klein . Para el segundo, el ejemplo más destacado surge del concepto de conexión afín que fue introducido en la teoría de la relatividad general principalmente a través del trabajo de Tullio Levi-Civita y Hermann Weyl . ^[11]

Un mayor desarrollo de la teoría cuántica de campos cambió el enfoque de la búsqueda de la teoría unificada de campos de la descripción clásica a la cuántica. Por eso, muchos físicos teóricos abandonaron la búsqueda de una teoría clásica del campo unificado. ^[11] La teoría cuántica de campos incluiría la unificación de otras dos fuerzas fundamentales de la naturaleza , la fuerza nuclear fuerte y débil que actúan a nivel subatómico. ^{[12] [13]}

Ver también

• Ecuaciones de ondas relativistas
• Teoría cuántica de campos
• Teorías clásicas del campo unificado
• Métodos variacionales en relatividad general.
• Campo de Higgs (clásico)
• Lagrangiano (teoría de campos)
• Teoría de campos hamiltonianos
• Teoría de campos hamiltonianos covariantes

Notas

1. Esto depende de la elección correcta del calibre . φ y A no están determinados únicamente por ρ y J ; más bien, solo se determinan hasta alguna función escalar f ( r , t ) conocida como calibre. El formalismo potencial retardado requiere elegir el calibre de Lorenz .
2. Esto equivale a elegir unidades de distancia y tiempo como segundos luz y segundos o años luz y años. Elegir c = 1 nos permite simplificar las ecuaciones. Por ejemplo, E = mc ² se reduce a E = m (ya que c ² = 1, sin llevar la cuenta de las unidades). Esto reduce la complejidad de las expresiones mientras se mantiene el enfoque en los principios subyacentes. Este "truco" debe tenerse en cuenta al realizar cálculos numéricos reales.

Referencias

Citas

1. Kleppner, David; Kolenkow, Robert. Introducción a la mecánica . pag. 85.
2. Griffiths, David. Introducción a la electrodinámica (3ª ed.). pag. 326.
3. Wangness, Roald. Campos electromagnéticos (2ª ed.). pag. 469.
4. James MacCullagh (1839) Un ensayo hacia una teoría dinámica de la reflexión y refracción cristalinas, Transactions, Royal Irish Academy 21
5. "Identidades Bianchi".
6. Kaluza, Theodor (1921). "Zum Unitätsproblem in der Physik". Sitzungsber. Preuss. Akád. Wiss. Berlina. (Matemáticas y Física) : 966–972. Código bibliográfico : 1921SPAW.......966K.
7. Weyl, H. (1918). "Gravitación y electricidad". Sentarse. Preuss. Akád. Wiss. : 465.
8. Eddington, AS (1924). La teoría matemática de la relatividad, 2ª ed . Universidad de Cambridge. Prensa.
9. Mie, G. (1912). "Grundlagen una teoría de la materia". Ana. Física . 37 (3): 511–534. Código bibliográfico : 1912AnP...342..511M. doi : 10.1002/andp.19123420306.
10. Reichenbächer, E. (1917). "Grundzüge zu einer Theorie der Elektrizität und der Gravitation". Ana. Física . 52 (2): 134-173. Código bibliográfico : 1917AnP...357..134R. doi : 10.1002/andp.19173570203.
11. Sauer, Tilman (mayo de 2014), "Programa de teoría de campos unificados de Einstein", en Janssen, Michel; Lehner, Christoph (eds.), El compañero de Cambridge de Einstein , Cambridge University Press, ISBN 9781139024525
12. Gadzirayi Nyambuya, Dorado (octubre de 2007). "Teoría del campo unificado - Documento I, Fuerza gravitacional, electromagnética, débil y fuerte" (PDF) . Apeiron . 14 (4): 321 . Consultado el 30 de diciembre de 2017 .
13. De Boer, W. (1994). "Grandes teorías unificadas y supersimetría en física de partículas y cosmología" (PDF) . Progresos en Física de Partículas y Nuclear . 33 : 201–301. arXiv : hep-ph/9402266 . Código Bib : 1994PrPNP..33..201D. doi :10.1016/0146-6410(94)90045-0. S2CID  119353300 . Consultado el 30 de diciembre de 2017 .

Fuentes

• Truesdell, C .; Toupin, RA (1960). "Las teorías clásicas de campo". En Flügge, Siegfried (ed.). Principios de la mecánica clásica y teoría de campos/Prinzipien der Klassischen Mechanik und Feldtheorie . Handbuch der Physik (Enciclopedia de Física). vol. III/1. Berlín – Heidelberg – Nueva York: Springer-Verlag. págs. 226–793. Zbl  0118.39702.

enlaces externos

• Thidé, Bo . "Teoría del campo electromagnético" (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 17 de septiembre de 2003 . Consultado el 14 de febrero de 2006 .
• Carroll, Sean M. (1997). "Apuntes de conferencias sobre la relatividad general". arXiv : gr-qc/9712019 . Código Bib : 1997gr.qc....12019C. {{cite journal}}: Citar diario requiere |journal=( ayuda )
• Binney, James J. "Notas de conferencias sobre campos clásicos" (PDF) . Consultado el 30 de abril de 2007 .
• Sardanashvily, G. (noviembre de 2008). "Teoría de campos clásica avanzada". Revista internacional de métodos geométricos en física moderna . 5 (7): 1163–1189. arXiv : 0811.0331 . Código Bib : 2008IJGMM..05.1163S. doi :10.1142/S0219887808003247. ISBN 978-981-283-895-7. S2CID  13884729.