Ley de gravitación universal de Newton

Declaración clásica de la gravedad como fuerza.

La ley de gravitación universal de Newton dice que cada partícula atrae a todas las demás partículas del universo con una fuerza que es proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre sus centros. Los objetos separados se atraen y son atraídos como si toda su masa estuviera concentrada en sus centros . La publicación de la ley se conoce como la " primera gran unificación ", ya que supuso la unificación de los fenómenos de gravedad en la Tierra descritos anteriormente con comportamientos astronómicos conocidos. ^{[1] [2] [3]}

Esta es una ley física general derivada de observaciones empíricas mediante lo que Isaac Newton llamó razonamiento inductivo . ^[4] Es parte de la mecánica clásica y fue formulado en la obra de Newton Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica ("los Principia "), publicada por primera vez el 5 de julio de 1687.

Por tanto, la ecuación de la gravitación universal toma la forma:

${\displaystyle F=G{\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}},}$

donde F es la fuerza gravitacional que actúa entre dos objetos, m ₁ y m ₂ son las masas de los objetos, r es la distancia entre los centros de sus masas y G es la constante gravitacional .

La primera prueba de la ley de gravitación entre masas de Newton en el laboratorio fue el experimento Cavendish realizado por el científico británico Henry Cavendish en 1798. ^[5] Tuvo lugar 111 años después de la publicación de los Principia de Newton y aproximadamente 71 años después de su muerte.

La ley de gravitación de Newton se parece a la ley de fuerzas eléctricas de Coulomb , que se utiliza para calcular la magnitud de la fuerza eléctrica que surge entre dos cuerpos cargados. Ambas son leyes del inverso del cuadrado , donde la fuerza es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre los cuerpos. La ley de Coulomb tiene carga en lugar de masa y una constante diferente.

La ley de Newton fue posteriormente reemplazada por la teoría de la relatividad general de Albert Einstein , pero la universalidad de la constante gravitacional está intacta y la ley aún continúa utilizándose como una excelente aproximación de los efectos de la gravedad en la mayoría de las aplicaciones. La relatividad sólo es necesaria cuando se necesita una precisión extrema, o cuando se trata de campos gravitacionales muy fuertes, como los que se encuentran cerca de objetos extremadamente masivos y densos, o a distancias pequeñas (como la órbita de Mercurio alrededor del Sol).

Historia

Hacia 1600, el método científico comenzó a arraigar. René Descartes comenzó de nuevo con una visión más fundamental, desarrollando ideas sobre la materia y la acción independientemente de la teología. Galileo Galilei escribió sobre mediciones experimentales de objetos que caen y ruedan. Las leyes del movimiento planetario de Johannes Kepler resumieron las observaciones astronómicas de Tycho Brahe . ^{[6] : 132}

Alrededor de 1666 Isaac Newton desarrolló la idea de que las leyes de Kepler también debían aplicarse a la órbita de la Luna alrededor de la Tierra y luego a todos los objetos de la Tierra. El análisis requirió asumir que la fuerza de gravitación actuaba como si toda la masa de la Tierra estuviera concentrada en su centro, una conjetura no probada en ese momento. Sus cálculos del tiempo de órbita de la Luna estaban dentro del 16% del valor conocido. En 1680, nuevos valores para el diámetro de la Tierra mejoraron su tiempo de órbita hasta un 1,6%, pero lo más importante es que Newton había encontrado una prueba de su conjetura anterior. ^{[7] : 201}

En 1687, Newton publicó sus Principia , que combinaban sus leyes del movimiento con nuevos análisis matemáticos para explicar los resultados empíricos de Kepler. ^{[6] : 134} Su explicación fue en forma de una ley de gravitación universal: dos cuerpos cualesquiera son atraídos por una fuerza proporcional a su masa e inversamente proporcional a su separación al cuadrado. ^{[8] : 28} La fórmula original de Newton era:

${\displaystyle {\rm {Force\,of\,gravity}}\propto {\frac {\rm {mass\,of\,object\,1\,\times \,mass\,of\,object\,2}}{\rm {distance\,from\,centers^{2}}}}}$

donde el símbolo significa "es proporcional a". Para convertir esto en una fórmula o ecuación de lados iguales, era necesario que hubiera un factor o constante multiplicador que diera la fuerza de gravedad correcta sin importar el valor de las masas o la distancia entre ellas (la constante gravitacional). Newton necesitaría una medida precisa de esta constante para demostrar su ley del cuadrado inverso. (Cuando Newton presentó el Libro 1 del texto inédito en abril de 1686 a la Royal Society , Robert Hooke afirmó que Newton había obtenido de él la ley del cuadrado inverso, en última instancia una acusación frívola ^{[7] : 204} ) ${\displaystyle \propto }$

Las "causas hasta ahora desconocidas" de Newton

Si bien Newton pudo formular su ley de gravedad en su monumental obra, se sentía profundamente incómodo con la noción de "acción a distancia" que implicaban sus ecuaciones. En 1692, en su tercera carta a Bentley, escribió: "Que un cuerpo pueda actuar sobre otro a distancia a través de un vacío sin la mediación de ninguna otra cosa, mediante la cual su acción y fuerza puedan transmitirse entre sí, es "Para mí es un absurdo tan grande que, creo, ningún hombre que tenga en asuntos filosóficos una facultad competente de pensar podría jamás caer en él".

Nunca, según sus palabras, "asignó la causa de este poder". En todos los demás casos utilizó el fenómeno del movimiento para explicar el origen de diversas fuerzas que actúan sobre los cuerpos, pero en el caso de la gravedad no pudo identificar experimentalmente el movimiento que produce la fuerza de la gravedad (aunque inventó dos hipótesis mecánicas). en 1675 y 1717). Además, se negó incluso a ofrecer una hipótesis sobre la causa de esta fuerza, alegando que hacerlo era contrario a la ciencia sólida. Lamentó que "hasta ahora los filósofos hayan intentado en vano buscar en la naturaleza" la fuente de la fuerza gravitacional, ya que estaba convencido "por muchas razones" de que había "causas hasta ahora desconocidas" que eran fundamentales para todos los "fenómenos de la naturaleza". ". Estos fenómenos fundamentales todavía están bajo investigación y, aunque abundan las hipótesis, aún no se ha encontrado la respuesta definitiva. Y en el Escolio General de Newton de 1713 en la segunda edición de los Principia : "Todavía no he podido descubrir la causa de estas propiedades de la gravedad a partir de los fenómenos y no finjo ninguna hipótesis ... Basta con que la gravedad exista realmente y actúe". según las leyes que he explicado, y que sirve abundantemente para explicar todos los movimientos de los cuerpos celestes." ^[9]

forma moderna

En lenguaje moderno, la ley establece lo siguiente:

Gráfico de error que muestra valores experimentales para G.

Suponiendo unidades SI , F se mide en newtons (N), m ₁ y m ₂ en kilogramos (kg), r en metros (m) y la constante G es6.674 30 (15) × 10 ⁻¹¹  m ³ ⋅kg ⁻¹ ⋅s ⁻² . ^[11] El valor de la constante G se determinó por primera vez con precisión a partir de los resultados del experimento Cavendish realizado por el científico británico Henry Cavendish en 1798, aunque Cavendish no calculó él mismo un valor numérico para G. ^[5] Este experimento fue también la primera prueba de la teoría de la gravitación entre masas de Newton en el laboratorio. Tuvo lugar 111 años después de la publicación de los Principia de Newton y 71 años después de su muerte, por lo que ninguno de los cálculos de Newton pudo utilizar el valor de G ; en cambio, sólo podía calcular una fuerza relativa a otra fuerza.

Cuerpos con extensión espacial.

Intensidad del campo gravitacional dentro de la Tierra.

Campo de gravedad cerca de la superficie de la Tierra: se muestra un objeto acelerando hacia la superficie

Si los cuerpos en cuestión tienen extensión espacial (en lugar de ser masas puntuales), entonces la fuerza gravitacional entre ellos se calcula sumando las contribuciones de las masas puntuales teóricas que constituyen los cuerpos. En el límite, a medida que las masas puntuales componentes se vuelven "infinitamente pequeñas", esto implica integrar la fuerza (en forma vectorial, ver más abajo) sobre las extensiones de los dos cuerpos .

De esta manera, se puede demostrar que un objeto con una distribución de masa esféricamente simétrica ejerce la misma atracción gravitacional sobre los cuerpos externos como si toda la masa del objeto estuviera concentrada en un punto de su centro. ^[10] (Esto generalmente no es cierto para cuerpos no esféricamente simétricos).

Para puntos dentro de una distribución de materia esféricamente simétrica, el teorema de la capa de Newton se puede utilizar para encontrar la fuerza gravitacional. El teorema nos dice cómo las diferentes partes de la distribución de masa afectan la fuerza gravitacional medida en un punto ubicado a una distancia r ₀ del centro de la distribución de masa: ^[12]

• La porción de la masa que está ubicada en radios r < r ₀ causa la misma fuerza en el radio r ₀ como si toda la masa encerrada dentro de una esfera de radio r ₀ estuviera concentrada en el centro de la distribución de masa (como se señaló anteriormente ).
• La porción de la masa que está ubicada en radios r > r ₀ no ejerce fuerza gravitacional neta en el radio r ₀ desde el centro. Es decir, las fuerzas gravitacionales individuales ejercidas sobre un punto en el radio r ₀ por los elementos de la masa fuera del radio r ₀ se cancelan entre sí.

Como consecuencia, por ejemplo, dentro de una capa de espesor y densidad uniformes no hay aceleración gravitacional neta en ninguna parte dentro de la esfera hueca.

forma vectorial

Campo de gravedad que rodea la Tierra desde una perspectiva macroscópica.

La ley de gravitación universal de Newton se puede escribir como una ecuación vectorial para tener en cuenta la dirección de la fuerza gravitacional y su magnitud. En esta fórmula, las cantidades en negrita representan vectores.

$${\displaystyle \mathbf {F} _{21}=-G{m_{1}m_{2} \over {|\mathbf {r} _{21}|}^{2}}{\hat {\mathbf {r} }}_{21}=-G{m_{1}m_{2} \over {|\mathbf {r} _{21}|}^{3}}\mathbf {r} _{21}}$$

• F ₂₁ es la fuerza aplicada sobre el cuerpo 2 ejercida por el cuerpo 1,
• G es la constante gravitacional ,
• m ₁ y m ₂ son respectivamente las masas de los cuerpos 1 y 2,
• r ₂₁ = r ₂ − r ₁ es el vector de desplazamiento entre los cuerpos 1 y 2, y
• ${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}_{21}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {\mathbf {r_{2}-r_{1}} }{|\mathbf {r_{2}-r_{1}} |}}}$es el vector unitario del cuerpo 1 al cuerpo 2. ^[13]

Se puede ver que la forma vectorial de la ecuación es la misma que la forma escalar dada anteriormente, excepto que F ahora es una cantidad vectorial y el lado derecho se multiplica por el vector unitario apropiado. Además, se puede observar que F ₁₂ = − F ₂₁ .

campo de gravedad

El campo gravitacional es un campo vectorial que describe la fuerza gravitacional que se aplicaría sobre un objeto en cualquier punto dado del espacio, por unidad de masa. En realidad, es igual a la aceleración gravitacional en ese punto.

Es una generalización de la forma vectorial, que resulta particularmente útil si están involucrados más de dos objetos (como un cohete entre la Tierra y la Luna). Para dos objetos (por ejemplo, el objeto 2 es un cohete, el objeto 1 la Tierra), simplemente escribimos r en lugar de r ₁₂ y m en lugar de m ₂ y definimos el campo gravitacional g ( r ) como:

${\displaystyle \mathbf {g} (\mathbf {r} )=-G{m_{1} \over {{\vert \mathbf {r} \vert }^{2}}}\,\mathbf {\hat {r}} }$

para que podamos escribir:

${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} )=m\mathbf {g} (\mathbf {r} ).}$

Esta formulación depende de los objetos que causan el campo. El campo tiene unidades de aceleración; en SI , esto es m/s ² .

Los campos gravitacionales también son conservadores ; es decir, el trabajo realizado por la gravedad de una posición a otra es independiente de la trayectoria. Esto tiene la consecuencia de que existe un campo potencial gravitacional V ( r ) tal que

${\displaystyle \mathbf {g} (\mathbf {r} )=-\nabla V(\mathbf {r} ).}$

Si m ₁ es una masa puntual o la masa de una esfera con distribución de masa homogénea, el campo de fuerza g ( r ) fuera de la esfera es isotrópico, es decir, depende sólo de la distancia r al centro de la esfera. En ese caso

${\displaystyle V(r)=-G{\frac {m_{1}}{r}}.}$

el campo gravitacional está dentro, fuera y dentro de masas simétricas.

Según la ley de Gauss , el campo en un cuerpo simétrico se puede encontrar mediante la ecuación matemática:

${\displaystyle \partial V}$ ${\displaystyle \mathbf {g(r)} \cdot d\mathbf {A} =-4\pi GM_{\text{enc}},}$

donde es una superficie cerrada y es la masa encerrada por la superficie. ${\displaystyle \partial V}$ ${\displaystyle M_{\text{enc}}}$

Por tanto, para una esfera hueca de radio y masa total , ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle |\mathbf {g(r)} |={\begin{cases}0,&{\text{if }}r<R\\\\{\dfrac {GM}{r^{2}}},&{\text{if }}r\geq R\end{cases}}}$

Para una esfera sólida uniforme de radio y masa total , ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle |\mathbf {g(r)} |={\begin{cases}{\dfrac {GMr}{R^{3}}},&{\text{if }}r<R\\\\{\dfrac {GM}{r^{2}}},&{\text{if }}r\geq R\end{cases}}}$

Limitaciones

La descripción de Newton de la gravedad es suficientemente precisa para muchos propósitos prácticos y, por tanto, se utiliza ampliamente. Las desviaciones de él son pequeñas cuando las cantidades adimensionales y ambas son mucho menores que uno, donde es el potencial gravitacional , es la velocidad de los objetos que se estudian y es la velocidad de la luz en el vacío. ^[14] Por ejemplo, la gravedad newtoniana proporciona una descripción precisa del sistema Tierra/Sol, ya que ${\displaystyle \phi /c^{2}}$ ${\displaystyle (v/c)^{2}}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle c}$

${\displaystyle {\frac {\phi }{c^{2}}}={\frac {GM_{\mathrm {sun} }}{r_{\mathrm {orbit} }c^{2}}}\sim 10^{-8},\quad \left({\frac {v_{\mathrm {Earth} }}{c}}\right)^{2}=\left({\frac {2\pi r_{\mathrm {orbit} }}{(1\ \mathrm {yr} )c}}\right)^{2}\sim 10^{-8},}$

¿Dónde está el radio de la órbita de la Tierra alrededor del Sol? ${\displaystyle r_{\text{orbit}}}$

En situaciones en las que cualquiera de los parámetros adimensionales es grande, se debe utilizar la relatividad general para describir el sistema. La relatividad general se reduce a la gravedad newtoniana en el límite de potencial pequeño y velocidades bajas, por lo que a menudo se dice que la ley de gravitación de Newton es el límite de baja gravedad de la relatividad general.

Observaciones que entran en conflicto con la fórmula de Newton

• La teoría de Newton no explica del todo la precesión del perihelio de las órbitas de los planetas, especialmente la de Mercurio, que fue detectada mucho después de la vida de Newton. ^[15] Hay una discrepancia de 43 segundos de arco por siglo entre el cálculo newtoniano, que surge únicamente de las atracciones gravitacionales de los otros planetas, y la precesión observada, realizada con telescopios avanzados durante el siglo XIX.
• La desviación angular prevista de los rayos de luz por la gravedad (tratada como partículas que viajan a la velocidad esperada) que se calcula utilizando la teoría de Newton es sólo la mitad de la desviación observada por los astrónomos. ^{[ cita necesaria ]} Los cálculos que utilizan la relatividad general concuerdan mucho más con las observaciones astronómicas.
• En las galaxias espirales, la órbita de las estrellas alrededor de sus centros parece desobedecer fuertemente tanto la ley de gravitación universal de Newton como la relatividad general. Los astrofísicos, sin embargo, explican este marcado fenómeno suponiendo la presencia de grandes cantidades de materia oscura .

La solución de Einstein

Los dos primeros conflictos con las observaciones anteriores fueron explicados por la teoría de la relatividad general de Einstein , en la que la gravitación es una manifestación del espacio-tiempo curvo en lugar de deberse a una fuerza propagada entre cuerpos. En la teoría de Einstein, la energía y el impulso distorsionan el espacio-tiempo en sus proximidades y otras partículas se mueven en trayectorias determinadas por la geometría del espacio-tiempo. Esto permitió una descripción de los movimientos de la luz y la masa que era consistente con todas las observaciones disponibles. En la relatividad general, la fuerza gravitacional es una fuerza ficticia resultante de la curvatura del espaciotiempo , debido a que la aceleración gravitacional de un cuerpo en caída libre se debe a que su línea universal es una geodésica del espaciotiempo .

Extensiones

En los últimos años, la búsqueda de términos cuadrados no inversos en la ley de la gravedad se ha llevado a cabo mediante interferometría de neutrones . ^[dieciséis]

Soluciones de la ley de gravitación universal de Newton.

El problema de los n cuerpos es un problema antiguo y clásico ^[17] de predicción de los movimientos individuales de un grupo de objetos celestes que interactúan gravitacionalmente entre sí . La solución de este problema (desde la época de los griegos en adelante) ha estado motivada por el deseo de comprender los movimientos del Sol , los planetas y las estrellas visibles . En el siglo XX, comprender la dinámica de los sistemas estelares de cúmulos globulares también se convirtió en un importante problema de n cuerpos. El problema de los n cuerpos en la relatividad general es considerablemente más difícil de resolver.

El problema físico clásico puede plantearse informalmente como: dadas las propiedades orbitales casi estables ( posición instantánea, velocidad y tiempo ) ^[18] de un grupo de cuerpos celestes, predecir sus fuerzas interactivas; y en consecuencia, predecir sus verdaderos movimientos orbitales para todos los tiempos futuros . ^[19]

El problema de los dos cuerpos está completamente resuelto, al igual que el problema restringido de los tres cuerpos . ^[20]

Ver también

• Portal de física

• La paradoja de Bentley  : paradoja cosmológica que involucra la gravedad
• Ley de gravedad de Gauss  : reformulación de la ley de gravitación universal de Newton
• Marcos de Jordan y Einstein  : diferentes convenciones para el tensor métrico, en una teoría de un dilatón acoplado a la gravedadPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Órbita de Kepler  : órbita celeste cuya trayectoria es una sección cónica en el plano orbital.
• La bala de cañón de Newton  : experimento mental sobre la gravedad
• Leyes del movimiento de Newton  : leyes de la física sobre la fuerza y ​​el movimiento
• Gravedad social  - Teoría social
• Fuerzas estáticas e intercambio de partículas virtuales  : interacción física en la física posclásica

Notas

Referencias

1. Fritz Rohrlich (25 de agosto de 1989). De la paradoja a la realidad: nuestros conceptos básicos del mundo físico. Prensa de la Universidad de Cambridge. págs.28–. ISBN 978-0-521-37605-1.
2. Klaus Mainzer (2 de diciembre de 2013). Simetrías de la naturaleza: un manual de filosofía de la naturaleza y la ciencia. Walter de Gruyter. págs.8–. ISBN 978-3-11-088693-1.
3. "Física: fuerzas fundamentales y síntesis de la teoría | Encyclopedia.com". www.enciclopedia.com .
4. Isaac Newton: "En filosofía [experimental], las proposiciones particulares se infieren a partir de los fenómenos y luego se generalizan por inducción": " Principia ", Libro 3, General Scholium, en p.392 del Volumen 2 de la traducción al inglés de Andrew Motte publicada en 1729.
5. El experimento Michell-Cavendish, Laurent Hodges
6. Hesse, María B. (2005). Fuerzas y campos: el concepto de acción a distancia en la historia de la física (Dover ed.). Mineola, Nueva York: Publicaciones de Dover. ISBN 978-0-486-44240-2.
7. Pluma, Norman (1959). Introducción a la física de la longitud y el tiempo de la masa . Prensa de la Universidad de Edimburgo.
8. Whittaker, Edmund T. (1989). Una historia de las teorías del éter y la electricidad. 1: Las teorías clásicas (Repr ed.). Nueva York: Dover Publ. ISBN 978-0-486-26126-3.
9. La construcción de la ciencia moderna: mecanismos y mecánica , por Richard S. Westfall. Prensa de la Universidad de Cambridge. 1978
10. Proposición 75, Teorema 35: p. 956 – I.Bernard Cohen y Anne Whitman, traductores: Isaac Newton , Los Principia : Principios matemáticos de la filosofía natural . Precedido por Una guía para los Principia de Newton , de I. Bernard Cohen. Prensa de la Universidad de California 1999 ISBN 0-520-08816-6 ISBN 0-520-08817-4   
11. "Valor CODATA 2018: constante de gravitación newtoniana". La referencia del NIST sobre constantes, unidades e incertidumbre . NIST . 20 de mayo de 2019 . Consultado el 20 de mayo de 2019 .
12. "Aplanamiento rotacional". farside.ph.utexas.edu .
13. La diferencia de vectores r ₂ − r ₁ apunta del objeto 1 al objeto 2. Consulte la figura 11-6. de The Feynman Lectures on Physics, Volumen I, ecuación (9.19) de The Feynman Lectures on Physics, Volumen I y vector euclidiano#Suma y resta
14. Misner, Charles W .; Thorne, Kip S .; Wheeler, John Archibald (1973). Gravitación . Nueva York: WHFreeman and Company. ISBN 978-0-7167-0344-0.Página 1049.
15. Max Born (1924), Teoría de la relatividad de Einstein (La edición de Dover de 1962, página 348 enumera una tabla que documenta los valores observados y calculados para la precesión del perihelio de Mercurio, Venus y la Tierra).
16. Greene, Geoffrey L.; Gudkov, Vladimir (2007). "Método interferométrico de neutrones para proporcionar restricciones mejoradas a la gravedad no newtoniana a escala nanométrica". Revisión Física C. 75 (1): 015501. arXiv : hep-ph/0608346 . Código Bib : 2007PhRvC..75a5501G. doi : 10.1103/PhysRevC.75.015501. S2CID  39665455.
17. Leimanis y Minorsky: Nuestro interés está en Leimanis, quien primero analiza algo de historia sobre el problema de los n cuerpos, especialmente el fracaso del enfoque de variables complejas de veinte años de la Sra. Kovalevskaya ~ 1868-1888; Sección 1: La dinámica de los cuerpos rígidos y la balística exterior matemática (Capítulo 1, el movimiento de un cuerpo rígido alrededor de un punto fijo ( ecuaciones de Euler y Poisson ); Capítulo 2, Balística exterior matemática ), buen antecedente precursor del problema de los n cuerpos ; Sección 2: Mecánica celeste (Capítulo 1, La uniformización del problema de los tres cuerpos (Problema de los tres cuerpos restringido); Capítulo 2, Captura en el problema de los tres cuerpos ; Capítulo 3, Problema generalizado de los n cuerpos ).
18. cuasi estables se refieren a las cargas inerciales instantáneas generadas por velocidades y aceleraciones angulares instantáneas, así como por aceleraciones de traslación (9 variables). Es como si se tomara una fotografía, que también registrara la posición instantánea y las propiedades del movimiento. Por el contrario, una condición de estado estacionario se refiere a que el estado de un sistema es invariante con el tiempo; de lo contrario, las primeras derivadas y todas las derivadas superiores son cero.
19. RM Rosenberg plantea el problema de los n cuerpos de manera similar (ver Referencias): Cada partícula en un sistema de un número finito de partículas está sujeta a una atracción gravitacional newtoniana de todas las demás partículas y a ninguna otra fuerza. Si se da el estado inicial del sistema, ¿cómo se moverán las partículas? Rosenberg no se dio cuenta, como todos los demás, de que es necesario determinar primero las fuerzas antes de poder determinar los movimientos.
20. Se sabe que una solución clásica general en términos de primeras integrales es imposible. Se puede aproximar una solución teórica exacta para n arbitrario mediante series de Taylor , pero en la práctica dicha serie infinita debe truncarse, dando en el mejor de los casos sólo una solución aproximada; y un enfoque ahora obsoleto. Además, el problema de los n cuerpos puede resolverse mediante integración numérica , pero éstas también son soluciones aproximadas; y nuevamente obsoleto. Consulte el libro Gravitational N -body Simulators de Sverre J. Aarseth que figura en las Referencias.

enlaces externos

• Medios relacionados con la ley de gravitación universal de Newton en Wikimedia Commons
• Caída de plumas y martillo sobre la luna en YouTube
• Calculadora Javascript de la Ley de Gravitación Universal de Newton