Métrica de Gödel

Solución de ecuaciones de campo de Einstein.

La métrica de Gödel , también conocida como solución de Gödel o universo de Gödel , es una solución exacta , encontrada en 1949 por Kurt Gödel , ^[1] de las ecuaciones de campo de Einstein en las que el tensor tensión-energía contiene dos términos: el primero representa la materia. densidad de una distribución homogénea de partículas de polvo arremolinadas (ver solución de polvo ), y el segundo asociado con una constante cosmológica negativa (ver solución Lambdavacuum ).

Esta solución tiene muchas propiedades inusuales, en particular, la existencia de curvas cerradas similares al tiempo que permitirían viajar en el tiempo en un universo descrito por la solución. Su definición es algo artificial, ya que el valor de la constante cosmológica debe elegirse cuidadosamente para que corresponda a la densidad de los granos de polvo, pero este espacio-tiempo es un ejemplo pedagógico importante.

Definición

Como cualquier otro espacio-tiempo lorentziano , la solución de Gödel representa el tensor métrico en términos de un gráfico de coordenadas local . Puede que sea más fácil comprender el universo de Gödel utilizando el sistema de coordenadas cilíndricas (ver más abajo), pero este artículo utiliza el gráfico utilizado originalmente por Gödel. En este gráfico, la métrica (o, equivalentemente, el elemento de línea ) es

${\displaystyle g={\frac {1}{2\omega ^{2}}}\left[-(dt+e^{x}\,dy)^{2}+dx^{2}+{\tfrac {1}{2}}e^{2x}\,dy^{2}+dz^{2}\right],\qquad -\infty <t,x,y,z<\infty ,}$

donde es una constante real distinta de cero que da la velocidad angular de los granos de polvo circundantes alrededor del eje y , medida por un observador "no giratorio" montado en uno de los granos de polvo. "No girar" significa que el observador no siente fuerzas centrífugas, pero en este sistema de coordenadas, rotaría alrededor de un eje paralelo al eje y . En este marco giratorio, los granos de polvo permanecen en valores constantes de x , y y z . Su densidad en este diagrama de coordenadas aumenta con x , pero su densidad en sus propios marcos de referencia es la misma en todas partes. ${\displaystyle \omega }$

Propiedades

Para investigar las propiedades de la solución de Gödel, se puede asumir el campo del marco (doble al co-cuadro leído de la métrica como se indicó anteriormente),

${\displaystyle {\vec {e}}_{0}={\sqrt {2}}\omega \,\partial _{t}}$

${\displaystyle {\vec {e}}_{1}={\sqrt {2}}\omega \,\partial _{x}}$

${\displaystyle {\vec {e}}_{2}={\sqrt {2}}\omega \,\partial _{y}}$

${\displaystyle {\vec {e}}_{3}=2\omega \,\left(\exp(-x)\,\partial _{z}-\partial _{t}\right).}$

Este marco define una familia de observadores inerciales que "se mueven con los granos de polvo". El cálculo de las derivadas de Fermi-Walker con respecto a muestra que los marcos espaciales giran con la velocidad angular . De ello se deduce que el 'marco inercial que no gira' que se mueve con las partículas de polvo es ${\displaystyle {\vec {e}}_{0}}$ ${\displaystyle {\vec {e}}_{2}}$ ${\displaystyle -\omega }$

${\displaystyle {\vec {f}}_{0}={\vec {e}}_{0}}$

${\displaystyle {\vec {f}}_{1}=\cos(\omega t)\,{\vec {e}}_{1}-\sin(\omega t)\,{\vec {e}}_{3}}$

${\displaystyle {\vec {f}}_{2}={\vec {e}}_{2}}$

${\displaystyle {\vec {f}}_{3}=\sin(\omega t)\,{\vec {e}}_{1}+\cos(\omega t)\,{\vec {e}}_{3}.}$

tensor de einstein

Los componentes del tensor de Einstein (con respecto a cualquiera de los cuadros anteriores) son

${\displaystyle G^{{\hat {a}}{\hat {b}}}=\omega ^{2}\operatorname {diag} (-1,1,1,1)+2\omega ^{2}\operatorname {diag} (1,0,0,0).}$

Aquí, el primer término es característico de una solución Lambdavacuum y el segundo término es característico de una solución de polvo o fluido perfecto sin presión . La constante cosmológica se elige cuidadosamente para cancelar parcialmente la densidad de materia del polvo.

Topología

El espaciotiempo de Gödel es un raro ejemplo de solución regular (libre de singularidades) de las ecuaciones de campo de Einstein . La carta original de Gödel es geodésicamente completa y está libre de singularidades. Por lo tanto, es un gráfico global y el espacio-tiempo es homeomorfo a R ⁴ y, por lo tanto, simplemente conexo.

Invariantes de curvatura

En cualquier espacio-tiempo lorentziano, el tensor de Riemann de cuarto rango es un operador multilineal en el espacio de cuatro dimensiones de vectores tangentes (en algún evento), pero un operador lineal en el espacio de seis dimensiones de bivectores en ese evento. En consecuencia, tiene un polinomio característico , cuyas raíces son los valores propios . En el espaciotiempo gödeliano, estos valores propios son muy simples:

• triple valor propio cero,
• doble valor propio , ${\displaystyle -\omega ^{2}}$
• valor propio único . ${\displaystyle \omega ^{2}}$

Vectores matando

Este espacio-tiempo admite un álgebra de Lie de cinco dimensiones de vectores Killing , que puede generarse mediante ' traducción temporal ' , dos 'traducciones espaciales' , más dos campos vectoriales Killing adicionales: ${\displaystyle \partial _{t}}$ ${\displaystyle \partial _{y},\;\partial _{z}}$

${\displaystyle \partial _{x}-y\,\partial _{y}}$

y

${\displaystyle -2\exp(-x)\,\partial _{t}+y\,\partial _{y}+\left(\exp(-2x)-y^{2}/2\right)\,\partial _{y}.}$

El grupo de isometría actúa "transitivamente" (ya que podemos traducir a y con el cuarto vector podemos movernos ), por lo que el espacio-tiempo es "homogéneo". Sin embargo, como puede verse, no es "isotrópico". ${\displaystyle t,y,z}$ ${\displaystyle x}$

Los demostradores dados muestran que los cortes admiten un grupo de transformación tridimensional abeliano transitivo , de modo que un cociente de la solución puede reinterpretarse como una solución estacionaria cilíndricamente simétrica. Los cortes permiten una acción SL(2, R ) , y los cortes admiten un Bianchi III (ver el cuarto campo vectorial Killing). Esto se puede reescribir como el grupo de simetría que contiene subgrupos tridimensionales con ejemplos de los tipos I, III y VIII de Bianchi. Cuatro de los cinco vectores de Killing, así como el tensor de curvatura, no dependen de la coordenada y. La solución de Gödel es el producto cartesiano de un factor R con una variedad de Lorentz tridimensional ( firma −++). ${\displaystyle x=x_{0}}$ ${\displaystyle y=y_{0}}$ ${\displaystyle t=t_{0}}$

Se puede demostrar que, a excepción de la isometría local , la solución de Gödel es la única solución fluida perfecta de la ecuación de campo de Einstein que admite un álgebra de Lie de cinco dimensiones de los vectores de Killing.

Tipo Petrov y descomposición de Bel.

El tensor de Weyl de la solución de Gödel tiene tipo D de Petrov . Esto significa que para un observador elegido adecuadamente, las fuerzas de marea son muy cercanas a las que se sentirían desde una masa puntual en la gravedad newtoniana.

Para estudiar las fuerzas de marea con más detalle, la descomposición de Bel del tensor de Riemann se puede calcular en tres partes: el tensor de marea o electrogravítico (que representa las fuerzas de marea), el tensor magnetogravítico (que representa las fuerzas de espín-espín en partículas de prueba que giran y otros efectos gravitacionales análogos al magnetismo) y el tensor topogravítico (que representa las curvaturas seccionales espaciales).

Los observadores que se mueven con las partículas de polvo observarían que el tensor de marea (con respecto a , cuyos componentes evaluados en nuestro marco) tiene la forma ${\displaystyle {\vec {u}}={\vec {e}}_{0}}$

${\displaystyle {E\left[{\vec {u}}\right]}_{{\hat {m}}{\hat {n}}}=\omega ^{2}\operatorname {diag} (1,0,1).}$

Es decir, miden la tensión de marea isotrópica ortogonal a la dirección distinguida . ${\displaystyle \partial _{y}}$

El tensor gravitomagnético desaparece de forma idéntica.

${\displaystyle {B\left[{\vec {u}}\right]}_{{\hat {m}}{\hat {n}}}=0.}$

Esto es un artefacto de las simetrías inusuales de este espacio-tiempo e implica que la supuesta "rotación" del polvo no tiene los efectos gravitomagnéticos generalmente asociados con el campo gravitacional producido por la materia en rotación.

Los principales invariantes de Lorentz del tensor de Riemann son

${\displaystyle R_{abcd}\,R^{abcd}=12\omega ^{4},\;R_{abcd}{{}^{\star }R}^{abcd}=0.}$

La desaparición del segundo invariante significa que algunos observadores no miden gravitomagnetismo, lo cual es consistente con lo que se acaba de decir. El hecho de que el primer invariante (el invariante de Kretschmann ) sea constante refleja la homogeneidad del espaciotiempo de Gödel.

Rotación rígida

Los campos de marco dados anteriormente son ambos inerciales, pero el vector de vorticidad de la congruencia geodésica temporal definida por los vectores unitarios temporales es ${\displaystyle \nabla _{{\vec {e}}_{0}}{\vec {e}}_{0}=0}$

${\displaystyle -\omega {\vec {e}}_{2}}$

Esto significa que las líneas mundiales de partículas de polvo cercanas se retuercen unas sobre otras. Además, el tensor de corte de la congruencia desaparece, por lo que las partículas de polvo exhiben una rotación rígida. ${\displaystyle {\vec {e}}_{0}}$

Efectos ópticos

Si se estudia el cono de luz pasado de un observador determinado, se puede encontrar que las geodésicas nulas se mueven ortogonalmente para formar una espiral hacia el observador, de modo que si uno mira radialmente, ve los otros granos de polvo en posiciones progresivamente retrasadas en el tiempo. Sin embargo, la solución es estacionaria, por lo que podría parecer que un observador montado sobre un grano de polvo no verá los otros granos girando alrededor de él. Sin embargo, recuerde que si bien el primer cuadro mostrado anteriormente (el ) parece estático en el gráfico, los derivados de Fermi-Walker muestran que está girando con respecto a los giroscopios. El segundo cuadro (el ) parece estar girando en el gráfico, pero está giroestabilizado, y un observador inercial que no gira montado sobre un grano de polvo verá los otros granos de polvo girando en el sentido de las agujas del reloj con velocidad angular alrededor de su eje de simetría. Resulta que, además, las imágenes ópticas se expanden y se cortan en el sentido de rotación. ${\displaystyle \partial _{y}}$ ${\displaystyle {\vec {e}}_{j}}$ ${\displaystyle {\vec {f}}_{j}}$ ${\displaystyle \omega }$

Si un observador inercial que no gira mira a lo largo de su eje de simetría, ve que sus pares inerciales coaxiales que no giran aparentemente no giran con respecto a uno mismo, como sería de esperar.

Forma de futuro absoluto

Según Hawking y Ellis, otra característica notable de este espacio-tiempo es el hecho de que, si se suprime la coordenada y no esencial, la luz emitida por un evento en la línea mundial de una partícula de polvo dada gira en espiral hacia afuera, forma una cúspide circular y luego gira en espiral hacia adentro. y vuelve a converger en un evento posterior en la línea mundial de la partícula de polvo original. Esto significa que los observadores que miran ortogonalmente a la dirección sólo pueden ver una distancia finita y también verse a sí mismos en un momento anterior. ${\displaystyle {\vec {e}}_{2}}$

La cúspide es una curva nula cerrada no geodésica. (Consulte la discusión más detallada a continuación utilizando un cuadro de coordenadas alternativo).

Curvas temporales cerradas

Debido a la homogeneidad del espacio-tiempo y la torsión mutua de nuestra familia de geodésicas temporales, es más o menos inevitable que el espaciotiempo de Gödel tenga curvas temporales cerradas (CTC). De hecho, hay CTC en cada evento en el espacio-tiempo de Gödel. Esta anomalía causal parece haber sido considerada como el objetivo central del modelo por el propio Gödel, quien aparentemente se esforzaba por demostrar que las ecuaciones del espacio-tiempo de Einstein no son consistentes con lo que intuitivamente entendemos que es el tiempo (es decir, que pasa y el pasado no). Ya no existe la posición que los filósofos llaman presentismo , mientras que Gödel parece haber estado defendiendo algo más parecido a la filosofía del eternismo ). ^[2]

Einstein estaba consciente de la solución de Gödel y comentó en Albert Einstein: Filósofo-Científico ^[3] que si hay una serie de eventos causalmente conectados en los cuales "la serie está cerrada en sí misma" (en otras palabras, una curva temporal cerrada), entonces esto sugiere que no existe una buena forma física de definir si un evento determinado de la serie ocurrió "antes" o "después" que otro evento de la serie:

En este caso se abandona la distinción "antes-después" para puntos del mundo que se encuentran muy alejados en el sentido cosmológico, y surgen aquellas paradojas, respecto a la dirección de la conexión causal, de las que habló el señor Gödel.

Estas soluciones cosmológicas de las ecuaciones de gravitación (sin constante A que no desaparece) fueron encontradas por el Sr. Gödel. Será interesante sopesar si estos no deben excluirse por motivos físicos.

Globalmente no hiperbólico

Si el espacio-tiempo de Gödel admitiera hipercortes temporales sin límites (por ejemplo, una superficie de Cauchy ), cualquier CTC de este tipo tendría que cruzarlo un número impar de veces, contradiciendo el hecho de que el espacio-tiempo simplemente está conectado. Por tanto, este espacio-tiempo no es globalmente hiperbólico .

Un gráfico cilíndrico

En esta sección, presentamos otro gráfico de coordenadas para la solución de Gödel, en el que algunas de las características mencionadas anteriormente son más fáciles de ver.

Derivación

Gödel no explicó cómo encontró su solución, pero de hecho hay muchas derivaciones posibles. Esbozaremos uno aquí y al mismo tiempo verificaremos algunas de las afirmaciones hechas anteriormente.

Comience con un marco simple en un gráfico de tipo cilíndrico , que presenta dos funciones indeterminadas de la coordenada radial:

${\displaystyle {\vec {e}}_{0}=\partial _{t},\;{\vec {e}}_{1}=\partial _{z},\;{\vec {e}}_{2}=\partial _{r},\,{\vec {e}}_{3}={\frac {1}{b(r)}}\,\left(-a(r)\,\partial _{t}+\partial _{\varphi }\right)}$

Aquí, pensamos en el campo vectorial unitario temporal como tangente a las líneas mundiales de las partículas de polvo, y sus líneas mundiales en general exhibirán vorticidad distinta de cero pero expansión y cizallamiento evanescentes. Exijamos que el tensor de Einstein coincida con un término de polvo más un término de energía del vacío. Esto equivale a exigir que coincida con un fluido perfecto; es decir, requerimos que los componentes del tensor de Einstein, calculados con respecto a nuestro marco, tomen la forma ${\displaystyle {\vec {e}}_{0}}$

${\displaystyle G^{{\hat {i}}{\hat {j}}}=\mu \operatorname {diag} (1,0,0,0)+p\operatorname {diag} (0,1,1,1)}$

Esto da las condiciones

${\displaystyle b^{\prime \prime \prime }={\frac {b^{\prime \prime }\,b^{\prime }}{b}},\;\left(a^{\prime }\right)^{2}=2\,b^{\prime \prime }\,b}$

Al conectarlos al tensor de Einstein, vemos que, de hecho, ahora tenemos . El espaciotiempo no trivial más simple que podemos construir de esta manera evidentemente tendría este coeficiente como una función distinta de cero pero constante de la coordenada radial. En concreto, con un poco de previsión, elijamos . Esto da ${\displaystyle \mu =p}$ ${\displaystyle \mu =\omega ^{2}}$

${\displaystyle b(r)={\frac {\sinh({\sqrt {2}}\omega \,r)}{{\sqrt {2}}\omega }},\;a(r)={\frac {\cosh({\sqrt {2}}\omega r)}{\omega }}+c}$

Finalmente, exijamos que este marco satisfaga

${\displaystyle {\vec {e}}_{3}={\frac {1}{r}}\,\partial _{\varphi }+O\left({\frac {1}{r^{2}}}\right)}$

Esto da y nuestro marco se vuelve ${\displaystyle c=-1/\omega }$

${\displaystyle {\vec {e}}_{0}=\partial _{t},\;{\vec {e}}_{1}=\partial _{z},\;{\vec {e}}_{2}=\partial _{r},\;{\vec {e}}_{3}={\frac {{\sqrt {2}}\omega }{\sinh({\sqrt {2}}\omega r)}}\,\partial _{\varphi }-{\frac {{\sqrt {2}}\sinh({\sqrt {2}}\omega r)}{1+\cosh({\sqrt {2}}\omega r)}}\,\partial _{t}}$

Aspecto de los conos de luz.

A partir del tensor métrico encontramos que el campo vectorial , que es espacial para radios pequeños, se vuelve nulo en donde ${\displaystyle \partial _{\varphi }}$ ${\displaystyle r=r_{c}}$

${\displaystyle r_{c}={\frac {\operatorname {arccosh} (3)}{{\sqrt {2}}\omega }}}$

Esto se debe a que en ese radio encontramos que así es y por tanto es nulo. El círculo en un t dado es una curva nula cerrada, pero no una geodésica nula. ${\displaystyle {\vec {e}}_{3}={\tfrac {\omega }{2}}\,\partial _{\varphi }-\partial _{t},}$ ${\displaystyle {\tfrac {\omega }{2}}\,\partial _{\varphi }={\vec {e}}_{3}+{\vec {e}}_{0}}$ ${\displaystyle r=r_{c}}$

Al examinar el cuadro de arriba, podemos ver que la coordenada no es esencial; nuestro espacio-tiempo es el producto directo de un factor R con una firma −++ triple. Suprimiendo para centrar nuestra atención en esta triple variedad, examinemos cómo cambia la apariencia de los conos de luz a medida que nos alejamos del eje de simetría : ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle r=0}$

Dos conos de luz (con sus vectores de marco que los acompañan) en el diagrama cilíndrico de la solución de polvo lambda de Gödel. A medida que nos alejamos del eje de simetría nominal, los conos se inclinan hacia adelante y se ensanchan . Las líneas de coordenadas verticales (que representan las líneas mundiales de las partículas de polvo) son temporales .

Cuando llegamos al radio crítico, los conos se vuelven tangentes a la curva nula cerrada.

Una congruencia de curvas temporales cerradas.

En el radio crítico , el campo vectorial se vuelve nulo. Para radios más grandes, es temporal . Así, correspondiente a nuestro eje de simetría tenemos una congruencia temporal formada por círculos y correspondiente a ciertos observadores. Sin embargo, esta congruencia sólo se define fuera del cilindro . ${\displaystyle r=r_{c}}$ ${\displaystyle \partial _{\varphi }}$ ${\displaystyle r=r_{c}}$

Ésta no es una congruencia geodésica; más bien, cada observador de esta familia debe mantener una aceleración constante para mantener su rumbo. Los observadores con radios más pequeños deben acelerar más; a medida que la magnitud de la aceleración diverge, que es justo lo que se espera, dado que es una curva nula. ${\displaystyle r\rightarrow r_{c}}$ ${\displaystyle r=r_{c}}$

Geodésicas nulas

Si examinamos el cono de luz pasado de un evento sobre el eje de simetría, encontramos la siguiente imagen:

Las geodésicas nulas giran en espiral en sentido antihorario hacia un observador en el eje de simetría. Esto los muestra desde "arriba".

Recuerde que las líneas de coordenadas verticales en nuestro gráfico representan las líneas mundiales de las partículas de polvo, pero a pesar de su apariencia recta en nuestro gráfico , la congruencia formada por estas curvas tiene una vorticidad distinta de cero, por lo que las líneas mundiales en realidad están girando unas sobre otras . El hecho de que las geodésicas nulas giren en espiral hacia adentro de la manera que se muestra arriba significa que cuando nuestro observador, cuando mira radialmente hacia afuera , ve partículas de polvo cercanas no en sus ubicaciones actuales, sino en sus ubicaciones anteriores. Esto es lo que esperaríamos si las partículas de polvo estuvieran girando unas alrededor de otras.

Las geodésicas nulas son geométricamente rectas ; en la figura, parecen ser espirales sólo porque las coordenadas están "girando" para permitir que las partículas de polvo parezcan estacionarias.

El futuro absoluto

Según Hawking y Ellis (ver monografía citada a continuación), todos los rayos de luz emitidos por un evento en el eje de simetría vuelven a converger en un evento posterior en el eje, con las geodésicas nulas formando una cúspide circular (que es una curva nula, pero no una geodésica nula):

Imagen de Hawking y Ellis de la expansión y reconvergencia de la luz emitida por un observador sobre el eje de simetría.

Esto implica que en la solución del polvo lambda de Gödel, el futuro absoluto de cada evento tiene un carácter muy diferente de lo que ingenuamente podríamos esperar.

Interpretación cosmológica

Siguiendo a Gödel, podemos interpretar las partículas de polvo como galaxias, de modo que la solución de Gödel se convierte en un modelo cosmológico de un universo en rotación . Además de girar, este modelo no muestra ninguna expansión de Hubble , por lo que no es un modelo realista del universo en el que vivimos, pero puede considerarse como ilustrativo de un universo alternativo, que en principio estaría permitido por la relatividad general (si se admite la legitimidad de una constante cosmológica negativa). Las soluciones menos conocidas de Gödel exhiben tanto rotación como expansión de Hubble y tienen otras cualidades de su primer modelo, pero no es posible viajar al pasado. Según Stephen Hawking , estos modelos bien podrían ser una descripción razonable del universo que observamos , sin embargo los datos observacionales sólo son compatibles con una velocidad de rotación muy baja. ^[4] La calidad de estas observaciones mejoró continuamente hasta la muerte de Gödel, y él siempre preguntaba: "¿El universo ya está girando?" y le dirán "No, no lo es". ^[5]

Hemos visto que los observadores que se encuentran en el eje y (en el gráfico original) ven el resto del universo girando en el sentido de las agujas del reloj alrededor de ese eje. Sin embargo, la homogeneidad del espacio-tiempo muestra que se distingue la dirección pero no la posición de este "eje".

Algunos han interpretado el universo de Gödel como un contraejemplo a las esperanzas de Einstein de que la relatividad general debería exhibir algún tipo de principio de Mach , ^[4] citando el hecho de que la materia está rotando (las líneas del mundo se retuercen unas sobre otras) de una manera suficiente para distinguir una dirección preferida, aunque sin eje de rotación distinguido.

Otros ^{[ cita necesaria ]} consideran que el principio de Mach significa alguna ley física que vincula la definición de sistemas inerciales no giratorios en cada evento con la distribución global y el movimiento de la materia en todas partes del universo, y dicen eso porque los sistemas inerciales no giratorios son precisamente ligado a la rotación del polvo tal como lo sugeriría un principio de Mach, este modelo concuerda con las ideas de Mach.

Se conocen muchas otras soluciones exactas que pueden interpretarse como modelos cosmológicos de universos en rotación. ^[6]

Ver también

• polvo de van Stockum , para otra solución de polvo giratorio con (verdadera) simetría cilíndrica,
• Solución de polvo , un artículo sobre soluciones de polvo en la relatividad general.

Referencias

1. Gödel, K., "Un ejemplo de un nuevo tipo de soluciones cosmológicas de las ecuaciones de campo de gravitación de Einstein", Rev. Mod. Física. 21 , 447, publicado el 1 de julio de 1949.
2. Yourgrau, Palle (2005). Un mundo sin tiempo: el legado olvidado de Gödel y Einstein . Nueva York: Libros básicos. ISBN 0465092942.
3. Einstein, Alberto (1949). "Respuesta de Einstein a las críticas". Albert Einstein: filósofo-científico . Prensa de la Universidad de Cambridge . Consultado el 29 de noviembre de 2012 .
4. SW Hawking, Nota introductoria de 1949 y 1952 en Kurt Gödel, Obras completas , Volumen II (S. Feferman et al., eds).
5. Reflexiones sobre Kurt Gödel , por Hao Wang, MIT Press, (1987), p. 183.
6. Shepley, Lorenzo; Ryan, Michael. Cosmologías Relativistas Homogéneas .

Notas

• G. Dautcourt y M. Abdel-Megied (2006). "Revisando el cono de luz del universo Goedel". Gravedad clásica y cuántica . 23 (4): 1269-1288. arXiv : gr-qc/0511015 . Código Bib : 2006CQGra..23.1269D. doi :10.1088/0264-9381/23/4/013. S2CID  14666907.
• Stephani, Hans; Kramer, Dietrich; MacCallum, Malcolm; Hoenselaers, Cornelio; Herlt, Eduard (2003). Soluciones exactas a las ecuaciones de campo de Einstein (2ª ed.). Cambridge: Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 0-521-46136-7.Consulte la sección 12.4 para conocer el teorema de unicidad.
• Hawking, Stephen; Ellis, GFR (1973). La estructura a gran escala del espacio-tiempo . Cambridge: Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 0-521-09906-4.Consulte la sección 5.7 para una discusión clásica sobre las CTC en el espacio-tiempo de Gödel. Advertencia: en la Fig. 31 los conos de luz efectivamente se inclinan, pero también se ensanchan, de modo que las líneas de coordenadas verticales siempre son temporales; de hecho, representan las líneas mundiales de las partículas de polvo, por lo que son geodésicas temporales.
• Godel, K. (1949). "Un ejemplo de un nuevo tipo de solución cosmológica de las ecuaciones de campo de gravitación de Einstein". Mod. Rev. Física . 21 (3): 447–450. Código bibliográfico : 1949RvMP...21..447G. doi : 10.1103/RevModPhys.21.447 .
• Universo Gödel en arxiv.org.
• Vukovic R. (2014): Modelo tensorial del universo giratorio, ejercicio de relatividad especial.