clasificación de petrov

Classification used in differential geometry and general relativity

En geometría diferencial y física teórica , la clasificación de Petrov (también conocida como clasificación de Petrov-Pirani-Penrose) describe las posibles simetrías algebraicas del tensor de Weyl en cada evento en una variedad de Lorentz .

Se aplica con mayor frecuencia en el estudio de soluciones exactas de las ecuaciones de campo de Einstein , pero estrictamente hablando, la clasificación es un teorema de matemáticas puras que se aplica a cualquier variedad de Lorentz, independientemente de cualquier interpretación física. La clasificación fue encontrada en 1954 por AZ Petrov e independientemente por Felix Pirani en 1957.

Teorema de clasificación

Podemos pensar en un tensor de cuarto rango como el tensor de Weyl , evaluado en algún evento , actuando sobre el espacio de bivectores en ese evento como un operador lineal que actúa sobre un espacio vectorial:

${\displaystyle X^{ab}\rightarrow {\frac {1}{2}}\,{C^{ab}}_{mn}X^{mn}}$

Entonces, es natural considerar el problema de encontrar valores propios y vectores propios (a los que ahora se hace referencia como bivectores propios) tales que ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle X^{ab}}$

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\,{C^{ab}}_{mn}\,X^{mn}=\lambda \,X^{ab}}$

En los espaciotiempos lorentzianos (de cuatro dimensiones), hay un espacio de seis dimensiones de bivectores antisimétricos en cada evento. Sin embargo, las simetrías del tensor de Weyl implican que cualquier bivector propio debe pertenecer a un subconjunto de cuatro dimensiones. Por lo tanto, el tensor de Weyl (en un evento dado) puede tener como máximo cuatro autobivectores linealmente independientes.

Los bivectores propios del tensor de Weyl pueden ocurrir con varias multiplicidades y cualquier multiplicidad entre los bivectores propios indica una especie de simetría algebraica del tensor de Weyl en el evento dado. Los diferentes tipos de tensor de Weyl (en un evento dado) se pueden determinar resolviendo una ecuación característica , en este caso una ecuación de cuarto grado . Todo lo anterior sucede de manera similar a la teoría de los vectores propios de un operador lineal ordinario.

Estos bivectores propios están asociados con ciertos vectores nulos en el espacio-tiempo original, que se denominan direcciones nulas principales (en un evento determinado). El álgebra multilineal relevante es algo complicado (ver las citas a continuación), pero el teorema de clasificación resultante establece que hay precisamente seis tipos posibles de simetría algebraica. Estos se conocen como tipos Petrov :

El diagrama de Penrose que muestra las posibles degeneraciones del tipo Petrov del tensor de Weyl.

• Tipo I : cuatro direcciones nulas principales simples,
• Tipo II : una dirección nula principal doble y dos direcciones nulas principales simples,
• Tipo D : dos direcciones nulas principales dobles,
• Tipo III : una dirección nula principal triple y una simple,
• Tipo N : una dirección nula principal cuádruple,
• Tipo O : el tensor de Weyl desaparece.

Las posibles transiciones entre los tipos de Petrov se muestran en la figura, que también puede interpretarse como que algunos de los tipos de Petrov son "más especiales" que otros. Por ejemplo, el tipo I , el tipo más general, puede degenerar a los tipos II o D , mientras que el tipo II puede degenerar a los tipos III , N o D.

Diferentes eventos en un espacio-tiempo determinado pueden tener diferentes tipos de Petrov. Un tensor de Weyl que tiene tipo I (en algún caso) se llama algebraicamente general ; de lo contrario, se llama algebraicamente especial (en ese evento). En la Relatividad General, los espaciotiempos tipo O son conformemente planos .

Formalismo de Newman-Penrose

El formalismo de Newman-Penrose se utiliza a menudo en la práctica para la clasificación. Considere el siguiente conjunto de bivectores, construidos a partir de tétradas de vectores nulos (tenga en cuenta que en algunas notaciones, los símbolos l y n se intercambian):

${\displaystyle U_{ab}=-2l_{[a}{\bar {m}}_{b]}}$

${\displaystyle V_{ab}=2n_{[a}m_{b]}}$

${\displaystyle W_{ab}=2m_{[a}{\bar {m}}_{b]}-2n_{[a}l_{b]}.}$

El tensor de Weyl se puede expresar como una combinación de estos bivectores mediante

${\displaystyle {\begin{aligned}C_{abcd}&=\Psi _{0}U_{ab}U_{cd}\\&\,\,\,+\Psi _{1}(U_{ab}W_{cd}+W_{ab}U_{cd})\\&\,\,\,+\Psi _{2}(V_{ab}U_{cd}+U_{ab}V_{cd}+W_{ab}W_{cd})\\&\,\,\,+\Psi _{3}(V_{ab}W_{cd}+W_{ab}V_{cd})\\&\,\,\,+\Psi _{4}V_{ab}V_{cd}+c.c.\end{aligned}}}$

donde son los escalares de Weyl y cc es el conjugado complejo. ^[1] Para obtener más información sobre la construcción y descomposición, consulte. ^[1] Los seis tipos diferentes de Petrov se distinguen por cuál de los escalares de Weyl desaparece. Las condiciones son ${\displaystyle \{\Psi _{j}\}}$

• Tipo i  : , ${\displaystyle \Psi _{0}=0}$
• Tipo II  : , ${\displaystyle \Psi _{0}=\Psi _{1}=0}$
• Tipo D  : , ${\displaystyle \Psi _{0}=\Psi _{1}=\Psi _{3}=\Psi _{4}=0}$
• Tipo III  : , ${\displaystyle \Psi _{0}=\Psi _{1}=\Psi _{2}=0}$
• Tipo N  : , ${\displaystyle \Psi _{0}=\Psi _{1}=\Psi _{2}=\Psi _{3}=0}$
• Tipo O  : . ${\displaystyle \Psi _{0}=\Psi _{1}=\Psi _{2}=\Psi _{3}=\Psi _{4}=0}$

criterios de bel

Dada una métrica en una variedad de Lorentz , se puede calcular el tensor de Weyl para esta métrica. Si el tensor de Weyl es algebraicamente especial en algún , existe un conjunto útil de condiciones, encontradas por Lluis (o Louis) Bel y Robert Debever, ^[2] para determinar con precisión el tipo de Petrov en . Al denotar los componentes del tensor de Weyl en by (se supone que no son cero, es decir, que no son de tipo O ), los criterios de Bel se pueden expresar como: ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle p\in M}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle C_{abcd}}$

• ${\displaystyle C_{abcd}}$es de tipo N si y sólo si existe un vector que satisfaga ${\displaystyle k(p)}$

${\displaystyle C_{abcd}\,k^{d}=0}$

donde es necesariamente nulo y único (hasta escalar). ${\displaystyle k}$

• Si no es de tipo N , entonces es de tipo III si y sólo si existe un vector que satisfaga ${\displaystyle C_{abcd}}$ ${\displaystyle C_{abcd}}$ ${\displaystyle k(p)}$

${\displaystyle C_{abcd}\,k^{b}k^{d}=0={^{*}C}_{abcd}\,k^{b}k^{d}}$

donde es necesariamente nulo y único (hasta escalar). ${\displaystyle k}$

• ${\displaystyle C_{abcd}}$es de tipo II si y sólo si existe un vector que satisfaga ${\displaystyle k}$

${\displaystyle C_{abcd}\,k^{b}k^{d}=\alpha k_{a}k_{c}}$y ( ) ${\displaystyle {}^{*}C_{abcd}\,k^{b}k^{d}=\beta k_{a}k_{c}}$ ${\displaystyle \alpha \beta \neq 0}$

donde es necesariamente nulo y único (hasta escalar). ${\displaystyle k}$

• ${\displaystyle C_{abcd}}$es de tipo D si y sólo si existen dos vectores linealmente independientes que satisfacen las condiciones ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k'}$

${\displaystyle C_{abcd}\,k^{b}k^{d}=\alpha k_{a}k_{c}}$, ( ) ${\displaystyle {}^{*}C_{abcd}\,k^{b}k^{d}=\beta k_{a}k_{c}}$ ${\displaystyle \alpha \beta \neq 0}$

y

${\displaystyle C_{abcd}\,k'^{b}k'^{d}=\gamma k'_{a}k'_{c}}$, ( ). ${\displaystyle {}^{*}C_{abcd}\,k'^{b}k'^{d}=\delta k'_{a}k'_{c}}$ ${\displaystyle \gamma \delta \neq 0}$

¿Dónde está el dual del tensor de Weyl en ? ${\displaystyle {{}^{*}C}_{abcd}}$ ${\displaystyle p}$

De hecho, para cada criterio anterior, existen condiciones equivalentes para que el tensor de Weyl tenga ese tipo. Estas condiciones equivalentes se expresan en términos de dual y autodual del tensor de Weyl y ciertos bivectores y se recopilan en Hall (2004).

Los criterios de Bel encuentran aplicación en la relatividad general, donde la determinación del tipo Petrov de tensores de Weyl algebraicamente especiales se logra mediante la búsqueda de vectores nulos.

Interpretación física

Según la relatividad general , los diversos tipos algebraicamente especiales de Petrov tienen algunas interpretaciones físicas interesantes, por lo que a veces la clasificación se denomina clasificación de campos gravitacionales .

Las regiones de tipo D están asociadas con los campos gravitacionales de objetos masivos aislados, como las estrellas. Más precisamente, los campos de tipo D se producen como el campo exterior de un objeto gravitante que se caracteriza completamente por su masa y momento angular. (Un objeto más general podría tener momentos multipolares superiores distintos de cero). Las dos direcciones nulas principales dobles definen congruencias nulas entrantes y salientes "radialmente" cerca del objeto que es la fuente del campo.

El tensor electrogravítico (o tensor de marea ) en una región de tipo D es muy análogo a los campos gravitacionales que se describen en la gravedad newtoniana mediante un potencial gravitacional de tipo Coulomb . Un campo de marea de este tipo se caracteriza por tensión en una dirección y compresión en direcciones ortogonales; los valores propios tienen el patrón (-2,1,1). Por ejemplo, una nave espacial que orbita la Tierra experimenta una pequeña tensión a lo largo de un radio desde el centro de la Tierra y una pequeña compresión en las direcciones ortogonales. Al igual que en la gravitación newtoniana, este campo de mareas normalmente decae como donde está la distancia desde el objeto. ${\displaystyle O(r^{-3})}$ ${\displaystyle r}$

Si el objeto gira alrededor de algún eje , además de los efectos de marea, habrá varios efectos gravitomagnéticos , como fuerzas de giro en los giroscopios que porta un observador. En el vacío de Kerr , que es el ejemplo más conocido de solución de vacío tipo D , esta parte del campo decae como . ${\displaystyle O(r^{-4})}$

Las regiones de tipo III están asociadas con una especie de radiación gravitacional longitudinal . En tales regiones, las fuerzas de marea tienen un efecto de cizallamiento . Esta posibilidad a menudo se descuida, en parte porque la radiación gravitacional que surge en la teoría del campo débil es de tipo N , y en parte porque la radiación de tipo III se desintegra como , que es más rápida que la radiación de tipo N. ${\displaystyle O(r^{-2})}$

Las regiones de tipo N están asociadas con radiación gravitacional transversal , que es el tipo que los astrónomos han detectado con LIGO . La dirección nula principal cuádruple corresponde al vector de onda que describe la dirección de propagación de esta radiación. Por lo general, se desintegra como , por lo que el campo de radiación de largo alcance es de tipo N . ${\displaystyle O(r^{-1})}$

Las regiones de tipo II combinan los efectos señalados anteriormente para los tipos D , III y N , de una manera no lineal bastante complicada.

Las regiones de tipo O , o regiones conformemente planas , están asociadas con lugares donde el tensor de Weyl desaparece de manera idéntica. En este caso, se dice que la curvatura es pura de Ricci . En una región conformemente plana, cualquier efecto gravitacional debe deberse a la presencia inmediata de materia o al campo de energía de algún campo no gravitacional (como un campo electromagnético ). En cierto sentido, esto significa que ningún objeto distante ejerce ninguna influencia de largo alcance sobre los acontecimientos en nuestra región. Más precisamente, si hay campos gravitacionales que varían en el tiempo en regiones distantes, la noticia aún no ha llegado a nuestra región conformemente plana.

La radiación gravitacional emitida por un sistema aislado normalmente no será algebraicamente especial. El teorema de descamación describe cómo, a medida que nos alejamos de la fuente de radiación, los distintos componentes del campo de radiación se "desprenden", hasta que finalmente sólo se percibe radiación de tipo N a grandes distancias. Esto es similar al teorema del pelado electromagnético.

Ejemplos

En algunas soluciones (más o menos) familiares, el tensor de Weyl tiene el mismo tipo de Petrov en cada evento:

• la aspiradora Kerr es de tipo D en todas partes ,
• Algunas aspiradoras Robinson/Trautman son de tipo III en todas partes ,
• los espacios-tiempos de onda pp están en todas partes tipo N ,
• Los modelos FLRW son del tipo O en todas partes .

De manera más general, cualquier espacio-tiempo esféricamente simétrico debe ser de tipo D (u O ). Se conocen todos los espacios-tiempo algebraicamente especiales que tienen varios tipos de tensor de tensión-energía , por ejemplo, todas las soluciones de vacío de tipo D.

Algunas clases de soluciones se pueden caracterizar invariantemente utilizando simetrías algebraicas del tensor de Weyl: por ejemplo, la clase de electrovacío nulo no conformemente plano o soluciones de polvo nulo que admiten una congruencia nula en expansión pero sin torsión es precisamente la clase de espacios-tiempos de Robinson/Trautmann . Suelen ser de tipo II , pero incluyen ejemplos de tipo III y tipo N.

Generalización a dimensiones superiores.

A. Coley, R. Milson, V. Pravda y A. Pravdová (2004) desarrollaron una generalización de la clasificación algebraica a una dimensión espacio-temporal arbitraria . Su enfoque utiliza un enfoque de base de marco nulo , es decir, una base de marco que contiene dos vectores nulos y , junto con vectores espaciales. Los componentes de la base del marco del tensor de Weyl se clasifican según sus propiedades de transformación bajo impulsos locales de Lorentz . Si determinados componentes de Weyl desaparecen, entonces y/o se dice que son direcciones nulas alineadas con Weyl (WAND). En cuatro dimensiones, es una VARA si y sólo si es una dirección nula principal en el sentido definido anteriormente. Este enfoque proporciona una extensión natural de dimensiones superiores de cada uno de los diversos tipos algebraicos II , D , etc. definidos anteriormente. ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle d-2}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle l}$

De Smet (2002) definió previamente una generalización alternativa, pero no equivalente, basada en un enfoque espinorial . Sin embargo, el enfoque de De Smet se limita a cinco dimensiones únicamente.

Ver también

• Portal de matemáticas
• Portal de física

• Clasificación de campos electromagnéticos.
• Soluciones exactas en relatividad general.
• Clasificación Segre
• Teorema de pelado
• tensor de Plebanski

Referencias

1. Wytler Cordeiro dos Santos (2021). "Bivectores en el formalismo de Newman-Penrose en la relatividad general: del electromagnetismo al tensor de curvatura de Weyl". arXiv : 2108.07167 [física.gen-ph].
2. Marcello Ortaggio (2009), Criterios de Bel-Debever para la clasificación de los tensores de Weyl en dimensiones superiores.

• Coley, A.; et al. (2004). "Clasificación del tensor de Weyl en dimensiones superiores". Gravedad clásica y cuántica . 21 (7): L35-L42. arXiv : gr-qc/0401008 . Código Bib : 2004CQGra..21L..35C. doi :10.1088/0264-9381/21/7/L01. S2CID  31859828.
• de Smet, P. (2002). "Los agujeros negros en los cilindros no son algebraicamente especiales". Gravedad clásica y cuántica . 19 (19): 4877–4896. arXiv : hep-th/0206106 . Código Bib : 2002CQGra..19.4877D. doi :10.1088/0264-9381/19/19/307. S2CID  15772816.
• d'Inverno, Ray (1992). Presentando la Relatividad de Einstein . Oxford: Prensa de la Universidad de Oxford . ISBN 0-19-859686-3. Ver secciones 21.7, 21.8
• Salón, Graham (2004). Simetrías y estructura de curvatura en la relatividad general (Notas de conferencias científicas mundiales sobre física) . Singapur: Pub científico mundial. ISBN del condado 981-02-1051-5. Consulte las secciones 7.3 y 7.4 para obtener una discusión exhaustiva de la clasificación de Petrov .
• MacCallum, MAH (2000). "Nota del editor: Clasificación de espacios que definen campos gravitacionales". Relatividad General y Gravitación . 32 (8): 1661–1663. Código Bib : 2000GReGr..32.1661P. doi :10.1023/A:1001958823984. S2CID  116370483.
• Penrose, Roger (1960). "Un enfoque de espinor de la relatividad general". Anales de Física . 10 (2): 171–201. Código bibliográfico : 1960AnPhy..10..171P. doi :10.1016/0003-4916(60)90021-X.
• Petrov, AZ (1954). "Klassifikacya prostranstv opredelyayushchikh polya tyagoteniya". Uh. Zapiski Kazán. Vaya. Univ . 114 (8): 55–69. Traducción al inglés Petrov, AZ (2000). "Clasificación de espacios definidos por campos gravitacionales". Relatividad General y Gravitación . 32 (8): 1665–1685. Código Bib : 2000GReGr..32.1665P. doi :10.1023/A:1001910908054. S2CID  73540912.
• Petrov, AZ (1969). Espacios de Einstein . Oxford: Pérgamo. ISBN 0080123155., traducido por RF Kelleher y J. Woodrow.
• Stephani, H.; Kramer, D.; MacCallum, M.; Hoenselaers, C. y Herlt, E. (2003). Soluciones exactas de las ecuaciones de campo de Einstein (2ª ed.) . Cambridge: Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 0-521-46136-7. Ver capítulos 4, 26.