Colector plano conformado

El colector superior es plano, el inferior no, pero es conforme al primero.

Una variedad ( pseudo ) riemanniana es conformemente plana si cada punto tiene un vecindario que puede mapearse al espacio plano mediante una transformación conforme .

En la práctica, la métrica de la variedad tiene que ser conforme a la métrica plana , es decir, las geodésicas se mantienen en todos los puntos de los ángulos al pasar de uno a otro, así como mantener inalteradas las geodésicas nulas, ^[1] es decir que existe una función tal que , donde se conoce como factor conforme y es un punto de la variedad. ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \lambda (x)}$ ${\displaystyle g(x)=\lambda ^{2}(x)\,\eta }$ ${\displaystyle \lambda (x)}$ ${\displaystyle x}$

Más formalmente, sea una variedad pseudo-riemanniana. Entonces es conformemente plana si para cada punto en , existe un entorno de y una función suave definida en tal que es plana (es decir, la curvatura de se desvanece en ). La función no necesita estar definida en todos los . ${\displaystyle (M,g)}$ ${\displaystyle (M,g)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle (U,e^{2f}g)}$ ${\displaystyle e^{2f}g}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle M}$

Algunos autores utilizan la definición de plano conforme localmente cuando se refieren sólo a algún punto en y reservan la definición de plano conformemente para el caso en que la relación es válida para todos en . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle M}$

Ejemplos

• Toda variedad con curvatura seccional constante es conformemente plana.
• Toda variedad pseudo-riemanniana bidimensional es conformemente plana. ^[1]
  • El elemento de línea de las coordenadas esféricas bidimensionales, como el utilizado en el sistema de coordenadas geográficas ,

  ${\displaystyle ds^{2}=d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2}\,}$, ^[2] tiene tensor métrico  y no es plano pero con la proyección estereográfica se puede mapear a un espacio plano usando el factor conforme , donde es la distancia desde el origen del espacio plano, ^[3] obteniendo ${\displaystyle g_{ik}={\begin{bmatrix}1&0\\0&sin^{2}\theta \end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle 2 \over (1+r^{2})}$ ${\displaystyle r}$

  ${\displaystyle ds^{2}=d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2}\,={\frac {4}{(1+r^{2})^{2}}}(dx^{2}+dy^{2})}$.

• Una variedad pseudo-Riemanniana tridimensional es conformemente plana si y solo si el tensor de Cotton se desvanece.
• Una variedad pseudo-Riemanniana n -dimensional para n ≥ 4 es conformemente plana si y solo si el tensor de Weyl se desvanece.
• Toda variedad riemanniana euclidiana compacta , simplemente conexa y conformemente equivalente a la esfera redonda . ^[4]

• La proyección estereográfica proporciona un sistema de coordenadas para la esfera en el que la planitud conforme es explícita, ya que la métrica es proporcional a la plana.

• En la relatividad general, las variedades conformemente planas se pueden utilizar a menudo, por ejemplo, para describir la métrica de Friedmann–Lemaître–Robertson–Walker . ^[5] Sin embargo, también se ha demostrado que no existen porciones conformemente planas del espacio-tiempo de Kerr . ^[6]

Por ejemplo, las coordenadas de Kruskal-Szekeres tienen elementos de línea.

${\displaystyle ds^{2}=\left(1-{\frac {2GM}{r}}\right)dv\,du}$ con tensor métrico y por lo tanto no es plano. Pero con las transformaciones y ${\displaystyle g_{ik}={\begin{bmatrix}0&1-{\frac {2GM}{r}}\\1-{\frac {2GM}{r}}&0\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle t=(v+u)/2}$ ${\displaystyle x=(v-u)/2}$

se convierte en

${\displaystyle ds^{2}=\left(1-{\frac {2GM}{r}}\right)(dt^{2}-dx^{2})}$ con tensor métrico , ${\displaystyle g_{ik}={\begin{bmatrix}1-{\frac {2GM}{r}}&0\\0&-1+{\frac {2GM}{r}}\end{bmatrix}}}$

que es la métrica plana multiplicada por el factor conforme . ^[7] ${\displaystyle 1-{\frac {2GM}{r}}}$

Véase también

• Teorema de Weyl-Schouten
• geometría conforme
• Problema de Yamabe

Referencias

1. Ray D'Inverno. "6.13 El tensor de Weyl". Introducción a la relatividad de Einstein . pp. 88-89.
2. Sistema de coordenadas esféricas - Integración y diferenciación en coordenadas esféricas
3. Proyección estereográfica - Propiedades . Fórmula de Riemann
4. Kuiper, NH (1949). "Sobre espacios conformemente planos en el gran". Anales de Matemáticas . 50 (4): 916–924. doi :10.2307/1969587. JSTOR  1969587.
5. Garecki, Janusz (2008). "Sobre la energía de los universos Friedman en coordenadas conformemente planas". Acta Física Polonica B. 39 (4): 781–797. arXiv : 0708.2783 . Código Bib : 2008AcPPB..39..781G.
6. Garat, Alcides; Price, Richard H. (18 de mayo de 2000). "Inexistencia de porciones conformemente planas del espacio-tiempo de Kerr". Physical Review D . 61 (12): 124011. arXiv : gr-qc/0002013 . Código Bibliográfico :2000PhRvD..61l4011G. doi :10.1103/PhysRevD.61.124011. ISSN  0556-2821. S2CID  119452751.
7. Ray D'Inverno. "17.2 La solución de Kruskal". Introducción a la relatividad de Einstein . pp. 230-231.