Escalar de Weyl

En el formalismo Newman-Penrose (NP) de la relatividad general , los escalares de Weyl se refieren a un conjunto de cinco escalares complejos que codifican los diez componentes independientes del tensor de Weyl de un espacio-tiempo de cuatro dimensiones . ${\displaystyle \{\Psi _{0},\Psi _{1},\Psi _{2},\Psi _{3},\Psi _{4}\}}$

Definiciones

Dada una tétrada nula compleja y con la convención , los escalares de Weyl-NP se definen por ^{[1] [2] [3]} ${\displaystyle \{l^{a},n^{a},m^{a},{\bar {m}}^{a}\}}$ ${\displaystyle \{(-,+,+,+);l^{a}n_{a}=-1\,,m^{a}{\bar {m}}_{a}=1\}}$

${\displaystyle \Psi _{0}:=C_{\alpha \beta \gamma \delta }l^{\alpha }m^{\beta }l^{\gamma }m^{\delta }\ ,}$

${\displaystyle \Psi _{1}:=C_{\alpha \beta \gamma \delta }l^{\alpha }n^{\beta }l^{\gamma }m^{\delta }\ ,}$

${\displaystyle \Psi _{2}:=C_{\alpha \beta \gamma \delta }l^{\alpha }m^{\beta }{\bar {m}}^{\gamma }n^{\delta }\ ,}$

${\displaystyle \Psi _{3}:=C_{\alpha \beta \gamma \delta }l^{\alpha }n^{\beta }{\bar {m}}^{\gamma }n^{\delta }\ ,}$

${\displaystyle \Psi _{4}:=C_{\alpha \beta \gamma \delta }n^{\alpha }{\bar {m}}^{\beta }n^{\gamma }{\bar {m}}^{\delta }\ .}$

Nota: Si se adopta la convención , las definiciones de deben tomar los valores opuestos; ^{[4] [5] [6] [7]} es decir, después de la transición de firma. ${\displaystyle \{(+,-,-,-);l^{a}n_{a}=1\,,m^{a}{\bar {m}}_{a}=-1\}}$ ${\displaystyle \Psi _{i}}$ ${\displaystyle \Psi _{i}\mapsto -\Psi _{i}}$

Derivaciones alternativas

Según las definiciones anteriores, se deben averiguar los tensores de Weyl antes de calcular los escalares Weyl-NP mediante contracciones con vectores de tétrada relevantes. Sin embargo, este método no refleja completamente el espíritu del formalismo de Newman-Penrose . Como alternativa, se podrían calcular primero los coeficientes de espín y luego usar las ecuaciones de campo NP para derivar los cinco escalares Weyl-NP ^{[ cita requerida ]}

${\displaystyle \Psi _{0}=D\sigma -\delta \kappa -(\rho +{\bar {\rho }})\sigma -(3\varepsilon -{\bar {\varepsilon }})\sigma +(\tau -{\bar {\pi }}+{\bar {\alpha }}+3\beta )\kappa \,,}$

${\displaystyle \Psi _{1}=D\beta -\delta \varepsilon -(\alpha +\pi )\sigma -({\bar {\rho }}-{\bar {\varepsilon }})\beta +(\mu +\gamma )\kappa +({\bar {\alpha }}-{\bar {\pi }})\varepsilon \,,}$

${\displaystyle \Psi _{2}={\bar {\delta }}\tau -\Delta \rho -(\rho {\bar {\mu }}+\sigma \lambda )+({\bar {\beta }}-\alpha -{\bar {\tau }})\tau +(\gamma +{\bar {\gamma }})\rho +\nu \kappa -2\Lambda \,,}$

${\displaystyle \Psi _{3}={\bar {\delta }}\gamma -\Delta \alpha +(\rho +\varepsilon )\nu -(\tau +\beta )\lambda +({\bar {\gamma }}-{\bar {\mu }})\alpha +({\bar {\beta }}-{\bar {\tau }})\gamma \,.}$

${\displaystyle \Psi _{4}=\delta \nu -\Delta \lambda -(\mu +{\bar {\mu }})\lambda -(3\gamma -{\bar {\gamma }})\lambda +(3\alpha +{\bar {\beta }}+\pi -{\bar {\tau }})\nu \,.}$

donde (usado para ) se refiere al escalar de curvatura NP que podría calcularse directamente a partir de la métrica del espacio-tiempo . ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle \Psi _{2}}$ ${\displaystyle \Lambda :={\frac {R}{24}}}$ ${\displaystyle g_{ab}}$

Interpretación física

Szekeres (1965) ^[8] dio una interpretación de los diferentes escalares de Weyl a grandes distancias:

${\displaystyle \Psi _{2}}$es un término "Coulomb", que representa el monopolo gravitacional de la fuente;

${\displaystyle \Psi _{1}}$& son términos de radiación "longitudinal" entrante y saliente; ${\displaystyle \Psi _{3}}$

${\displaystyle \Psi _{0}}$& son términos de radiación "transversal" entrante y saliente. ${\displaystyle \Psi _{4}}$

Para un espacio-tiempo general asintóticamente plano que contiene radiación ( Petrov Tipo I), & puede transformarse en cero mediante una elección adecuada de tétrada nula. Por lo tanto, estas pueden considerarse magnitudes de calibración. ${\displaystyle \Psi _{1}}$ ${\displaystyle \Psi _{3}}$

Un caso particularmente importante es el escalar de Weyl . Se puede demostrar que describe la radiación gravitatoria saliente (en un espacio-tiempo asintóticamente plano) como ${\displaystyle \Psi _{4}}$

${\displaystyle \Psi _{4}={\frac {1}{2}}\left({\ddot {h}}_{{\hat {\theta }}{\hat {\theta }}}-{\ddot {h}}_{{\hat {\phi }}{\hat {\phi }}}\right)+i{\ddot {h}}_{{\hat {\theta }}{\hat {\phi }}}=-{\ddot {h}}_{+}+i{\ddot {h}}_{\times }\ .}$

Aquí, y son las polarizaciones "positivas" y "cruzadas" de la radiación gravitacional, y los puntos dobles representan la doble diferenciación temporal. ^{[ aclaración necesaria ]} ${\displaystyle h_{+}}$ ${\displaystyle h_{\times }}$

Sin embargo, hay ciertos ejemplos en los que la interpretación mencionada anteriormente falla. ^[9] Se trata de soluciones de vacío exactas de las ecuaciones de campo de Einstein con simetría cilíndrica. Por ejemplo, un cilindro estático (infinitamente largo) puede producir un campo gravitatorio que no solo tiene el componente de Weyl "de Coulomb" esperado , sino también componentes de "onda transversal" no nulos y . Además, las ondas de Einstein-Rosen puramente salientes tienen un componente de "onda transversal entrante" distinto de cero . ${\displaystyle \Psi _{2}}$ ${\displaystyle \Psi _{0}}$ ${\displaystyle \Psi _{4}}$ ${\displaystyle \Psi _{0}}$

Véase también

• Escalares Weyl-NP y Ricci-NP

Referencias

1. Jeremy Bransom Griffiths, Jiri Podolsky. Espacio-tiempo exactos en la relatividad general de Einstein . Cambridge: Cambridge University Press, 2009. Capítulo 2.
2. Valeri P Frolov, Igor D Novikov. Física de agujeros negros: conceptos básicos y nuevos avances . Berlín: Springer, 1998. Apéndice E.
3. Abhay Ashtekar, Stephen Fairhurst, Badri Krishnan. Horizontes aislados: evolución hamiltoniana y la primera ley . Physical Review D, 2000, 62 (10): 104025. Apéndice B. gr-qc/0005083
4. Ezra T Newman, Roger Penrose. Una aproximación a la radiación gravitacional mediante un método de coeficientes de espín . Journal of Mathematical Physics, 1962, 3 (3): 566-768.
5. Ezra T Newman, Roger Penrose. Erratas: Un enfoque de la radiación gravitacional mediante un método de coeficientes de espín . Journal of Mathematical Physics, 1963, 4 (7): 998.
6. Subrahmanyan Chandrasekhar. La teoría matemática de los agujeros negros . Chicago: University of Chicago Press, 1983.
7. Peter O'Donnell. Introducción a los dos espinores en la relatividad general . Singapur: World Scientific, 2003.
8. P. Szekeres (1965). "La brújula gravitacional". Revista de física matemática . 6 (9): 1387–1391. Código Bibliográfico :1965JMP.....6.1387S. doi : 10.1063/1.1704788 ..
9. Hofmann, Stefan; Niedermann, Florian; Schneider, Robert (2013). "Interpretación del tensor de Weyl". Phys. Rev . D88 (6): 064047. arXiv : 1308.0010 . Código Bibliográfico :2013PhRvD..88f4047H. doi :10.1103/PhysRevD.88.064047. S2CID  118647223.