Tensor métrico (relatividad general)

Tensor que describe la geometría 4D del espacio-tiempo.

En la relatividad general , el tensor métrico (en este contexto a menudo abreviado simplemente como métrica ) es el objeto fundamental de estudio. La métrica capta toda la estructura geométrica y causal del espaciotiempo , utilizándose para definir nociones como tiempo, distancia, volumen, curvatura, ángulo y separación del futuro y el pasado.

En la relatividad general, el tensor métrico desempeña el papel del potencial gravitacional en la teoría clásica de la gravitación, aunque el contenido físico de las ecuaciones asociadas es completamente diferente. ^[1] Gutfreund y Renn dicen "que en la relatividad general el potencial gravitacional está representado por el tensor métrico". ^[2]

Notación y convenciones

Este artículo trabaja con una firma métrica que es mayoritariamente positiva ( − + + + ); ver convención de signos . La constante de gravitación se mantendrá explícita. Este artículo emplea la convención de suma de Einstein , donde los índices repetidos se suman automáticamente. ${\displaystyle G}$

Definición

Matemáticamente, el espacio-tiempo está representado por una variedad diferenciable de cuatro dimensiones y el tensor métrico se da como un tensor simétrico covariante de segundo grado en , convencionalmente denotado por . Además, se requiere que la métrica no sea degenerada con firma (− + + +) . Una variedad equipada con dicha métrica es un tipo de variedad Lorentziana . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle M}$

Explícitamente, el tensor métrico es una forma bilineal simétrica en cada espacio tangente que varía de manera suave (o diferenciable) de un punto a otro. Dados dos vectores tangentes y en un punto en , la métrica se puede evaluar en y para dar un número real: ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$

$${\displaystyle g_{x}(u,v)=g_{x}(v,u)\in \mathbb {R} .}$$

producto escalar del espacio euclidianodefinido positivoespacio de Minkowski

Coordenadas locales y representaciones matriciales.

Los físicos normalmente trabajan en coordenadas locales (es decir, coordenadas definidas en algún parche local de ). En coordenadas locales (donde hay un índice que va de 0 a 3), la métrica se puede escribir en la forma ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle x^{\mu }}$ ${\displaystyle \mu }$

$${\displaystyle g=g_{\mu \nu }dx^{\mu }\otimes dx^{\nu }.}$$

gradientes uniformesproductos tensorialescampo tensorialespacio-temporal ${\displaystyle dx^{\mu }}$ ${\displaystyle x^{\mu }}$ ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$ ${\displaystyle g}$

$${\displaystyle g_{\mu \nu }=g_{\nu \mu },}$$

Si se especifican las coordenadas locales, o se entienden por el contexto, la métrica se puede escribir como una matriz simétrica de 4 × 4 con entradas . La no degeneración de significa que esta matriz no es singular (es decir, tiene un determinante que no desaparece), mientras que la firma lorentziana de implica que la matriz tiene un valor propio negativo y tres positivos . Los físicos a menudo se refieren a esta matriz o a las propias coordenadas como métrica (ver, sin embargo, notación de índice abstracto ). ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$ ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$

Considerando las cantidades como componentes de un cuatro-vector de desplazamiento de coordenadas infinitesimales (que no debe confundirse con las formas unitarias de la misma notación anterior), la métrica determina el cuadrado invariante de un elemento lineal infinitesimal , a menudo denominado intervalo . El intervalo a menudo se denota ${\displaystyle dx^{\mu }}$

$${\displaystyle ds^{2}=g_{\mu \nu }dx^{\mu }dx^{\nu }.}$$

El intervalo imparte información sobre la estructura causal del espacio-tiempo . Cuando , el intervalo es temporal y la raíz cuadrada del valor absoluto de es un tiempo propio incremental . Un objeto masivo sólo puede atravesar físicamente intervalos temporales. Cuando , el intervalo es parecido a la luz y sólo puede ser atravesado por objetos (sin masa) que se mueven a la velocidad de la luz. Cuando , el intervalo es espacial y la raíz cuadrada de actúa como una longitud propia incremental . Los intervalos espaciales no se pueden atravesar, ya que conectan eventos que están fuera de los conos de luz de cada uno . Los eventos pueden estar relacionados causalmente sólo si están dentro de los conos de luz de cada uno. ${\displaystyle ds^{2}}$ ${\displaystyle ds^{2}<0}$ ${\displaystyle ds^{2}}$ ${\displaystyle ds^{2}=0}$ ${\displaystyle ds^{2}>0}$ ${\displaystyle ds^{2}}$

Los componentes de la métrica dependen de la elección del sistema de coordenadas local. Bajo un cambio de coordenadas , los componentes métricos se transforman como ${\displaystyle x^{\mu }\to x^{\bar {\mu }}}$

$${\displaystyle g_{{\bar {\mu }}{\bar {\nu }}}={\frac {\partial x^{\rho }}{\partial x^{\bar {\mu }}}}{\frac {\partial x^{\sigma }}{\partial x^{\bar {\nu }}}}g_{\rho \sigma }=\Lambda ^{\rho }{}_{\bar {\mu }}\,\Lambda ^{\sigma }{}_{\bar {\nu }}\,g_{\rho \sigma }.}$$

Propiedades

El tensor métrico juega un papel clave en la manipulación de índices . En notación de índice, los coeficientes del tensor métrico proporcionan un vínculo entre los componentes covariantes y contravariantes de otros tensores. Contraer el índice contravariante de un tensor con uno de un coeficiente tensor métrico covariante tiene el efecto de reducir el índice ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$ ${\displaystyle \mathbf {g} }$

$${\displaystyle g_{\mu \nu }A^{\nu }=A_{\mu }}$$

$${\displaystyle g^{\mu \nu }A_{\nu }=A^{\mu }.}$$

subir y bajar índices

$${\displaystyle g_{\mu \nu }g^{\nu \lambda }=\delta _{\mu }^{\lambda }}$$

${\displaystyle g_{\mu \nu }=0,\,\forall \mu \neq \nu }$ ${\displaystyle g_{00}=(g^{00})^{-1},g_{11}=(g^{11})^{-1}}$

Ejemplos

espacio-tiempo plano

El ejemplo más simple de una variedad de Lorentz es el espacio-tiempo plano , que puede expresarse como R ⁴ con coordenadas y la métrica ${\displaystyle (t,x,y,z)}$

$${\displaystyle ds^{2}=-c^{2}dt^{2}+dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}=\eta _{\mu \nu }dx^{\mu }dx^{\nu }.}$$

R ⁴métrica de Minkowskiηla relatividad especialη

$${\displaystyle \eta ={\begin{pmatrix}-c^{2}&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}}$$

el espacio de Minkowski § Base estándar ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle ct}$ ${\displaystyle \eta }$

En coordenadas esféricas , la métrica del espacio plano toma la forma ${\displaystyle (t,r,\theta ,\phi )}$

$${\displaystyle ds^{2}=-c^{2}dt^{2}+dr^{2}+r^{2}d\Omega ^{2}}$$

$${\displaystyle d\Omega ^{2}=d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2}}$$

2 esferas

Métricas de agujeros negros

La métrica de Schwarzschild describe un agujero negro sin carga y que no gira. También hay métricas que describen los agujeros negros giratorios y cargados.

Métrica de Schwarzschild

Además de la métrica del espacio plano, la métrica más importante en la relatividad general es la métrica de Schwarzschild , que se puede dar en un conjunto de coordenadas locales por

$${\displaystyle ds^{2}=-\left(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}}\right)c^{2}dt^{2}+\left(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}}\right)^{-1}dr^{2}+r^{2}d\Omega ^{2}}$$

2 esferasgravitación es constantela masaaquí ${\displaystyle d\Omega ^{2}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle r}$

Con coordenadas

$${\displaystyle \left(x^{0},x^{1},x^{2},x^{3}\right)=(ct,r,\theta ,\varphi )\,,}$$

$${\displaystyle g_{\mu \nu }={\begin{bmatrix}-\left(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}}\right)&0&0&0\\0&\left(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}}\right)^{-1}&0&0\\0&0&r^{2}&0\\0&0&0&r^{2}\sin ^{2}\theta \end{bmatrix}}\,.}$$

Se han ideado varios otros sistemas de coordenadas para la métrica de Schwarzschild: coordenadas de Eddington-Finkelstein , coordenadas de Gullstrand-Painlevé , coordenadas de Kruskal-Szekeres y coordenadas de Lemaître .

Agujeros negros giratorios y cargados

La solución de Schwarzschild supone un objeto que no gira en el espacio y no está cargado. Para tener en cuenta la carga, la métrica debe satisfacer las ecuaciones de campo de Einstein como antes, así como las ecuaciones de Maxwell en un espacio-tiempo curvo. Una masa cargada y no giratoria se describe mediante la métrica de Reissner-Nordström .

Los agujeros negros en rotación se describen mediante la métrica de Kerr y la métrica de Kerr-Newman . ^{[ Se necesita más explicación ]}

Otras métricas

Otras métricas notables son:

• Métrica de Alcubierre ,
• Métricas de de Sitter / anti-de Sitter ,
• Métrica de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker ,
• Coordenadas isotrópicas ,
• Métrica de Lemaître-Tolman ,
• Métrica de Peres ,
• Coordenadas de Rindler ,
• Coordenadas Weyl-Lewis-Papapetrou ,
• Métrica de Gödel .

Algunos de ellos carecen de horizonte de sucesos o pueden carecer de singularidad gravitacional .

Volumen

La métrica g induce una forma de volumen natural (hasta un signo), que se puede utilizar para integrar una región de una variedad. Dadas las coordenadas locales de la variedad, la forma del volumen se puede escribir ${\displaystyle x^{\mu }}$

$${\displaystyle \mathrm {vol} _{g}=\pm {\sqrt {\left|\det(g_{\mu \nu })\right|}}\,dx^{0}\wedge dx^{1}\wedge dx^{2}\wedge dx^{3}}$$

determinante ${\displaystyle \det(g_{\mu \nu })}$

Curvatura

La métrica determina completamente la curvatura del espacio-tiempo. Según el teorema fundamental de la geometría de Riemann , existe una conexión única ∇ en cualquier variedad semi-riemanniana que es compatible con la métrica y libre de torsión . Esta conexión se llama conexión Levi-Civita . Los símbolos de Christoffel de esta conexión se dan en términos de derivadas parciales de la métrica en coordenadas locales mediante la fórmula ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle x^{\mu }}$

$${\displaystyle \Gamma ^{\lambda }{}_{\mu \nu }={\frac {1}{2}}g^{\lambda \rho }\left({\frac {\partial g_{\rho \mu }}{\partial x^{\nu }}}+{\frac {\partial g_{\rho \nu }}{\partial x^{\mu }}}-{\frac {\partial g_{\mu \nu }}{\partial x^{\rho }}}\right)={\frac {1}{2}}g^{\lambda \rho }\left(g_{\rho \mu ,\nu }+g_{\rho \nu ,\mu }-g_{\mu \nu ,\rho }\right)}$$

derivadas parciales

La curvatura del espacio-tiempo viene dada entonces por el tensor de curvatura de Riemann que se define en términos de la conexión Levi-Civita ∇. En coordenadas locales, este tensor viene dado por:

$${\displaystyle {R^{\rho }}_{\sigma \mu \nu }=\partial _{\mu }\Gamma ^{\rho }{}_{\nu \sigma }-\partial _{\nu }\Gamma ^{\rho }{}_{\mu \sigma }+\Gamma ^{\rho }{}_{\mu \lambda }\Gamma ^{\lambda }{}_{\nu \sigma }-\Gamma ^{\rho }{}_{\nu \lambda }\Gamma ^{\lambda }{}_{\mu \sigma }.}$$

La curvatura es entonces expresable puramente en términos de la métrica y sus derivadas. ${\displaystyle g}$

las ecuaciones de einstein

Una de las ideas centrales de la relatividad general es que la métrica (y la geometría asociada del espaciotiempo) está determinada por el contenido de materia y energía del espaciotiempo . Ecuaciones de campo de Einstein :

$${\displaystyle R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}Rg_{\mu \nu }={\frac {8\pi G}{c^{4}}}\,T_{\mu \nu }}$$

tensor de curvatura de Ricci

$${\displaystyle R_{\nu \rho }\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {R^{\mu }}_{\nu \mu \rho }}$$

curvatura escalar

$${\displaystyle R\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ g^{\mu \nu }R_{\mu \nu }}$$

tensor tensión-energíatensorialecuaciones diferenciales parcialesLas soluciones exactas ${\displaystyle T_{\mu \nu }}$

Ver también

• Alternativas a la relatividad general
• Introducción a las matemáticas de la relatividad general.
• Matemáticas de la relatividad general.
• cálculo de ricci

Referencias

1. Para obtener más detalles, consulte la Sección 2.11, El tensor métrico y el potencial gravitacional clásico , en Chow, Tai L. (2008). Gravedad, agujeros negros y el universo primitivo: una introducción a la relatividad general y la cosmología. Saltador. ISBN 9780387736310.
2. Gutfreund, Hanoc; Renn, Jürgen (2015). El camino hacia la relatividad: la historia y el significado de "La base de la relatividad general" de Einstein, que presenta el manuscrito original de la obra maestra de Einstein. Prensa de la Universidad de Princeton. pag. 75.ISBN​ 9780691175812.

• Consulte los recursos de relatividad general para obtener una lista de referencias.