Coordenadas de Lemaître

Las coordenadas de Lemaître son un conjunto particular de coordenadas para la métrica de Schwarzschild , una solución esféricamente simétrica a las ecuaciones de campo de Einstein en el vacío, introducida por Georges Lemaître en 1932. ^[1] Al cambiar de coordenadas de Schwarzschild a Lemaître se elimina la singularidad de coordenadas en el radio de Schwarzschild .

Métrico

La expresión de coordenadas de Schwarzschild original de la métrica de Schwarzschild, en unidades naturales ( c = G = 1 ), viene dada como

${\displaystyle ds^{2}=\left(1-{r_{s} \over r}\right)dt^{2}-{dr^{2} \over 1-{r_{s} \over r}}-r^{2}\left(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta d\phi ^{2}\right)\;,}$

dónde

${\displaystyle ds^{2}}$es el intervalo invariante ;

${\displaystyle r_{s}={\frac {2GM}{c^{2}}}}$es el radio de Schwarzschild;

${\displaystyle M}$es la masa del cuerpo central;

${\displaystyle t,r,\theta ,\phi }$son las coordenadas de Schwarzschild (que asintóticamente se convierten en coordenadas esféricas planas );

${\displaystyle c}$es la velocidad de la luz ;

y es la constante gravitacional . ${\displaystyle G}$

Esta métrica tiene una singularidad de coordenadas en el radio de Schwarzschild . ${\displaystyle r=r_{s}}$

Georges Lemaître fue el primero en demostrar que esto no es una singularidad física real, sino simplemente una manifestación del hecho de que las coordenadas estáticas de Schwarzschild no pueden realizarse con cuerpos materiales dentro del radio de Schwarzschild. En efecto, dentro del radio de Schwarzschild todo cae hacia el centro y es imposible que un cuerpo físico mantenga un radio constante.

Una transformación del sistema de coordenadas de Schwarzschild a las nuevas coordenadas. ${\displaystyle \{t,r\}}$ ${\displaystyle \{\tau ,\rho \},}$

${\displaystyle {\begin{aligned}d\tau =dt+{\sqrt {\frac {r_{s}}{r}}}\,\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right)^{-1}dr~\\d\rho =dt+{\sqrt {\frac {r}{r_{s}}}}\,\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right)^{-1}dr~\end{aligned}}}$

(el numerador y el denominador se cambian dentro de las raíces cuadradas), conduce a la expresión de coordenadas de Lemaître de la métrica,

${\displaystyle ds^{2}=d\tau ^{2}-{\frac {r_{s}}{r}}d\rho ^{2}-r^{2}(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta d\phi ^{2})}$

dónde

${\displaystyle r=\left[{\frac {3}{2}}(\rho -\tau )\right]^{2/3}r_{s}^{1/3}\;.}$

La métrica en coordenadas de Lemaître no es singular en el radio de Schwarzschild . Esto corresponde al punto . Queda una singularidad gravitacional genuina en el centro, donde , que no puede eliminarse mediante un cambio de coordenadas. ${\displaystyle r=r_{s}}$ ${\displaystyle {\frac {3}{2}}(\rho -\tau )=r_{s}}$ ${\displaystyle \rho -\tau =0}$

La coordenada de tiempo utilizada en las coordenadas de Lemaître es idéntica a la coordenada de tiempo de la "gota de lluvia" utilizada en las coordenadas de Gullstrand-Painlevé . Los otros tres: las coordenadas radiales y angulares de las coordenadas Gullstrand-Painlevé son idénticas a las de la carta de Schwarzschild. Es decir, Gullstrand-Painlevé aplica una transformación de coordenadas para pasar del tiempo de Schwarzschild a la coordenada de la gota de lluvia . Luego, Lemaître aplica una segunda transformación de coordenadas al componente radial, para eliminar la entrada fuera de la diagonal en el gráfico de Gullstrand-Painlevé. ${\displaystyle r,\theta ,\phi }$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle t_{r}=\tau }$

La notación utilizada en este artículo para la coordenada horaria no debe confundirse con la hora adecuada . Es cierto que esto da el tiempo adecuado para que los observadores caigan radialmente; no da el tiempo adecuado para que los observadores viajen a lo largo de otras geodésicas. ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \tau }$

Geodésicas

Las trayectorias con ρ constante son geodésicas temporales con τ el tiempo adecuado a lo largo de estas geodésicas. Representan el movimiento de partículas en caída libre que comienzan con velocidad cero en el infinito. En cualquier punto su velocidad es igual a la velocidad de escape desde ese punto.

El sistema de coordenadas de Lemaître es síncrono , es decir, la coordenada de tiempo global de la métrica define el tiempo adecuado de los observadores en movimiento conjunto. Los cuerpos que caen radialmente alcanzan el radio de Schwarzschild y el centro en un tiempo propio finito.

Corresponden a geodésicas radiales nulas , que tienen soluciones . Aquí hay sólo una breve descripción de ${\displaystyle ds^{2}=0}$ ${\displaystyle d\tau =\pm \beta d\rho }$ ${\displaystyle \beta }$

${\displaystyle \beta \equiv \beta (r)={\sqrt {r_{s} \over r}}}$

Los dos signos corresponden a rayos de luz que se mueven hacia afuera y hacia adentro, respectivamente. Reexpresar esto en términos de coordenadas da ${\displaystyle r}$

${\displaystyle dr=\left(\pm 1-{\sqrt {r_{s} \over r}}\right)d\tau }$

Tenga en cuenta que cuando . Esto se interpreta como que ninguna señal puede escapar desde el interior del radio de Schwarzschild, y los rayos de luz emitidos radialmente hacia adentro o hacia afuera terminan en el origen a medida que aumenta el tiempo adecuado. ${\displaystyle dr<0}$ ${\displaystyle r<r_{s}}$ ${\displaystyle \tau }$

El mapa de coordenadas de Lemaître no está geodésicamente completo . Esto se puede ver rastreando geodésicas radiales nulas que se mueven hacia afuera hacia atrás en el tiempo. Las geodésicas que se mueven hacia afuera corresponden al signo más en lo anterior. Al seleccionar un punto de partida en , la ecuación anterior se integra como . Volviendo hacia atrás en el tiempo adecuado, se tiene como . A partir de e integrándose hacia adelante, se llega a ello en un tiempo propio finito. Volviendo hacia atrás, se tiene, una vez más, que como . Por lo tanto, se concluye que, aunque la métrica no es singular en , todas las geodésicas que viajan hacia el exterior se extienden hasta . ${\displaystyle r>r_{s}}$ ${\displaystyle \tau =0}$ ${\displaystyle r\to +\infty }$ ${\displaystyle \tau \to +\infty }$ ${\displaystyle r\to r_{s}}$ ${\displaystyle \tau \to -\infty }$ ${\displaystyle r<r_{s}}$ ${\displaystyle r=0}$ ${\displaystyle r\to r_{s}}$ ${\displaystyle \tau \to -\infty }$ ${\displaystyle r=r_{s}}$ ${\displaystyle r=r_{s}}$ ${\displaystyle \tau \to -\infty }$

Ver también

• Coordenadas de Kruskal-Székeres
• Coordenadas de Eddington-Finkelstein
• Métrica de Lemaître-Tolman
• Introducción a las matemáticas de la relatividad general.
• Tensor estrés-energía
• Tensor métrico (relatividad general)
• Momento angular relativista

Referencias

1. G. Lemaitre (1933). "L'Univers en expansión". Annales de la Société Scientifique de Bruselas . A53 : 51–85. Código Bib : 1933ASSB...53...51L.Traducción al inglés: Lemaître, Abbe Georges (1997). "El universo en expansión". Relatividad General y Gravitación . 29 (5). Kluwer Academic Publishers-Plenum Publishers: 641–680. Código Bib : 1997GReGr..29..641L. doi :10.1023/A:1018855621348. S2CID  117168184.
   Véanse también: LD Landau y EM Lifshitz. La teoría clásica de los campos . Curso de Física Teórica . vol. 2. … André Gsponer (2004). "Más sobre la interpretación temprana de la solución de Schwarzschild". arXiv : física/0408100 .