Coordenadas de Gullstrand-Painlevé

Coordenadas adecuadas para seguir a un observador en caída libre de un agujero negro de Schwarzchild

Las coordenadas de Gullstrand-Painlevé son un conjunto particular de coordenadas para la métrica de Schwarzschild , una solución a las ecuaciones de campo de Einstein que describen un agujero negro . Las coordenadas entrantes son tales que la coordenada de tiempo sigue el tiempo adecuado de un observador en caída libre que comienza desde muy lejos a velocidad cero, y los cortes espaciales son planos. No existe una singularidad de coordenadas en el radio de Schwarzschild (horizonte de sucesos). Las salientes son simplemente el tiempo inverso de las coordenadas entrantes (el tiempo es el tiempo adecuado a lo largo de las partículas salientes que alcanzan el infinito con velocidad cero).

La solución fue propuesta de forma independiente por Paul Painlevé en 1921 ^[1] y Allvar Gullstrand ^[2] en 1922. No se demostró explícitamente hasta 1933 en el artículo de Lemaître ^[3] que estas soluciones eran simplemente transformaciones coordinadas de la solución habitual de Schwarzschild. aunque Einstein inmediatamente creyó que eso era cierto.

Derivación

La derivación de coordenadas GP requiere definir los siguientes sistemas de coordenadas y comprender cómo los datos medidos para eventos en un sistema de coordenadas se interpretan en otro sistema de coordenadas.

Convención: Todas las unidades de las variables están geometrizadas . El tiempo y la masa tienen unidades en metros. La velocidad de la luz en el espacio-tiempo plano tiene un valor de 1. La constante gravitacional tiene un valor de 1. La métrica se expresa en la convención de signos +−−− .

Coordenadas de Schwarzschild

Líneas de mundo en caída libre en coordenadas clásicas de Schwarzschild-Droste

Un observador de Schwarzschild es un observador lejano o un contable. No realiza mediciones directas de eventos que ocurren en diferentes lugares. En cambio, está muy lejos del agujero negro y de los acontecimientos. Se reclutan observadores locales de los eventos para realizar mediciones y enviarle los resultados. El contable recopila y combina los informes de varios lugares. Las cifras de los informes se traducen en datos en coordenadas de Schwarzschild, que proporcionan un medio sistemático para evaluar y describir los acontecimientos a nivel mundial. Así, el físico puede comparar e interpretar los datos de forma inteligente. Puede encontrar información significativa a partir de estos datos. La forma de Schwarzschild de la métrica de Schwarzschild usando coordenadas de Schwarzschild viene dada por

${\displaystyle g=\left(1-{\frac {2M}{r}}\right)\,dt^{2}-{\frac {dr^{2}}{\left(1-{\frac {2M}{r}}\right)}}-r^{2}\,d\theta ^{2}-r^{2}\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2}\,}$

dónde

G=1=c

t , r , θ , φ son las coordenadas de Schwarzschild,

M es la masa del agujero negro.

Coordenadas GP

Líneas del mundo en caída libre en coordenadas de gota de lluvia Gullstrand-Painlevé

Definir una nueva coordenada de tiempo mediante

${\displaystyle t_{r}=t+a(r)}$

para alguna función arbitraria . Sustituyendo en la métrica de Schwarzschild se obtiene ${\displaystyle a(r)}$

${\displaystyle g=\left(1-{\frac {2M}{r}}\right)\,dt_{r}^{2}+2\left(1-{\frac {2M}{r}}\right)\,a'dt_{r}dr-\left({\frac {1}{1-{\frac {2M}{r}}}}-\left(1-{\frac {2M}{r}}\right)\,{a'}^{2}\right)dr^{2}-r^{2}\,d\theta ^{2}-r^{2}\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2}\,}$

dónde . Si ahora elegimos tal que el término multiplicador sea la unidad, obtenemos ${\displaystyle a'(r)={\frac {da}{dr}}}$ ${\displaystyle a(r)}$ ${\displaystyle dr^{2}}$

${\displaystyle a'=-{\frac {1}{1-{\frac {2M}{r}}}}{\sqrt {\frac {2M}{r}}}}$

y la métrica se convierte

${\displaystyle g=\left(1-{\frac {2M}{r}}\right)\,dt_{r}^{2}-2{\sqrt {\frac {2M}{r}}}dt_{r}dr-dr^{2}-r^{2}\,d\theta ^{2}-r^{2}\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2}\,}$

La métrica espacial (es decir, la restricción de la métrica en la superficie donde es constante) es simplemente la métrica plana expresada en coordenadas polares esféricas. Esta métrica es regular a lo largo del horizonte donde r=2M , ya que, aunque el término temporal tiende a cero, el término fuera de la diagonal en la métrica sigue siendo distinto de cero y garantiza que la métrica siga siendo invertible (el determinante de la métrica es ). ${\displaystyle g|_{t=t_{r}}}$ ${\displaystyle t_{r}}$ ${\displaystyle -r^{4}\sin(\theta )^{2}}$

La función está dada por ${\displaystyle a(r)}$

${\displaystyle a(r)=-\int {\frac {\sqrt {\frac {2M}{r}}}{1-{\frac {2M}{r}}}}dr=2M\left(-2y+\ln \left({\frac {y+1}{y-1}}\right)\right)}$

dónde . La función es claramente singular en r=2M como debe serlo para eliminar esa singularidad en la métrica de Schwarzschild. ${\displaystyle y={\sqrt {\frac {r}{2M}}}}$ ${\displaystyle a(r)}$

Otras opciones conducen a otros gráficos de coordenadas para el vacío de Schwarzschild; un tratamiento general se da en Francis & Kosowsky. ^[4] ${\displaystyle a(r)}$

Movimiento de gota de lluvia

Defina una gota de lluvia como un objeto que se precipita radialmente hacia un agujero negro desde el reposo en el infinito. ^[5]

En coordenadas de Schwarzschild, la velocidad de una gota de lluvia está dada por

${\displaystyle {\frac {dr}{dt}}=-\left(1-{\frac {2M}{r}}\right){\sqrt {\frac {2M}{r}}}.\,}$

• La velocidad tiende a 0 cuando r se acerca al horizonte de sucesos. La gota de lluvia parece haberse ralentizado a medida que se acerca al horizonte de sucesos y se detuvo en el horizonte de sucesos, según lo medido por el contable. De hecho, un observador fuera del horizonte de sucesos vería cómo la gota de lluvia cae cada vez más lentamente. Su imagen se desplaza infinitamente al rojo y nunca atraviesa el horizonte de sucesos. Sin embargo, el contable no mide físicamente la velocidad directamente. Traduce los datos transmitidos por el observador del caparazón a valores de Schwarzschild y calcula la velocidad. El resultado es sólo un asiento contable.

En coordenadas GP, la velocidad viene dada por

${\displaystyle {\frac {dr}{dt_{r}}}=-\beta =-{\sqrt {\frac {2M}{r}}}.\,}$

• La velocidad de la gota de lluvia es inversamente proporcional a la raíz cuadrada del radio e igual a la velocidad de escape newtoniana negativa . En puntos muy alejados del agujero negro, la velocidad es extremadamente pequeña. A medida que la gota de lluvia cae hacia el agujero negro, la velocidad aumenta. En el horizonte de sucesos, la velocidad tiene el valor 1. No hay discontinuidad ni singularidad en el horizonte de sucesos.
• Dentro del horizonte de sucesos, la velocidad aumenta a medida que la gota de lluvia se acerca a la singularidad. Finalmente, la velocidad se vuelve infinita en la singularidad. Como se muestra a continuación, la velocidad es siempre menor que la velocidad de la luz. Es posible que la ecuación en la singularidad y muy cerca de ella no prediga correctamente los resultados, ya que la verdadera solución puede ser bastante diferente cuando se incorpora la mecánica cuántica. ${\displaystyle r<2M\,\!}$
• A pesar del problema con la singularidad, todavía es posible calcular matemáticamente el tiempo de viaje de la gota de lluvia desde el horizonte hasta el centro del agujero negro.

Integrar la ecuación de movimiento:

${\displaystyle \int _{0}^{T_{r}}\,dt=-\int _{2M}^{0}\left({\sqrt {\frac {2M}{r}}}\right)^{-1}\,dr.\,}$ El resultado es ${\displaystyle T_{r}={\frac {4}{3}}M.\,}$

Usando este resultado para la velocidad de la gota de lluvia podemos encontrar el tiempo adecuado a lo largo de la trayectoria de la gota de lluvia en términos de tiempo . Tenemos ${\displaystyle t_{r}}$

${\displaystyle d\tau ^{2}=g|_{\text{trajectory}}=dt_{r}^{2}\left[1-{\frac {2M}{r}}+2{\sqrt {\frac {2M}{r}}}{\sqrt {\frac {2M}{r}}}-{\sqrt {\frac {2M}{r}}}^{2}\right]=dt_{r}^{2}}$

Es decir, a lo largo de la trayectoria de las gotas de lluvia, el tiempo transcurrido es exactamente el tiempo adecuado a lo largo de la trayectoria. Se podrían haber definido las coordenadas GP según este requisito, en lugar de exigir que las superficies espaciales sean planas. ${\displaystyle t_{r}}$

Un conjunto de coordenadas estrechamente relacionado son las coordenadas de Lemaître , en las que se elige la coordenada "radial" para que sea constante a lo largo de la trayectoria de las gotas de lluvia. Dado que r cambia a medida que caen las gotas de lluvia, esta métrica depende del tiempo, mientras que la métrica GP es independiente del tiempo.

La métrica obtenida si, en lo anterior, tomamos la función f(r) como negativa de lo que elegimos anteriormente también se llama sistema de coordenadas GP. El único cambio en la métrica es que los términos cruzados cambian de signo. Esta métrica es normal para las gotas de lluvia que salen, es decir, las partículas que abandonan el agujero negro viajando hacia afuera con una velocidad de escape justa, de modo que su velocidad en el infinito es cero. En las coordenadas GP habituales, tales partículas no pueden describirse para r<2M . Tienen un valor cero para en r=2M . Esto es una indicación de que el agujero negro de Schwarzschild tiene dos horizontes, un horizonte pasado y un horizonte futuro. La forma original de las coordenadas GP es regular a lo largo del horizonte futuro (donde caen las partículas cuando caen en un agujero negro), mientras que la versión negativa alternativa es regular a lo largo del horizonte pasado (de donde las partículas salen del agujero negro si lo hacen). entonces). ${\displaystyle {\frac {dr}{dt_{r}}}}$

Las coordenadas de Kruskal-Szekeres son regulares en ambos horizontes a expensas de hacer que la métrica dependa en gran medida de la coordenada temporal.

velocidades de la luz

Suponga un movimiento radial. Para la luz, por lo tanto, ${\displaystyle d\tau =0.}$

${\displaystyle 0=\left(dr+\left(1+{\sqrt {\frac {2M}{r}}}\ \right)dt_{r}\right)\left(dr-\left(1-{\sqrt {\frac {2M}{r}}}\ \right)\,dt_{r}\right),}$

${\displaystyle {\frac {dr}{dt_{r}}}=\pm 1-{\sqrt {\frac {2M}{r}}}.}$

• En lugares muy alejados del agujero negro, la velocidad de la luz es 1, la misma que en la relatividad especial. ${\displaystyle r\to \infty ,{\tfrac {dr}{dt_{r}}}=\pm 1.}$
• En el horizonte de sucesos, la velocidad de la luz que brilla desde el centro del agujero negro es No puede escapar del horizonte de sucesos. En cambio, se queda estancado en el horizonte de sucesos. Dado que la luz se mueve más rápido que todas las demás, la materia sólo puede moverse hacia adentro en el horizonte de sucesos. Todo lo que hay dentro del horizonte de sucesos está oculto al mundo exterior. ${\displaystyle r=2M,}$ ${\displaystyle {\tfrac {dr}{dt_{r}}}=0.}$
• Dentro del horizonte de sucesos, el observador de lluvia mide que la luz se mueve hacia el centro con una velocidad mayor que 2. Esto es plausible. Incluso en la relatividad especial, la velocidad adecuada de un objeto en movimiento es ${\displaystyle r<2M,}$

  ${\displaystyle {\frac {dr_{ff}}{d\tau }}={\frac {v}{\sqrt {1-v^{2}}}}\geq 1.}$

Hay dos puntos importantes a considerar:

1. Ningún objeto debe tener una velocidad mayor que la velocidad de la luz medida en el mismo sistema de referencia. Por tanto, se preserva el principio de causalidad. De hecho, la velocidad de las gotas de lluvia es menor que la de la luz: ${\displaystyle {\frac {\left({\dfrac {dr}{dt_{r}}}\right)_{\text{raindrop}}}{\left({\dfrac {dr}{dt_{r}}}\right)_{\text{light}}}}={\frac {\sqrt {\dfrac {2M}{r}}}{1+{\sqrt {\dfrac {2M}{r}}}}}<1.}$
2. El tiempo de viaje de la luz que brilla hacia adentro desde el horizonte de sucesos hasta el centro del agujero negro se puede obtener integrando la ecuación de la velocidad de la luz,

${\displaystyle \int _{0}^{T_{r}}\,dt=-\int _{2M}^{0}\left({\sqrt {\frac {2M}{r}}}+1\right)^{-1}\,dr.}$

El resultado es ${\displaystyle T_{r}=4M\ln 2-2M\approx 0.77M.}$

1. El tiempo de viaje de la luz para un agujero negro estelar con un tamaño típico de 3 masas solares es de aproximadamente 11 microsegundos.
2. Haciendo caso omiso de los efectos de la rotación, para Sagitario A* , el agujero negro supermasivo que reside en el centro de la Vía Láctea , con una masa de 3,7 millones de masas solares, el tiempo de viaje de la luz es de unos 14 segundos.
3. El agujero negro supermasivo en el centro de Messier 87 , una galaxia elíptica gigante en el Cúmulo de Virgo , es el agujero negro más grande conocido. Tiene una masa de aproximadamente 3 mil millones de masas solares. La luz tardaría unas 3 horas en viajar hasta la singularidad central de un agujero negro tan supermasivo, y una gota de lluvia, 5 horas.

La visión del universo desde un observador de la lluvia.

¿Cómo se ve el universo visto por un observador de lluvia que se sumerge en el agujero negro? ^[6] La vista se puede describir mediante las siguientes ecuaciones:

${\displaystyle \cos {\boldsymbol {\Phi }}_{r}={\frac {dr_{r}}{dt_{r}}}={\frac {{\sqrt {\dfrac {2M}{r}}}+\cos {\boldsymbol {\Phi }}_{s}}{1+{\sqrt {\dfrac {2M}{r}}}\ \cos {\boldsymbol {\Phi }}_{s}}},\,}$

${\displaystyle \cos {\boldsymbol {\Phi }}_{s}={\frac {dr_{s}}{dt_{s}}}=\pm {\sqrt {1-\left(1-{\frac {2M}{r}}\right){\frac {{\mathit {I}}^{2}}{r^{2}}}}},\,\!}$

${\displaystyle \phi ={\mathit {I}}\int _{r_{0}}^{\infty }{\frac {dr}{r^{2}\ \cos {\boldsymbol {\Phi }}_{s}}},\,\!}$

dónde

${\displaystyle {\boldsymbol {\Phi }}_{r},\ {\boldsymbol {\Phi }}_{s}\,\!}$son los ángulos de visión del observador de lluvia y del observador de caparazón con respecto a la dirección radial hacia afuera.

${\displaystyle \ \phi \,\!}$es el ángulo entre la estrella distante y la dirección radialmente hacia afuera.

${\displaystyle {\mathit {I}}\,\!}$   es el parámetro de impacto. Cada rayo de luz entrante se puede rastrear hasta un rayo correspondiente en el infinito. El parámetro de impacto del rayo de luz entrante es la distancia entre el rayo correspondiente en el infinito y un rayo paralelo a él que se sumerge directamente en el agujero negro.

Debido a la simetría esférica, la trayectoria de la luz siempre se encuentra en un plano que pasa por el centro de la esfera. Es posible simplificar la métrica suponiendo . ${\displaystyle \theta ={\frac {\pi }{2}}\,\!}$

El parámetro de impacto se puede calcular conociendo la coordenada r y el ángulo de visión del observador de lluvia . Luego, el ángulo real de la estrella distante se determina integrando numéricamente desde hasta el infinito. A la derecha se muestra un gráfico de los resultados de la muestra. ${\displaystyle {\mathit {I}}\,\!}$ ${\displaystyle r_{0}\,\!}$ ${\displaystyle \ {\boldsymbol {\Phi }}_{r0}\,\!}$ ${\displaystyle \ \phi \,\!}$ ${\displaystyle dr\,\!}$ ${\displaystyle r_{0}\,\!}$

• A r / M = 500, el agujero negro todavía está muy lejos. Subtiende un ángulo diametral de ~ 1 grado en el cielo. Las estrellas no están muy distorsionadas por la presencia del agujero negro, a excepción de las estrellas directamente detrás de él. Debido a las lentes gravitacionales , estas estrellas obstruidas ahora se desvían 5 grados desde atrás. Entre estas estrellas y el agujero negro hay una banda circular de imágenes secundarias de las estrellas. Las imágenes duplicadas son fundamentales para la identificación del agujero negro.
• En r/M = 30, el agujero negro se ha vuelto mucho más grande, abarcando un ángulo diametral de ~15 grados en el cielo. La banda de imágenes secundarias también ha crecido hasta los 10 grados. Ahora es posible encontrar imágenes terciarias débiles en la banda, que son producidas por los rayos de luz que ya han dado vueltas alrededor del agujero negro una vez. Las imágenes primarias se distribuyen más estrechamente en el resto del cielo. El patrón de distribución es similar al mostrado anteriormente.
• En r/M = 2, el horizonte de sucesos, el agujero negro ocupa ahora una porción sustancial del cielo. El observador de lluvia vería un área de hasta 42 grados desde la dirección radial hacia adentro que está completamente oscura. La banda de imágenes secundarias y terciarias, en lugar de aumentar, ha disminuido de tamaño hasta los 5 grados. El efecto de aberración es ahora bastante dominante. La velocidad de caída ha alcanzado la velocidad de la luz. El patrón de distribución de las imágenes primarias está cambiando drásticamente. Las imágenes primarias se están desplazando hacia el límite de la banda. El borde cercano a la banda ahora está lleno de estrellas. Debido al efecto Doppler , las imágenes primarias de las estrellas que originalmente se encontraban detrás del observador de lluvia tienen sus imágenes notablemente desplazadas hacia el rojo, mientras que las que estaban delante están desplazadas hacia el azul y parecen muy brillantes.
• En r/M=0,001, la curva del ángulo de la estrella distante versus el ángulo de visión parece formar un ángulo recto en el ángulo de visión de 90 grados. Casi todas las imágenes de estrellas están congregadas en un anillo estrecho a 90 grados de la dirección radial hacia adentro. Entre el anillo y la dirección radial hacia adentro se encuentra el enorme agujero negro. En el lado opuesto, sólo unas pocas estrellas brillan débilmente.
• A medida que el observador de lluvia se acerca a la singularidad, y . La mayoría de las estrellas y sus imágenes generadas por múltiples órbitas de la luz alrededor del agujero negro se comprimen en una banda estrecha en el ángulo de visión de 90°. El observador ve un magnífico anillo brillante de estrellas que divide el cielo oscuro. ${\displaystyle r\rightarrow 0\,\!}$ ${\displaystyle \cos {\boldsymbol {\Phi }}_{r}\rightarrow {\sqrt {\frac {r}{2M}}}\,\!}$

Historia

Aunque la publicación del artículo de Gullstrand se produjo después de la de Painlevé, el artículo de Gullstrand estaba fechado el 25 de mayo de 1921, mientras que la publicación de Painlevé fue un resumen de su presentación ante la Academia de Ciencias de París el 24 de octubre de 1921. De esta manera, el trabajo de Gullstrand parece tener prioridad. ^[7]

Tanto Painlevé como Gullstrand utilizaron esta solución para argumentar que la teoría de Einstein era incompleta porque daba múltiples soluciones para el campo gravitacional de un cuerpo esférico y, además, daba una física diferente (argumentaban que las longitudes de las varillas a veces podían ser más largas y otras más cortas en la dirección radial que la tangencial). El "truco" de la propuesta de Painlevé fue que ya no se apegó a una forma cuadrática (estática) completa, sino que permitió un producto cruzado tiempo-espacio haciendo que la forma métrica ya no fuera estática sino estacionaria y ya no fuera simétrica en dirección sino preferentemente orientada.

En un segundo artículo, más extenso (14 de noviembre de 1921), ^[8] Painlevé explica cómo derivó su solución resolviendo directamente las ecuaciones de Einstein para una forma genérica esféricamente simétrica de la métrica. El resultado, la ecuación (4) de su artículo, dependía de dos funciones arbitrarias de la coordenada r que producían una doble infinidad de soluciones. Ahora sabemos que estos simplemente representan una variedad de elecciones tanto de tiempo como de coordenadas radiales.

Painlevé escribió a Einstein para presentarle su solución e invitó a Einstein a París para un debate. En la carta de respuesta de Einstein (7 de diciembre), ^[9] se disculpó por no estar en condiciones de visitarlo pronto y explicó por qué no estaba satisfecho con los argumentos de Painlevé, enfatizando que las coordenadas en sí mismas no tienen significado. Finalmente, Einstein llegó a París a principios de abril. El 5 de abril de 1922, en un debate en el "Collège de France" ^{[10] [11]} con Painlevé, Becquerel, Brillouin, Cartan, De Donder, Hadamard, Langevin y Nordmann sobre "los potenciales infinitos", Einstein, desconcertado. por el término cruzado no cuadrático en el elemento lineal, rechazó la solución de Painlevé.

Ver también

• Coordenadas isotrópicas
• Coordenadas de Eddington-Finkelstein
• Coordenadas de Kruskal-Székeres
• Coordenadas de Lemaitre

Referencias

1. Paul Painlevé, "La mécanique classique et la théorie de la relativité", CR Acad. Ciencia. (París) 173, 677–680 (1921).
2. Gullstrand, Allvar (1922). "Allgemeine Lösung des statischen Einkörperproblems in der Einsteinschen Gravitationstheorie". Arkiv för Matematik, Astronomi och Fysik . 16 (8): 1–15.
3. G. Lemaitre (1933). "L'Univers en expansión". Annales de la Société Scientifique de Bruselas . A53 : 51–85. Código Bib : 1933ASSB...53...51L.
4. Matthew R. Francis y Arthur Kosowsky (2004). "Geodésicas en la solución generalizada de Schwarzschild", arXiv :gr-qc/0311038
5. Bertschinger, Edmundo; Taylor, Edwin F. (2020). "Capítulo 6: Buceo; Exploración de los agujeros negros, segunda edición (EBH2e)" (PDF) . eftaylor.com . No existe ningún libro de texto impreso publicado sobre EBH2e. En su lugar, puede descargar gratuitamente la versión en línea.
6. Tony Rothman; Richard Matzner; Bill Unruh (1985). "Grandes ilusiones: más conversaciones sobre el borde del espacio-tiempo". En Tony Rothman (ed.). Fronteras de la Física Moderna . Publicaciones de Dover (Nueva York). págs. 49–81.
7. Hamilton, Andrew JS; Lisle, Jason P. (junio de 2008). "El modelo fluvial de los agujeros negros". Revista Estadounidense de Física . 76 (6): 519–532. arXiv : gr-qc/0411060 . Código Bib : 2008AmJPh..76..519H. doi :10.1119/1.2830526. S2CID  119467298.
8. "La gravitación en la mecánica de Newton y en la mecánica de Einstein" CR Acad. Ciencia. (París) 173, 873-886 (1921).
9. Diana Buchwald; et al., eds. (2009). Los artículos recopilados de Albert Einstein . Prensa de la Universidad de Princeton . págs. 368–370.
10. Jean Eisenstaedt (1987). "La interpretación temprana de la solución de Schwarzschild". En Don Howard; John Stachel (eds.). Einstein y la Historia de la Relatividad General . Birkhauser (Berlín). págs. 222-223.
11. Jean Eisenstaedt (1982). "Histoire et Singularités de la Solution de Schwarzschild (1915-1923)". Archivo de Historia de las Ciencias Exactas . 27 (2): 157–198. Código bibliográfico : 1982AHES...27..157E. doi :10.1007/BF00348347. S2CID  116541975.

• Misner, Thorne, Wheeler (1973). Gravitación . WH Freeman y compañía. ISBN 0-7167-0344-0.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)

enlaces externos

• El modelo fluvial de los agujeros negros
• Vídeo del Dr. Andrew JS Hamilton "Dentro de los agujeros negros"
• Simulación de la órbita de un agujero negro en coordenadas GP.