Espacio anti-de-sitter

Variedad lorentziana máximamente simétrica con una constante cosmológica negativa

El espacio tridimensional anti-de Sitter es como una pila de discos hiperbólicos , cada uno de los cuales representa el estado del universo en un momento dado. El espacio-tiempo resultante parece un cilindro sólido .

En matemáticas y física , el espacio anti-de Sitter n -dimensional (AdS _n ) es una variedad de Lorentz simétrica máxima con curvatura escalar negativa constante . El espacio Anti-de Sitter y el espacio de Sitter llevan el nombre de Willem de Sitter (1872-1934), profesor de astronomía en la Universidad de Leiden y director del Observatorio de Leiden . Willem de Sitter y Albert Einstein trabajaron juntos en estrecha colaboración en Leiden en la década de 1920 sobre la estructura espacio-temporal del universo. Paul Dirac fue la primera persona en explorar rigurosamente el espacio anti-de Sitter, y lo hizo en 1963. ^{[1] [2] [3]}

Las variedades de curvatura constante son más familiares en el caso de dos dimensiones, donde el plano elíptico o superficie de una esfera es una superficie de curvatura positiva constante, un plano plano (es decir, euclidiano ) es una superficie de curvatura cero constante y un plano hiperbólico . El plano es una superficie de curvatura negativa constante.

La teoría general de la relatividad de Einstein sitúa el espacio y el tiempo en pie de igualdad, de modo que se considera la geometría de un espacio-tiempo unificado en lugar de considerar el espacio y el tiempo por separado. Los casos de espaciotiempo de curvatura constante son el espacio de De Sitter (positivo), el espacio de Minkowski (cero) y el espacio anti-de Sitter (negativo). Como tales, son soluciones exactas de las ecuaciones de campo de Einstein para un universo vacío con una constante cosmológica positiva, cero o negativa , respectivamente.

El espacio Anti-de Sitter se generaliza a cualquier número de dimensiones espaciales. En dimensiones superiores, es mejor conocido por su papel en la correspondencia AdS/CFT , que sugiere que es posible describir una fuerza en mecánica cuántica (como el electromagnetismo , la fuerza débil o la fuerza fuerte ) en un cierto número de dimensiones ( por ejemplo cuatro) con una teoría de cuerdas donde las cuerdas existen en un espacio anti-de Sitter, con una dimensión adicional (no compacta).

Explicación no técnica

Términos técnicos traducidos

Una variedad lorentziana máximamente simétrica es un espacio-tiempo en el que ningún punto en el espacio y el tiempo puede distinguirse de otro de ninguna manera y (al ser lorentziana) es la única forma en que una dirección (o tangente a una trayectoria en un punto del espacio-tiempo) puede ser Lo que se distingue es si es espacial, luminoso o temporal. El espacio de la relatividad especial ( espacio de Minkowski ) es un ejemplo.

Una curvatura escalar constante significa una curvatura del espaciotiempo similar a la gravedad de la relatividad general que tiene una curvatura descrita por un solo número que es el mismo en todas partes del espaciotiempo en ausencia de materia o energía.

Curvatura negativa significa curvada hiperbólicamente, como la superficie de una silla de montar o la superficie del Cuerno de Gabriel , similar a la de la campana de una trompeta .

El espacio-tiempo en la relatividad general

La relatividad general es una teoría de la naturaleza del tiempo, el espacio y la gravedad en la que la gravedad es una curvatura del espacio y el tiempo que resulta de la presencia de materia o energía. La energía y la masa son equivalentes (como se expresa en la ecuación E  =  mc ² ). Los valores de espacio y tiempo se pueden convertir en unidades de tiempo o espacio multiplicando o dividiendo el valor por la velocidad de la luz (por ejemplo, segundos por metros por segundo equivalen a metros).

Una analogía común implica la forma en que una depresión en una lámina plana de caucho, causada por un objeto pesado posado sobre ella, influye en el camino que toman los objetos pequeños que ruedan cerca, provocando que se desvíen hacia adentro del camino que habrían seguido si el peso hubiera sido pesado. objeto ha estado ausente. Por supuesto, en la relatividad general, tanto los objetos pequeños como los grandes influyen mutuamente en la curvatura del espacio-tiempo.

La fuerza de atracción de la gravedad creada por la materia se debe a una curvatura negativa del espacio-tiempo, representada en la analogía de la lámina de caucho por la depresión curvada negativamente (como una campana de trompeta) en la lámina.

Una característica clave de la relatividad general es que describe la gravedad no como una fuerza convencional como el electromagnetismo, sino como un cambio en la geometría del espacio-tiempo que resulta de la presencia de materia o energía.

La analogía utilizada anteriormente describe la curvatura de un espacio bidimensional causada por la gravedad en la relatividad general en un superespacio tridimensional en el que la tercera dimensión corresponde al efecto de la gravedad. Una forma geométrica de pensar sobre la relatividad general describe los efectos de la gravedad en el espacio de cuatro dimensiones del mundo real proyectando geométricamente ese espacio en un superespacio de cinco dimensiones con la quinta dimensión correspondiente a la curvatura en el espacio-tiempo producida por la gravedad y la gravedad. -Efectos similares en la relatividad general.

Como resultado, en la relatividad general, la familiar ecuación newtoniana de la gravedad (es decir, la atracción gravitacional entre dos objetos es igual a la constante gravitacional multiplicada por el producto de sus masas dividida por el cuadrado de la distancia entre ellos) es simplemente una aproximación de los efectos de la gravedad. visto en la relatividad general. Sin embargo, esta aproximación se vuelve inexacta en situaciones físicas extremas, como velocidades relativistas (la luz, en particular) o masas muy grandes y densas. ${\displaystyle \textstyle F=G{\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}}\ }$

En la relatividad general, la gravedad es causada por la curvatura del espacio-tiempo ("distorsionada"). Es un error común atribuir la gravedad al espacio curvo; ni el espacio ni el tiempo tienen un significado absoluto en la relatividad. Sin embargo, para describir la gravedad débil, como en la Tierra, basta con considerar la distorsión del tiempo en un sistema de coordenadas particular. Encontramos que la gravedad en la Tierra es muy notable, mientras que la distorsión relativista del tiempo requiere instrumentos de precisión para detectarla. La razón por la que no somos conscientes de los efectos relativistas en nuestra vida cotidiana es el enorme valor de la velocidad de la luz (c =300 000  km/s aproximadamente), lo que nos hace percibir el espacio y el tiempo como entidades diferentes.

Espacio de De Sitter en la relatividad general

El espacio de Sitter implica una variación de la relatividad general en la que el espacio-tiempo está ligeramente curvado en ausencia de materia o energía. Esto es análogo a la relación entre la geometría euclidiana y la geometría no euclidiana .

Una curvatura intrínseca del espacio-tiempo en ausencia de materia o energía está modelada por la constante cosmológica de la relatividad general. Esto corresponde a que el vacío tiene una densidad de energía y presión. Esta geometría del espacio-tiempo da como resultado geodésicas temporales momentáneamente paralelas ^[4] divergentes, con secciones espaciales que tienen curvatura positiva.

Espacio Anti-de Sitter distinguido del espacio de Sitter

Un espacio anti-de Sitter en la relatividad general es similar a un espacio de De Sitter , excepto que cambia el signo de la curvatura del espacio-tiempo. En el espacio anti-de Sitter, en ausencia de materia o energía, la curvatura de las secciones espaciales es negativa, correspondiente a una geometría hiperbólica , y geodésicas temporales momentáneamente paralelas ^[4] eventualmente se cruzan. Esto corresponde a una constante cosmológica negativa , donde el espacio vacío en sí tiene una densidad de energía negativa pero una presión positiva, a diferencia del modelo estándar ΛCDM de nuestro propio universo para el cual las observaciones de supernovas distantes indican una constante cosmológica positiva correspondiente al espacio (asintótico) de De Sitter .

En un espacio anti-de Sitter, como en un espacio de Sitter, la curvatura inherente del espacio-tiempo corresponde a la constante cosmológica.

El espacio De Sitter y el espacio anti-de Sitter vistos como incrustados en cinco dimensiones

La analogía utilizada anteriormente describe la curvatura de un espacio bidimensional causada por la gravedad en un espacio ambiental plano de una dimensión superior. De manera similar, los espacios (curvos) de De Sitter y anti-de Sitter de cuatro dimensiones se pueden incrustar en un espacio pseudo-riemanniano (plano) de cinco dimensiones. Esto permite que las distancias y los ángulos dentro del espacio incrustado se determinen directamente a partir de los del espacio plano de cinco dimensiones.

Advertencias

El resto de este artículo explica los detalles de estos conceptos con una descripción matemática y física mucho más rigurosa y precisa. Las personas no están preparadas para visualizar cosas en cinco o más dimensiones, pero las ecuaciones matemáticas no enfrentan un desafío similar y pueden representar conceptos de cinco dimensiones de una manera tan apropiada como los métodos que utilizan las ecuaciones matemáticas para describir tres dimensiones más fáciles de visualizar. y conceptos cuatridimensionales.

Hay una implicación particularmente importante de la descripción matemática más precisa que difiere de la descripción heurística basada en analogías del espacio de De Sitter y el espacio anti-de Sitter anterior. La descripción matemática del espacio anti-de Sitter generaliza la idea de curvatura. En la descripción matemática, la curvatura es una propiedad de un punto particular y puede divorciarse de alguna superficie invisible en la que se fusionan los puntos curvos del espacio-tiempo. Así, por ejemplo, conceptos como singularidades (el más conocido de los cuales en la relatividad general es el agujero negro ) que no pueden expresarse completamente en una geometría del mundo real, pueden corresponder a estados particulares de una ecuación matemática.

La descripción matemática completa también captura algunas distinciones sutiles hechas en la relatividad general entre dimensiones espaciales y temporales.

Definición y propiedades

Así como los espacios esféricos e hiperbólicos pueden visualizarse mediante una incrustación isométrica en un espacio plano de una dimensión superior (como la esfera y la pseudoesfera respectivamente), el espacio anti-de Sitter puede visualizarse como el análogo lorentziano de una esfera en un espacio de una dimensión. dimensión adicional. La dimensión extra es temporal. En este artículo adoptamos la convención de que la métrica en una dirección temporal es negativa.

Imagen del espacio anti-de Sitter (1 + 1) dimensional incrustado en un espacio plano (1 + 2) dimensional. Los ejes t ₁ y t ₂ se encuentran en el plano de simetría rotacional y el eje x ₁ es normal a ese plano. La superficie incrustada contiene curvas cerradas en forma de tiempo que rodean el eje x ₁ , aunque estas pueden eliminarse "desenrollando" la incrustación (más precisamente, tomando la cubierta universal).

El espacio de firma anti-de Sitter ( p , q ) puede luego incrustarse isométricamente en el espacio con coordenadas ( x ₁ , ..., x _p , t ₁ , ..., t _{q +1} ) y la métrica ${\displaystyle \mathbb {R} ^{p,q+1}}$

${\displaystyle ds^{2}=\sum _{i=1}^{p}dx_{i}^{2}-\sum _{j=1}^{q+1}dt_{j}^{2}}$

como la cuasiesfera

${\displaystyle \sum _{i=1}^{p}x_{i}^{2}-\sum _{j=1}^{q+1}t_{j}^{2}=-\alpha ^{2},}$

donde es una constante distinta de cero con dimensiones de longitud (el radio de curvatura ). Esta es una esfera (generalizada) en el sentido de que es una colección de puntos para los cuales la "distancia" (determinada por la forma cuadrática) desde el origen es constante, pero visualmente es un hiperboloide , como en la imagen mostrada. ${\displaystyle \alpha }$

La métrica del espacio anti-de Sitter es la inducida a partir de la métrica ambiental . Es no degenerado y, en el caso de q = 1, tiene firma lorentziana.

Cuando q = 0 , esta construcción da un espacio hiperbólico estándar. El resto de la discusión se aplica cuando q ≥ 1 .

Curvas temporales cerradas y la cobertura universal.

Cuando q ≥ 1 , la incrustación anterior tiene curvas temporales cerradas ; por ejemplo, la ruta parametrizada por y todas las demás coordenadas cero, es una curva de este tipo. Cuando q ≥ 2 estas curvas son inherentes a la geometría (como era de esperar, ya que cualquier espacio con más de una dimensión temporal contiene curvas temporales cerradas), pero cuando q = 1 , pueden eliminarse pasando al espacio de cobertura universal , efectivamente "desenrollándose". " la incrustación. Una situación similar ocurre con la pseudoesfera , que se enrolla sobre sí misma aunque el plano hiperbólico no; como resultado, contiene líneas rectas que se cruzan entre sí (geodésicas), mientras que el plano hiperbólico no. Algunos autores definen el espacio anti-de Sitter como equivalente a la propia cuasi-esfera incrustada, mientras que otros lo definen como equivalente a la cobertura universal de la incrustación. ${\displaystyle t_{1}=\alpha \sin(\tau ),t_{2}=\alpha \cos(\tau ),}$

Simetrías

Si no se toma la cobertura universal, ( p , q ) el espacio anti-de Sitter tiene O( p , q + 1) como grupo de isometría . Si se toma la cobertura universal, el grupo de isometría es una cobertura de O ( p , q + 1) . Esto se entiende más fácilmente definiendo el espacio anti-de Sitter como un espacio simétrico , utilizando la construcción del espacio cociente , que se proporciona a continuación.

Inestabilidad

La "conjetura de inestabilidad de AdS", no probada, presentada por los físicos Piotr Bizon y Andrzej Rostworowski en 2011, afirma que perturbaciones arbitrariamente pequeñas de determinadas formas en AdS conducen a la formación de agujeros negros. ^[5] El matemático Georgios Moschidis demostró que, dada la simetría esférica, la conjetura es válida para los casos específicos del sistema de polvo nulo de Einstein con un espejo interno (2017) y el sistema Vlasov sin masa de Einstein (2018). ^{[6] [7]}

Coordinar parches

Un parche de coordenadas que cubre parte del espacio proporciona la coordinación del medio espacio del espacio anti-de Sitter. El tensor métrico para este parche es

${\displaystyle ds^{2}={\frac {1}{y^{2}}}\left(-dt^{2}+dy^{2}+\sum _{i}dx_{i}^{2}\right),}$

con dar el medio espacio. Esta métrica es conformemente equivalente a un espacio-tiempo de Minkowski de medio espacio plano. ${\displaystyle y>0}$

Los intervalos de tiempo constantes de este parche de coordenadas son espacios hiperbólicos en la métrica del medio espacio de Poincaré. En el límite as , esta métrica del medio espacio es conformemente equivalente a la métrica de Minkowski . Por lo tanto, el espacio anti-de Sitter contiene un espacio conforme de Minkowski en el infinito ("infinito" tiene la coordenada y cero en este parche). ${\displaystyle y\to 0}$ ${\textstyle ds^{2}=-dt^{2}+\sum _{i}dx_{i}^{2}}$

En AdS el espacio el tiempo es periódico y la cobertura universal tiene tiempo no periódico. El parche de coordenadas de arriba cubre la mitad de un solo período del espacio-tiempo.

Debido a que el infinito conforme de AdS es temporal , especificar los datos iniciales en una hipersuperficie espacial no determinaría la evolución futura de forma única ( es decir, determinista) a menos que existan condiciones de contorno asociadas con el infinito conforme.

La región del "medio espacio" del espacio anti-de Sitter y su límite.

Otro sistema de coordenadas comúnmente utilizado que cubre todo el espacio está dado por las coordenadas t y las coordenadas hiperpolares α , θ y φ . ${\displaystyle r\geqslant 0}$

${\displaystyle ds^{2}=-\left(k^{2}r^{2}+1\right)dt^{2}+{\frac {1}{k^{2}r^{2}+1}}dr^{2}+r^{2}d\Omega ^{2}}$

La imagen adyacente representa la región del "medio espacio" del espacio anti-de Sitter y su límite. El interior del cilindro corresponde al espacio-tiempo anti-de Sitter, mientras que su límite cilíndrico corresponde a su límite conforme. La región sombreada en verde en el interior corresponde a la región de AdS cubierta por las coordenadas del medio espacio y está delimitada por dos hiperplanos geodésicos nulos, también conocidos como ligeros; el área sombreada en verde en la superficie corresponde a la región del espacio conforme cubierta por el espacio de Minkowski.

La región sombreada en verde cubre la mitad del espacio AdS y la mitad del espacio-tiempo conforme; Los extremos izquierdos de los discos verdes se tocarán de la misma manera que los extremos derechos.

Como un espacio homogéneo y simétrico.

De la misma manera que las 2 esferas

${\displaystyle S^{2}={\frac {\mathrm {O} (3)}{\mathrm {O} (2)}}}$

es un cociente de dos grupos ortogonales , anti-de Sitter con paridad (simetría reflexiva) y simetría de inversión temporal puede verse como un cociente de dos grupos ortogonales generalizados

${\displaystyle \mathrm {AdS} _{n}={\frac {\mathrm {O} (2,n-1)}{\mathrm {O} (1,n-1)}}}$

mientras que AdS sin P o C puede verse como el cociente

${\displaystyle {\frac {\mathrm {Spin} ^{+}(2,n-1)}{\mathrm {Spin} ^{+}(1,n-1)}}}$

de grupos de espín .

Esta formulación de cociente da la estructura de un espacio homogéneo . El álgebra de Lie del grupo ortogonal generalizado viene dada por matrices ${\displaystyle \mathrm {AdS} _{n}}$ ${\displaystyle o(1,n)}$

${\displaystyle {\mathcal {H}}={\begin{pmatrix}{\begin{matrix}0&0\\0&0\end{matrix}}&{\begin{pmatrix}\cdots 0\cdots \\\leftarrow v^{t}\rightarrow \end{pmatrix}}\\{\begin{pmatrix}\vdots &\uparrow \\0&v\\\vdots &\downarrow \end{pmatrix}}&B\end{pmatrix}}}$,

donde es una matriz simétrica sesgada . Un generador complementario en el álgebra de Lie de es ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}=\mathrm {o} (2,n)}$

${\displaystyle {\mathcal {Q}}={\begin{pmatrix}{\begin{matrix}0&a\\-a&0\end{matrix}}&{\begin{pmatrix}\leftarrow w^{t}\rightarrow \\\cdots 0\cdots \\\end{pmatrix}}\\{\begin{pmatrix}\uparrow &\vdots \\w&0\\\downarrow &\vdots \end{pmatrix}}&0\end{pmatrix}}.}$

Estos dos cumplen . El cálculo matricial explícito muestra que y . Así, anti-de Sitter es un espacio reductivo homogéneo y un espacio simétrico no riemanniano . ${\displaystyle {\mathcal {G}}={\mathcal {H}}\oplus {\mathcal {Q}}}$ ${\displaystyle [{\mathcal {H}},{\mathcal {Q}}]\subseteq {\mathcal {Q}}}$ ${\displaystyle [{\mathcal {Q}},{\mathcal {Q}}]\subseteq {\mathcal {H}}}$

Una descripción general del espacio-tiempo de AdS en física y sus propiedades

${\displaystyle \mathrm {AdS} _{n}}$es una solución de vacío n -dimensional para la teoría de la gravitación con acción de Einstein-Hilbert con constante cosmológica negativa , ( ), es decir, la teoría descrita por la siguiente densidad lagrangiana : ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle \Lambda <0}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{16\pi G_{(n)}}}(R-2\Lambda )}$,

donde G _{( n )} es la constante gravitacional en el espacio-tiempo de n dimensiones. Por tanto, es una solución de las ecuaciones de campo de Einstein :

${\displaystyle G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }=0,}$

donde es el tensor de Einstein y es la métrica del espaciotiempo. Introduciendo el radio ya que esta solución puede sumergirse en un espacio-tiempo plano de dimensiones con la métrica en coordenadas mediante la siguiente restricción: ${\displaystyle G_{\mu \nu }}$ ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\textstyle \Lambda ={\frac {-(n-1)(n-2)}{2\alpha ^{2}}}}$ ${\displaystyle (n+1)}$ ${\displaystyle \mathrm {diag} (-1,-1,+1,\ldots ,+1)}$ ${\displaystyle (X_{1},X_{2},X_{3},\ldots ,X_{n+1})}$

${\displaystyle -X_{1}^{2}-X_{2}^{2}+\sum _{i=3}^{n+1}X_{i}^{2}=-\alpha ^{2}.}$

Coordenadas globales

${\displaystyle \mathrm {AdS} _{n}}$está parametrizado en coordenadas globales por los parámetros como: ${\displaystyle (\tau ,\rho ,\theta ,\varphi _{1},\cdots ,\varphi _{n-3})}$

${\displaystyle {\begin{cases}X_{1}=\alpha \cosh \rho \cos \tau \\X_{2}=\alpha \cosh \rho \sin \tau \\X_{i}=\alpha \sinh \rho \,{\hat {x}}_{i}\qquad \sum _{i}{\hat {x}}_{i}^{2}=1\end{cases}}}$,

donde parametrizar una esfera, y en términos de las coordenadas son , , y así sucesivamente. La métrica en estas coordenadas es: ${\displaystyle {\hat {x}}_{i}}$ ${\displaystyle S^{n-2}}$ ${\displaystyle \varphi _{i}}$ ${\displaystyle {\hat {x}}_{1}=\sin \theta \sin \varphi _{1}\cdots \sin \varphi _{n-3}}$ ${\displaystyle {\hat {x}}_{2}=\sin \theta \sin \varphi _{1}\cdots \cos \varphi _{n-3}}$ ${\displaystyle {\hat {x}}_{3}=\sin \theta \sin \varphi _{1}\cdots \cos \varphi _{n-2}}$ ${\displaystyle \mathrm {AdS} _{n}}$

${\displaystyle ds^{2}=\alpha ^{2}\left(-\cosh ^{2}\rho \,d\tau ^{2}+\,d\rho ^{2}+\sinh ^{2}\rho \,d\Omega _{n-2}^{2}\right)}$

dónde y . Teniendo en cuenta la periodicidad del tiempo y para evitar curvas temporales cerradas (CTC), se debe optar por la cobertura universal . En el límite uno puede acercarse al límite de este espacio-tiempo generalmente llamado límite conforme. ${\displaystyle \tau \in [0,2\pi ]}$ ${\displaystyle \rho \in \mathbb {R} ^{+}}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \tau \in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \rho \to \infty }$ ${\displaystyle \mathrm {AdS} _{n}}$

Con las transformaciones y podemos tener la métrica habitual en coordenadas globales: ${\displaystyle r\equiv \alpha \sinh \rho }$ ${\displaystyle t\equiv \alpha \tau }$ ${\displaystyle \mathrm {AdS} _{n}}$

${\displaystyle ds^{2}=-f(r)\,dt^{2}+{\frac {1}{f(r)}}\,dr^{2}+r^{2}\,d\Omega _{n-2}^{2}}$

dónde ${\displaystyle f(r)=1+{\frac {r^{2}}{\alpha ^{2}}}}$

Coordenadas de Poincaré

Mediante la siguiente parametrización:

${\displaystyle {\begin{cases}X_{1}={\frac {\alpha ^{2}}{2r}}\left(1+{\frac {r^{2}}{\alpha ^{4}}}\left(\alpha ^{2}+{\vec {x}}^{2}-t^{2}\right)\right)\\X_{2}={\frac {r}{\alpha }}t\\X_{i}={\frac {r}{\alpha }}x_{i}\qquad i\in \{3,\ldots ,n\}\\X_{n+1}={\frac {\alpha ^{2}}{2r}}\left(1-{\frac {r^{2}}{\alpha ^{4}}}\left(\alpha ^{2}-{\vec {x}}^{2}+t^{2}\right)\right)\end{cases}},}$

la métrica en las coordenadas de Poincaré es: ${\displaystyle \mathrm {AdS} _{n}}$

${\displaystyle ds^{2}=-{\frac {r^{2}}{\alpha ^{2}}}\,dt^{2}+{\frac {\alpha ^{2}}{r^{2}}}\,dr^{2}+{\frac {r^{2}}{\alpha ^{2}}}\,d{\vec {x}}^{2}}$

en el cual . La superficie de codimensión 2 es el horizonte de Poincaré Killing y se acerca al límite del espacio-tiempo. Entonces, a diferencia de las coordenadas globales, las coordenadas de Poincaré no cubren todas las variedades . El uso de esta métrica se puede escribir de la siguiente manera: ${\displaystyle 0\leq r}$ ${\displaystyle r=0}$ ${\displaystyle r\to \infty }$ ${\displaystyle \mathrm {AdS} _{n}}$ ${\displaystyle \mathrm {AdS} _{n}}$ ${\displaystyle u\equiv {\frac {r}{\alpha ^{2}}}}$

${\displaystyle ds^{2}=\alpha ^{2}\left({\frac {\,du^{2}}{u^{2}}}+u^{2}\,dx_{\mu }\,dx^{\mu }\right)}$

dónde . Por la transformación también se puede escribir como: ${\displaystyle x^{\mu }=\left(t,{\vec {x}}\right)}$ ${\displaystyle z\equiv {\frac {1}{u}}}$

${\displaystyle ds^{2}={\frac {\alpha ^{2}}{z^{2}}}\left(\,dz^{2}+\,dx_{\mu }\,dx^{\mu }\right).}$

Estas últimas coordenadas son las que se utilizan habitualmente en la correspondencia AdS/CFT , con el límite de AdS en . ${\displaystyle z\to 0}$

Coordenadas de corte abiertas FRW

Dado que AdS es máximamente simétrico, también es posible expresarlo en una forma espacialmente homogénea e isotrópica como los espacios-tiempos FRW (consulte la métrica de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker ). La geometría espacial debe ser curvada negativamente (abierta) y la métrica debe ser

${\displaystyle ds^{2}=-dt^{2}+\alpha ^{2}\sin ^{2}(t/\alpha )dH_{n-1}^{2},}$

¿Dónde está la métrica estándar en el plano hiperbólico dimensional? Por supuesto, esto no cubre todos los anuncios. Estas coordenadas están relacionadas con las coordenadas globales de incrustación por ${\displaystyle dH_{n-1}^{2}=d\rho ^{2}+\sinh ^{2}\rho d\Omega _{n-2}^{2}}$ ${\displaystyle (n-1)}$

${\displaystyle {\begin{cases}X_{1}=\alpha \cos(t/\alpha )\\X_{2}=\alpha \sin(t/\alpha )\cosh \rho \\X_{i}=\alpha \sin(t/\alpha )\sinh \rho \,{\hat {x}}_{i}\qquad 3\leq i\leq n+1\end{cases}}}$

donde parametrizar el . ${\displaystyle \sum _{i}{\hat {x}}_{i}^{2}=1}$ ${\displaystyle S^{n-3}}$

de Sitter rebanando

Dejar

${\displaystyle {\begin{aligned}X_{1}&=\alpha \sinh \left({\frac {\rho }{\alpha }}\right)\sinh \left({\frac {t}{\alpha }}\right)\cosh \xi ,\\X_{2}&=\alpha \cosh \left({\frac {\rho }{\alpha }}\right),\\X_{3}&=\alpha \sinh \left({\frac {\rho }{\alpha }}\right)\cosh \left({\frac {t}{\alpha }}\right),\\X_{i}&=\alpha \sinh \left({\frac {\rho }{\alpha }}\right)\sinh \left({\frac {t}{\alpha }}\right)\sinh \xi \,{\hat {x}}_{i},\qquad 4\leq i\leq n+1\end{aligned}}}$

donde parametrizar el . Entonces la métrica dice: ${\displaystyle \sum _{i}{\hat {x}}_{i}^{2}=1}$ ${\displaystyle S^{n-3}}$

${\displaystyle ds^{2}=d\rho ^{2}+\sinh ^{2}\left({\frac {\rho }{\alpha }}\right)ds_{dS,\alpha ,n-1}^{2},}$

dónde

${\displaystyle ds_{dS,\alpha ,n-1}^{2}=-dt^{2}+\alpha ^{2}\sinh ^{2}\left({\frac {t}{\alpha }}\right)dH_{n-2}^{2}}$

es la métrica de un espacio dimensional de Sitter con radio de curvatura en coordenadas de corte abiertas. La métrica hiperbólica viene dada por: ${\displaystyle n-1}$ ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle dH_{n-2}^{2}=d\xi ^{2}+\sinh ^{2}(\xi )d\Omega _{n-3}^{2}.}$

Propiedades geométricas

${\displaystyle \mathrm {AdS} _{n}}$La métrica con radio es uno de los espacios-tiempos n -dimensionales simétricos máximos . Tiene las siguientes propiedades geométricas: ${\displaystyle \alpha }$

tensor de curvatura de Riemann

${\displaystyle R_{\mu \nu \alpha \beta }={\frac {-1}{\alpha ^{2}}}(g_{\mu \alpha }g_{\nu \beta }-g_{\mu \beta }g_{\nu \alpha })}$

Curvatura de Ricci

${\displaystyle R_{\mu \nu }={\frac {-(n-1)}{\alpha ^{2}}}g_{\mu \nu }}$

Curvatura escalar

${\displaystyle R={\frac {-n(n-1)}{\alpha ^{2}}}}$

Referencias

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3. "representación singleton en nLab". ncatlab.org . Consultado el 1 de noviembre de 2023 .
4. Es decir, las líneas mundiales de dos observadores inerciales que están relativamente estacionarios en un momento de su tiempo (la sección espacial de simultaneidad vista por cada uno).
5. Bizoń, Piotr; Rostworowski, Andrzej (2011). "Inestabilidad débilmente turbulenta del espacio-tiempo anti-de Sitter". Cartas de revisión física . 107 (3): 031102. arXiv : 1104.3702 . Código bibliográfico : 2011PhRvL.107c1102B. doi : 10.1103/PhysRevLett.107.031102. PMID  21838346. S2CID  31556930.
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• Lobo, Joseph A. (1967). Espacios de curvatura constante . pag. 334.

enlaces externos

• Guía simplificada de los espacios de Sitter y anti-de Sitter Una introducción pedagógica a los espacios de Sitter y anti-de Sitter. El artículo principal está simplificado, casi sin matemáticas. El apéndice es técnico y está destinado a lectores con experiencia en física o matemáticas.