Radio de curvatura

En geometría diferencial , el radio de curvatura , $R$ , es el recíproco de la curvatura . Para una curva , es igual al radio del arco circular que mejor se aproxima a la curva en ese punto. Para superficies , el radio de curvatura es el radio de un círculo que mejor se adapta a una sección normal o combinaciones de los mismos. ^[1]^[2]^[3]

Definición

En el caso de una curva espacial , el radio de curvatura es la longitud del vector de curvatura .

En el caso de una curva plana , entonces $R$ es el valor absoluto de ^[3]

R\equiv \left|{\frac {ds}{d\varphi }}\right|={\frac {1}{\kappa }},

donde $s$ es la longitud del arco desde un punto fijo de la curva, $φ$ es el ángulo tangencial y $κ$ es la curvatura .

Fórmula

En dos dimensiones

Si la curva se da en coordenadas cartesianas como $y (x)$ , es decir, como la gráfica de una función , entonces el radio de curvatura es (asumiendo que la curva es diferenciable hasta el orden 2)

R=\left|{\frac {\left(1+y'^{\,2}\right)^{\frac {3}{2}}}{y''}}\right|\ ,,

donde y $|$ $z$ $|$ denota el valor absoluto de $z$ . ${\textstyle y'={\frac {dy}{dx}}\,,}$ ${\textstyle y''={\frac {d^{2}y}{dx^{2}}},}$

Si la curva está dada paramétricamente por las funciones $x (t)$ e $y (t)$ , entonces el radio de curvatura es

R=\left|{\frac {ds}{d\varphi }}\right|=\left|{\frac {\left({{\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}}\right)^{\frac {3}{2}}}{{\dot {x}}{\ddot {y}}-{\dot {y}}{\ddot {x}}}}\right|

dónde y ${\textstyle {\dot {x}}={\frac {dx}{dt}},}$ ${\textstyle {\ddot {x}}={\frac {d^{2}x}{dt^{2}}},}$ ${\textstyle {\dot {y}}={\frac {dy}{dt}},}$ ${\textstyle {\ddot {y}}={\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}.}$

Heurísticamente, este resultado puede interpretarse como ^[2]

R={\frac {\left|\mathbf {v} \right|^{3}}{\left|\mathbf {v} \times \mathbf {\dot {v}} \right|}}\,,

dónde

\left|\mathbf {v} \right|={\big |}({\dot {x}},{\dot {y}}){\big |}=R{\frac {d\varphi }{dt}}\,.

En n dimensiones

Si $γ$ $: ℝ \to ℝ$ $n$ es una curva parametrizada en $ℝ$ $n$ entonces el radio de curvatura en cada punto de la curva, $ρ$ $: ℝ \to ℝ$ , viene dado por ^[3]

\rho ={\frac {\left|{\boldsymbol {\gamma }}'\right|^{3}}{\sqrt {\left|{\boldsymbol {\gamma }}'\right|^{2}\,\left|{\boldsymbol {\gamma }}''\right|^{2}-\left({\boldsymbol {\gamma }}'\cdot {\boldsymbol {\gamma }}''\right)^{2}}}}\,.

Como caso especial, si $f (t)$ es una función de $ℝ$ a $ℝ$ , entonces el radio de curvatura de su gráfica , $γ (t) = (t, f (t))$ , es

\rho (t)={\frac {\left|1+f'^{\,2}(t)\right|^{\frac {3}{2}}}{\left|f''(t)\right|}}.

Derivación

Sea $γ$ como arriba y arregle $t$ . Queremos encontrar el radio $ρ$ de un círculo parametrizado que coincida con $γ$ en sus derivadas cero, primera y segunda en $t$ . Claramente el radio no dependerá de la posición $γ (t)$ , sólo de la velocidad $γ'(t)$ y la aceleración $γ ″(t)$ . Sólo hay tres escalares independientes que se pueden obtener a partir de dos vectores $v$ y $w$ , a saber, $v \cdot v$ , $v \cdot w$ y $w \cdot w$ . Por tanto, el radio de curvatura debe ser función de los tres escalares $| γ'(t) | 2$ , $| γ ″(t) | 2$ y $γ'(t) \cdot γ ″(t)$ . ^[3]

La ecuación general para un círculo parametrizado en $ℝ n$ es

\mathbf {g} (u)=\mathbf {a} \cos(h(u))+\mathbf {b} \sin(h(u))+\mathbf {c}

donde $c \in ℝ n$ es el centro del círculo (irrelevante ya que desaparece en las derivadas), $a, b \in ℝ n$ son vectores perpendiculares de longitud $ρ$ (es decir, $a \cdot a = b \cdot b = ρ 2$ y $a \cdot b = 0$ ), y $h : ℝ \to ℝ$ es una función arbitraria que es dos veces diferenciable en $t$ .

Las derivadas relevantes de $g$ resultan ser

{\begin{aligned}|\mathbf {g} '|^{2}&=\rho ^{2}(h')^{2}\\\mathbf {g} '\cdot \mathbf {g} ''&=\rho ^{2}h'h''\\|\mathbf {g} ''|^{2}&=\rho ^{2}\left((h')^{4}+(h'')^{2}\right)\end{aligned}}

Si ahora equiparamos estas derivadas de $g$ con las correspondientes derivadas de $γ$ en $t$ obtenemos

{\begin{aligned}|{\boldsymbol {\gamma }}'(t)|^{2}&=\rho ^{2}h'^{\,2}(t)\\{\boldsymbol {\gamma }}'(t)\cdot {\boldsymbol {\gamma }}''(t)&=\rho ^{2}h'(t)h''(t)\\|{\boldsymbol {\gamma }}''(t)|^{2}&=\rho ^{2}\left(h'^{\,4}(t)+h''^{\,2}(t)\right)\end{aligned}}

Estas tres ecuaciones con tres incógnitas ( $ρ$ , $h'(t)$ y $h ″(t)$ ) se pueden resolver para $ρ$ , dando la fórmula para el radio de curvatura:

\rho (t)={\frac {\left|{\boldsymbol {\gamma }}'(t)\right|^{3}}{\sqrt {\left|{\boldsymbol {\gamma }}'(t)\right|^{2}\,\left|{\boldsymbol {\gamma }}''(t)\right|^{2}-{\big (}{\boldsymbol {\gamma }}'(t)\cdot {\boldsymbol {\gamma }}''(t){\big )}^{2}}}}\,,

o, omitiendo el parámetro $t$ para facilitar la lectura,

\rho ={\frac {\left|{\boldsymbol {\gamma }}'\right|^{3}}{\sqrt {\left|{\boldsymbol {\gamma }}'\right|^{2}\;\left|{\boldsymbol {\gamma }}''\right|^{2}-\left({\boldsymbol {\gamma }}'\cdot {\boldsymbol {\gamma }}''\right)^{2}}}}\,.

Ejemplos

Semicírculos y círculos

Para un semicírculo de radio $a$ en el semiplano superior con ${\textstyle R=|-a|=a\,,}$

{\begin{aligned}y&={\sqrt {a^{2}-x^{2}}}\\y'&={\frac {-x}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}\\y''&={\frac {-a^{2}}{\left(a^{2}-x^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\,.\end{aligned}}

Para un semicírculo de radio $a$ en el semiplano inferior

y=-{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}\,.

El círculo de radio $a$ tiene un radio de curvatura igual a $a$ .

elipses

En una elipse con eje mayor $2 a$ y eje menor $2 b$ , los vértices del eje mayor tienen el radio de curvatura más pequeño de todos los puntos ; y los vértices en el eje menor tienen el mayor radio de curvatura de todos los puntos, $R$ $=$ ${\textstyle R={b^{2} \over a}}$ $.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}un 2/b$ .

El radio de curvatura de una elipse, en función del parámetro $t$ , es ^[4]

R(t)={\frac {(b^{2}\cos ^{2}t+a^{2}\sin ^{2}t)^{3/2}}{ab}}\,,

dónde ${\textstyle \theta =\tan ^{-1}{\Big (}{\frac {y}{x}}{\Big )}=\tan ^{-1}{\Big (}{\frac {b}{a}}\;\tan \;t{\Big )}\,.}$

El radio de curvatura de una elipse, en función de $θ$ , es

R(\theta )={\frac {a^{2}}{b}}{\biggl (}{\frac {1-e^{2}(2-e^{2})(\cos \theta )^{2})}{1-e^{2}(\cos \theta )^{2}}}{\biggr )}^{3/2}\,,

donde la excentricidad de la elipse , $e$ , está dada por

e^{2}=1-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}\,.

Aplicaciones

Para el uso en geometría diferencial , véase ecuación de Cesàro .
Para el radio de curvatura de la Tierra (aproximado por un elipsoide achatado); ver también: medición de arco
El radio de curvatura también se utiliza en una ecuación de tres partes para la flexión de vigas .
Radio de curvatura (óptica)
Tecnologías de películas delgadas
Electrónica impresa
Radio mínimo de curva ferroviaria
sonda AFM

Estrés en estructuras semiconductoras.

La tensión en la estructura del semiconductor que involucra películas delgadas evaporadas generalmente resulta de la expansión térmica (tensión térmica) durante el proceso de fabricación. El estrés térmico se produce porque las deposiciones de películas generalmente se realizan por encima de la temperatura ambiente. Al enfriar desde la temperatura de deposición hasta la temperatura ambiente, la diferencia en los coeficientes de expansión térmica del sustrato y la película provoca estrés térmico. ^[5]

La tensión intrínseca resulta de la microestructura creada en la película a medida que los átomos se depositan sobre el sustrato. La tensión de tracción resulta de los microhuecos (pequeños agujeros, considerados defectos) en la película delgada, debido a la interacción atractiva de los átomos a través de los huecos.

La tensión en las estructuras semiconductoras de película delgada provoca el pandeo de las obleas. El radio de curvatura de la estructura estresada está relacionado con el tensor de tensión en la estructura y puede describirse mediante la fórmula de Stoney modificada. ^[6] La topografía de la estructura estresada, incluidos los radios de curvatura, se puede medir utilizando métodos de escáner óptico. Las modernas herramientas de escáner tienen la capacidad de medir la topografía completa del sustrato y medir ambos radios de curvatura principales, al tiempo que proporcionan una precisión del orden del 0,1% para radios de curvatura de 90 metros y más. ^[7]

Ver también

Referencias

^ Weisstien, Eric. "Radio de curvatura". Wolfram MathWorld . Consultado el 15 de agosto de 2016 .
^ ab Kishan, Hari (2007). Calculo diferencial. Editores y dist. del Atlántico. ISBN 9788126908202.
^ abcd Amor, Clyde E .; Rainville, conde D. (1962). Cálculo diferencial e integral (Sexta ed.). Nueva York: MacMillan.
^ Weisstein, Eric W. "Elipse". mathworld.wolfram.com . Consultado el 23 de febrero de 2022 .
^ "Control del estrés en películas finas". Flipchips.com . Consultado el 22 de abril de 2016 .
^ "Sobre la determinación de la tensión de la película por la flexión del sustrato: fórmula de Stoney y sus límites" (PDF) . Qucosa.de . Consultado el 22 de abril de 2016 .
^ Peter Walecki. "Modelo X". Zebraoptical.com . Consultado el 22 de abril de 2016 .

Otras lecturas

do Carmo, Manfredo (1976). Geometría Diferencial de Curvas y Superficies . ISBN 0-13-212589-7.

enlaces externos

El Centro de Geometría: Curvaturas Principales
15.3 Curvatura y radio de curvatura
Weisstein, Eric W. "Curvaturas principales". MundoMatemático .
Weisstein, Eric W. "Radio principal de curvatura". MundoMatemático .