Espacio De Sitter

Variedad lorentziana máximamente simétrica con una constante cosmológica positiva

En física matemática , el espacio de Sitter n -dimensional (a menudo abreviado como dS _n ) es una variedad de Lorentz simétrica máxima con curvatura escalar positiva constante . Es el análogo lorentziano de una n -esfera (con su métrica canónica de Riemann ).

La principal aplicación del espacio de De Sitter es su uso en la relatividad general , donde sirve como uno de los modelos matemáticos más simples del universo consistente con la expansión acelerada del universo observada . Más específicamente, el espacio de Sitter es la solución de vacío máximamente simétrica de las ecuaciones de campo de Einstein con una constante cosmológica positiva (correspondiente a una densidad de energía de vacío positiva y presión negativa). ${\displaystyle \Lambda }$

El espacio de Sitter y el espacio anti-de Sitter llevan el nombre de Willem de Sitter (1872-1934), ^{[1] [2]} profesor de astronomía en la Universidad de Leiden y director del Observatorio de Leiden . Willem de Sitter y Albert Einstein trabajaron estrechamente juntos en Leiden en la década de 1920 sobre la estructura espacio-temporal de nuestro universo. El espacio de Sitter también fue descubierto, de forma independiente y casi al mismo tiempo, por Tullio Levi-Civita . ^[3]

Definición

El espacio de Sitter se puede definir como una subvariedad de un espacio de Minkowski generalizado de una dimensión superior . Tome el espacio de Minkowski R ^{1, n} con la métrica estándar :

$${\displaystyle ds^{2}=-dx_{0}^{2}+\sum _{i=1}^{n}dx_{i}^{2}.}$$

El espacio de Sitter es la subvariedad descrita por el hiperboloide de una hoja.

$${\displaystyle -x_{0}^{2}+\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}=\alpha ^{2},}$$

métricanohiperboloidedefinida positivaespacio n hiperbólicoMinkowski espacio § Geometría ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha ^{2}}$ ${\displaystyle -\alpha ^{2}}$

El espacio de Sitter también se puede definir como el cociente O(1, n ) / O(1, n − 1) de dos grupos ortogonales indefinidos , lo que demuestra que es un espacio simétrico no riemanniano .

Topológicamente , el espacio de Sitter es R × S ^{n −1} (de modo que si n ≥ 3 entonces el espacio de Sitter es simplemente conexo ).

Propiedades

El grupo de isometría del espacio de Sitter es el grupo de Lorentz O(1, n ) . Por lo tanto, la métrica tiene n ( n + 1)/2 campos vectoriales Killing independientes y es máximamente simétrica. Todo espacio máximamente simétrico tiene curvatura constante. El tensor de curvatura de Riemann de De Sitter viene dado por ^[4]

${\displaystyle R_{\rho \sigma \mu \nu }={1 \over \alpha ^{2}}\left(g_{\rho \mu }g_{\sigma \nu }-g_{\rho \nu }g_{\sigma \mu }\right)}$

(usando la convención de signos para el tensor de curvatura de Riemann). El espacio de Sitter es una variedad de Einstein ya que el tensor de Ricci es proporcional a la métrica: ${\displaystyle R^{\rho }{}_{\sigma \mu \nu }=\partial _{\mu }\Gamma _{\nu \sigma }^{\rho }-\partial _{\nu }\Gamma _{\mu \sigma }^{\rho }+\Gamma _{\mu \lambda }^{\rho }\Gamma _{\nu \sigma }^{\lambda }-\Gamma _{\nu \lambda }^{\rho }\Gamma _{\mu \sigma }^{\lambda }}$

${\displaystyle R_{\mu \nu }=R^{\lambda }{}_{\mu \lambda \nu }={\frac {n-1}{\alpha ^{2}}}g_{\mu \nu }}$

Esto significa que el espacio de De Sitter es una solución al vacío de la ecuación de Einstein con una constante cosmológica dada por

${\displaystyle \Lambda ={\frac {(n-1)(n-2)}{2\alpha ^{2}}}.}$

La curvatura escalar del espacio de Sitter viene dada por ^[4]

${\displaystyle R={\frac {n(n-1)}{\alpha ^{2}}}={\frac {2n}{n-2}}\Lambda .}$

Para el caso n = 4 , tenemos Λ = 3/ α ² y R = 4Λ = 12/ α ² .

Coordenadas

Coordenadas estáticas

Podemos introducir coordenadas estáticas para De Sitter de la siguiente manera: ${\displaystyle (t,r,\ldots )}$

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{0}&={\sqrt {\alpha ^{2}-r^{2}}}\sinh \left({\frac {1}{\alpha }}t\right)\\x_{1}&={\sqrt {\alpha ^{2}-r^{2}}}\cosh \left({\frac {1}{\alpha }}t\right)\\x_{i}&=rz_{i}\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad 2\leq i\leq n.\end{aligned}}}$

donde da el estándar que incorpora la esfera ( n − 2) en R ^{n −1} . En estas coordenadas la métrica de De Sitter toma la forma: ${\displaystyle z_{i}}$

${\displaystyle ds^{2}=-\left(1-{\frac {r^{2}}{\alpha ^{2}}}\right)dt^{2}+\left(1-{\frac {r^{2}}{\alpha ^{2}}}\right)^{-1}dr^{2}+r^{2}d\Omega _{n-2}^{2}.}$

Tenga en cuenta que hay un horizonte cosmológico en . ${\displaystyle r=\alpha }$

rebanado plano

Dejar

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{0}&=\alpha \sinh \left({\frac {1}{\alpha }}t\right)+{\frac {1}{2\alpha }}r^{2}e^{{\frac {1}{\alpha }}t},\\x_{1}&=\alpha \cosh \left({\frac {1}{\alpha }}t\right)-{\frac {1}{2\alpha }}r^{2}e^{{\frac {1}{\alpha }}t},\\x_{i}&=e^{{\frac {1}{\alpha }}t}y_{i},\qquad 2\leq i\leq n\end{aligned}}}$

dónde . Luego en las coordenadas la métrica dice: ${\textstyle r^{2}=\sum _{i}y_{i}^{2}}$ ${\displaystyle \left(t,y_{i}\right)}$

${\displaystyle ds^{2}=-dt^{2}+e^{2{\frac {1}{\alpha }}t}dy^{2}}$

¿Dónde está la métrica plana en 's? ${\textstyle dy^{2}=\sum _{i}dy_{i}^{2}}$ ${\displaystyle y_{i}}$

Configurando , obtenemos la métrica conformemente plana: ${\displaystyle \zeta =\zeta _{\infty }-\alpha e^{-{\frac {1}{\alpha }}t}}$

${\displaystyle ds^{2}={\frac {\alpha ^{2}}{(\zeta _{\infty }-\zeta )^{2}}}\left(dy^{2}-d\zeta ^{2}\right)}$

rebanado abierto

Dejar

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{0}&=\alpha \sinh \left({\frac {1}{\alpha }}t\right)\cosh \xi ,\\x_{1}&=\alpha \cosh \left({\frac {1}{\alpha }}t\right),\\x_{i}&=\alpha z_{i}\sinh \left({\frac {1}{\alpha }}t\right)\sinh \xi ,\qquad 2\leq i\leq n\end{aligned}}}$

donde formando a con la métrica estándar . Entonces la métrica del espacio de Sitter lee ${\textstyle \sum _{i}z_{i}^{2}=1}$ ${\displaystyle S^{n-2}}$ ${\textstyle \sum _{i}dz_{i}^{2}=d\Omega _{n-2}^{2}}$

${\displaystyle ds^{2}=-dt^{2}+\alpha ^{2}\sinh ^{2}\left({\frac {1}{\alpha }}t\right)dH_{n-1}^{2},}$

dónde

${\displaystyle dH_{n-1}^{2}=d\xi ^{2}+\sinh ^{2}(\xi )d\Omega _{n-2}^{2}}$

es la métrica hiperbólica estándar.

Rebanado cerrado

Dejar

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{0}&=\alpha \sinh \left({\frac {1}{\alpha }}t\right),\\x_{i}&=\alpha \cosh \left({\frac {1}{\alpha }}t\right)z_{i},\qquad 1\leq i\leq n\end{aligned}}}$

donde se describe un . Entonces la métrica dice: ${\displaystyle z_{i}}$ ${\displaystyle S^{n-1}}$

${\displaystyle ds^{2}=-dt^{2}+\alpha ^{2}\cosh ^{2}\left({\frac {1}{\alpha }}t\right)d\Omega _{n-1}^{2}.}$

Cambiando la variable tiempo al tiempo conforme obtenemos una métrica conformemente equivalente al universo estático de Einstein: ${\textstyle \tan \left({\frac {1}{2}}\eta \right)=\tanh \left({\frac {1}{2\alpha }}t\right)}$

${\displaystyle ds^{2}={\frac {\alpha ^{2}}{\cos ^{2}\eta }}\left(-d\eta ^{2}+d\Omega _{n-1}^{2}\right).}$

Estas coordenadas, también conocidas como "coordenadas globales", cubren la extensión máxima del espacio de De Sitter y, por lo tanto, pueden usarse para encontrar su diagrama de Penrose . ^[5]

rebanado dS

Dejar

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{0}&=\alpha \sin \left({\frac {1}{\alpha }}\chi \right)\sinh \left({\frac {1}{\alpha }}t\right)\cosh \xi ,\\x_{1}&=\alpha \cos \left({\frac {1}{\alpha }}\chi \right),\\x_{2}&=\alpha \sin \left({\frac {1}{\alpha }}\chi \right)\cosh \left({\frac {1}{\alpha }}t\right),\\x_{i}&=\alpha z_{i}\sin \left({\frac {1}{\alpha }}\chi \right)\sinh \left({\frac {1}{\alpha }}t\right)\sinh \xi ,\qquad 3\leq i\leq n\end{aligned}}}$

donde se describe un . Entonces la métrica dice: ${\displaystyle z_{i}}$ ${\displaystyle S^{n-3}}$

${\displaystyle ds^{2}=d\chi ^{2}+\sin ^{2}\left({\frac {1}{\alpha }}\chi \right)ds_{dS,\alpha ,n-1}^{2},}$

dónde

${\displaystyle ds_{dS,\alpha ,n-1}^{2}=-dt^{2}+\alpha ^{2}\sinh ^{2}\left({\frac {1}{\alpha }}t\right)dH_{n-2}^{2}}$

es la métrica de un espacio dimensional de Sitter con radio de curvatura en coordenadas de corte abiertas. La métrica hiperbólica viene dada por: ${\displaystyle n-1}$ ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle dH_{n-2}^{2}=d\xi ^{2}+\sinh ^{2}(\xi )d\Omega _{n-3}^{2}.}$

Esta es la continuación analítica de las coordenadas de corte abiertas bajo y también de conmutación y porque cambian su naturaleza temporal/espacial. ${\displaystyle \left(t,\xi ,\theta ,\phi _{1},\phi _{2},\ldots ,\phi _{n-3}\right)\to \left(i\chi ,\xi ,it,\theta ,\phi _{1},\ldots ,\phi _{n-4}\right)}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle x_{2}}$

Ver también

• Espacio anti-de-sitter
• universo de Sitter
• Correspondencia AdS/CFT
• Métrica de Sitter-Schwarzschild

Referencias

1. de Sitter, W. (1917), "Sobre la relatividad de la inercia: comentarios sobre la última hipótesis de Einstein" (PDF) , Proc. Kon. Ned. Acad. Húmedo. , 19 : 1217–1225, Código Bib : 1917KNAB...19.1217D
2. de Sitter, W. (1917), "Sobre la curvatura del espacio" (PDF) , Proc. Kon. Ned. Acad. Húmedo. , 20 : 229–243
3. Levi-Civita, Tullio (1917), "Realtà fisica di alcuni spazî normali del Bianchi", Rendiconti, Reale Accademia dei Lincei , 26 : 519–31
4. Zee 2013, pág. 626
5. Hawking y Ellis. La estructura a gran escala del espacio-tiempo . Universidad de Cambridge. Prensa.

• Zee, Antonio (2013). La gravedad de Einstein en pocas palabras . Prensa de la Universidad de Princeton. ISBN 9780691145587.

Otras lecturas

• Qingming Cheng (2001) [1994], "De Sitter space", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Nomizu, Katsumi (1982), "La métrica de Lorentz-Poincaré en el semiespacio superior y su extensión", Hokkaido Mathematical Journal , 11 (3): 253–261, doi : 10.14492/hokmj/1381757803
• Coxeter, HSM (1943), "Un trasfondo geométrico para el mundo de De Sitter", American Mathematical Monthly , Mathematical Association of America, 50 (4): 217–228, doi :10.2307/2303924, JSTOR  2303924
• Susskind, L.; Lindesay, J. (2005), Introducción a los agujeros negros, la información y la revolución de la teoría de cuerdas: el universo holográfico , p. 119(11.5.25)

enlaces externos

• Guía simplificada de los espacios de Sitter y anti-de Sitter Una introducción pedagógica a los espacios de Sitter y anti-de Sitter. El artículo principal está simplificado, casi sin matemáticas. El apéndice es técnico y está destinado a lectores con experiencia en física o matemáticas.