tensor simétrico

Tensor invariante bajo permutaciones de vectores sobre los que actúa

En matemáticas , un tensor simétrico es un tensor que es invariante bajo una permutación de sus argumentos vectoriales:

${\displaystyle T(v_{1},v_{2},\ldots ,v_{r})=T(v_{\sigma 1},v_{\sigma 2},\ldots ,v_{\sigma r})}$

para cada permutación σ de los símbolos {1, 2, ..., r }. Alternativamente, un tensor simétrico de orden r representado en coordenadas como una cantidad con r índices satisface

${\displaystyle T_{i_{1}i_{2}\cdots i_{r}}=T_{i_{\sigma 1}i_{\sigma 2}\cdots i_{\sigma r}}.}$

El espacio de tensores simétricos de orden r en un espacio vectorial de dimensión finita V es naturalmente isomorfo al dual del espacio de polinomios homogéneos de grado r en V. Sobre campos de característica cero , el espacio vectorial graduado de todos los tensores simétricos puede identificarse naturalmente con el álgebra simétrica en V. Un concepto relacionado es el de tensor antisimétrico o forma alterna . Los tensores simétricos se encuentran ampliamente en ingeniería , física y matemáticas .

Definición

Sea V un espacio vectorial y

${\displaystyle T\in V^{\otimes k}}$

un tensor de orden k . Entonces T es un tensor simétrico si

${\displaystyle \tau _{\sigma }T=T\,}$

para los mapas de trenzado asociados a cada permutación σ en los símbolos {1,2,..., k } (o equivalentemente para cada transposición de estos símbolos).

Dada una base { e ⁱ } de V , cualquier tensor simétrico T de rango k se puede escribir como

${\displaystyle T=\sum _{i_{1},\ldots ,i_{k}=1}^{N}T_{i_{1}i_{2}\cdots i_{k}}e^{i_{1}}\otimes e^{i_{2}}\otimes \cdots \otimes e^{i_{k}}}$

para alguna lista única de coeficientes (los componentes del tensor en la base) que son simétricos en los índices. Es decir ${\displaystyle T_{i_{1}i_{2}\cdots i_{k}}}$

${\displaystyle T_{i_{\sigma 1}i_{\sigma 2}\cdots i_{\sigma k}}=T_{i_{1}i_{2}\cdots i_{k}}}$

para cada permutación σ .

El espacio de todos los tensores simétricos de orden k definidos en V a menudo se denota por S ^k ( V ) o Sym ^k ( V ). Es en sí mismo un espacio vectorial, y si V tiene dimensión N entonces la dimensión de Sym ^k ( V ) es el coeficiente binomial

${\displaystyle \dim \operatorname {Sym} ^{k}(V)={N+k-1 \choose k}.}$

Luego construimos Sym( V ) como la suma directa de Sym ^k ( V ) para k = 0,1,2,...

${\displaystyle \operatorname {Sym} (V)=\bigoplus _{k=0}^{\infty }\operatorname {Sym} ^{k}(V).}$

Ejemplos

Hay muchos ejemplos de tensores simétricos. Algunos incluyen el tensor métrico , el tensor de Einstein y el tensor de Ricci . ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$ ${\displaystyle G_{\mu \nu }}$ ${\displaystyle R_{\mu \nu }}$

Muchas propiedades y campos de los materiales utilizados en física e ingeniería se pueden representar como campos tensoriales simétricos; por ejemplo: tensión , deformación y conductividad anisotrópica . Además, en la resonancia magnética de difusión se utilizan a menudo tensores simétricos para describir la difusión en el cerebro u otras partes del cuerpo.

Los elipsoides son ejemplos de variedades algebraicas ; y así, para el rango general, los tensores simétricos, en forma de polinomios homogéneos , se utilizan para definir variedades proyectivas y, a menudo, se estudian como tales.

Dada una variedad de Riemann equipada con su conexión Levi-Civita , el tensor de curvatura covariante es un tensor simétrico de orden 2 sobre el espacio vectorial de 2 formas diferenciales. Esto corresponde al hecho de que, viendo , tenemos la simetría entre el primer y segundo par de argumentos además de la antisimetría dentro de cada par: . ^[1] ${\displaystyle (M,g)}$ ${\displaystyle \nabla }$ ${\textstyle V=\Omega ^{2}(M)=\bigwedge ^{2}T^{*}M}$ ${\displaystyle R_{ijk\ell }\in (T^{*}M)^{\otimes 4}}$ ${\displaystyle R_{ij\,k\ell }=R_{k\ell \,ij}}$ ${\displaystyle R_{jik\ell }=-R_{ijk\ell }=R_{ij\ell k}}$

Parte simétrica de un tensor.

Supongamos que es un espacio vectorial sobre un campo de característica 0. Si T ∈ V ^{⊗ k} es un tensor de orden , entonces la parte simétrica de es el tensor simétrico definido por ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle T}$

${\displaystyle \operatorname {Sym} \,T={\frac {1}{k!}}\sum _{\sigma \in {\mathfrak {S}}_{k}}\tau _{\sigma }T,}$

la suma se extiende sobre el grupo simétrico en k símbolos. En términos de una base, y empleando la convención de suma de Einstein , si

${\displaystyle T=T_{i_{1}i_{2}\cdots i_{k}}e^{i_{1}}\otimes e^{i_{2}}\otimes \cdots \otimes e^{i_{k}},}$

entonces

${\displaystyle \operatorname {Sym} \,T={\frac {1}{k!}}\sum _{\sigma \in {\mathfrak {S}}_{k}}T_{i_{\sigma 1}i_{\sigma 2}\cdots i_{\sigma k}}e^{i_{1}}\otimes e^{i_{2}}\otimes \cdots \otimes e^{i_{k}}.}$

Los componentes del tensor que aparecen a la derecha a menudo se denotan por

${\displaystyle T_{(i_{1}i_{2}\cdots i_{k})}={\frac {1}{k!}}\sum _{\sigma \in {\mathfrak {S}}_{k}}T_{i_{\sigma 1}i_{\sigma 2}\cdots i_{\sigma k}}}$

con paréntesis () alrededor de los índices que se simetrizan. Los corchetes [] se utilizan para indicar antisimetrización.

Producto simétrico

Si T es un tensor simple, dado como un producto tensorial puro

${\displaystyle T=v_{1}\otimes v_{2}\otimes \cdots \otimes v_{r}}$

entonces la parte simétrica de T es el producto simétrico de los factores:

${\displaystyle v_{1}\odot v_{2}\odot \cdots \odot v_{r}:={\frac {1}{r!}}\sum _{\sigma \in {\mathfrak {S}}_{r}}v_{\sigma 1}\otimes v_{\sigma 2}\otimes \cdots \otimes v_{\sigma r}.}$

En general, podemos convertir Sym( V ) en un álgebra definiendo el producto conmutativo y asociativo ⊙. ^[2] Dados dos tensores T ₁ ∈ Sym ^{k ₁} ( V ) y T ₂ ∈ Sym ^{k ₂} ( V ) , usamos el operador de simetrización para definir:

${\displaystyle T_{1}\odot T_{2}=\operatorname {Sym} (T_{1}\otimes T_{2})\quad \left(\in \operatorname {Sym} ^{k_{1}+k_{2}}(V)\right).}$

Se puede verificar (como lo hacen Kostrikin y Manin ^[2] ) que el producto resultante es de hecho conmutativo y asociativo. En algunos casos se omite el operador: T ₁ T ₂ = T ₁ ⊙ T ₂ .

En algunos casos se utiliza una notación exponencial:

${\displaystyle v^{\odot k}=\underbrace {v\odot v\odot \cdots \odot v} _{k{\text{ times}}}=\underbrace {v\otimes v\otimes \cdots \otimes v} _{k{\text{ times}}}=v^{\otimes k}.}$

Donde v es un vector. Nuevamente, en algunos casos se omite el ⊙:

${\displaystyle v^{k}=\underbrace {v\,v\,\cdots \,v} _{k{\text{ times}}}=\underbrace {v\odot v\odot \cdots \odot v} _{k{\text{ times}}}.}$

Descomposición

En analogía con la teoría de matrices simétricas , un tensor simétrico (real) de orden 2 puede "diagonalizarse". Más precisamente, para cualquier tensor T  ∈ Sym ² ( V ), hay un número entero r , vectores unitarios distintos de cero v ₁ ,..., v _r  ∈  V y pesos λ ₁ ,..., λ _r tales que

${\displaystyle T=\sum _{i=1}^{r}\lambda _{i}\,v_{i}\otimes v_{i}.}$

El número mínimo r para el cual tal descomposición es posible es el rango (simétrico) de T. Los vectores que aparecen en esta expresión mínima son los ejes principales del tensor y generalmente tienen un significado físico importante. Por ejemplo, los ejes principales del tensor de inercia definen el elipsoide de Poinsot que representa el momento de inercia. Véase también la ley de inercia de Sylvester .

Para tensores simétricos de orden arbitrario k , descomposiciones

${\displaystyle T=\sum _{i=1}^{r}\lambda _{i}\,v_{i}^{\otimes k}}$

también son posibles. El número mínimo r para el cual tal descomposición es posible es el rango simétrico de T. ^[3] Esta descomposición mínima se llama descomposición de Waring; es una forma simétrica de la descomposición de rangos tensoriales . Para los tensores de segundo orden, esto corresponde al rango de la matriz que representa el tensor en cualquier base, y es bien sabido que el rango máximo es igual a la dimensión del espacio vectorial subyacente. Sin embargo, para órdenes superiores esto no tiene por qué ser así: el rango puede ser mayor que el número de dimensiones en el espacio vectorial subyacente. Además, el rango y el rango simétrico de un tensor simétrico pueden diferir. ^[4]

Ver también

• tensor antisimétrico
• cálculo de ricci
• polinomio de Schur
• Polinomio simétrico
• Transponer
• Simetrizador joven

Notas

1. Carmo, Manfredo Perdigão do (1992). Geometría riemanniana. Francisco J. Flaherty. Boston: Birkhäuser. ISBN 0-8176-3490-8. OCLC  24667701.
2. Kostrikin, Alexei I .; Manin, Iurii Ivanovich (1997). Álgebra lineal y geometría . Álgebra, Lógica y Aplicaciones. vol. 1. Gordon y Breach. págs. 276-279. ISBN 9056990497.
3. Común, P.; Golub, G.; Lim, LH; Mourrain, B. (2008). "Tensores simétricos y rango de tensor simétrico". Revista SIAM sobre Análisis y Aplicaciones de Matrices . 30 (3): 1254. arXiv : 0802.1681 . doi :10.1137/060661569. S2CID  5676548.
4. Shitov, Yaroslav (2018). "Un contraejemplo de la conjetura de Comon". Revista SIAM de Álgebra y Geometría Aplicadas . 2 (3): 428–443. arXiv : 1705.08740 . doi :10.1137/17m1131970. ISSN  2470-6566. S2CID  119717133.

Referencias

• Bourbaki, Nicolas (1989), Elementos de las matemáticas, Álgebra I , Springer-Verlag, ISBN 3-540-64243-9.
• Bourbaki, Nicolas (1990), Elementos de las matemáticas, Álgebra II , Springer-Verlag, ISBN 3-540-19375-8.
• Greub, Werner Hildbert (1967), Álgebra multilineal , Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, Band 136, Springer-Verlag New York, Inc., Nueva York, MR  0224623.
• Sternberg, Shlomo (1983), Conferencias sobre geometría diferencial , Nueva York: Chelsea, ISBN 978-0-8284-0316-0.

enlaces externos

• Cesar O. Aguilar, La dimensión de los tensores k simétricos