colector diferenciable

Colector sobre el cual es posible realizar cálculos.

Un atlas no diferenciable de cartas del mundo. Los resultados del cálculo pueden no ser compatibles entre cartas si el atlas no es diferenciable. En los gráficos del centro y de la derecha, el Trópico de Cáncer es una curva suave, mientras que en el gráfico de la izquierda tiene una esquina pronunciada. La noción de variedad diferenciable refina la de variedad al requerir que las funciones que se transforman entre gráficos sean diferenciables.

En matemáticas, una variedad diferenciable (también variedad diferencial ) es un tipo de variedad que es localmente lo suficientemente similar a un espacio vectorial como para permitir aplicar el cálculo . Cualquier variedad puede describirse mediante una colección de gráficos ( atlas ). Entonces se pueden aplicar ideas del cálculo mientras se trabaja dentro de los gráficos individuales, ya que cada gráfico se encuentra dentro de un espacio vectorial al que se aplican las reglas habituales del cálculo. Si los gráficos son adecuadamente compatibles (es decir, la transición de un gráfico a otro es diferenciable ), entonces los cálculos realizados en un gráfico son válidos en cualquier otro gráfico diferenciable.

En términos formales, una variedad diferenciable es una variedad topológica con una estructura diferencial globalmente definida . A cualquier variedad topológica se le puede dar una estructura diferencial localmente utilizando los homeomorfismos en su atlas y la estructura diferencial estándar en un espacio vectorial. Para inducir una estructura diferencial global en los sistemas de coordenadas locales inducidos por los homeomorfismos, sus composiciones en las intersecciones de cartas en el atlas deben ser funciones diferenciables en el espacio vectorial correspondiente. En otras palabras, cuando los dominios de las cartas se superponen, se requiere que las coordenadas definidas por cada carta sean diferenciables con respecto a las coordenadas definidas por cada carta en el atlas. Los mapas que relacionan entre sí las coordenadas definidas por las distintas cartas se denominan mapas de transición .

La capacidad de definir dicha estructura diferencial local en un espacio abstracto permite extender la definición de diferenciabilidad a espacios sin sistemas de coordenadas globales. Una estructura localmente diferencial permite definir el espacio tangente globalmente diferenciable , las funciones diferenciables y los campos tensoriales y vectoriales diferenciables .

Las variedades diferenciables son muy importantes en física . Tipos especiales de variedades diferenciables forman la base de teorías físicas como la mecánica clásica , la relatividad general y la teoría de Yang-Mills . Es posible desarrollar un cálculo para variedades diferenciables. Esto conduce a una maquinaria matemática como el cálculo exterior. El estudio del cálculo sobre variedades diferenciables se conoce como geometría diferencial.

A la "diferenciabilidad" de una variedad se le han dado varios significados, entre ellos: continuamente diferenciable , k veces diferenciable, suave (que a su vez tiene muchos significados) y analítico .

Historia

El surgimiento de la geometría diferencial como disciplina distinta generalmente se atribuye a Carl Friedrich Gauss y Bernhard Riemann . Riemann describió por primera vez las variedades en su famosa conferencia de habilitación ante la facultad de Göttingen . ^[1] Motivó la idea de una variedad mediante un proceso intuitivo de variar un objeto dado en una nueva dirección, y describió proféticamente el papel de los sistemas de coordenadas y gráficos en desarrollos formales posteriores:

Habiendo construido la noción de una variedad de n dimensiones y descubierto que su verdadero carácter consiste en la propiedad de que la determinación de la posición en ella puede reducirse a n determinaciones de magnitud, ... – B. Riemann

Los trabajos de físicos como James Clerk Maxwell , ^[2] y de los matemáticos Gregorio Ricci-Curbastro y Tullio Levi-Civita ^[3] llevaron al desarrollo del análisis tensorial y la noción de covarianza , que identifica una propiedad geométrica intrínseca como aquella que es invariante con respecto a transformaciones de coordenadas . Estas ideas encontraron una aplicación clave en la teoría de la relatividad general de Albert Einstein y su principio de equivalencia subyacente . Hermann Weyl dio una definición moderna de variedad bidimensional en su libro de 1913 sobre superficies de Riemann . ^[4] La definición general ampliamente aceptada de variedad en términos de atlas se debe a Hassler Whitney . ^[5]

Definición

Atlas

Sea M un espacio topológico . Un gráfico ( U , φ ) en M consta de un subconjunto abierto U de M , y un homeomorfismo φ de U a un subconjunto abierto de algún espacio euclidiano R ⁿ . De manera algo informal, uno puede referirse a un gráfico φ  : U → R ⁿ , lo que significa que la imagen de φ es un subconjunto abierto de R ⁿ , y que φ es un homeomorfismo en su imagen; en el uso de algunos autores, esto puede significar que φ  : U → R ⁿ es en sí mismo un homeomorfismo.

La presencia de un gráfico sugiere la posibilidad de hacer cálculo diferencial en M ; por ejemplo, si se le da una función u  : M → R y una gráfica ( U , φ ) en M , se podría considerar la composición u ∘ φ ⁻¹ , que es una función de valor real cuyo dominio es un subconjunto abierto de una función euclidiana espacio; como tal, si resulta ser diferenciable, se podrían considerar sus derivadas parciales .

Esta situación no es totalmente satisfactoria por la siguiente razón. Considere un segundo gráfico ( V , ψ ) en M y suponga que U y V contienen algunos puntos en común. Las dos funciones correspondientes u ∘ φ ⁻¹ y u ∘ ψ ⁻¹ están vinculadas en el sentido de que pueden reparametrizarse entre sí:

$${\displaystyle u\circ \varphi ^{-1}={\big (}u\circ \psi ^{-1}{\big )}\circ {\big (}\psi \circ \varphi ^{-1}{\big )},}$$

φ ( U ∩ V )φψψ ∘ φ ⁻¹φ ( U ∩ V )ψ ( U ∩ V )u ∘ φ ⁻¹u ∘ ψ ⁻¹ψ ∘ φ ⁻¹regla de la cadenac  : R → M

$${\displaystyle \varphi \circ c={\big (}\varphi \circ \psi ^{-1}{\big )}\circ {\big (}\psi \circ c{\big )},}$$

Esto se resuelve mediante la introducción de un "atlas diferenciable" de gráficos, que especifica una colección de gráficos en M para los cuales los mapas de transición ψ ∘ φ ⁻¹ son todos diferenciables. Esto deja la situación bastante clara: si u ∘ φ ⁻¹ es diferenciable, entonces, debido a la primera fórmula de reparametrización enumerada anteriormente, el mapa u ∘ ψ ⁻¹ también es diferenciable en la región ψ ( U ∩ V ) , y viceversa. Además, las derivadas de estas dos aplicaciones están unidas entre sí por la regla de la cadena. En relación con el atlas dado, esto facilita una noción de asignaciones diferenciables cuyo dominio o rango es M , así como una noción de la derivada de dichos mapas.

Formalmente, la palabra "diferenciable" es algo ambigua, ya que diferentes autores la interpretan con el significado de cosas diferentes; a veces significa la existencia de primeras derivadas, a veces la existencia de primeras derivadas continuas y, a veces, la existencia de infinitas derivadas. A continuación se ofrece una definición formal de varios significados (no ambiguos) de "atlas diferenciable". Generalmente, "diferenciable" se utilizará como un término general que incluye todas estas posibilidades, siempre que k ≥ 1 .

Dado que todo mapa analítico real es suave, y cada mapa suave es C ^k para cualquier k , se puede ver que cualquier atlas analítico también puede verse como un atlas suave, y cada atlas suave puede verse como un atlas C ^{k .} Esta cadena se puede ampliar para incluir atlas holomórficos, en el entendido de que cualquier mapa holomórfico entre subconjuntos abiertos de C ⁿ puede verse como un mapa analítico real entre subconjuntos abiertos de R ^{2 n} .

Dado un atlas diferenciable en un espacio topológico, se dice que una carta es diferenciablemente compatible con el atlas, o diferenciable en relación con el atlas dado, si la inclusión de la carta en la colección de cartas que comprende el atlas diferenciable dado da como resultado un atlas diferenciable. . Un atlas diferenciable determina un atlas diferenciable máximo , que consta de todas las cartas que son diferenciablemente compatibles con el atlas dado. Un atlas máximo es siempre muy grande. Por ejemplo, dado cualquier gráfico en un atlas máximo, su restricción a un subconjunto abierto arbitrario de su dominio también estará contenida en el atlas máximo. Un atlas liso máximo también se conoce como estructura lisa ; un atlas holomorfo máximo también se conoce como estructura compleja .

Una definición alternativa pero equivalente, que evita el uso directo de atlas máximos, es considerar clases de equivalencia de atlas diferenciables, en las que dos atlas diferenciables se consideran equivalentes si cada carta de un atlas es diferenciablemente compatible con el otro atlas. Informalmente, lo que esto significa es que al tratar con una variedad uniforme, se puede trabajar con un único atlas diferenciable, que consta de sólo unos pocos mapas, con el entendimiento implícito de que muchos otros mapas y atlas diferenciables son igualmente legítimos.

Según la invariancia del dominio , cada componente conectado de un espacio topológico que tiene un atlas diferenciable tiene una dimensión n bien definida . Esto provoca una pequeña ambigüedad en el caso de un atlas holomorfo, ya que la dimensión correspondiente será la mitad del valor de su dimensión cuando se considera un atlas analítico, liso o C ^k . Por esta razón se habla por separado de la dimensión "real" y "compleja" de un espacio topológico con un atlas holomorfo.

Colectores

Una variedad diferenciable es un Hausdorff y un segundo espacio topológico contable M , junto con un atlas máximo diferenciable en M. Gran parte de la teoría básica se puede desarrollar sin la necesidad de las condiciones de Hausdorff y de segunda contabilización, aunque son vitales para gran parte de la teoría avanzada. Son esencialmente equivalentes a la existencia general de funciones de choque y particiones de unidad , las cuales se usan de manera ubicua.

La noción de variedad C ⁰ es idéntica a la de variedad topológica . Sin embargo, cabe hacer una distinción notable. Dado un espacio topológico, tiene sentido preguntarse si es o no una variedad topológica. Por el contrario, no tiene sentido preguntar si un espacio topológico dado es (por ejemplo) una variedad suave, ya que la noción de variedad suave requiere la especificación de un atlas suave, que es una estructura adicional. Sin embargo, podría tener sentido decir que a un determinado espacio topológico no se le puede dar la estructura de una variedad suave. Es posible reformular las definiciones para que no se presente este tipo de desequilibrio; se puede comenzar con un conjunto M (en lugar de un espacio topológico M ) , utilizando el análogo natural de un atlas suave en este entorno para definir la estructura de un espacio topológico en M.

Unir piezas euclidianas para formar una variedad

Se puede aplicar ingeniería inversa a las definiciones anteriores para obtener una perspectiva sobre la construcción de variedades. La idea es comenzar con las imágenes de los gráficos y los mapas de transición, y construir la variedad únicamente a partir de estos datos. Como en la discusión anterior, usamos el contexto "suave", pero todo funciona igual de bien en otras configuraciones.

Dado un conjunto de indexación, sea una colección de subconjuntos abiertos de y para cada uno , sea un subconjunto abierto (posiblemente vacío) de y sea un mapa fluido. Supongamos que ese es el mapa de identidad, ese es el mapa de identidad y ese es el mapa de identidad. Luego defina una relación de equivalencia en la unión disjunta declarando que es equivalente a. Con algo de trabajo técnico, se puede demostrar que al conjunto de clases de equivalencia se le puede dar naturalmente una estructura topológica, y que las cartas utilizadas para hacerlo forman un atlas fluido. Para unir las estructuras analíticas (subconjunto), consulte variedades analíticas . ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle V_{\alpha }}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \alpha ,\beta \in A}$ ${\displaystyle V_{\alpha \beta }}$ ${\displaystyle V_{\beta }}$ ${\displaystyle \phi _{\alpha \beta }:V_{\alpha \beta }\to V_{\beta \alpha }}$ ${\displaystyle \phi _{\alpha \alpha }}$ ${\displaystyle \phi _{\alpha \beta }\circ \phi _{\beta \alpha }}$ ${\displaystyle \phi _{\alpha \beta }\circ \phi _{\beta \gamma }\circ \phi _{\gamma \alpha }}$ ${\textstyle \bigsqcup _{\alpha \in A}V_{\alpha }}$ ${\displaystyle p\in V_{\alpha \beta }}$ ${\displaystyle \phi _{\alpha \beta }(p)\in V_{\beta \alpha }.}$

Funciones diferenciables

Una función de valor real f en una variedad diferenciable M de n dimensiones se llama diferenciable en un punto p ∈ M si es diferenciable en cualquier gráfico de coordenadas definido alrededor de p . En términos más precisos, si es un gráfico diferenciable donde es un conjunto abierto que contiene p y es el mapa que define el gráfico, entonces f es diferenciable en p si y solo si ${\displaystyle (U,\phi )}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \phi :U\to {\mathbf {R} }^{n}}$

$${\displaystyle f\circ \phi ^{-1}\colon \phi (U)\subset {\mathbf {R} }^{n}\to {\mathbf {R} }}$$

pregla de la cadenafppC ^k ${\displaystyle \phi (p)}$ ${\displaystyle f\circ \phi ^{-1}}$ ${\displaystyle \phi (U)}$ ${\displaystyle {\mathbf {R} }^{n}}$ ${\displaystyle \mathbf {R} }$

Diferenciación de funciones

Hay varias formas de definir la derivada de una función en una variedad diferenciable, la más fundamental de las cuales es la derivada direccional . La definición de la derivada direccional se complica por el hecho de que una variedad carecerá de una estructura afín adecuada con la que definir vectores . Por lo tanto, la derivada direccional analiza curvas en la variedad en lugar de vectores.

Diferenciación direccional

Dada una función de valor real f en una variedad diferenciable de n dimensiones M , la derivada direccional de f en un punto p en M se define de la siguiente manera. Supongamos que γ( t ) es una curva en M con γ (0) = p , que es diferenciable en el sentido de que su composición con cualquier gráfico es una curva diferenciable en R ⁿ . Entonces la derivada direccional de f en p a lo largo de γ es

$${\displaystyle \left.{\frac {d}{dt}}f(\gamma (t))\right|_{t=0}.}$$

Si γ ₁ y γ ₂ son dos curvas tales que γ ₁ (0) = γ ₂ (0) = p , y en cualquier gráfico de coordenadas , ${\displaystyle \phi }$

$${\displaystyle \left.{\frac {d}{dt}}\phi \circ \gamma _{1}(t)\right|_{t=0}=\left.{\frac {d}{dt}}\phi \circ \gamma _{2}(t)\right|_{t=0}}$$

entonces, según la regla de la cadena, f tiene la misma derivada direccional en p a lo largo de γ ₁ que a lo largo de γ ₂ . Esto significa que la derivada direccional depende sólo del vector tangente de la curva en p . Por lo tanto, la definición más abstracta de diferenciación direccional adaptada al caso de variedades diferenciables captura en última instancia las características intuitivas de la diferenciación direccional en un espacio afín.

Vector tangente y diferencial.

Un vector tangente en p ∈ M es una clase de equivalencia de curvas diferenciables γ con γ (0) = p , módulo la relación de equivalencia de contacto de primer orden entre las curvas. Por lo tanto,

$${\displaystyle \gamma _{1}\equiv \gamma _{2}\iff \left.{\frac {d}{dt}}\phi \circ \gamma _{1}(t)\right|_{t=0}=\left.{\frac {d}{dt}}\phi \circ \gamma _{2}(t)\right|_{t=0}}$$

en cada carta de coordenadas . Por lo tanto, las clases de equivalencia son curvas que pasan por p con un vector de velocidad prescrito en p . La colección de todos los vectores tangentes en p forma un espacio vectorial : el espacio tangente a M en p , denotado T _p M. ${\displaystyle \phi }$

Si X es un vector tangente en p y f una función diferenciable definida cerca de p , entonces diferenciar f a lo largo de cualquier curva en la clase de equivalencia que define X da una derivada direccional bien definida a lo largo de X :

$${\displaystyle Xf(p):=\left.{\frac {d}{dt}}f(\gamma (t))\right|_{t=0}.}$$

Si la función f es fija, entonces el mapeo

$${\displaystyle X\mapsto Xf(p)}$$

funcional linealdfpdiferencialfp

$${\displaystyle df(p)\colon T_{p}M\to {\mathbf {R} }.}$$

Definición de espacio tangente y diferenciación en coordenadas locales.

Sea una variedad topológica con un atlas suave. Dado, denotaremos que un "vector tangente en " es un mapeo aquí denotado tal que ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \{(U_{\alpha },\phi _{\alpha })\}_{\alpha \in A}.}$ ${\displaystyle p\in M}$ ${\displaystyle A_{p}}$ ${\displaystyle \{\alpha \in A:p\in U_{\alpha }\}.}$ ${\displaystyle p\in M}$ ${\displaystyle v:A_{p}\to \mathbb {R} ^{n},}$ ${\displaystyle \alpha \mapsto v_{\alpha },}$

$${\displaystyle v_{\alpha }=D{\Big |}_{\phi _{\beta }(p)}(\phi _{\alpha }\circ \phi _{\beta }^{-1})(v_{\beta })}$$

${\displaystyle \alpha ,\beta \in A_{p}.}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle T_{p}M.}$ ${\displaystyle f:M\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle df_{p}:T_{p}M\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle v:A_{p}\to \mathbb {R} ^{n}}$

$${\displaystyle D{\Big |}_{\phi _{\alpha }(p)}(f\circ \phi _{\alpha }^{-1})(v_{\alpha }),}$$

${\displaystyle \alpha \in A_{p}.}$

Se puede comprobar que naturalmente tiene la estructura de un espacio vectorial real de dimensiones, y que con esta estructura, es una aplicación lineal. La observación clave es que, debido a la restricción que aparece en la definición de un vector tangente, el valor de para un solo elemento de determina automáticamente para todos ${\displaystyle T_{p}M}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle df_{p}}$ ${\displaystyle v_{\beta }}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle A_{p}}$ ${\displaystyle v_{\alpha }}$ ${\displaystyle \alpha \in A.}$

Las definiciones formales anteriores corresponden precisamente a una notación más informal que aparece a menudo en los libros de texto, específicamente

${\displaystyle v^{i}={\widetilde {v}}^{j}{\frac {\partial x^{i}}{\partial {\widetilde {x}}^{j}}}}$y ${\displaystyle df_{p}(v)={\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}v^{i}.}$

Una vez entendida la idea de las definiciones formales, es mucho más fácil trabajar con esta notación abreviada para la mayoría de los propósitos.

Particiones de unidad

Una de las características topológicas del haz de funciones diferenciables en una variedad diferenciable es que admite particiones de unidad . Esto distingue la estructura diferencial en una variedad de estructuras más fuertes (como las estructuras analíticas y holomorfas) que en general no tienen particiones de unidad.

Supongamos que M es una variedad de clase C ^k , donde 0 ≤ k ≤ ∞ . Sea { U _α } una cubierta abierta de M . Entonces una partición de unidad subordinada a la cobertura { U _α } es una colección de funciones C ^k de valor real φ _i en M que satisfacen las siguientes condiciones:

• Los soportes del φ _i son compactos y localmente finitos ;
• El soporte de φ _i está completamente contenido en U _α para algún α ;
• Los φ _i suman uno en cada punto de M :
  $${\displaystyle \sum _{i}\phi _{i}(x)=1.}$$

(Tenga en cuenta que esta última condición es en realidad una suma finita en cada punto debido a la finitud local de los soportes de φ _i .)

Cada cubierta abierta de una variedad C ^k M tiene una partición C ^k de unidad. Esto permite que ciertas construcciones de la topología de funciones C ^k en R ⁿ se transfieran a la categoría de variedades diferenciables. En particular, es posible discutir la integración eligiendo una partición de unidad subordinada a un atlas de coordenadas particular y llevando a cabo la integración en cada carta de R ⁿ . Por lo tanto, las particiones de unidad permiten considerar otros tipos de espacios funcionales : por ejemplo, espacios Lp , espacios de Sobolev y otros tipos de espacios que requieren integración .

Diferenciabilidad de asignaciones entre variedades.

Supongamos que M y N son dos variedades diferenciables con dimensiones m y n , respectivamente, y f es una función de M a N. Dado que las variedades diferenciables son espacios topológicos, sabemos lo que significa que f sea continua. Pero ¿qué significa " f es C ^k ( M , N ) " para k ≥ 1 ? Sabemos lo que eso significa cuando f es una función entre espacios euclidianos, por lo que si componemos f con un gráfico de M y un gráfico de N tal que obtengamos un mapa que va desde el espacio euclidiano a M , a N y al espacio euclidiano, sabemos qué significa que ese mapa es C ^k ( R ^m , R ⁿ ) . Definimos " f es C ^k ( M , N ) " para significar que todas las composiciones de f con gráficos son C ^k ( R ^m , R ⁿ ) . Una vez más, la regla de la cadena garantiza que la idea de diferenciabilidad no depende de qué cartas de los atlas de M y N se seleccionen. Sin embargo, definir la derivada en sí es más sutil. Si M o N ya es en sí mismo un espacio euclidiano, entonces no necesitamos un gráfico para asignarlo a uno.

manojos

Paquete tangente

El espacio tangente de un punto consta de las posibles derivadas direccionales en ese punto y tiene la misma dimensión n que la variedad. Para un conjunto de coordenadas (no singulares) x _k locales al punto, las derivadas de las coordenadas definen una base holonómica del espacio tangente. La colección de espacios tangentes en todos los puntos puede, a su vez, convertirse en una variedad, el paquete tangente , cuya dimensión es 2 n . El paquete tangente es donde se encuentran los vectores tangentes y es en sí mismo una variedad diferenciable. El lagrangiano es una función del paquete tangente. También se puede definir el paquete tangente como el paquete de chorros 1 desde R (la línea real ) hasta M. ${\displaystyle \partial _{k}={\frac {\partial }{\partial x_{k}}}}$

Se puede construir un atlas para el paquete tangente que consta de cartas basadas en U _α × R ⁿ , donde U _α denota una de las cartas en el atlas para M . Cada uno de estos nuevos gráficos es el conjunto tangente de los gráficos U _α . Los mapas de transición en este atlas se definen a partir de los mapas de transición en la variedad original y conservan la clase de diferenciabilidad original.

Paquete cotangente

El espacio dual de un espacio vectorial es el conjunto de funciones lineales con valores reales en el espacio vectorial. El espacio cotangente en un punto es el dual del espacio tangente en ese punto y los elementos se denominan vectores cotangentes; El paquete cotangente es la colección de todos los vectores cotangentes, junto con la estructura múltiple diferenciable natural.

Al igual que el paquete tangente, el paquete cotangente es nuevamente una variedad diferenciable. El hamiltoniano es un escalar del paquete cotangente. El espacio total de un paquete cotangente tiene la estructura de una variedad simpléctica . Los vectores cotangentes a veces se denominan covectores . También se puede definir el paquete cotangente como el paquete de 1- jets de funciones de M a R.

Los elementos del espacio cotangente pueden considerarse como desplazamientos infinitesimales : si f es una función diferenciable podemos definir en cada punto p un vector cotangente df _p , que envía un vector tangente X _p a la derivada de f asociada con X _p . Sin embargo, no todos los campos covectores pueden expresarse de esta manera. Los que pueden hacerlo se denominan diferenciales exactos . Para un conjunto dado de coordenadas locales x ^k , los diferenciales dx^k
_pforman una base del espacio cotangente en p .

paquete tensorial

El paquete tensorial es la suma directa de todos los productos tensoriales del paquete tangente y del paquete cotangente. Cada elemento del paquete es un campo tensorial , que puede actuar como un operador multilineal en campos vectoriales o en otros campos tensoriales.

El paquete tensorial no es una variedad diferenciable en el sentido tradicional, ya que es de dimensión infinita. Sin embargo, es un álgebra sobre el anillo de funciones escalares. Cada tensor se caracteriza por sus rangos, que indican cuántos factores tangentes y cotangentes tiene. A veces, estos rangos se denominan rangos covariantes y contravariantes , lo que significa rangos tangentes y cotangentes, respectivamente.

Paquete de marco

Un marco (o, en términos más precisos, un marco tangente), es una base ordenada de un espacio tangente particular. Asimismo, un marco tangente es un isomorfismo lineal de R ⁿ a este espacio tangente. Un marco tangente en movimiento es una lista ordenada de campos vectoriales que dan una base en cada punto de su dominio. También se puede considerar un marco en movimiento como una sección del conjunto de marcos F( M ), un conjunto principal GL( n , R ) formado por el conjunto de todos los marcos sobre M. El paquete de marcos es útil porque los campos tensoriales en M pueden considerarse funciones vectoriales equivariantes en F ( M ).

Paquetes de jet

En un colector suficientemente liso se pueden considerar también varios tipos de haces de chorro. El paquete tangente (de primer orden) de una variedad es el conjunto de curvas en la variedad módulo la relación de equivalencia del contacto de primer orden . Por analogía, el paquete tangente de k -ésimo orden es la colección de curvas módulo la relación del contacto de k -ésimo orden. Asimismo, el paquete cotangente es el paquete de 1-jets de funciones en la variedad: el paquete k -jet es el paquete de sus k -jets. Estos y otros ejemplos de la idea general de haces de chorros juegan un papel importante en el estudio de operadores diferenciales en colectores.

La noción de marco también se generaliza al caso de aviones de orden superior. Defina un marco de k -ésimo orden como el k -jet de un difeomorfismo de R ⁿ a M . ^[6] La colección de todos los marcos de k -ésimo orden, F ^k ( M ), es un paquete principal G ^k sobre M , donde G ^k es el grupo de k -jets ; es decir, el grupo formado por k -jets de difeomorfismos de R ⁿ que fijan el origen. Tenga en cuenta que GL( n , R ) es naturalmente isomorfo a G ¹ y un subgrupo de cada G ^k , k ≥ 2 . En particular, una sección de F ² ( M ) da los componentes del marco de una conexión en M . Por lo tanto, el paquete cociente F ² ( M ) / GL ( n , R ) es el paquete de conexiones lineales simétricas sobre M .

Cálculo de variedades

Muchas de las técnicas del cálculo multivariado también se aplican, mutatis mutandis , a variedades diferenciables. Se puede definir la derivada direccional de una función diferenciable a lo largo de un vector tangente a la variedad, por ejemplo, y esto conduce a una forma de generalizar la derivada total de una función: la diferencial. Desde la perspectiva del cálculo, la derivada de una función en una variedad se comporta de manera muy similar a la derivada ordinaria de una función definida en un espacio euclidiano, al menos localmente . Por ejemplo, existen versiones de los teoremas de funciones implícitas e inversas para tales funciones.

Sin embargo, existen diferencias importantes en el cálculo de campos vectoriales (y de campos tensoriales en general). En resumen, la derivada direccional de un campo vectorial no está bien definida, o al menos no está definida de manera sencilla. Existen varias generalizaciones de la derivada de un campo vectorial (o campo tensorial) que capturan ciertas características formales de diferenciación en espacios euclidianos. Los principales entre ellos son:

• La derivada de Lie , que está definida únicamente por la estructura diferencial, pero no satisface algunas de las características habituales de la diferenciación direccional.
• Una conexión afín , que no está definida de forma única, pero generaliza de una manera más completa las características de la diferenciación direccional ordinaria. Debido a que una conexión afín no es única, es un dato adicional que debe especificarse en el colector.

Las ideas del cálculo integral también se trasladan a las variedades diferenciales. Éstas se expresan naturalmente en el lenguaje del cálculo exterior y de las formas diferenciales . Los teoremas fundamentales del cálculo integral en varias variables, a saber, el teorema de Green , el teorema de la divergencia y el teorema de Stokes , se generalizan a un teorema (también llamado teorema de Stokes) que relaciona la derivada exterior y la integración sobre subvariedades .

Cálculo diferencial de funciones.

Se necesitan funciones diferenciables entre dos variedades para formular nociones adecuadas de subvariedades y otros conceptos relacionados. Si f  : M → N es una función diferenciable de una variedad diferenciable M de dimensión m a otra variedad diferenciable N de dimensión n , entonces el diferencial de f es una aplicación df  : T M → T N . También se denota por Tf y se llama aplicación tangente . En cada punto de M , ésta es una transformación lineal de un espacio tangente a otro:

$${\displaystyle df(p)\colon T_{p}M\to T_{f(p)}N.}$$

rangofprango

Generalmente el rango de una función es una propiedad puntual. Sin embargo, si la función tiene rango máximo, entonces el rango permanecerá constante en la vecindad de un punto. Una función diferenciable "normalmente" tiene rango máximo, en el sentido preciso dado por el teorema de Sard . Las funciones de máximo rango en un punto se denominan inmersiones y sumersiones :

• Si m ≤ n , y f  : M → N tiene rango m en p ∈ M , entonces f se llama inmersión en p . Si f es una inmersión en todos los puntos de M y es un homeomorfismo en su imagen, entonces f es una incrustación . Las incrustaciones formalizan la noción de que M es una subvariedad de N. En general, una incrustación es una inmersión sin autointersecciones ni otros tipos de irregularidades topológicas no locales.
• Si m ≥ n , y f  : M → N tiene rango n en p ∈ M , entonces f se llama inmersión en p . El teorema de la función implícita establece que si f es una inmersión en p , entonces M es localmente un producto de N y R ^{m − n} cerca de p . En términos formales, existen coordenadas ( y ₁ , ..., y _n ) en una vecindad de f ( p ) en N , y m − n funciones x ₁ , ..., x _{m − n} definidas en una vecindad de p en M tal que
  $${\displaystyle (y_{1}\circ f,\dotsc ,y_{n}\circ f,x_{1},\dotsc ,x_{m-n})}$$
  es un sistema de coordenadas locales de M en una vecindad de p . Las sumersiones forman la base de la teoría de las fibraciones y los haces de fibras .

Derivado de mentira

Una derivada de Lie , que lleva el nombre de Sophus Lie , es una derivación del álgebra de campos tensoriales sobre una variedad M. El espacio vectorial de todas las derivadas de Lie en M forma un álgebra de Lie de dimensión infinita con respecto al corchete de Lie definido por

$${\displaystyle [A,B]:={\mathcal {L}}_{A}B=-{\mathcal {L}}_{B}A.}$$

Las derivadas de Lie están representadas por campos vectoriales , como generadores infinitesimales de flujos ( diffeomorfismos activos ) en M. Viéndolo al revés, el grupo de difeomorfismos de M tiene la estructura de álgebra de Lie asociada, de derivadas de Lie, de una manera directamente análoga a la teoría de grupos de Lie .

Cálculo exterior

El cálculo exterior permite una generalización de los operadores de gradiente , divergencia y curvatura .

El conjunto de formas diferenciales , en cada punto, consta de todas las aplicaciones multilineales totalmente antisimétricas en el espacio tangente en ese punto. Naturalmente, se divide en n -formas para cada n igual como máximo a la dimensión de la variedad; una forma n es una forma de n variables, también llamada forma de grado n . Las formas 1 son vectores cotangentes, mientras que las formas 0 son simplemente funciones escalares. En general, una n -forma es un tensor con rango cotangente n y rango tangente 0. Pero no todos estos tensores son una forma, ya que una forma debe ser antisimétrica.

Derivado exterior

La derivada exterior es un operador lineal en el espacio vectorial graduado de todas las formas diferenciales suaves en una variedad suave . Generalmente se denota por . Más precisamente, si , para el operador asigna el espacio de -forms on al espacio de -forms (si no hay -forms distintos de cero , entonces el mapa es idénticamente cero en -forms). ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle n=\dim(M)}$ ${\displaystyle 0\leq k\leq n}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \Omega ^{k}(M)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \Omega ^{k+1}(M)}$ ${\displaystyle (k+1)}$ ${\displaystyle k>n}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle n}$

Por ejemplo, el diferencial exterior de una función suave viene dado en coordenadas locales , con cocuadro local asociado mediante la fórmula: ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$ ${\displaystyle dx_{1},\ldots ,dx_{n}}$

$${\displaystyle df=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}dx_{i}.}$$

El diferencial exterior satisface la siguiente identidad, similar a una regla del producto con respecto al producto cuña de formas:

$${\displaystyle d(\omega \wedge \eta )=d\omega \wedge \eta +(-1)^{\deg \omega }\omega \wedge d\eta .}$$

La derivada exterior también satisface la identidad . Es decir, si es una forma, entonces la forma está desapareciendo idénticamente. Una forma tal que se llama cerrada , mientras que una forma tal que para alguna otra forma se llama exacta . Otra formulación de la identidad es que una forma exacta es cerrada. Esto permite definir la cohomología de De Rham de la variedad , donde el grupo de cohomología es el grupo cociente de las formas cerradas por las formas exactas . ${\displaystyle d\circ d=0}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle (k+2)}$ ${\displaystyle d(df)}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle d\omega =0}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega =d\eta }$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle d\circ d=0}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$

Topología de variedades diferenciables.

Relación con variedades topológicas

Supongamos que se trata de una variedad topológica . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle n}$

Si se le da un atlas suave , es fácil encontrar un atlas suave que defina una estructura múltiple suave diferente al considerar un homeomorfismo que no es suave en relación con el atlas dado; por ejemplo, se puede modificar el mapa de identidad localizado con protuberancias no suaves. Luego considere el nuevo atlas , que se puede verificar fácilmente como un atlas fluido. Sin embargo, las cartas del nuevo atlas no son perfectamente compatibles con las cartas del antiguo atlas, ya que esto requeriría que y sean suaves para cualquiera y con estas condiciones siendo exactamente la definición de que ambos y son suaves, en contradicción con cómo se seleccionó. . ${\displaystyle \{(U_{\alpha },\phi _{\alpha })\}_{\alpha \in A}}$ ${\displaystyle M;}$ ${\displaystyle \Phi :M\to M}$ ${\displaystyle \{(\Phi ^{-1}(U_{\alpha }),\phi _{\alpha }\circ \Phi )\}_{\alpha \in A},}$ ${\displaystyle \phi _{\alpha }\circ \Phi \circ \phi _{\beta }^{-1}}$ ${\displaystyle \phi _{\alpha }\circ \Phi ^{-1}\circ \phi _{\beta }^{-1}}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta ,}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \Phi ^{-1}}$ ${\displaystyle \Phi }$

Con esta observación como motivación, se puede definir una relación de equivalencia en el espacio de atlas lisos declarando que los atlas lisos y son equivalentes si existe un homeomorfismo tal que sea suavemente compatible con y tal que sea suavemente compatible con ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \{(U_{\alpha },\phi _{\alpha })\}_{\alpha \in A}}$ ${\displaystyle \{(V_{\beta },\psi _{\beta })\}_{\beta \in B}}$ ${\displaystyle \Phi :M\to M}$ ${\displaystyle \{(\Phi ^{-1}(U_{\alpha }),\phi _{\alpha }\circ \Phi )\}_{\alpha \in A}}$ ${\displaystyle \{(V_{\beta },\psi _{\beta })\}_{\beta \in B},}$ ${\displaystyle \{(\Phi (V_{\beta }),\psi _{\beta }\circ \Phi ^{-1})\}_{\beta \in B}}$ ${\displaystyle \{(U_{\alpha },\phi _{\alpha })\}_{\alpha \in A}.}$

Más brevemente, se podría decir que dos atlas lisos son equivalentes si existe un difeomorfismo en el que un atlas liso se toma para el dominio y el otro atlas liso para el rango. ${\displaystyle M\to M,}$

Tenga en cuenta que esta relación de equivalencia es un refinamiento de la relación de equivalencia que define una estructura múltiple suave, ya que dos atlas cualesquiera suavemente compatibles también son compatibles en el sentido actual; uno puede tomar como el mapa de identidad. ${\displaystyle \Phi }$

Si la dimensión de es 1, 2 o 3, entonces existe una estructura suave en y todas las estructuras suaves distintas son equivalentes en el sentido anterior. La situación es más complicada en dimensiones superiores, aunque no se comprende del todo. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$

• Algunas variedades topológicas no admiten estructuras suaves, como lo demostró originalmente Kervaire (1960) con un ejemplo de diez dimensiones . Una aplicación importante de ecuaciones diferenciales parciales en geometría diferencial debida a Simon Donaldson , en combinación con los resultados de Michael Freedman , muestra que muchas 4 variedades topológicas compactas simplemente conectadas no admiten estructuras suaves. Un ejemplo particular muy conocido es el colector E 8 .
• Algunas variedades topológicas admiten muchas estructuras suaves que no son equivalentes en el sentido dado anteriormente. Esto fue descubierto originalmente por John Milnor en forma de las exóticas 7 esferas . ^[7]

Clasificación

Cada variedad suave unidimensional conectada es difeomorfa a cualquiera o cada una de ellas con sus estructuras suaves estándar. ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle S^{1},}$

Para obtener una clasificación de 2 colectores lisos, consulte superficie . Un resultado particular es que cada variedad suave compacta conectada bidimensional es difeomorfa a uno de los siguientes: o o La situación es menos trivial si se considera una estructura diferenciable compleja en lugar de una estructura suave. ${\displaystyle S^{2},}$ ${\displaystyle (S^{1}\times S^{1})\sharp \cdots \sharp (S^{1}\times S^{1}),}$ ${\displaystyle \mathbb {RP} ^{2}\sharp \cdots \sharp \mathbb {RP} ^{2}.}$

La situación en tres dimensiones es bastante más complicada y los resultados conocidos son más indirectos. Un resultado notable, demostrado en 2002 mediante métodos de ecuaciones diferenciales parciales , es la conjetura de geometrización , que establece vagamente que cualquier 3-variedad compacta y suave se puede dividir en diferentes partes, cada una de las cuales admite métricas de Riemann que poseen muchas simetrías. También hay varios "resultados de reconocimiento" para 3 variedades geometrizables, como la rigidez de Mostow y el algoritmo de Sela para el problema de isomorfismo para grupos hiperbólicos. ^[8]

Se sabe que la clasificación de n -variedades para n mayor que tres es imposible, incluso hasta la equivalencia de homotopía . Dado cualquier grupo finitamente presentado , se puede construir una variedad 4 cerrada que tenga ese grupo como grupo fundamental. Dado que no existe un algoritmo para decidir el problema de isomorfismo para grupos presentados finitamente, no existe un algoritmo para decidir si dos variedades de 4 tienen el mismo grupo fundamental. Dado que la construcción descrita anteriormente da como resultado una clase de 4 variedades que son homeomorfas si y solo si sus grupos son isomorfos, el problema del homeomorfismo para 4 variedades es indecidible . Además, dado que incluso reconocer el grupo trivial es indecidible, en general ni siquiera es posible decidir si una variedad tiene un grupo fundamental trivial, es decir, si es simplemente conexa .

Freedman ha clasificado 4 variedades simplemente conectadas hasta el homeomorfismo utilizando la forma de intersección y el invariante de Kirby-Siebenmann . Se sabe que la teoría de las 4 variedades suaves es mucho más complicada, como lo demuestran las exóticas estructuras suaves de R ⁴ .

Sin embargo, la situación se vuelve más manejable para variedades suaves simplemente conectadas de dimensión ≥ 5, donde el teorema del cobordismo h se puede usar para reducir la clasificación a una clasificación hasta la equivalencia de homotopía, y se puede aplicar la teoría de la cirugía . ^[9] Esto se ha llevado a cabo para proporcionar una clasificación explícita de 5 variedades simplemente conectadas por Dennis Barden.

Estructuras sobre colectores lisos.

Variedades (pseudo) riemannianas

Una variedad de Riemann consta de una variedad suave junto con un producto interno definido positivo en cada uno de los espacios tangentes individuales. Esta colección de productos internos se llama métrica de Riemann y es, naturalmente, un campo simétrico de 2 tensores. Esta "métrica" ​​identifica un isomorfismo natural en el espacio vectorial para cada uno. En una variedad de Riemann se pueden definir nociones de longitud, volumen y ángulo. A cualquier variedad suave se le pueden asignar muchas métricas riemannianas diferentes. ${\displaystyle T_{p}M\to T_{p}^{\ast }M}$ ${\displaystyle p\in M.}$

Una variedad pseudo-riemanniana es una generalización de la noción de variedad de Riemann donde se permite que los productos internos tengan una firma indefinida , en lugar de ser positivos-definidos ; todavía se requiere que no sean degenerados. Cada variedad pseudo-riemanniana y riemanniana suave define una serie de campos tensoriales asociados, como el tensor de curvatura de Riemann . Las variedades de firma pseudo-riemannianas (3, 1) son fundamentales en la relatividad general . No a todas las variedades suaves se les puede dar una estructura pseudo-riemanniana (no riemanniana); existen restricciones topológicas para hacerlo.

La terminología para la variedad pseudo-riemanniana varía según el autor, y gran parte de la literatura sobre este tema puede pasarse por alto si uno es miope al excluir términos alternativos como lorentziano o semi-riemanniano.

Una variedad de Finsler es una generalización diferente de una variedad de Riemann, en la que el producto interno se reemplaza con una norma vectorial ; como tal, esto permite la definición de longitud, pero no de ángulo.

Variedades simplécticas

Una variedad simpléctica es una variedad equipada con una forma 2 cerrada y no degenerada . Esta condición obliga a las variedades simplécticas a ser de dimensión par, debido al hecho de que todas las matrices simétricas sesgadas tienen determinante cero. Hay dos ejemplos básicos: ${\displaystyle (2n+1)\times (2n+1)}$

• Los haces cotangentes, que surgen como espacios de fase en la mecánica hamiltoniana , son un ejemplo motivador, ya que admiten una forma simpléctica natural .
• Todas las variedades de Riemann bidimensionales orientadas son, de forma natural, simplécticas, al definir la forma donde, para any denota el vector tal que es una base ortonormal orientada de ${\displaystyle (M,g)}$ ${\displaystyle \omega (u,v)=g(u,J(v))}$ ${\displaystyle v\in T_{p}M,}$ ${\displaystyle J(v)}$ ${\displaystyle v,J(v)}$ ${\displaystyle g_{p}}$ ${\displaystyle T_{p}M.}$

grupos de mentiras

Un grupo de Lie consta de una variedad C ^∞ junto con una estructura de grupo tal que el producto y la inversión se asignan y son suaves como mapas de variedades. Estos objetos a menudo surgen de forma natural al describir simetrías (continuas) y forman una fuente importante de ejemplos de variedades suaves. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle m:G\times G\to G}$ ${\displaystyle i:G\to G}$

Sin embargo, a muchos ejemplos familiares de variedades suaves no se les puede dar una estructura de grupo de Lie, ya que dado un grupo de Lie y any , se podría considerar el mapa que envía el elemento de identidad a y, por lo tanto, al considerar el diferencial se obtiene una identificación natural entre cualquier dos espacios tangentes de un grupo de Lie. En particular, al considerar un vector arbitrario distinto de cero, se pueden usar estas identificaciones para obtener un campo vectorial suave que no desaparece. Esto muestra, por ejemplo, que ninguna esfera de dimensiones pares puede soportar una estructura de grupo de Lie. El mismo argumento muestra, de manera más general, que todo grupo de Lie debe ser paralelizable . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle g\in G}$ ${\displaystyle m(g,\cdot ):G\to G}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle T_{e}G\to T_{g}G,}$ ${\displaystyle T_{e}G,}$ ${\displaystyle G.}$

Definiciones alternativas

Pseudogrupos

La noción de pseudogrupo ^[10] proporciona una generalización flexible de los atlas para permitir que se definan una variedad de estructuras diferentes en variedades de manera uniforme. Un pseudogrupo consta de un espacio topológico S y una colección Γ que consta de homeomorfismos desde subconjuntos abiertos de S a otros subconjuntos abiertos de S tales que

1. Si f ∈ Γ y U es un subconjunto abierto del dominio de f , entonces la restricción f | _U también está en Γ.
2. Si f es un homeomorfismo de una unión de subconjuntos abiertos de S , , a un subconjunto abierto de S , entonces f ∈ Γ provisto para cada i . ${\displaystyle \cup _{i}\,U_{i}}$ ${\displaystyle f|_{U_{i}}\in \Gamma }$
3. Para cada U ⊂ S abierto , la transformación de identidad de U está en Γ.
4. Si f ∈ Γ , entonces f ⁻¹ ∈ Γ .
5. La composición de dos elementos de Γ está en Γ.

Estas tres últimas condiciones son análogas a la definición de grupo . Sin embargo, tenga en cuenta que Γ no necesita ser un grupo, ya que las funciones no están definidas globalmente en S. Por ejemplo, la colección de todos los difeomorfismos locales de C ^k en R ⁿ forma un pseudogrupo. Todos los biholomorfismos entre conjuntos abiertos en C ⁿ forman un pseudogrupo. Más ejemplos incluyen: mapas que preservan la orientación de R ⁿ , simplectomorfismos , transformaciones de Möbius , transformaciones afines , etc. Por tanto, una amplia variedad de clases de funciones determinan pseudogrupos.

Se dice que un atlas ( U _i , φ _i ) de homeomorfismos φ _i de U _i ⊂ M para abrir subconjuntos de un espacio topológico S es compatible con un pseudogrupo Γ siempre que las funciones de transición φ _j ∘ φ _i ⁻¹  : φ _i ( U _i ∩ U _j ) → φ _j ( U _i ∩ U _j ) están todos en Γ.

Una variedad diferenciable es entonces un atlas compatible con el pseudogrupo de funciones C ^k en R ⁿ . Una variedad compleja es un atlas compatible con las funciones biholomórficas en conjuntos abiertos en C ⁿ . Etcétera. Por lo tanto, los pseudogrupos proporcionan un marco único en el cual describir muchas estructuras en variedades de importancia para la geometría diferencial y la topología.

Gavilla de estructura

A veces, puede resultar útil utilizar un enfoque alternativo para dotar a una variedad de una estructura C ^k . Aquí k = 1, 2, ..., ∞ o ω para variedades analíticas reales. En lugar de considerar gráficos de coordenadas, es posible comenzar con funciones definidas en el propio colector. La estructura haz de M , denotada C ^k , es una especie de funtor que define, para cada conjunto abierto U ⊂ M , un álgebra C ^k ( U ) de funciones continuas U → R . Se dice que una estructura de haz C ^k da a M la estructura de una variedad C ^k de dimensión n siempre que, para cualquier p ∈ M , exista una vecindad U de p y n funciones x ¹ , ..., x ⁿ ∈ C ^k ( U ) tal que el mapa f = ( x ¹ , ..., x ⁿ ) : U → R ⁿ es un homeomorfismo en un conjunto abierto en R ⁿ , y tal que C ^k | _U es el retroceso del haz de k veces funciones continuamente diferenciables en R ⁿ . ^[11]

En particular, esta última condición significa que cualquier función h en C ^k ( V ), para V , puede escribirse únicamente como h ( x ) = H ( x ¹ ( x ), ..., x ⁿ ( x )) , donde H es una función diferenciable k veces en f ( V ) (un conjunto abierto en R ⁿ ). Por lo tanto, el punto de vista de la teoría de la gavilla es que las funciones en una variedad diferenciable pueden expresarse en coordenadas locales como funciones diferenciables en R ⁿ y, a fortiori, esto es suficiente para caracterizar la estructura diferencial en la variedad.

Gavillas de anillos locales.

Se puede formular un enfoque similar, pero más técnico, para definir variedades diferenciables utilizando la noción de espacio anillado . Este enfoque está fuertemente influenciado por la teoría de esquemas en geometría algebraica , pero utiliza anillos locales de los gérmenes de funciones diferenciables. Es especialmente popular en el contexto de variedades complejas .

Comenzamos describiendo la estructura básica de la gavilla en R ⁿ . Si U es un conjunto abierto en R ⁿ , sea

O ( U ) = C ^k ( U , R )

constan de todas las funciones k -veces continuamente diferenciables de valor real en U . A medida que U varía, esto determina un haz de anillos en R ⁿ . El tallo O _p para p ∈ R ⁿ consta de gérmenes de funciones cercanas a p y es un álgebra sobre R . En particular, este es un anillo local cuyo ideal máximo único consta de aquellas funciones que desaparecen en p . El par ( R ⁿ , O ) es un ejemplo de un espacio localmente anillado : es un espacio topológico equipado con una gavilla cuyos tallos son cada uno de ellos anillos locales.

Una variedad diferenciable (de clase C ^k ) consta de un par ( M , O _M ) donde M es un segundo espacio de Hausdorff contable y O _M es un haz de R -álgebras locales definidas en M , de modo que el espacio localmente anillado ( M , O _M ) es localmente isomorfo a ( R ⁿ , O ) . De esta manera, las variedades diferenciables pueden considerarse esquemas modelados sobre R ⁿ . Esto significa que ^[12] para cada punto p ∈ M , existe una vecindad U de p , y un par de funciones ( f , f ^# ) , donde

1. f  : U → f ( U ) ⊂ R ⁿ es un homeomorfismo en un conjunto abierto en R ⁿ .
2. f ^# : O | _{f ( U )} → f _∗ ( O _M | _U ) es un isomorfismo de gavillas.
3. La localización de f ^# es un isomorfismo de anillos locales

f ^# _{f ( p )}  : O _{f ( p )} → O _{M , p} .

Hay una serie de motivaciones importantes para estudiar variedades diferenciables dentro de este marco abstracto. Primero, no hay ninguna razón a priori por la que el espacio modelo deba ser R ⁿ . Por ejemplo, (en particular en geometría algebraica ), se podría considerar que este es el espacio de números complejos C ⁿ equipado con el haz de funciones holomorfas (llegando así a los espacios de la geometría analítica compleja ), o el haz de polinomios (por lo tanto, llegando a los espacios de interés en geometría algebraica compleja ). En términos más amplios, este concepto puede adaptarse a cualquier noción adecuada de esquema (ver teoría del topos ). En segundo lugar, las coordenadas ya no son explícitamente necesarias para la construcción. El análogo de un sistema de coordenadas es el par ( f , f ^# ) , pero estos simplemente cuantifican la idea de isomorfismo local en lugar de ser centrales en la discusión (como en el caso de cartas y atlas). En tercer lugar, el haz O _M no es manifiestamente un haz de funciones en absoluto. Más bien, emerge como un haz de funciones como consecuencia de la construcción (a través de los cocientes de anillos locales por sus ideales máximos). De ahí que se trate de una definición más primitiva de la estructura (ver geometría diferencial sintética ).

Una ventaja final de este enfoque es que permite descripciones directas y naturales de muchos de los objetos de estudio fundamentales de la geometría diferencial y la topología.

• El espacio cotangente en un punto es I _p / I _p ² , donde I _p es el ideal máximo del tallo O _{M , p} .
• En general, el paquete cotangente completo se puede obtener mediante una técnica relacionada (ver paquete cotangente para más detalles).
• Las series de Taylor (y los chorros ) se pueden abordar de manera independiente de las coordenadas utilizando la _filtración I p _-ádica en OM _{, p} .
• El paquete tangente (o _más precisamente su haz de secciones) se puede identificar con el haz de morfismos de OM en el anillo de números duales .

Generalizaciones

La categoría de variedades suaves con mapas suaves carece de ciertas propiedades deseables, y la gente ha intentado generalizar las variedades suaves para rectificar esto. Los espacios difeológicos utilizan una noción diferente de gráfico conocida como "trama". Los espacios de Frölicher y los orbifolds son otros intentos.

Un conjunto rectificable generaliza la idea de una curva rectificable o suave por partes a dimensiones superiores; sin embargo, los conjuntos rectificables no son en general variedades.

Las variedades de Banach y las variedades de Fréchet , en particular las variedades de mapeos, son variedades diferenciables de dimensión infinita.

Geometría no conmutativa

Para una variedad C ^k M , el conjunto de funciones C ^k de valor real en la variedad forma un álgebra bajo suma y multiplicación puntual, llamada álgebra de campos escalares o simplemente álgebra de escalares . Esta álgebra tiene la función constante 1 como identidad multiplicativa y es un análogo diferenciable del anillo de funciones regulares en geometría algebraica.

Es posible reconstruir una variedad a partir de su álgebra de escalares, primero como un conjunto, pero también como un espacio topológico; esta es una aplicación del teorema de Banach-Stone , y se conoce más formalmente como el espectro de un álgebra C*. . Primero, existe una correspondencia uno a uno entre los puntos de M y los homomorfismos de álgebra φ : C ^k ( M ) → R , como tal homomorfismo φ corresponde a un ideal de codimensión uno en C ^k ( M ) (es decir, el núcleo de φ ), que es necesariamente un ideal máximo. Por el contrario, todo ideal máximo en esta álgebra es un ideal de funciones que se desvanecen en un solo punto, lo que demuestra que MSpec (la especificación máxima) de C ^k ( M ) recupera M como un conjunto de puntos, aunque en realidad recupera M como un espacio topológico.

Se pueden definir varias estructuras geométricas algebraicamente en términos del álgebra de escalares, y estas definiciones a menudo se generalizan a la geometría algebraica (interpretando los anillos geométricamente) y la teoría del operador (interpretando los espacios de Banach geométricamente). Por ejemplo, el paquete tangente a M se puede definir como las derivaciones del álgebra de funciones suaves en M.

Esta "algebraización" de una variedad (reemplazar un objeto geométrico con un álgebra) conduce a la noción de un álgebra C* - un álgebra C* conmutativa que es precisamente el anillo de escalares de una variedad, por Banach-Stone, y permite hay que considerar las álgebras C* no conmutativas como generalizaciones no conmutativas de variedades. Ésta es la base del campo de la geometría no conmutativa .

Ver también

• conexión afín
• Atlas (topología)
• Símbolos de Christoffel
• Introducción a las matemáticas de la relatividad general.
• Lista de fórmulas en geometría de Riemann
• geometría riemanniana
• Espacio (matemáticas)

Referencias

1. B. Riemann (1867).
2. El propio Maxwell trabajó con cuaterniones en lugar de tensores, pero sus ecuaciones para el electromagnetismo se utilizaron como un ejemplo temprano del formalismo tensorial; ver Dimitrienko, Yuriy I. (2002), Análisis tensorial y funciones tensoriales no lineales, Springer, p. xi, ISBN 9781402010156.
3. Véase G. Ricci (1888), G. Ricci y T. Levi-Civita (1901), T. Levi-Civita (1927).
4. Véase H. Weyl (1955).
5. H. Whitney (1936).
6. Véase S. Kobayashi (1972).
7. J. Milnor (1956).
8. Z. Sela (1995). Sin embargo, las 3 variedades solo se clasifican en el sentido de que existe un algoritmo (poco práctico) para generar una lista no redundante de todas las 3 variedades compactas.
9. Véase A. Ranicki (2002).
10. Kobayashi y Nomizu (1963), volumen 1.
11. Esta definición se puede encontrar en MacLane y Moerdijk (1992). Para una definición ad hoc equivalente , véase Sternberg (1964), Capítulo II.
12. Hartshorne (1997)

Bibliografía

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