Métrica de Kerr-Newman

Solución de ecuaciones de campo de Einstein.

La métrica de Kerr-Newman es la solución asintóticamente plana y estacionaria más general de las ecuaciones de Einstein-Maxwell en relatividad general que describe la geometría del espacio-tiempo en la región que rodea una masa giratoria y cargada eléctricamente. Generaliza la métrica de Kerr teniendo en cuenta la energía de campo de un campo electromagnético , además de describir la rotación. Es una de una gran cantidad de diferentes soluciones de electrovacío ; es decir, es una solución a las ecuaciones de Einstein-Maxwell que dan cuenta de la energía de campo de un campo electromagnético . Dichas soluciones no incluyen ninguna carga eléctrica distinta de la asociada con el campo gravitacional y, por lo tanto, se denominan soluciones de vacío .

Esta solución no ha sido especialmente útil para describir fenómenos astrofísicos porque los objetos astronómicos observados no poseen una carga eléctrica neta apreciable , ^{[ cita requerida ]} y los campos magnéticos de las estrellas surgen a través de otros procesos. Como modelo de agujeros negros realistas, omite cualquier descripción de materia bariónica entrante , luz ( polvos nulos ) o materia oscura , y por lo tanto proporciona, en el mejor de los casos, una descripción incompleta de los agujeros negros de masa estelar y los núcleos galácticos activos . La solución es de interés teórico y matemático ya que proporciona una piedra angular bastante simple para una mayor exploración. ^{[ cita necesaria ]}

La solución de Kerr-Newman es un caso especial de soluciones exactas más generales de las ecuaciones de Einstein-Maxwell con constante cosmológica distinta de cero . ^[1]

Historia

En diciembre de 1963, Roy Kerr y Alfred Schild encontraron las métricas de Kerr-Schild que daban a todos los espacios de Einstein que son perturbaciones lineales exactas del espacio de Minkowski . A principios de 1964, Kerr buscó todos los espacios de Einstein-Maxwell con esta misma propiedad. En febrero de 1964, se conocía el caso especial en el que los espacios de Kerr-Schild estaban cargados (incluida la solución de Kerr-Newman), pero el caso general en el que las direcciones especiales no eran geodésicas del espacio de Minkowski subyacente resultó muy difícil. El problema se le encomendó a George Debney para que intentara resolverlo, pero se abandonó en marzo de 1964. Por esta época, Ezra T. Newman encontró la solución para Kerr acusado mediante conjeturas. En 1965, Ezra "Ted" Newman encontró la solución axisimétrica de la ecuación de campo de Einstein para un agujero negro que gira y está cargado eléctricamente. ^{[2] [3]} Esta fórmula para el tensor métrico se llama métrica de Kerr-Newman. Es una generalización de la métrica de Kerr para una masa puntual giratoria sin carga, que había sido descubierta por Roy Kerr dos años antes. ^[4] ${\displaystyle g_{\mu \nu }\!}$

En la siguiente tabla se pueden resumir cuatro soluciones relacionadas:

donde Q representa la carga eléctrica del cuerpo y J representa su momento angular de giro .

Descripción general de la solución

El resultado de Newman representa la solución estacionaria , axisimétrica y asintóticamente plana más simple de las ecuaciones de Einstein en presencia de un campo electromagnético en cuatro dimensiones. A veces se la denomina solución de "electrovacío" de las ecuaciones de Einstein.

Cualquier fuente de Kerr-Newman tiene su eje de rotación alineado con su eje magnético. ^[5] Por lo tanto, una fuente de Kerr-Newman es diferente de los cuerpos astronómicos comúnmente observados, para los cuales existe un ángulo sustancial entre el eje de rotación y el momento magnético . ^[6] En concreto, ni el Sol , ni ninguno de los planetas del Sistema Solar tienen campos magnéticos alineados con el eje de giro. Así, mientras la solución de Kerr describe el campo gravitacional del Sol y los planetas, los campos magnéticos surgen por un proceso diferente.

Si el potencial de Kerr-Newman se considera como modelo para un electrón clásico, predice que un electrón tendrá no sólo un momento dipolar magnético, sino también otros momentos multipolares, como un momento cuadrupolar eléctrico. ^[7] Aún no se ha detectado experimentalmente un momento cuadrupolar del electrón; parece ser cero. ^[7]

En el límite G  = 0, los campos electromagnéticos son los de un disco giratorio cargado dentro de un anillo donde los campos son infinitos. La energía de campo total para este disco es infinita, por lo que este límite G  = 0 no resuelve el problema de la autoenergía infinita . ^[8]

Al igual que la métrica de Kerr para una masa giratoria sin carga, la solución interior de Kerr-Newman existe matemáticamente, pero probablemente no sea representativa de la métrica real de un agujero negro giratorio físicamente realista debido a problemas con la estabilidad del horizonte de Cauchy , debido a la inflación masiva impulsada. al caer materia. Aunque representa una generalización de la métrica de Kerr, no se considera muy importante para propósitos astrofísicos, ya que no se espera que los agujeros negros realistas tengan una carga eléctrica significativa (se espera que tengan una carga positiva minúscula, pero sólo porque la El protón tiene un impulso mucho mayor que el electrón y, por lo tanto, es más probable que supere la repulsión electrostática y sea transportado por el impulso a través del horizonte).

La métrica de Kerr-Newman define un agujero negro con un horizonte de sucesos sólo cuando la carga combinada y el momento angular son suficientemente pequeños: ^[9]

${\displaystyle J^{2}/M^{2}+Q^{2}\leq M^{2}.}$

El momento angular J de un electrón y la carga Q (especificadas adecuadamente en unidades geometrizadas ) exceden su masa M , en cuyo caso la métrica no tiene horizonte de sucesos. Por lo tanto, no puede existir un electrón en un agujero negro , sólo una singularidad de anillo giratorio desnudo . ^[10] Tal métrica tiene varias propiedades aparentemente no físicas, como la violación por parte del anillo de la hipótesis de la censura cósmica , y también la aparición de curvas temporales cerradas que violan la causalidad en las inmediaciones del anillo. ^[11]

Un artículo de 2009 del teórico ruso Alexander Burinskii consideró un electrón como una generalización de los modelos anteriores de Israel (1970) ^[12] y López (1984), ^[13] que truncaron la hoja "negativa" de la métrica de Kerr-Newman, obteniendo la fuente de la solución de Kerr-Newman en forma de un disco que gira relativistamente. El truncamiento de López regularizó la métrica de Kerr-Newman mediante un corte en : , reemplazando la singularidad por un espacio-tiempo plano regular, la llamada "burbuja". Suponiendo que la burbuja de López corresponde a una transición de fase similar al mecanismo de ruptura de la simetría de Higgs, Burinskii demostró que una singularidad de anillo creada por la gravedad forma mediante regularización el núcleo superconductor del modelo electrónico ^[14] y debería ser descrita por el modelo supersimétrico de Landau-Ginzburg. modelo de campo de transición de fase: ${\displaystyle r=r_{e}=e^{2}/2M}$

Omitiendo el trabajo intermedio de Burinsky, llegamos a la nueva propuesta reciente: considerar la lámina negativa truncada por Israel y López de la solución KN como la lámina del positrón. ^[15]

Esta modificación une la solución KN con el modelo de QED y muestra el importante papel de las líneas de Wilson formadas por arrastre de marco del potencial vectorial.

Como resultado, la solución KN modificada adquiere una fuerte interacción con la gravedad de Kerr causada por la contribución de energía adicional del vacío electrón-positrón y crea la cuerda circular relativista de Kerr-Newman de tamaño Compton.

Casos limitantes

Se puede considerar que la métrica de Kerr-Newman se reduce a otras soluciones exactas en la relatividad general en casos límite. Se reduce a

• la métrica de Kerr cuando la carga Q llega a cero;
• la métrica de Reissner-Nordström como el momento angular J (o a  = j/METRO ) va a cero;
• la métrica de Schwarzschild ya que tanto la carga Q como el momento angular J (o a ) se llevan a cero; y
• Espacio de Minkowski si la masa M , la carga Q y el parámetro de rotación a son todos cero.

Alternativamente, si se pretende eliminar la gravedad, el espacio de Minkowski surge si la constante gravitacional G es cero, sin llevar la masa y la carga a cero. En este caso, los campos eléctricos y magnéticos son más complicados que simplemente los campos de un dipolo magnético cargado ; El límite de gravedad cero no es trivial. ^{[ cita necesaria ]}

la métrica

La métrica de Kerr-Newman describe la geometría del espacio -tiempo para un agujero negro cargado en rotación con masa M , carga Q y momento angular J. La fórmula para esta métrica depende de qué coordenadas o condiciones de coordenadas se seleccionen. A continuación se dan dos formas: coordenadas de Boyer-Lindquist y coordenadas de Kerr-Schild. La métrica gravitacional por sí sola no es suficiente para determinar una solución a las ecuaciones de campo de Einstein; También se debe dar el tensor de tensión electromagnética. Ambos se proporcionan en cada sección.

Coordenadas de Boyer-Lindquist

Una forma de expresar esta métrica es escribiendo su elemento lineal en un conjunto particular de coordenadas esféricas , ^[16] también llamadas coordenadas de Boyer-Lindquist :

${\displaystyle c^{2}d\tau ^{2}=-\left({\frac {dr^{2}}{\Delta }}+d\theta ^{2}\right)\rho ^{2}+\left(c\,dt-a\sin ^{2}\theta \,d\phi \right)^{2}{\frac {\Delta }{\rho ^{2}}}-\left(\left(r^{2}+a^{2}\right)d\phi -ac\,dt\right)^{2}{\frac {\sin ^{2}\theta }{\rho ^{2}}},}$

donde las coordenadas ( r , θ , ϕ ) son un sistema de coordenadas esféricas estándar y las escalas de longitud:

${\displaystyle a={\frac {J}{Mc}}\,,}$

${\displaystyle \rho ^{2}=r^{2}+a^{2}\cos ^{2}\theta \,,}$

${\displaystyle \Delta =r^{2}-r_{\text{s}}r+a^{2}+r_{Q}^{2}\,,}$

Se han introducido por motivos de brevedad. Aquí r _s es el radio de Schwarzschild del cuerpo masivo, que está relacionado con su masa equivalente total M por

${\displaystyle r_{s}={\frac {2GM}{c^{2}}},}$

donde G es la constante gravitacional y r _Q es una escala de longitud correspondiente a la carga eléctrica Q de la masa.

${\displaystyle r_{Q}^{2}={\frac {Q^{2}G}{4\pi \epsilon _{0}c^{4}}},}$

donde ε ₀ es la permitividad del vacío .

Tensor de campo electromagnético en forma de Boyer-Lindquist

El potencial electromagnético en coordenadas Boyer-Lindquist es ^{[17] [18]}

${\displaystyle A_{\mu }=\left({\frac {r\ r_{Q}}{\rho ^{2}}},0,0,-{\frac {\ a\ r\ r_{Q}\sin ^{2}\theta }{\rho ^{2}}}\right)}$

mientras que el tensor de Maxwell está definido por

${\displaystyle F_{\mu \nu }={\frac {\partial A_{\nu }}{\partial x^{\mu }}}-{\frac {\partial A_{\mu }}{\partial x^{\nu }}}\ \to \ F^{\mu \nu }=g^{\mu \sigma }\ g^{\nu \kappa }\ F_{\sigma \kappa }}$

En combinación con los símbolos de Christoffel, las ecuaciones de movimiento de segundo orden se pueden derivar con

${\displaystyle {{{\ddot {x}}^{i}=-\Gamma _{jk}^{i}\ {{\dot {x}}^{j}}\ {{\dot {x}}^{k}}+q\ {F^{ik}}\ {{\dot {x}}^{j}}}\ {g_{jk}}},}$

¿Dónde está la carga por masa de la partícula de prueba? ${\displaystyle q}$

Coordenadas de Kerr-Schild

La métrica de Kerr-Newman se puede expresar en la forma de Kerr-Schild , utilizando un conjunto particular de coordenadas cartesianas , propuesto por Kerr y Schild en 1965. La métrica es la siguiente. ^{[19] [20] [21]}

${\displaystyle g_{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }+fk_{\mu }k_{\nu }\!}$

${\displaystyle f={\frac {Gr^{2}}{r^{4}+a^{2}z^{2}}}\left[2Mr-Q^{2}\right]}$

${\displaystyle \mathbf {k} =(k_{x},k_{y},k_{z})=\left({\frac {rx+ay}{r^{2}+a^{2}}},{\frac {ry-ax}{r^{2}+a^{2}}},{\frac {z}{r}}\right)}$

${\displaystyle k_{0}=1.\!}$

Observe que k es un vector unitario . Aquí M es la masa constante del objeto que gira, Q es la carga constante del objeto que gira, η es la métrica de Minkowski y a  =  J / M es un parámetro de rotación constante del objeto que gira. Se entiende que el vector está dirigido a lo largo del eje z positivo, es decir . La cantidad r no es el radio, sino que está implícitamente definida por la relación ${\displaystyle {\vec {a}}}$ ${\displaystyle {\vec {a}}=a{\hat {z}}}$

${\displaystyle 1={\frac {x^{2}+y^{2}}{r^{2}+a^{2}}}+{\frac {z^{2}}{r^{2}}}.}$

Observe que la cantidad r se convierte en el radio habitual R

${\displaystyle r\to R={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}$

cuando el parámetro rotacional a se aproxima a cero. En esta forma de solución, las unidades se seleccionan de modo que la velocidad de la luz sea la unidad ( c = 1). Para proporcionar una solución completa de las ecuaciones de Einstein-Maxwell , la solución de Kerr-Newman no solo incluye una fórmula para el tensor métrico, sino también una fórmula para el potencial electromagnético: ^{[19] [22]}

${\displaystyle A_{\mu }={\frac {Qr^{3}}{r^{4}+a^{2}z^{2}}}k_{\mu }}$

A grandes distancias de la fuente ( R  ≫  a ), estas ecuaciones se reducen a la métrica de Reissner-Nordström con:

${\displaystyle A_{\mu }={\frac {Q}{R}}k_{\mu }}$

En la forma de Kerr-Schild de la métrica de Kerr-Newman, el determinante del tensor métrico es igual a menos uno en todas partes, incluso cerca de la fuente. ^[1]

Campos electromagnéticos en forma de Kerr-Schild

Los campos eléctrico y magnético se pueden obtener de la forma habitual diferenciando los cuatro potenciales para obtener el tensor de intensidad del campo electromagnético . Será conveniente pasar a la notación vectorial tridimensional.

${\displaystyle A_{\mu }=\left(-\phi ,A_{x},A_{y},A_{z}\right)\,}$

Los campos eléctricos y magnéticos estáticos se derivan del potencial vectorial y del potencial escalar de esta manera:

${\displaystyle {\vec {E}}=-{\vec {\nabla }}\phi \,}$

${\displaystyle {\vec {B}}={\vec {\nabla }}\times {\vec {A}}\,}$

Usando la fórmula de Kerr-Newman para los cuatro potenciales en la forma de Kerr-Schild, en el límite de la masa que va a cero, se obtiene la siguiente fórmula compleja concisa para los campos: ^[23]

${\displaystyle {\vec {E}}+i{\vec {B}}=-{\vec {\nabla }}\Omega \,}$

${\displaystyle \Omega ={\frac {Q}{\sqrt {({\vec {R}}-i{\vec {a}})^{2}}}}\,}$

La cantidad omega ( ) en esta última ecuación es similar al potencial de Coulomb , excepto que el radio vector se desplaza una cantidad imaginaria. Este complejo potencial fue discutido ya en el siglo XIX por el matemático francés Paul Émile Appell . ^[24] ${\displaystyle \Omega }$

masa irreducible

La masa equivalente total M , que contiene la energía del campo eléctrico y la energía de rotación , y la masa irreducible M _irr están relacionadas por ^{[25] [26]}

${\displaystyle M_{\rm {irr}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2M^{2}-r_{Q}^{2}c^{4}/G^{2}+2M{\sqrt {M^{2}-(r_{Q}^{2}+a^{2})c^{4}/G^{2}}}}}}$

que se puede invertir para obtener

${\displaystyle M={\frac {4M_{\rm {irr}}^{2}+r_{Q}^{2}c^{4}/G^{2}}{2{\sqrt {4M_{\rm {irr}}^{2}-a^{2}c^{4}/G^{2}}}}}}$

Para cargar eléctricamente y/o hacer girar un cuerpo neutro y estático, se debe aplicar energía al sistema. Debido a la equivalencia masa-energía , esta energía también tiene un equivalente masa; por lo tanto M es siempre mayor _que Mirr . Si, por ejemplo, la energía rotacional de un agujero negro se extrae mediante los procesos de Penrose , ^{[27] [28]} la masa-energía restante siempre será mayor o igual _a Mirr .

Superficies importantes

Horizontes de sucesos y ergosferas de un agujero negro cargado y giratorio en coordenadas pseudoesféricas r , θ , φ y cartesianas x , y , z .

Establecer en 0 y resolver da el horizonte de eventos interno y externo , que se encuentra en la coordenada Boyer-Lindquist ${\displaystyle 1/g_{rr}}$ ${\displaystyle r}$

${\displaystyle r_{\text{H}}^{\pm }={\frac {r_{\rm {s}}}{2}}\pm {\sqrt {{\frac {r_{\rm {s}}^{2}}{4}}-a^{2}-r_{Q}^{2}}}.}$

Repetir este paso da la ergosfera interior y exterior. ${\displaystyle g_{tt}}$

${\displaystyle r_{\text{E}}^{\pm }={\frac {r_{\rm {s}}}{2}}\pm {\sqrt {{\frac {r_{\rm {s}}^{2}}{4}}-a^{2}\cos ^{2}\theta -r_{Q}^{2}}}.}$

Partícula de prueba en órbita alrededor de un agujero negro cargado y giratorio ( a / M  = 0,9, Q / M  = 0,4)

Ecuaciones de movimiento

Para abreviar, utilizamos además cantidades no dimensionalizadas normalizadas contra , y , donde se reduce a y a , y las ecuaciones de movimiento para una partícula de carga de prueba se convierten en ^{[29] [30]} ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle 4\pi \epsilon _{0}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle Jc/G/M^{2}}$ ${\displaystyle Q}$ ${\textstyle Q/(M{\sqrt {4\pi \epsilon _{0}G}})}$ ${\displaystyle q}$

${\displaystyle {\dot {t}}={\frac {\csc ^{2}\theta \ ({L_{z}}(a\ \Delta \sin ^{2}\theta -a\ (a^{2}+r^{2})\sin ^{2}\theta )-q\ Q\ r\ (a^{2}+r^{2})\sin ^{2}\theta +E((a^{2}+r^{2})^{2}\sin ^{2}\theta -a^{2}\Delta \sin ^{4}\theta ))}{\Delta \rho ^{2}}}}$

${\displaystyle {\dot {r}}=\pm {\frac {\sqrt {((r^{2}+a^{2})\ E-a\ L_{z}-q\ Q\ r)^{2}-\Delta \ (C+r^{2})}}{\rho ^{2}}}}$

${\displaystyle {\dot {\theta }}=\pm {\frac {\sqrt {C-(a\cos \theta )^{2}-(a\ \sin ^{2}\theta \ E-L_{z})^{2}/\sin ^{2}\theta }}{\rho ^{2}}}}$

${\displaystyle {\dot {\phi }}={\frac {E\ (a\ \sin ^{2}\theta \ (r^{2}+a^{2})-a\ \sin ^{2}\theta \ \Delta )+L_{z}\ (\Delta -a^{2}\ \sin ^{2}\theta )-q\ Q\ r\ a\ \sin ^{2}\theta }{\rho ^{2}\ \Delta \ \sin ^{2}\theta }}}$

con para la energía total y para el momento angular axial. es la constante de Carter : ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle L_{z}}$ ${\displaystyle C}$

${\displaystyle C=p_{\theta }^{2}+\cos ^{2}\theta \left(a^{2}(\mu ^{2}-E^{2})+{\frac {L_{z}^{2}}{\sin ^{2}\theta }}\right)=a^{2}\ (\mu ^{2}-E^{2})\ \sin ^{2}\delta +L_{z}^{2}\ \tan ^{2}\delta ={\rm {const}},}$

donde es el componente poloidial del momento angular de la partícula de prueba y el ángulo de inclinación orbital. ${\displaystyle p_{\theta }={\dot {\theta }}\ \rho ^{2}}$ ${\displaystyle \delta }$

Sombra trazada por rayos de un agujero negro cargado y giratorio con un disco de acreción y parámetros a / M = 0,95, Q / M = 0,3. El lado izquierdo del agujero negro gira hacia el observador, la inclinación del eje de rotación con respecto al observador es de 45°.

${\displaystyle L_{z}=p_{\phi }=-g_{\phi \phi }{\dot {\phi }}-g_{t\phi }{\dot {t}}-q\ A_{\phi }={\frac {v^{\phi }\ {\bar {R}}}{\sqrt {1-\mu ^{2}v^{2}}}}+{\frac {(1-\mu ^{2}v^{2})\ a\ r\ \mho \ q\ \sin ^{2}\theta }{\Sigma }}={\rm {const.}}}$

y

${\displaystyle E=-p_{t}=g_{tt}{\dot {t}}+g_{t\phi }{\dot {\phi }}+q\ A_{t}={\sqrt {\frac {\Delta \ \rho ^{2}}{(1-\mu ^{2}v^{2})\ \chi }}}+\Omega \ L_{z}+{\frac {\mho \ q\ r}{\Sigma }}={\rm {const.}}}$

con y para partículas también son cantidades conservadas. ${\displaystyle \mu ^{2}=0}$ ${\displaystyle \mu ^{2}=1}$

${\displaystyle \Omega =-{\frac {g_{t\phi }}{g_{\phi \phi }}}={\frac {a\left(2r-Q^{2}\right)}{\chi }}}$

es la velocidad angular inducida por el arrastre del marco. El término abreviado se define por ${\displaystyle \chi }$

${\displaystyle \chi =\left(a^{2}+r^{2}\right)^{2}-a^{2}\ \sin ^{2}\theta \ \Delta .}$

La relación entre las derivadas de coordenadas y la velocidad 3 local es ${\displaystyle {\dot {r}},\ {\dot {\theta }},\ {\dot {\phi }}}$ ${\displaystyle v}$

${\displaystyle v^{r}={\dot {r}}\ {\sqrt {\frac {\rho ^{2}\ (1-\mu ^{2}v^{2})}{\Delta }}}}$

para los radiales,

${\displaystyle v^{\theta }={\dot {\theta }}\ {\sqrt {\rho ^{2}\ (1-\mu ^{2}v^{2})}}}$

para el poloidial,

${\displaystyle v^{\phi }={\frac {{\sqrt {1-\mu ^{2}v^{2}}}\left(L_{z}\ \Sigma -a\ q\ Q\ r\left(1-\mu ^{2}v^{2}\right)\sin ^{2}\theta \right)}{{\bar {R}}\ \Sigma }}}$

para el eje y

${\displaystyle v={\frac {\sqrt {{\dot {t}}^{2}-\varsigma ^{2}}}{\dot {t}}}={\sqrt {\frac {\chi \ (E-L_{z}\ \Omega )^{2}-\Delta \ \rho ^{2}}{\chi \ (E-L_{z}\ \Omega )^{2}}}}}$

para la velocidad local total, donde

${\displaystyle {\bar {R}}={\sqrt {-g_{\phi \phi }}}={\sqrt {\frac {\chi }{\rho ^{2}}}}\ \sin \theta }$

es el radio axial de giro (circunferencia local dividida por 2π), y

${\displaystyle \varsigma ={\sqrt {g^{tt}}}={\frac {\chi }{\Delta \ \rho ^{2}}}}$

el componente de dilatación del tiempo gravitacional. Por lo tanto, la velocidad de escape radial local para una partícula neutra es

${\displaystyle v_{\rm {esc}}={\frac {\sqrt {\varsigma ^{2}-1}}{\varsigma }}.}$

Referencias

1. Stephani, Hans y col. Soluciones exactas de las ecuaciones de campo de Einstein (Cambridge University Press 2003). Consulte la página 485 sobre el determinante del tensor métrico. Consulte la página 325 sobre generalizaciones.
2. Newman, Esdras; Janis, Allen (1965). "Nota sobre la métrica de partículas giratorias de Kerr". Revista de Física Matemática . 6 (6): 915–917. Código bibliográfico : 1965JMP.....6..915N. doi :10.1063/1.1704350.
3. Newman, Esdras; Sofá, E.; Chinnapared, K.; Exton, A.; Prakash, A.; Torrence, R. (1965). "Métrica de una masa cargada y giratoria". Revista de Física Matemática . 6 (6): 918–919. Código bibliográfico : 1965JMP.....6..918N. doi :10.1063/1.1704351.
4. Kerr, RP (1963). "Campo gravitacional de una masa giratoria como ejemplo de métrica algebraicamente especial". Cartas de revisión física . 11 (5): 237–238. Código bibliográfico : 1963PhRvL..11..237K. doi :10.1103/PhysRevLett.11.237.
5. Punsly, Brian (10 de mayo de 1998). "Emisión de rayos gamma de alta energía de los agujeros negros galácticos de Kerr-Newman. I. El motor central". La revista astrofísica . 498 (2): 646. Código bibliográfico : 1998ApJ...498..640P. doi : 10.1086/305561 . Todos los agujeros negros de Kerr-Newman tienen su eje de rotación y su eje magnético alineados; no pueden pulsar.
6. Lang, Kenneth (2003). La guía de Cambridge del sistema solar . Prensa de la Universidad de Cambridge. pag. 96.ISBN​ 9780521813068– vía Archivo de Internet. momento dipolar magnético y eje y el sol.
7. Rosquist, Kjell (2006). "Electromagnetismo inducido gravitacionalmente en la escala de Compton". Gravedad clásica y cuántica . 23 (9): 3111–3122. arXiv : gr-qc/0412064 . Código Bib : 2006CQGra..23.3111R. doi :10.1088/0264-9381/23/9/021. S2CID  15285753.
8. Lynden-Bell, D. (2004). "Magia electromagnética: el disco que gira relativistamente". Revisión física D. 70 (10): 105017. arXiv : gr-qc/0410109 . Código Bib : 2004PhRvD..70j5017L. doi : 10.1103/PhysRevD.70.105017. S2CID  119091075.
9. Meinel, Reinhard (29 de octubre de 2015). "Una derivación física de la solución del agujero negro de Kerr-Newman". En Nicolini P.; Kaminski M.; Mureika J.; Bleicher M. (eds.). 1er Encuentro Karl Schwarzschild sobre Física Gravitacional . Actas de Springer en Física. vol. 170, págs. 53–61. arXiv : 1310.0640 . doi :10.1007/978-3-319-20046-0_6. ISBN 978-3-319-20045-3. S2CID  119200468.
10. Burinskii, Alejandro (2008). "El electrón de Dirac-Kerr". Gravitación y cosmología . 14 : 109-122. arXiv : hep-th/0507109 . doi :10.1134/S0202289308020011. S2CID  119084073.
11. Carter, Brandon (1968). "Estructura global de la familia Kerr de campos gravitacionales". Revisión física . 174 (5): 1559. Código bibliográfico : 1968PhRv..174.1559C. doi : 10.1103/PhysRev.174.1559.
12. Israel, Werner (1970). "Fuente de la métrica de Kerr". Revisión física D. 2 (4): 641. Código bibliográfico : 1970PhRvD...2..641I. doi : 10.1103/PhysRevD.2.641.
13. López, Carlos (1984). "Modelo ampliado del electrón en relatividad general". Revisión física D. 30 (2): 313. Código bibliográfico : 1984PhRvD..30..313L. doi : 10.1103/PhysRevD.30.313.
14. Burinskii, Alejandro (2009). "Fuente superconductora del electrón de Kerr-Newman". arXiv : 0910.5388 [hep-th].
15. Burinskii, Alejandro (2022). "Electrón gravitante basado en una solución de Kerr-Newman sobrerrotación". Universo . 8 (11): 553. Bibcode : 2022Univ....8..553B. doi : 10.3390/universo8110553 .
16. Hajicek, Petr y col. Introducción a la teoría relativista de la gravitación, página 243 (Springer 2008).
17. Brandon Carter: Estructura global de la familia Kerr de campos gravitacionales (1968)
18. Luongo, Orlando; Quevedo, Hernando (2014). "Caracterización de la gravedad repulsiva con valores propios de curvatura". Revisión física D. 90 (8): 084032. arXiv : 1407.1530 . Código Bib : 2014PhRvD..90h4032L. doi : 10.1103/PhysRevD.90.084032. S2CID  118457584.
19. Debney, GC; Kerr, RP; Schild, A. (1969). "Soluciones de las ecuaciones de Einstein y Einstein-Maxwell". Revista de Física Matemática . 10 (10): 1842–1854. Código bibliográfico : 1969JMP....10.1842D. doi : 10.1063/1.1664769.. Véanse especialmente las ecuaciones (7.10), (7.11) y (7.14).
20. Balasin, Herbert; Nachbagauer, Herbert (1994). "Tensor distribucional de energía-momento de la familia espacio-temporal de Kerr-Newman". Gravedad clásica y cuántica . 11 (6): 1453-1461. arXiv : gr-qc/9312028 . Código Bib : 1994CQGra..11.1453B. doi :10.1088/0264-9381/6/11/010. S2CID  6041750.
21. Berman, Marcelo. “Energía de los agujeros negros y el universo de Hawking” en Trends in Black Hole Research , página 148 (Kreitler ed., Nova Publishers 2006).
22. Burinskii, A. “Kerr Geometry Beyond the Quantum Theory” en Beyond the Quantum , página 321 (Theo Nieuwenhuizen ed., World Scientific 2007). La fórmula para el potencial vectorial de Burinskii difiere de la de Debney et al. simplemente por un gradiente que no afecta a los campos.
23. Gair, Jonathan. "Estados límite en un potencial Kerr-Newman sin masa" Archivado el 26 de septiembre de 2011 en la Wayback Machine .
24. Appell, Matemáticas. Ana. xxx (1887) págs. 155-156. Discutido por Whittaker, Edmund y Watson, George. Un curso de análisis moderno , página 400 (Cambridge University Press 1927).
25. Thibault Damour : Agujeros negros: energética y termodinámica, página 11
26. Ec. 57 en Pradhan, Parthapratim (2014). "Fórmula de la masa interior del agujero negro". La revista física europea C. 74 (5): 2887. arXiv : 1310.7126 . Código Bib : 2014EPJC...74.2887P. doi :10.1140/epjc/s10052-014-2887-2. S2CID  46448376.
27. Charles Misner , Kip S. Thorne , John. A. Wheeler : Gravitación Archivado el 1 de julio de 2019 en Wayback Machine , páginas 877 y 908
28. Bhat, Manjiri; Dhurandhar, Sanjeev; Dadhich, Naresh (1985). "Energética del agujero negro de Kerr-Newman mediante el proceso de Penrose". Revista de Astrofísica y Astronomía . 6 (2): 85-100. Código Bib : 1985JApA....6...85B. doi :10.1007/BF02715080. S2CID  53513572.
29. Cebeci, Hakan; et al. "Movimiento de las partículas de prueba cargadas en soluciones analíticas y espaciotemporales de Kerr-Newman-Taub-NUT".
30. Hackmann, Eva; Xu, Hongxiao (2013). "Movimiento de partículas cargadas en el espacio-tiempo de Kerr-Newmann". Revisión física D. 87 (12): 4. arXiv : 1304.2142 . Código Bib : 2013PhRvD..87l4030H. doi : 10.1103/PhysRevD.87.124030. S2CID  118576540.

Bibliografía

• Wald, Robert M. (1984). Relatividad general . Chicago: Prensa de la Universidad de Chicago. págs. 312–324. ISBN 978-0-226-87032-8.

enlaces externos

• Adamo, Tim; Newman, Ezra (2014). "Métrica de Kerr-Newman". Scholarpedia . 9 (10): 31791. arXiv : 1410.6626 . Código Bib : 2014SchpJ...931791N. doi : 10.4249/scholarpedia.31791 .en coautoría del propio Ezra T. Newman
• SR Made Easy, capítulo 11: Agujeros negros cargados y giratorios y su termodinámica