Solución de electrovacío

En la relatividad general , una solución de electrovacío ( electrovacuum ) es una solución exacta de la ecuación de campo de Einstein en la que la única masa-energía no gravitacional presente es la energía de campo de un campo electromagnético , que debe satisfacer las ecuaciones de Maxwell libres de fuentes (espacio-tiempo curvo) apropiadas para la geometría dada. Por esta razón, los electrovacíos a veces se denominan soluciones de Einstein-Maxwell (libres de fuentes) .

Definición

En la relatividad general, el marco geométrico de los fenómenos físicos es una variedad lorentziana , que se interpreta como un espacio-tiempo curvo, y que se especifica definiendo un tensor métrico (o definiendo un campo de referencia ). El tensor de curvatura de Riemann de esta variedad y las magnitudes asociadas, como el tensor de Einstein , están bien definidas. En la relatividad general, se pueden interpretar como manifestaciones geométricas (curvatura y fuerzas) del campo gravitatorio . ${\displaystyle g_{ab}}$ ${\displaystyle R_{abcd}}$ ${\displaystyle G^{ab}}$

También necesitamos especificar un campo electromagnético definiendo un tensor de campo electromagnético en nuestra variedad de Lorentz. Para clasificarse como una solución de electrovacío, estos dos tensores deben satisfacer las dos condiciones siguientes: ${\displaystyle F_{ab}}$

1. El tensor de campo electromagnético debe satisfacer las ecuaciones de campo de Maxwell del espacio -tiempo curvo sin fuente y ${\displaystyle \,F_{ab;c}+F_{bc;a}+F_{ca;b}=0}$ ${\displaystyle {F^{jb}}_{;j}=0}$
2. El tensor de Einstein debe coincidir con el tensor de tensión-energía electromagnética , . ${\displaystyle G^{ab}=2\,\left(F^{a}{}_{j}F^{bj}-{\frac {1}{4}}g^{ab}\,F^{mn}\,F_{mn}\right)}$

La primera ecuación de Maxwell se satisface automáticamente si definimos el tensor de campo en términos de un vector de potencial electromagnético . En términos del covector dual (o potencial de una forma ) y la forma electromagnética de dos formas , podemos hacer esto estableciendo . Luego solo necesitamos asegurarnos de que las divergencias se anulen (es decir, que la segunda ecuación de Maxwell se satisface para un campo sin fuente ) y que la energía de tensión electromagnética coincida con el tensor de Einstein. ${\displaystyle {\vec {A}}}$ ${\displaystyle F=dA}$

Invariantes

El tensor del campo electromagnético es antisimétrico, con sólo dos invariantes escalares algebraicamente independientes,

${\displaystyle I=\star (F\wedge \star F)=F_{ab}\,F^{ab}=-2\,\left(\|{\vec {E}}\|^{2}-\|{\vec {B}}\|^{2}\right)}$

${\displaystyle J=\star (F\wedge F)=F_{ab}\,{\star F}^{ab}=-4\,{\vec {E}}\cdot {\vec {B}}}$

Aquí, la estrella es la estrella Hodge .

Utilizando estos, podemos clasificar los posibles campos electromagnéticos de la siguiente manera:

1. Si pero , tenemos un campo electrostático , lo que significa que algunos observadores medirán un campo eléctrico estático y ningún campo magnético. ${\displaystyle I<0}$ ${\displaystyle J=0}$
2. Pero si , tenemos un campo magnetostático , lo que significa que algunos observadores medirán un campo magnético estático y ningún campo eléctrico. ${\displaystyle I>0}$ ${\displaystyle J=0}$
3. Si , se dice que el campo electromagnético es nulo y tenemos un electrovacío nulo . ${\displaystyle I=J=0}$

Los electrovacíos nulos están asociados a la radiación electromagnética. Un campo electromagnético que no es nulo se llama no nulo y entonces tenemos un electrovacío no nulo .

Tensor de Einstein

Los componentes de un tensor calculados con respecto a un campo de marco en lugar de a la base de coordenadas a menudo se denominan componentes físicos , porque son los componentes que (en principio) pueden ser medidos por un observador.

En el caso de una solución de electrovacío, se utiliza un marco adaptado

${\displaystyle {\vec {e}}_{0},\;{\vec {e}}_{1},\;{\vec {e}}_{2},\;{\vec {e}}_{3}}$

Siempre se puede encontrar un caso en el que el tensor de Einstein tiene una apariencia particularmente simple. Aquí, el primer vector se entiende como un campo vectorial unitario temporal ; éste es en todas partes tangente a las líneas de universo de la familia correspondiente de observadores adaptados , cuyo movimiento está "alineado" con el campo electromagnético. Los tres últimos son campos vectoriales unitarios espaciales .

Para un electrovacío no nulo , se puede encontrar un marco adaptado en el que el tensor de Einstein toma la forma

${\displaystyle G^{{\hat {a}}{\hat {b}}}=8\pi \epsilon \,\left[{\begin{matrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&-1\end{matrix}}\right]}$

donde es la densidad de energía del campo electromagnético, medida por cualquier observador adaptado. A partir de esta expresión, es fácil ver que el grupo de isotropía de nuestro electrovacío no nulo se genera por impulsos en la dirección y rotaciones sobre el eje. En otras palabras, el grupo de isotropía de cualquier electrovacío no nulo es un grupo de Lie abeliano bidimensional isomorfo a SO(1,1) x SO(2). ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle {\vec {e}}_{3}}$ ${\displaystyle {\vec {e}}_{3}}$

Para un electrovacío nulo , se puede encontrar un marco adaptado en el que el tensor de Einstein toma la forma

${\displaystyle G^{{\hat {a}}{\hat {b}}}=8\pi \epsilon \,\left[{\begin{matrix}1&0&0&\pm 1\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\\pm 1&0&0&1\end{matrix}}\right]}$

De esto se desprende fácilmente que el grupo de isotropía de nuestro electrovacío nulo incluye rotaciones sobre el eje; otros dos generadores son las dos transformaciones parabólicas de Lorentz alineadas con la dirección dada en el artículo sobre el grupo de Lorentz . En otras palabras, el grupo de isotropía de cualquier electrovacío nulo es un grupo de Lie tridimensional isomorfo a E(2), el grupo de isometría del plano euclidiano. ${\displaystyle {\vec {e}}_{3}}$ ${\displaystyle {\vec {e}}_{3}}$

El hecho de que estos resultados sean exactamente los mismos en los espacios-tiempos curvos que para la electrodinámica en el espacio-tiempo plano de Minkowski es una expresión del principio de equivalencia .

Valores propios

El polinomio característico del tensor de Einstein de un electrovacío no nulo debe tener la forma

${\displaystyle \chi (\lambda )=\left(\lambda +8\pi \epsilon \right)^{2}\,\left(\lambda -8\pi \epsilon \right)^{2}}$

Utilizando las identidades de Newton , esta condición puede reexpresarse en términos de las trazas de las potencias del tensor de Einstein como

${\displaystyle t_{1}=t_{3}=0,\;t_{4}=t_{2}^{2}/4}$

dónde

${\displaystyle t_{1}={G^{a}}_{a},\;t_{2}={G^{a}}_{b}\,{G^{b}}_{a},\;t_{3}={G^{a}}_{b}\,{G^{b}}_{c}\,{G^{c}}_{a},\;t_{4}={G^{a}}_{b}\,{G^{b}}_{c}\,{G^{c}}_{d}\,{G^{d}}_{a}}$

Este criterio necesario puede ser útil para comprobar que una posible solución de electrovacío no nula es plausible, y a veces es útil para encontrar soluciones de electrovacío no nulas.

El polinomio característico de un electrovacío nulo se anula de forma idéntica , incluso si la densidad de energía no es cero . Esta posibilidad es un análogo tensorial de la bien conocida teoría de que un vector nulo siempre tiene una longitud que se anula, incluso si no es el vector cero. Por lo tanto, todo electrovacío nulo tiene un valor propio cuádruple , es decir, cero.

Condiciones de lluvia

En 1925, George Yuri Rainich presentó condiciones puramente matemáticas que son necesarias y suficientes para que una variedad lorentziana admita una interpretación en relatividad general como un electrovacío no nulo . Estas condiciones comprenden tres condiciones algebraicas y una condición diferencial. Las condiciones son a veces útiles para comprobar que un supuesto electrovacío no nulo es realmente lo que dice ser, o incluso para encontrar tales soluciones.

Charles Torre encontró condiciones necesarias y suficientes análogas para un electrovacío nulo . ^[1]

Campos de prueba

A veces se puede suponer que la energía de campo de cualquier campo electromagnético es tan pequeña que sus efectos gravitacionales pueden despreciarse. Entonces, para obtener una solución de electrovacío aproximada, solo necesitamos resolver las ecuaciones de Maxwell en una solución de vacío dada . En este caso, el campo electromagnético a menudo se denomina campo de prueba , en analogía con el término partícula de prueba (que denota un objeto pequeño cuya masa es demasiado pequeña para contribuir apreciablemente al campo gravitacional ambiental).

Aquí, es útil saber que cualquier vector de Killing que pueda estar presente satisfará automáticamente (en el caso de una solución de vacío) las ecuaciones de Maxwell del espacio-tiempo curvo . ^[2]

Obsérvese que este procedimiento equivale a suponer que el campo electromagnético, pero no el campo gravitatorio, es "débil". A veces podemos ir incluso más allá; si el campo gravitatorio también se considera "débil", podemos resolver de forma independiente las ecuaciones de campo de Einstein linealizadas y las ecuaciones de Maxwell (espacio-tiempo plano) sobre un fondo de vacío de Minkowski. Entonces, el tensor métrico (débil) proporciona la geometría aproximada; el fondo de Minkowski es inobservable por medios físicos, pero matemáticamente es mucho más sencillo trabajar con él, siempre que podamos salirnos con la nuestra con semejante truco de magia.

Ejemplos

Entre las soluciones de electrovacío no nulas más destacadas se incluyen:

• Electrovacío de Reissner-Nordström (que describe la geometría alrededor de una masa esférica cargada),
• Electrovacío de Kerr-Newman (que describe la geometría alrededor de un objeto cargado y giratorio),
• Electrovacío de Melvin (un modelo de un campo magnetostático cilíndricamente simétrico),
• Electrovacío de Garfinkle-Melvin (como el anterior, pero que incluye una onda gravitacional que viaja a lo largo del eje de simetría),
• Electrovacío de Bertotti-Robinson: se trata de un espacio-tiempo simple que tiene una estructura de producto notable; surge de una especie de "explosión" del horizonte del electrovacío de Reissner-Nordström,
• Aspiradoras eléctricas de Witten (descubiertas por Louis Witten , padre de Edward Witten ).

Entre las soluciones individuales de electrovacío nulo más destacadas se incluyen:

• la onda plana electromagnética monocromática , una solución exacta que es el análogo relativista general de las ondas planas en el electromagnetismo clásico,
• Electrovacío de Bell-Szekeres (un modelo de ondas planas en colisión).

Algunas familias de electrovacíos conocidas son:

• Electrovacíos de Weyl-Maxwell: es la familia de todas las soluciones de electrovacío axisimétricas estáticas; incluye el electrovacío de Reissner-Nordström,
• Electrovacíos de Ernst-Maxwell: esta es la familia de todas las soluciones de electrovacío axisimétricas estacionarias; incluye el electrovacío de Kerr-Newman,
• Electrovacíos Beck-Maxwell: todas las soluciones de electrovacío simétricas cilíndricas no giratorias,
• Electrovacíos de Ehlers-Maxwell: todas las soluciones de electrovacío estacionarias, cilíndricas y simétricas.
• Electrovacíos de Szekeres: todos los pares de ondas planas en colisión, donde cada onda puede contener tanto radiación gravitacional como electromagnética; estas soluciones son electrovacíos nulos fuera de la zona de interacción , pero generalmente electrovacíos no nulos dentro de la zona de interacción, debido a la interacción no lineal de las dos ondas después de que chocan.

Muchos espacio-tiempos de ondas pp admiten un tensor de campo electromagnético que los convierte en soluciones de electrovacío nulo exacto.

Véase también

• Clasificación de los campos electromagnéticos
• Soluciones exactas en relatividad general
• Grupo de Lorentz

Referencias

1. Torre, Charles (2014). "La geometría del espacio-tiempo de un campo electromagnético nulo". Gravedad clásica y cuántica . 31 (4): 045022. arXiv : 1308.2323 . Bibcode :2014CQGra..31d5022T. doi :10.1088/0264-9381/31/4/045022. S2CID  22243824.
2. Papapetrou, A (1966). "Campeones gravitacionales estacionarios en simetría axial". Annales de l'Institut Henri Poincaré A (en francés). 4 (2): 83-105. Código bibliográfico : 1966AIHPA...4...83P . Consultado el 19 de diciembre de 2011 .

• Stephani, Hans; Kramer, Dietrich; MacCallum, Malcolm; Hoenselaers, Cornelius; Herlt, Eduard (2003). Soluciones exactas de las ecuaciones de campo de Einstein . Cambridge: Cambridge University Press . ISBN 0-521-46136-7.Consulte la sección 5.4 para las condiciones de Rainich, la sección 19.4 para los electrovacíos de Weyl-Maxwell, la sección 21.1 para los electrovacíos de Ernst-Maxwell, la sección 24.5 para las ondas pp, la sección 25.5 para los electrovacíos de Szekeres, etc.
• Griffiths, JB (1991). Ondas planas en colisión en la relatividad general . Oxford: Clarendon Press . ISBN 0-19-853209-1. El recurso definitivo sobre ondas planas en colisión, incluidos los ejemplos mencionados anteriormente.