Tensor electromagnético

Objeto matemático que describe el campo electromagnético en el espacio-tiempo.

En electromagnetismo , el tensor electromagnético o tensor de campo electromagnético (a veces llamado tensor de intensidad de campo , tensor de Faraday o bivector de Maxwell ) es un objeto matemático que describe el campo electromagnético en el espacio-tiempo. El tensor de campo se utilizó por primera vez después de que Hermann Minkowski introdujera la formulación tensorial de cuatro dimensiones de la relatividad especial . El tensor permite escribir leyes físicas relacionadas de forma concisa y permite la cuantificación del campo electromagnético mediante la formulación lagrangiana que se describe a continuación.

Definición

El tensor electromagnético, convencionalmente denominado F , se define como la derivada exterior del potencial cuadripolar electromagnético , A , una 1-forma diferencial: ^{[1] [2]}

${\displaystyle F\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \mathrm {d} A.}$

Por lo tanto, F es una forma diferencial 2 (un cuerpo tensorial de rango 2 antisimétrico) en el espacio de Minkowski. En forma de componentes,

${\displaystyle F_{\mu \nu }=\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu }.}$

donde es el cuatro-gradiente y es el cuatro-potencial . ${\displaystyle \partial }$ ${\displaystyle A}$

En este artículo se utilizarán las unidades del SI para las ecuaciones de Maxwell y la convención de signos del físico de partículas para la firma del espacio de Minkowski (+ − − −) .

Relación con los campos clásicos

La forma diferencial de Faraday de 2 vías se expresa mediante

${\displaystyle F=(E_{x}/c)\ dx\wedge dt+(E_{y}/c)\ dy\wedge dt+(E_{z}/c)\ dz\wedge dt+B_{x}\ dy\wedge dz+B_{y}\ dz\wedge dx+B_{z}\ dx\wedge dy,}$

¿Dónde está el elemento tiempo multiplicado por la velocidad de la luz ? ${\displaystyle dt}$ ${\displaystyle c}$

Esta es la derivada exterior de su antiderivada de 1 forma

${\displaystyle A=A_{x}\ dx+A_{y}\ dy+A_{z}\ dz-(\phi /c)\ dt}$,

donde tiene ( es un potencial escalar para el campo vectorial irrotacional/conservativo ) y tiene ( es un potencial vectorial para el campo vectorial solenoidal ). ${\displaystyle \phi ({\vec {x}},t)}$ ${\displaystyle -{\vec {\nabla }}\phi ={\vec {E}}}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle {\vec {E}}}$ ${\displaystyle {\vec {A}}({\vec {x}},t)}$ ${\displaystyle {\vec {\nabla }}\times {\vec {A}}={\vec {B}}}$ ${\displaystyle {\vec {A}}}$ ${\displaystyle {\vec {B}}}$

Tenga en cuenta que

${\displaystyle {\begin{cases}dF=0\\{\star }d{\star }F=J\end{cases}}}$

donde es la derivada exterior, es la estrella de Hodge , (donde es la densidad de corriente eléctrica y es la densidad de carga eléctrica ) es la forma 1 de 4 densidades de corriente, es la versión de formas diferenciales de las ecuaciones de Maxwell. ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle {\star }}$ ${\displaystyle J=-J_{x}\ dx-J_{y}\ dy-J_{z}\ dz+\rho \ dt}$ ${\displaystyle {\vec {J}}}$ ${\displaystyle \rho }$

Los campos eléctrico y magnético se pueden obtener a partir de los componentes del tensor electromagnético. La relación es más sencilla en coordenadas cartesianas :

${\displaystyle E_{i}=cF_{0i},}$

donde c es la velocidad de la luz, y

${\displaystyle B_{i}=-1/2\epsilon _{ijk}F^{jk},}$

donde es el tensor de Levi-Civita . Esto proporciona los campos en un marco de referencia particular; si se cambia el marco de referencia, los componentes del tensor electromagnético se transformarán de manera covariante y los campos en el nuevo marco estarán dados por los nuevos componentes. ${\displaystyle \epsilon _{ijk}}$

En forma de matriz contravariante con signatura métrica (+,-,-,-),

${\displaystyle F^{\mu \nu }={\begin{bmatrix}0&-E_{x}/c&-E_{y}/c&-E_{z}/c\\E_{x}/c&0&-B_{z}&B_{y}\\E_{y}/c&B_{z}&0&-B_{x}\\E_{z}/c&-B_{y}&B_{x}&0\end{bmatrix}}.}$

La forma covariante se da mediante la reducción del índice ,

${\displaystyle F_{\mu \nu }=\eta _{\alpha \nu }F^{\beta \alpha }\eta _{\mu \beta }={\begin{bmatrix}0&E_{x}/c&E_{y}/c&E_{z}/c\\-E_{x}/c&0&-B_{z}&B_{y}\\-E_{y}/c&B_{z}&0&-B_{x}\\-E_{z}/c&-B_{y}&B_{x}&0\end{bmatrix}}.}$

El dual de Hodge del tensor de Faraday es

${\displaystyle {G^{\alpha \beta }={\frac {1}{2}}\epsilon ^{\alpha \beta \gamma \delta }F_{\gamma \delta }={\begin{bmatrix}0&-B_{x}&-B_{y}&-B_{z}\\B_{x}&0&E_{z}/c&-E_{y}/c\\B_{y}&-E_{z}/c&0&E_{x}/c\\B_{z}&E_{y}/c&-E_{x}/c&0\end{bmatrix}}}}$

De ahora en adelante en este artículo, cuando se mencionen campos eléctricos o magnéticos, se asumirá un sistema de coordenadas cartesianas, y los campos eléctricos y magnéticos son con respecto al marco de referencia del sistema de coordenadas, como en las ecuaciones anteriores.

Propiedades

La forma matricial del tensor de campo produce las siguientes propiedades: ^[3]

1. Antisimetría : $${\displaystyle F^{\mu \nu }=-F^{\nu \mu }}$$
2. Seis componentes independientes: En coordenadas cartesianas, estos son simplemente los tres componentes espaciales del campo eléctrico ( E _x , E _y , E _z ) y el campo magnético ( B _x , B _y , B _z ).
3. Producto interno: si se forma un producto interno del tensor de intensidad de campo, se forma un invariante de Lorentz, lo que significa que este número no cambia de un marco de referencia a otro. $${\displaystyle F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }=2\left({\frac {E^{2}}{c^{2}}}-B^{2}\right)}$$
4. Invariante pseudoescalar : El producto del tensorpor su dual de Hodge da un invariante de Lorentz :donde es el símbolo de Levi-Civita de rango 4.El signo de lo anterior depende de la convención utilizada para el símbolo de Levi-Civita. La convención utilizada aquí es. ${\displaystyle F^{\mu \nu }}$ ${\displaystyle G^{\mu \nu }}$ $${\displaystyle G_{\gamma \delta }F^{\gamma \delta }={\frac {1}{2}}\epsilon _{\alpha \beta \gamma \delta }F^{\alpha \beta }F^{\gamma \delta }=-{\frac {4}{c}}\mathbf {B} \cdot \mathbf {E} \,}$$ ${\displaystyle \epsilon _{\alpha \beta \gamma \delta }}$ ${\displaystyle \epsilon _{0123}=-1}$
5. Determinante : que es proporcional al cuadrado del invariante anterior. $${\displaystyle \det \left(F\right)={\frac {1}{c^{2}}}\left(\mathbf {B} \cdot \mathbf {E} \right)^{2}}$$
6. Traza : que es igual a cero. $${\displaystyle F={{F}^{\mu }}_{\mu }=0}$$

Significado

Este tensor simplifica y reduce las ecuaciones de Maxwell como cuatro ecuaciones de cálculo vectorial en dos ecuaciones de campo tensorial. En electrostática y electrodinámica , la ley de Gauss y la ley circuital de Ampère son respectivamente:

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho }{\epsilon _{0}}},\quad \nabla \times \mathbf {B} -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}=\mu _{0}\mathbf {J} }$

y reducir a la ecuación no homogénea de Maxwell:

${\displaystyle \partial _{\alpha }F^{\beta \alpha }=-\mu _{0}J^{\beta }}$, donde está la cuatro corriente . ${\displaystyle J^{\alpha }=(c\rho ,\mathbf {J} )}$

En magnetostática y magnetodinámica, la ley de Gauss para el magnetismo y la ecuación de Maxwell-Faraday son respectivamente:

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =0,\quad {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}+\nabla \times \mathbf {E} =\mathbf {0} }$

que se reducen a la identidad de Bianchi :

${\displaystyle \partial _{\gamma }F_{\alpha \beta }+\partial _{\alpha }F_{\beta \gamma }+\partial _{\beta }F_{\gamma \alpha }=0}$

o utilizando la notación de índice con corchetes ^{[nota 1]} para la parte antisimétrica del tensor:

${\displaystyle \partial _{[\alpha }F_{\beta \gamma ]}=0}$

Utilizando la expresión que relaciona el tensor de Faraday con el tetrapotencial, se puede demostrar que la cantidad antisimétrica anterior se convierte en cero de manera idéntica ( ). La implicación de esa identidad es de largo alcance: significa que la teoría de campos electromagnéticos no deja lugar para monopolos magnéticos y corrientes de este tipo. ${\displaystyle \equiv 0}$

Relatividad

El nombre de tensor de campo se debe al hecho de que el campo electromagnético obedece a la ley de transformación tensorial , propiedad general de las leyes físicas que se reconoció después de la aparición de la relatividad especial . Esta teoría estipulaba que todas las leyes de la física debían adoptar la misma forma en todos los sistemas de coordenadas, lo que condujo a la introducción de los tensores . El formalismo tensorial también conduce a una presentación matemáticamente más sencilla de las leyes físicas.

La ecuación no homogénea de Maxwell conduce a la ecuación de continuidad :

${\displaystyle \partial _{\alpha }J^{\alpha }=J^{\alpha }{}_{,\alpha }=0}$

lo que implica conservación de carga .

Las leyes de Maxwell anteriores se pueden generalizar al espacio-tiempo curvo simplemente reemplazando las derivadas parciales con derivadas covariantes :

${\displaystyle F_{[\alpha \beta ;\gamma ]}=0}$y ${\displaystyle F^{\alpha \beta }{}_{;\alpha }=\mu _{0}J^{\beta }}$

donde la notación de punto y coma representa una derivada covariante, en oposición a una derivada parcial. Estas ecuaciones a veces se denominan ecuaciones de Maxwell del espacio curvo . Nuevamente, la segunda ecuación implica conservación de carga (en el espacio-tiempo curvo):

${\displaystyle J^{\alpha }{}_{;\alpha }\,=0}$

Formulación lagrangiana del electromagnetismo clásico

El electromagnetismo clásico y las ecuaciones de Maxwell se pueden derivar de la acción : donde es sobre el espacio y el tiempo. $${\displaystyle {\mathcal {S}}=\int \left(-{\begin{matrix}{\frac {1}{4\mu _{0}}}\end{matrix}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }-J^{\mu }A_{\mu }\right)\mathrm {d} ^{4}x\,}$$ ${\displaystyle \mathrm {d} ^{4}x}$

Esto significa que la densidad lagrangiana es

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {L}}&=-{\frac {1}{4\mu _{0}}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }-J^{\mu }A_{\mu }\\&=-{\frac {1}{4\mu _{0}}}\left(\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu }\right)\left(\partial ^{\mu }A^{\nu }-\partial ^{\nu }A^{\mu }\right)-J^{\mu }A_{\mu }\\&=-{\frac {1}{4\mu _{0}}}\left(\partial _{\mu }A_{\nu }\partial ^{\mu }A^{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu }\partial ^{\mu }A^{\nu }-\partial _{\mu }A_{\nu }\partial ^{\nu }A^{\mu }+\partial _{\nu }A_{\mu }\partial ^{\nu }A^{\mu }\right)-J^{\mu }A_{\mu }\\\end{aligned}}}$

Los dos términos del medio entre paréntesis son los mismos, al igual que los dos términos externos, por lo que la densidad lagrangiana es

${\displaystyle {\mathcal {L}}=-{\frac {1}{2\mu _{0}}}\left(\partial _{\mu }A_{\nu }\partial ^{\mu }A^{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu }\partial ^{\mu }A^{\nu }\right)-J^{\mu }A_{\mu }.}$

Sustituyendo esto en la ecuación de movimiento de Euler-Lagrange para un campo:

${\displaystyle \partial _{\mu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }A_{\nu })}}\right)-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial A_{\nu }}}=0}$

Así que la ecuación de Euler-Lagrange se convierte en:

${\displaystyle -\partial _{\mu }{\frac {1}{\mu _{0}}}\left(\partial ^{\mu }A^{\nu }-\partial ^{\nu }A^{\mu }\right)+J^{\nu }=0.\,}$

La cantidad entre paréntesis arriba es solo el tensor de campo, por lo que esto finalmente se simplifica a

${\displaystyle \partial _{\mu }F^{\mu \nu }=\mu _{0}J^{\nu }}$

Esa ecuación es otra forma de escribir las dos ecuaciones de Maxwell no homogéneas (a saber, la ley de Gauss y la ley circuital de Ampère ) utilizando las sustituciones:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{c}}E^{i}&=-F^{0i}\\\epsilon ^{ijk}B_{k}&=-F^{ij}\end{aligned}}}$

donde i, j, k toman los valores 1, 2 y 3.

Forma hamiltoniana

La densidad hamiltoniana se puede obtener con la relación habitual,

${\displaystyle {\mathcal {H}}(\phi ^{i},\pi _{i})=\pi _{i}{\dot {\phi }}^{i}(\phi ^{i},\pi _{i})-{\mathcal {L}}}$.

Electrodinámica cuántica y teoría de campos

El lagrangiano de la electrodinámica cuántica se extiende más allá del lagrangiano clásico establecido en la relatividad para incorporar la creación y aniquilación de fotones (y electrones):

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\bar {\psi }}\left(i\hbar c\,\gamma ^{\alpha }D_{\alpha }-mc^{2}\right)\psi -{\frac {1}{4\mu _{0}}}F_{\alpha \beta }F^{\alpha \beta },}$

donde la primera parte del lado derecho, que contiene el espinor de Dirac , representa el campo de Dirac . En la teoría cuántica de campos, se utiliza como plantilla para el tensor de intensidad de campo de calibración. Al emplearse además del lagrangiano de interacción local, repite su función habitual en la electrodinámica cuántica. ${\displaystyle \psi }$

Véase también

• Clasificación de los campos electromagnéticos
• Formulación covariante del electromagnetismo clásico
• Tensor de energía y tensión electromagnética
• Tensor de intensidad de campo de gluones
• Cálculo de Ricci
• Vector de Riemann-Silberstein

Notas

1. ^ Por definición,

   ${\displaystyle T_{[abc]}={\frac {1}{3!}}(T_{abc}+T_{bca}+T_{cab}-T_{acb}-T_{bac}-T_{cba})}$

   Así que si

   ${\displaystyle \partial _{\gamma }F_{\alpha \beta }+\partial _{\alpha }F_{\beta \gamma }+\partial _{\beta }F_{\gamma \alpha }=0}$

   entonces

   ${\displaystyle {\begin{aligned}0&={\begin{matrix}{\frac {2}{6}}\end{matrix}}(\partial _{\gamma }F_{\alpha \beta }+\partial _{\alpha }F_{\beta \gamma }+\partial _{\beta }F_{\gamma \alpha })\\&={\begin{matrix}{\frac {1}{6}}\end{matrix}}\{\partial _{\gamma }(2F_{\alpha \beta })+\partial _{\alpha }(2F_{\beta \gamma })+\partial _{\beta }(2F_{\gamma \alpha })\}\\&={\begin{matrix}{\frac {1}{6}}\end{matrix}}\{\partial _{\gamma }(F_{\alpha \beta }-F_{\beta \alpha })+\partial _{\alpha }(F_{\beta \gamma }-F_{\gamma \beta })+\partial _{\beta }(F_{\gamma \alpha }-F_{\alpha \gamma })\}\\&={\begin{matrix}{\frac {1}{6}}\end{matrix}}(\partial _{\gamma }F_{\alpha \beta }+\partial _{\alpha }F_{\beta \gamma }+\partial _{\beta }F_{\gamma \alpha }-\partial _{\gamma }F_{\beta \alpha }-\partial _{\alpha }F_{\gamma \beta }-\partial _{\beta }F_{\alpha \gamma })\\&=\partial _{[\gamma }F_{\alpha \beta ]}\end{aligned}}}$

1. JA Wheeler; C. Misner; KS Thorne (1973). Gravitación . WH Freeman & Co. ISBN 0-7167-0344-0.
2. DJ Griffiths (2007). Introducción a la electrodinámica (3.ª ed.). Pearson Education, Dorling Kindersley. ISBN 978-81-7758-293-2.
3. JA Wheeler; C. Misner; KS Thorne (1973). Gravitación . WH Freeman & Co. ISBN 0-7167-0344-0.

Referencias

• Brau, Charles A. (2004). Problemas modernos en electrodinámica clásica . Oxford University Press . ISBN 0-19-514665-4.
• Jackson, John D. (1999). Electrodinámica clásica . John Wiley & Sons, Inc. ISBN 0-471-30932-X.
• Peskin, Michael E.; Schroeder, Daniel V. (1995). Introducción a la teoría cuántica de campos . Perseus Publishing. ISBN 0-201-50397-2.