Derivada covariante

Especificación de una derivada a lo largo de un vector tangente de una variedad

En matemáticas , la derivada covariante es una forma de especificar una derivada a lo largo de vectores tangentes de una variedad . Alternativamente, la derivada covariante es una forma de introducir y trabajar con una conexión en una variedad por medio de un operador diferencial , que se contrasta con el enfoque dado por una conexión principal en el fibrado de marcos – ver conexión afín . En el caso especial de una variedad isométricamente incrustada en un espacio euclidiano de dimensión superior , la derivada covariante puede verse como la proyección ortogonal de la derivada direccional euclidiana sobre el espacio tangente de la variedad. En este caso, la derivada euclidiana se divide en dos partes, el componente normal extrínseco (dependiente de la incrustación) y el componente derivado covariante intrínseco.

El nombre está motivado por la importancia de los cambios de coordenadas en física : la derivada covariante se transforma covariantemente bajo una transformación de coordenadas general, es decir, linealmente a través de la matriz jacobiana de la transformación. ^[1]

Este artículo presenta una introducción a la derivada covariante de un cuerpo vectorial con respecto a un cuerpo vectorial, tanto en un lenguaje libre de coordenadas como utilizando un sistema de coordenadas local y la notación de índices tradicional. La derivada covariante de un cuerpo tensorial se presenta como una extensión del mismo concepto. La derivada covariante se generaliza directamente a una noción de diferenciación asociada a una conexión en un fibrado vectorial , también conocida como conexión de Koszul .

Historia

Históricamente, a principios del siglo XX, la derivada covariante fue introducida por Gregorio Ricci-Curbastro y Tullio Levi-Civita en la teoría de la geometría riemanniana y pseudo-riemanniana . ^[2] Ricci y Levi-Civita (siguiendo las ideas de Elwin Bruno Christoffel ) observaron que los símbolos de Christoffel utilizados para definir la curvatura también podían proporcionar una noción de diferenciación que generalizaba la derivada direccional clásica de los campos vectoriales en una variedad. ^{[3] [4]} Esta nueva derivada, la conexión de Levi-Civita , era covariante en el sentido de que satisfacía el requisito de Riemann de que los objetos en geometría deberían ser independientes de su descripción en un sistema de coordenadas particular.

Otros matemáticos, entre los que se destacan Hermann Weyl , Jan Arnoldus Schouten y Élie Cartan ^[5] , pronto observaron que una derivada covariante podía definirse de forma abstracta sin la presencia de una métrica . La característica crucial no era una dependencia particular de la métrica, sino que los símbolos de Christoffel satisfacían una determinada ley de transformación precisa de segundo orden. Esta ley de transformación podía servir como punto de partida para definir la derivada de forma covariante. De este modo, la teoría de la diferenciación covariante se desvió del contexto estrictamente riemanniano para incluir una gama más amplia de posibles geometrías.

En la década de 1940, los practicantes de la geometría diferencial comenzaron a introducir otras nociones de diferenciación covariante en fibrados vectoriales generales que, en contraste con los fibrados clásicos de interés para los geómetras, no formaban parte del análisis tensorial de la variedad. En general, estas derivadas covariantes generalizadas tuvieron que especificarse ad hoc mediante alguna versión del concepto de conexión. En 1950, Jean-Louis Koszul unificó estas nuevas ideas de diferenciación covariante en un fibrado vectorial por medio de lo que hoy se conoce como una conexión de Koszul o una conexión en un fibrado vectorial. ^[6] Usando ideas de la cohomología del álgebra de Lie , Koszul convirtió con éxito muchas de las características analíticas de la diferenciación covariante en características algebraicas. En particular, las conexiones de Koszul eliminaron la necesidad de manipulaciones incómodas de los símbolos de Christoffel (y otros objetos no tensoriales análogos ) en geometría diferencial. De esta manera, suplantaron rápidamente la noción clásica de derivada covariante en muchos tratamientos del tema posteriores a 1950.

Motivación

La derivada covariante es una generalización de la derivada direccional del cálculo vectorial . Al igual que con la derivada direccional, la derivada covariante es una regla, , que toma como entradas: (1) un vector, u , definido en un punto P , y (2) un campo vectorial v definido en un entorno de P . ^[7] La ​​salida es el vector , también en el punto P . La principal diferencia con la derivada direccional habitual es que debe, en un cierto sentido preciso, ser independiente de la manera en que se expresa en un sistema de coordenadas . ${\displaystyle \nabla _{\mathbf {u} }{\mathbf {v} }}$ ${\displaystyle \nabla _{\mathbf {u} }{\mathbf {v} }(P)}$ ${\displaystyle \nabla _{\mathbf {u} }{\mathbf {v} }}$

Un vector puede describirse como una lista de números en términos de una base , pero como objeto geométrico el vector conserva su identidad independientemente de cómo se describa. Para un vector geométrico escrito en componentes con respecto a una base, cuando se cambia la base, los componentes se transforman de acuerdo con una fórmula de cambio de base , y las coordenadas experimentan una transformación covariante . Se requiere que la derivada covariante se transforme, bajo un cambio de coordenadas, mediante una transformación covariante de la misma manera que lo hace una base (de ahí el nombre).

En el caso del espacio euclidiano , normalmente se define la derivada direccional de un campo vectorial en términos de la diferencia entre dos vectores en dos puntos cercanos. En un sistema de este tipo, se traslada uno de los vectores al origen del otro, manteniéndolo paralelo, y luego se toma su diferencia dentro del mismo espacio vectorial. Con un sistema de coordenadas cartesiano ( ortonormal fijo ), "mantenerlo paralelo" equivale a mantener constantes las componentes. Esta derivada direccional ordinaria en el espacio euclidiano es el primer ejemplo de una derivada covariante.

A continuación, hay que tener en cuenta los cambios en el sistema de coordenadas. Por ejemplo, si el plano euclidiano se describe mediante coordenadas polares, "mantenerlo paralelo" no equivale a mantener constantes los componentes polares durante la traslación, ya que la propia cuadrícula de coordenadas "rota". Por tanto, la misma derivada covariante escrita en coordenadas polares contiene términos adicionales que describen cómo gira la propia cuadrícula de coordenadas o cómo, en coordenadas más generales, la cuadrícula se expande, se contrae, se tuerce, se entrelaza, etc.

Consideremos el ejemplo de una partícula que se mueve a lo largo de una curva γ ( t ) en el plano euclidiano. En coordenadas polares, γ puede escribirse en términos de sus coordenadas radiales y angulares por γ ( t ) = ( r ( t ), θ ( t )) . Un vector en un tiempo particular t ^[8] (por ejemplo, una aceleración constante de la partícula) se expresa en términos de , donde y son vectores tangentes unitarios para las coordenadas polares, que sirven como base para descomponer un vector en términos de componentes radiales y tangenciales . En un tiempo ligeramente posterior, la nueva base en coordenadas polares aparece ligeramente rotada con respecto al primer conjunto. La derivada covariante de los vectores base (los símbolos de Christoffel ) sirven para expresar este cambio. ${\displaystyle (\mathbf {e} _{r},\mathbf {e} _{\theta })}$ ${\displaystyle \mathbf {e} _{r}}$ ${\displaystyle \mathbf {e} _{\theta }}$

En un espacio curvo, como la superficie de la Tierra (considerada como una esfera), la traslación de vectores tangentes entre diferentes puntos no está bien definida, y su análogo, el transporte paralelo , depende del camino a lo largo del cual se traslada el vector. Un vector en un globo terráqueo en el ecuador en el punto Q está dirigido hacia el norte. Supongamos que transportamos el vector (manteniéndolo paralelo) primero a lo largo del ecuador hasta el punto P, luego lo arrastramos a lo largo de un meridiano hasta el polo norte y finalmente lo transportamos a lo largo de otro meridiano de regreso a Q. Entonces notamos que el vector transportado en paralelo a lo largo de un circuito cerrado no regresa como el mismo vector; en cambio, tiene otra orientación. Esto no sucedería en el espacio euclidiano y es causado por la curvatura de la superficie del globo. El mismo efecto ocurre si arrastramos el vector a lo largo de una superficie cerrada infinitesimalmente pequeña posteriormente a lo largo de dos direcciones y luego de regreso. Este cambio infinitesimal del vector es una medida de la curvatura y se puede definir en términos de la derivada covariante.

Observaciones

• La definición de la derivada covariante no utiliza la métrica en el espacio. Sin embargo, para cada métrica existe una única derivada covariante libre de torsión llamada conexión de Levi-Civita , de modo que la derivada covariante de la métrica es cero.
• Las propiedades de una derivada implican que depende de los valores de u en una vecindad arbitrariamente pequeña de un punto p de la misma manera que, por ejemplo, la derivada de una función escalar f a lo largo de una curva en un punto dado p depende de los valores de f en una vecindad arbitrariamente pequeña de p . ${\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }\mathbf {u} }$
• La información sobre la vecindad de un punto p en la derivada covariante se puede utilizar para definir el transporte paralelo de un vector. Asimismo, la curvatura , la torsión y las geodésicas se pueden definir únicamente en términos de la derivada covariante u otra variación relacionada con la idea de una conexión lineal .

Definición informal que utiliza una incrustación en el espacio euclidiano

Supongamos que un subconjunto abierto de una variedad de Riemann -dimensional está incrustado en el espacio euclidiano a través de una función dos veces continuamente diferenciable (C ² ) tal que el espacio tangente en está abarcado por los vectores y el producto escalar en es compatible con la métrica en M : ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle (\mathbb {R} ^{n},\langle \cdot ,\cdot \rangle )}$ ${\displaystyle {\vec {\Psi }}:\mathbb {R} ^{d}\supset U\to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle {\vec {\Psi }}(p)}$ $${\displaystyle \left\{\left.{\frac {\partial {\vec {\Psi }}}{\partial x^{i}}}\right|_{p}:i\in \{1,\dots ,d\}\right\}}$$ ${\displaystyle \left\langle \cdot ,\cdot \right\rangle }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ $${\displaystyle g_{ij}=\left\langle {\frac {\partial {\vec {\Psi }}}{\partial x^{i}}},{\frac {\partial {\vec {\Psi }}}{\partial x^{j}}}\right\rangle .}$$

(Dado que la métrica de la variedad siempre se supone regular, ^{[ aclaración necesaria ]} la condición de compatibilidad implica independencia lineal de los vectores tangentes de las derivadas parciales).

Para un campo vectorial tangente, , se tiene ${\displaystyle {\vec {V}}=v^{j}{\frac {\partial {\vec {\Psi }}}{\partial x^{j}}}}$ $${\displaystyle {\frac {\partial {\vec {V}}}{\partial x^{i}}}={\frac {\partial }{\partial x^{i}}}\left(v^{j}{\frac {\partial {\vec {\Psi }}}{\partial x^{j}}}\right)={\frac {\partial v^{j}}{\partial x^{i}}}{\frac {\partial {\vec {\Psi }}}{\partial x^{j}}}+v^{j}{\frac {\partial ^{2}{\vec {\Psi }}}{\partial x^{i}\,\partial x^{j}}}.}$$

El último término no es tangente a M , pero puede expresarse como una combinación lineal de los vectores base del espacio tangente utilizando los símbolos de Christoffel como factores lineales más un vector ortogonal al espacio tangente: $${\displaystyle v^{j}{\frac {\partial ^{2}{\vec {\Psi }}}{\partial x^{i}\,\partial x^{j}}}=v^{j}{\Gamma ^{k}}_{ij}{\frac {\partial {\vec {\Psi }}}{\partial x^{k}}}+{\vec {n}}.}$$

En el caso de la conexión de Levi-Civita , la derivada covariante , también escrita , se define como la proyección ortogonal de la derivada usual sobre el espacio tangente: ${\displaystyle \nabla _{\mathbf {e} _{i}}{\vec {V}}}$ ${\displaystyle \nabla _{i}{\vec {V}}}$ $${\displaystyle \nabla _{\mathbf {e} _{i}}{\vec {V}}:={\frac {\partial {\vec {V}}}{\partial x^{i}}}-{\vec {n}}=\left({\frac {\partial v^{k}}{\partial x^{i}}}+v^{j}{\Gamma ^{k}}_{ij}\right){\frac {\partial {\vec {\Psi }}}{\partial x^{k}}}.}$$

A partir de aquí puede resultar computacionalmente conveniente obtener una relación entre los símbolos de Christoffel para la conexión de Levi-Civita y la métrica. Para ello, observamos primero que, puesto que el vector en la ecuación anterior es ortogonal al espacio tangente, ${\displaystyle {\vec {n}}}$ $${\displaystyle \left\langle {\frac {\partial ^{2}{\vec {\Psi }}}{\partial x^{i}\,\partial x^{j}}},{\frac {\partial {\vec {\Psi }}}{\partial x^{l}}}\right\rangle =\left\langle {\Gamma ^{k}}_{ij}{\frac {\partial {\vec {\Psi }}}{\partial x^{k}}}+{\vec {n}},{\frac {\partial {\vec {\Psi }}}{\partial x^{l}}}\right\rangle =\left\langle {\frac {\partial {\vec {\Psi }}}{\partial x^{k}}},{\frac {\partial {\vec {\Psi }}}{\partial x^{l}}}\right\rangle {\Gamma ^{k}}_{ij}=g_{kl}\,{\Gamma ^{k}}_{ij}.}$$

Entonces, dado que la derivada parcial de un componente de la métrica con respecto a una coordenada es ${\displaystyle g_{ab}}$ ${\displaystyle x^{c}}$ $${\displaystyle {\frac {\partial g_{ab}}{\partial x^{c}}}={\frac {\partial }{\partial x^{c}}}\left\langle {\frac {\partial {\vec {\Psi }}}{\partial x^{a}}},{\frac {\partial {\vec {\Psi }}}{\partial x^{b}}}\right\rangle =\left\langle {\frac {\partial ^{2}{\vec {\Psi }}}{\partial x^{c}\,\partial x^{a}}},{\frac {\partial {\vec {\Psi }}}{\partial x^{b}}}\right\rangle +\left\langle {\frac {\partial {\vec {\Psi }}}{\partial x^{a}}},{\frac {\partial ^{2}{\vec {\Psi }}}{\partial x^{c}\,\partial x^{b}}}\right\rangle ,}$$

cualquier triplete de índices produce un sistema de ecuaciones (aquí se ha utilizado la simetría del producto escalar y se ha intercambiado el orden de las diferenciaciones parciales). ${\displaystyle i,j,k}$ $${\displaystyle \left\{{\begin{alignedat}{2}{\frac {\partial g_{jk}}{\partial x^{i}}}=&&\left\langle {\frac {\partial {\vec {\Psi }}}{\partial x^{j}}},{\frac {\partial ^{2}{\vec {\Psi }}}{\partial x^{k}\partial x^{i}}}\right\rangle &+\left\langle {\frac {\partial {\vec {\Psi }}}{\partial x^{k}}},{\frac {\partial ^{2}{\vec {\Psi }}}{\partial x^{i}\partial x^{j}}}\right\rangle \\{\frac {\partial g_{ki}}{\partial x^{j}}}=&\left\langle {\frac {\partial {\vec {\Psi }}}{\partial x^{i}}},{\frac {\partial ^{2}{\vec {\Psi }}}{\partial x^{j}\partial x^{k}}}\right\rangle &&+\left\langle {\frac {\partial {\vec {\Psi }}}{\partial x^{k}}},{\frac {\partial ^{2}{\vec {\Psi }}}{\partial x^{i}\partial x^{j}}}\right\rangle \\{\frac {\partial g_{ij}}{\partial x^{k}}}=&\left\langle {\frac {\partial {\vec {\Psi }}}{\partial x^{i}}},{\frac {\partial ^{2}{\vec {\Psi }}}{\partial x^{j}\partial x^{k}}}\right\rangle &+\left\langle {\frac {\partial {\vec {\Psi }}}{\partial x^{j}}},{\frac {\partial ^{2}{\vec {\Psi }}}{\partial x^{k}\partial x^{i}}}\right\rangle &&.\end{alignedat}}\right.}$$

Sumando las dos primeras ecuaciones y restando la tercera, obtenemos $${\displaystyle {\frac {\partial g_{jk}}{\partial x^{i}}}+{\frac {\partial g_{ki}}{\partial x^{j}}}-{\frac {\partial g_{ij}}{\partial x^{k}}}=2\left\langle {\frac {\partial {\vec {\Psi }}}{\partial x^{k}}},{\frac {\partial ^{2}{\vec {\Psi }}}{\partial x^{i}\,\partial x^{j}}}\right\rangle .}$$

Así, los símbolos de Christoffel para la conexión Levi-Civita están relacionados con la métrica por $${\displaystyle g_{kl}{\Gamma ^{k}}_{ij}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial g_{jl}}{\partial x^{i}}}+{\frac {\partial g_{li}}{\partial x^{j}}}-{\frac {\partial g_{ij}}{\partial x^{l}}}\right).}$$

Si no es degenerado entonces se puede resolver directamente como ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle {\Gamma ^{k}}_{ij}}$

$${\displaystyle {\Gamma ^{k}}_{ij}={\frac {1}{2}}g^{kl}\left({\frac {\partial g_{jl}}{\partial x^{i}}}+{\frac {\partial g_{li}}{\partial x^{j}}}-{\frac {\partial g_{ij}}{\partial x^{l}}}\right).}$$

Para un ejemplo muy simple que captura la esencia de la descripción anterior, dibuje un círculo en una hoja de papel plana. Desplácese alrededor del círculo a una velocidad constante. La derivada de su velocidad, su vector de aceleración, siempre apunta radialmente hacia adentro. Enrolle esta hoja de papel hasta formar un cilindro. Ahora, la derivada (euclidiana) de su velocidad tiene un componente que a veces apunta hacia adentro, hacia el eje del cilindro, dependiendo de si está cerca de un solsticio o de un equinoccio. (En el punto del círculo en el que se mueve en paralelo al eje, no hay aceleración hacia adentro. Por el contrario, en un punto (1/4 de círculo más adelante) cuando la velocidad está a lo largo de la curva del cilindro, la aceleración hacia adentro es máxima). Este es el componente normal (euclidiano). El componente de la derivada covariante es el componente paralelo a la superficie del cilindro, y es el mismo que el que tenía antes de enrollar la hoja hasta formar un cilindro.

Definición formal

Una derivada covariante es una conexión (Koszul) en el fibrado tangente y otros fibrados tensoriales : diferencia cuerpos vectoriales de una manera análoga a la diferencial habitual en funciones. La definición se extiende a una diferenciación en el dual de cuerpos vectoriales (es decir, cuerpos covectoriales ) y a cuerpos tensoriales arbitrarios , de una manera única que asegura la compatibilidad con el producto tensorial y las operaciones de traza (contracción tensorial).

Funciones

Dado un punto de la variedad , una función real en la variedad y un vector tangente , la derivada covariante de f en p a lo largo de v es el escalar en p , denotado , que representa la parte principal del cambio en el valor de f cuando el argumento de f se cambia por el vector de desplazamiento infinitesimal v . (Ésta es la diferencial de f evaluada contra el vector v .) Formalmente, existe una curva diferenciable tal que y , y la derivada covariante de f en p se define por ${\displaystyle p\in M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle f:M\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} \in T_{p}M}$ ${\displaystyle \left(\nabla _{\mathbf {v} }f\right)_{p}}$ ${\displaystyle \phi :[-1,1]\to M}$ ${\displaystyle \phi (0)=p}$ ${\displaystyle \phi '(0)=\mathbf {v} }$ $${\displaystyle \left(\nabla _{\mathbf {v} }f\right)_{p}=\left(f\circ \phi \right)'\left(0\right)=\lim _{t\to 0}{\frac {f(\phi \left(t\right))-f(p)}{t}}.}$$

Cuando es un campo vectorial en , la derivada covariante es la función que asocia a cada punto p en el dominio común de f y v el escalar . ${\displaystyle \mathbf {v} :M\to T_{p}M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }f:M\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \left(\nabla _{\mathbf {v} }f\right)_{p}}$

Para una función escalar f y un campo vectorial v , la derivada covariante coincide con la derivada de Lie y con la derivada exterior . ${\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }f}$ ${\displaystyle L_{v}(f)}$ ${\displaystyle df(v)}$

Campos vectoriales

Dado un punto de la variedad , un campo vectorial definido en un entorno de p y un vector tangente , la derivada covariante de u en p a lo largo de v es el vector tangente en p , denotado , tal que se cumplen las siguientes propiedades (para cualesquiera vectores tangentes v , x e y en p , campos vectoriales u y w definidos en un entorno de p , valores escalares g y h en p , y función escalar f definida en un entorno de p ): ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \mathbf {u} :M\to T_{p}M}$ ${\displaystyle \mathbf {v} \in T_{p}M}$ ${\displaystyle (\nabla _{\mathbf {v} }\mathbf {u} )_{p}}$

1. ${\displaystyle \left(\nabla _{\mathbf {v} }\mathbf {u} \right)_{p}}$es lineal en tanto ${\displaystyle \mathbf {v} }$ $${\displaystyle \left(\nabla _{g\mathbf {x} +h\mathbf {y} }\mathbf {u} \right)_{p}=g(p)\left(\nabla _{\mathbf {x} }\mathbf {u} \right)_{p}+h(p)\left(\nabla _{\mathbf {y} }\mathbf {u} \right)_{p}}$$
2. ${\displaystyle \left(\nabla _{\mathbf {v} }\mathbf {u} \right)_{p}}$es aditivo en por lo tanto: ${\displaystyle \mathbf {u} }$ $${\displaystyle \left(\nabla _{\mathbf {v} }\left[\mathbf {u} +\mathbf {w} \right]\right)_{p}=\left(\nabla _{\mathbf {v} }\mathbf {u} \right)_{p}+\left(\nabla _{\mathbf {v} }\mathbf {w} \right)_{p}}$$
3. ${\displaystyle (\nabla _{\mathbf {v} }\mathbf {u} )_{p}}$obedece la regla del producto ; es decir, donde se define arriba, ${\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }f}$ $${\displaystyle \left(\nabla _{\mathbf {v} }\left[f\mathbf {u} \right]\right)_{p}=f(p)\left(\nabla _{\mathbf {v} }\mathbf {u} )_{p}+(\nabla _{\mathbf {v} }f\right)_{p}\mathbf {u} _{p}.}$$

Nótese que depende no sólo del valor de u en p sino también de los valores de u en un entorno infinitesimal de p debido a la última propiedad, la regla del producto. ${\displaystyle \left(\nabla _{\mathbf {v} }\mathbf {u} \right)_{p}}$

Si u y v son ambos campos vectoriales definidos sobre un dominio común, entonces denota el campo vectorial cuyo valor en cada punto p del dominio es el vector tangente . ${\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }\mathbf {u} }$ ${\displaystyle \left(\nabla _{\mathbf {v} }\mathbf {u} \right)_{p}}$

Campos covectoriales

Dado un cuerpo de covectores (o monoformas ) definido en un entorno de p , su derivada covariante se define de manera que la operación resultante sea compatible con la contracción tensorial y la regla del producto. Es decir, se define como la única monoforma en p tal que se satisface la siguiente identidad para todos los cuerpos vectoriales u en un entorno de p ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle (\nabla _{\mathbf {v} }\alpha )_{p}}$ ${\displaystyle (\nabla _{\mathbf {v} }\alpha )_{p}}$ $${\displaystyle \left(\nabla _{\mathbf {v} }\alpha \right)_{p}\left(\mathbf {u} _{p}\right)=\nabla _{\mathbf {v} }\left[\alpha \left(\mathbf {u} \right)\right]_{p}-\alpha _{p}\left[\left(\nabla _{\mathbf {v} }\mathbf {u} \right)_{p}\right].}$$

La derivada covariante de un campo covectorial a lo largo de un campo vectorial v es nuevamente un campo covectorial.

Campos tensoriales

Una vez definida la derivada covariante para campos de vectores y covectores, se puede definir para campos tensoriales arbitrarios imponiendo las siguientes identidades para cada par de campos tensoriales y en una vecindad del punto p : y para y de la misma valencia La derivada covariante de un campo tensorial a lo largo de un campo vectorial v es nuevamente un campo tensorial del mismo tipo. ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \psi }$ $${\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }\left(\varphi \otimes \psi \right)_{p}=\left(\nabla _{\mathbf {v} }\varphi \right)_{p}\otimes \psi (p)+\varphi (p)\otimes \left(\nabla _{\mathbf {v} }\psi \right)_{p},}$$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \psi }$ $${\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }(\varphi +\psi )_{p}=(\nabla _{\mathbf {v} }\varphi )_{p}+(\nabla _{\mathbf {v} }\psi )_{p}.}$$

Explícitamente, sea T un cuerpo tensorial de tipo ( p , q ) . Considérese T como una función multilineal diferenciable de secciones suaves α ¹ , α ² , ..., α ^q del fibrado cotangente T ^∗ M y de secciones X ₁ , X ₂ , ..., X _p del fibrado tangente TM , escrita T ( α ¹ , α ² , ..., X ₁ , X ₂ , ...) en R . La derivada covariante de T a lo largo de Y está dada por la fórmula

$${\displaystyle {\begin{aligned}(\nabla _{Y}T)\left(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,X_{1},X_{2},\ldots \right)=&{}\nabla _{Y}\left(T\left(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,X_{1},X_{2},\ldots \right)\right)\\&{}-T\left(\nabla _{Y}\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,X_{1},X_{2},\ldots \right)-T\left(\alpha _{1},\nabla _{Y}\alpha _{2},\ldots ,X_{1},X_{2},\ldots \right)-\cdots \\&{}-T\left(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\nabla _{Y}X_{1},X_{2},\ldots \right)-T\left(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,X_{1},\nabla _{Y}X_{2},\ldots \right)-\cdots \end{aligned}}}$$

Descripción de coordenadas

Dadas funciones de coordenadas, cualquier vector tangente puede describirse mediante sus componentes en la base. $${\displaystyle x^{i},\ i=0,1,2,\dots ,}$$ $${\displaystyle \mathbf {e} _{i}={\frac {\partial }{\partial x^{i}}}.}$$

La derivada covariante de un vector base a lo largo de un vector base es nuevamente un vector y, por lo tanto, se puede expresar como una combinación lineal . Para especificar la derivada covariante, es suficiente especificar la derivada covariante de cada campo de vectores base a lo largo de . ${\displaystyle \Gamma ^{k}\mathbf {e} _{k}}$ ${\displaystyle \mathbf {e} _{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {e} _{j}}$ $${\displaystyle \nabla _{\mathbf {e} _{j}}\mathbf {e} _{i}={\Gamma ^{k}}_{ij}\mathbf {e} _{k},}$$

Los coeficientes son los componentes de la conexión con respecto a un sistema de coordenadas locales. En la teoría de variedades riemannianas y pseudoriemannianas, los componentes de la conexión de Levi-Civita con respecto a un sistema de coordenadas locales se denominan símbolos de Christoffel . ${\displaystyle \Gamma _{ij}^{k}}$

Luego, utilizando las reglas de la definición, encontramos que para campos vectoriales generales y obtenemos ${\displaystyle \mathbf {v} =v^{j}\mathbf {e} _{j}}$ ${\displaystyle \mathbf {u} =u^{i}\mathbf {e} _{i}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla _{\mathbf {v} }\mathbf {u} &=\nabla _{v^{j}\mathbf {e} _{j}}u^{i}\mathbf {e} _{i}\\&=v^{j}\nabla _{\mathbf {e} _{j}}u^{i}\mathbf {e} _{i}\\&=v^{j}u^{i}\nabla _{\mathbf {e} _{j}}\mathbf {e} _{i}+v^{j}\mathbf {e} _{i}\nabla _{\mathbf {e} _{j}}u^{i}\\&=v^{j}u^{i}{\Gamma ^{k}}_{ij}\mathbf {e} _{k}+v^{j}{\partial u^{i} \over \partial x^{j}}\mathbf {e} _{i}\end{aligned}}}$$

entonces $${\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }\mathbf {u} =\left(v^{j}u^{i}{\Gamma ^{k}}_{ij}+v^{j}{\partial u^{k} \over \partial x^{j}}\right)\mathbf {e} _{k}.}$$

El primer término de esta fórmula es responsable de "torcer" el sistema de coordenadas con respecto a la derivada covariante y el segundo de los cambios de los componentes del campo vectorial u . En particular $${\displaystyle \nabla _{\mathbf {e} _{j}}\mathbf {u} =\nabla _{j}\mathbf {u} =\left({\frac {\partial u^{i}}{\partial x^{j}}}+u^{k}{\Gamma ^{i}}_{kj}\right)\mathbf {e} _{i}}$$

En palabras: la derivada covariante es la derivada habitual a lo largo de las coordenadas con términos de corrección que indican cómo cambian las coordenadas.

De manera similar para los covectores tenemos $${\displaystyle \nabla _{\mathbf {e} _{j}}{\mathbf {\theta } }=\left({\frac {\partial \theta _{i}}{\partial x^{j}}}-\theta _{k}{\Gamma ^{k}}_{ij}\right){\mathbf {e} ^{*}}^{i}}$$

dónde . ${\displaystyle {\mathbf {e} ^{*}}^{i}(\mathbf {e} _{j})={\delta ^{i}}_{j}}$

La derivada covariante de un campo tensorial de tipo ( r , s ) a lo largo de la ecuación (1) viene dada por la expresión: ${\displaystyle e_{c}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{(\nabla _{e_{c}}T)^{a_{1}\ldots a_{r}}}_{b_{1}\ldots b_{s}}={}&{\frac {\partial }{\partial x^{c}}}{T^{a_{1}\ldots a_{r}}}_{b_{1}\ldots b_{s}}\\&+\,{\Gamma ^{a_{1}}}_{dc}{T^{da_{2}\ldots a_{r}}}_{b_{1}\ldots b_{s}}+\cdots +{\Gamma ^{a_{r}}}_{dc}{T^{a_{1}\ldots a_{r-1}d}}_{b_{1}\ldots b_{s}}\\&-\,{\Gamma ^{d}}_{b_{1}c}{T^{a_{1}\ldots a_{r}}}_{db_{2}\ldots b_{s}}-\cdots -{\Gamma ^{d}}_{b_{s}c}{T^{a_{1}\ldots a_{r}}}_{b_{1}\ldots b_{s-1}d}.\end{aligned}}}$$

O, en palabras: tome la derivada parcial del tensor y agregue: para cada índice superior , y para cada índice inferior . ${\displaystyle +{\Gamma ^{a_{i}}}_{dc}}$ ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle -{\Gamma ^{d}}_{b_{i}c}}$ ${\displaystyle b_{i}}$

Si en lugar de un tensor, se intenta diferenciar una densidad de tensores (de peso +1), entonces se añade también un término Si se trata de una densidad de tensores de peso W , entonces se multiplica ese término por W . Por ejemplo, es una densidad escalar (de peso +1), por lo que obtenemos: $${\displaystyle -{\Gamma ^{d}}_{dc}{T^{a_{1}\ldots a_{r}}}_{b_{1}\ldots b_{s}}.}$$ ${\textstyle {\sqrt {-g}}}$ $${\displaystyle \left({\sqrt {-g}}\right)_{;c}=\left({\sqrt {-g}}\right)_{,c}-{\sqrt {-g}}\,{\Gamma ^{d}}_{dc}}$$

donde el punto y coma ";" indica diferenciación covariante y la coma "," indica diferenciación parcial. Por cierto, esta expresión particular es igual a cero, porque la derivada covariante de una función que depende únicamente de la métrica es siempre cero.

Notación

En los libros de texto de física, la derivada covariante a veces se expresa simplemente en términos de sus componentes en esta ecuación.

A menudo se utiliza una notación en la que la derivada covariante se da con un punto y coma , mientras que una derivada parcial normal se indica con una coma . En esta notación escribimos lo mismo como: En caso de que aparezcan dos o más índices después del punto y coma, todos ellos deben entenderse como derivadas covariantes: $${\displaystyle \nabla _{e_{j}}\mathbf {v} \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {v^{s}}_{;j}\mathbf {e} _{s}\;\;\;\;\;\;{v^{i}}_{;j}={v^{i}}_{,j}+v^{k}{\Gamma ^{i}}_{kj}}$$ $${\displaystyle \nabla _{e_{k}}\left(\nabla _{e_{j}}\mathbf {v} \right)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {v^{s}}_{;jk}\mathbf {e} _{s}}$$

En algunos textos más antiguos (en particular, Adler, Bazin y Schiffer, Introducción a la relatividad general ), la derivada covariante se denota mediante una barra doble y la derivada parcial mediante una barra simple: $${\displaystyle \nabla _{e_{j}}\mathbf {v} \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {v^{i}}_{||j}={v^{i}}_{|j}+v^{k}{\Gamma ^{i}}_{kj}}$$

Derivada covariante por tipo de campo

Para un campo escalar , la diferenciación covariante es simplemente una diferenciación parcial: ${\displaystyle \phi \,}$ $${\displaystyle \phi _{;a}\equiv \partial _{a}\phi }$$

Para un campo vectorial contravariante , tenemos: ${\displaystyle \lambda ^{a}}$ $${\displaystyle {\lambda ^{a}}_{;b}\equiv \partial _{b}\lambda ^{a}+{\Gamma ^{a}}_{bc}\lambda ^{c}}$$

Para un campo vectorial covariante , tenemos: ${\displaystyle \lambda _{a}}$ $${\displaystyle \lambda _{a;c}\equiv \partial _{c}\lambda _{a}-{\Gamma ^{b}}_{ca}\lambda _{b}}$$

Para un campo tensorial de tipo (2,0) , tenemos: ${\displaystyle \tau ^{ab}}$ $${\displaystyle {\tau ^{ab}}_{;c}\equiv \partial _{c}\tau ^{ab}+{\Gamma ^{a}}_{cd}\tau ^{db}+{\Gamma ^{b}}_{cd}\tau ^{ad}}$$

Para un campo tensorial de tipo (0,2) , tenemos: ${\displaystyle \tau _{ab}}$ $${\displaystyle \tau _{ab;c}\equiv \partial _{c}\tau _{ab}-{\Gamma ^{d}}_{ca}\tau _{db}-{\Gamma ^{d}}_{cb}\tau _{ad}}$$

Para un campo tensorial de tipo (1,1) , tenemos: ${\displaystyle {\tau ^{a}}_{b}}$ $${\displaystyle {\tau ^{a}}_{b;c}\equiv \partial _{c}{\tau ^{a}}_{b}+{\Gamma ^{a}}_{cd}{\tau ^{d}}_{b}-{\Gamma ^{d}}_{cb}{\tau ^{a}}_{d}}$$

La notación anterior se entiende en el sentido $${\displaystyle {\tau ^{ab}}_{;c}\equiv \left(\nabla _{\mathbf {e} _{c}}\tau \right)^{ab}}$$

Propiedades

En general, las derivadas covariantes no conmutan. Por ejemplo, las derivadas covariantes del campo vectorial . El tensor de Riemann se define de manera que: ${\displaystyle \lambda _{a;bc}\neq \lambda _{a;cb}}$ ${\displaystyle {R^{d}}_{abc}}$ $${\displaystyle \lambda _{a;bc}-\lambda _{a;cb}={R^{d}}_{abc}\lambda _{d}}$$

o, equivalentemente, $${\displaystyle {\lambda ^{a}}_{;bc}-{\lambda ^{a}}_{;cb}=-{R^{a}}_{dbc}\lambda ^{d}}$$

La derivada covariante de un campo tensorial (2,0) cumple: $${\displaystyle {\tau ^{ab}}_{;cd}-{\tau ^{ab}}_{;dc}=-{R^{a}}_{ecd}\tau ^{eb}-{R^{b}}_{ecd}\tau ^{ae}}$$

Esto último se puede demostrar tomando (sin pérdida de generalidad) que . ${\displaystyle \tau ^{ab}=\lambda ^{a}\mu ^{b}}$

Derivada a lo largo de una curva

Dado que la derivada covariante de un campo tensorial en un punto depende únicamente del valor del campo vectorial en , se puede definir la derivada covariante a lo largo de una curva suave en una variedad: Nótese que el campo tensorial solo necesita definirse en la curva para que esta definición tenga sentido. ${\displaystyle \nabla _{X}T}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \gamma (t)}$ $${\displaystyle D_{t}T=\nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}T.}$$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \gamma (t)}$

En particular, es un campo vectorial a lo largo de la curva misma. Si se anula, la curva se denomina geodésica de la derivada covariante. Si la derivada covariante es la conexión de Levi-Civita de una métrica definida positiva , entonces las geodésicas para la conexión son precisamente las geodésicas de la métrica que están parametrizadas por la longitud de arco . ${\displaystyle {\dot {\gamma }}(t)}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}{\dot {\gamma }}(t)}$

La derivada a lo largo de una curva también se utiliza para definir el transporte paralelo a lo largo de la curva.

A veces, la derivada covariante a lo largo de una curva se denomina derivada absoluta o intrínseca .

Relación con la derivada de Lie

Una derivada covariante introduce una estructura geométrica adicional en una variedad que permite comparar vectores en espacios tangentes vecinos: no existe una forma canónica de comparar vectores de diferentes espacios tangentes porque no existe un sistema de coordenadas canónico.

Sin embargo, existe otra generalización de las derivadas direccionales que es canónica: la derivada de Lie , que evalúa el cambio de un campo vectorial a lo largo del flujo de otro campo vectorial. Por lo tanto, uno debe conocer ambos campos vectoriales en un entorno abierto, no simplemente en un único punto. La derivada covariante, por otro lado, introduce su propio cambio para los vectores en una dirección dada, y solo depende de la dirección del vector en un único punto, en lugar de un campo vectorial en un entorno abierto de un punto. En otras palabras, la derivada covariante es lineal (sobre C ^∞ ( M ) ) en el argumento de la dirección, mientras que la derivada de Lie no es lineal en ninguno de los argumentos.

Nótese que la derivada covariante antisimetrizada ∇ _u v − ∇ _v u y la derivada de Lie L _u v difieren por la torsión de la conexión , de modo que si una conexión está libre de torsión, entonces su antisimetrización es la derivada de Lie.

Véase también

• Conexión afín
• Símbolos de Christoffel
• Conexión (marco algebraico)
• Conexión (matemáticas)
• Conexión (haz vectorial)
• Formulario de conexión
• Derivada covariante exterior
• Derivada covariante de calibre
• Introducción a las matemáticas de la relatividad general
• Conexión Levi-Civita
• Transporte paralelo
• Cálculo de Ricci
• Derivada tensorial (mecánica del medio continuo)
• Lista de fórmulas de la geometría de Riemann

Notas

1. Einstein, Albert (1922). "La teoría general de la relatividad". El significado de la relatividad.
2. Ricci, G.; Levi-Civita, T. (1901). "Métodos de cálculo diferencial absoluto y aplicaciones de lecturas". Annalen Matemáticas . 54 (1–2): 125–201. doi :10.1007/bf01454201. S2CID  120009332.
3. Riemann, GFB (1866). "Über die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen". Gesammelte Mathematische Werke .; reimpresión, ed. Weber, H. (1953), Nueva York: Dover.
4. Christoffel, EB (1869). "Über die Transformation der homogenen Differentialausdrücke zweiten Grades". Journal für die reine und angewandte Mathematik . 70 : 46–70.
5. cf. con Cartan, É (1923). "Sur les variétés à connexion affine et la theorie de la relativité généralisée". Annales, Escuela Normal . 40 : 325–412. doi : 10.24033/asens.751 .
6. Koszul, JL (1950). "Homología y cohomología de los álgebres de mentira". Boletín de la Sociedad Matemática . 78 : 65-127. doi : 10.24033/bsmf.1410 .
7. La derivada covariante también se denota de diversas formas: _v u , D _v u u u otras notaciones. ${\displaystyle \partial }$
8. En muchas aplicaciones, puede ser mejor no pensar en t como correspondiente al tiempo, al menos para aplicaciones de relatividad general . Se lo considera simplemente como un parámetro abstracto que varía de manera uniforme y monótona a lo largo de la trayectoria.

Referencias

• Kobayashi, Shoshichi ; Nomizu, Katsumi (1996). Fundamentos de geometría diferencial, vol. 1 (nueva edición). Wiley Interscience . ISBN 0-471-15733-3.
• I.Kh. Sabitov (2001) [1994], "Diferenciación covariante", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Sternberg, Shlomo (1964). Lecciones sobre geometría diferencial . Prentice-Hall.
• Spivak, Michael (1999). Introducción completa a la geometría diferencial (volumen dos) . Publish or Perish, Inc.