Variedad de Einstein

Variedad de Riemann que satisface las ecuaciones de Einstein del vacío

En geometría diferencial y física matemática , una variedad de Einstein es una variedad diferenciable riemanniana o pseudoriemanniana cuyo tensor de Ricci es proporcional a la métrica . Se llaman así en honor a Albert Einstein porque esta condición equivale a decir que la métrica es una solución de las ecuaciones de campo de Einstein del vacío (con constante cosmológica ), aunque tanto la dimensión como la signatura de la métrica pueden ser arbitrarias, por lo que no están restringidas a las variedades lorentzianas (incluidas las variedades lorentzianas de cuatro dimensiones estudiadas habitualmente en relatividad general ). Las variedades de Einstein en cuatro dimensiones euclidianas se estudian como instantones gravitacionales .

Si M es la variedad n -dimensional subyacente y g es su tensor métrico , la condición de Einstein significa que

${\displaystyle \mathrm {Ric} =kg}$

para alguna constante k , donde Ric denota el tensor de Ricci de g . Las variedades de Einstein con k = 0 se denominan variedades Ricci-planas .

La condición de Einstein y la ecuación de Einstein

En coordenadas locales la condición de que ( M , g ) sea una variedad de Einstein es simplemente

${\displaystyle R_{ab}=kg_{ab}.}$

Tomando la traza de ambos lados se revela que la constante de proporcionalidad k para las variedades de Einstein está relacionada con la curvatura escalar R por

${\displaystyle R=nk,}$

donde n es la dimensión de M .

En relatividad general , la ecuación de Einstein con una constante cosmológica Λ es

${\displaystyle R_{ab}-{\frac {1}{2}}g_{ab}R+g_{ab}\Lambda =\kappa T_{ab},}$

donde κ es la constante gravitacional de Einstein . ^[1] El tensor de tensión-energía T _ab proporciona el contenido de materia y energía del espacio-tiempo subyacente. En el vacío (una región del espacio-tiempo desprovista de materia) T _ab = 0 , y la ecuación de Einstein puede reescribirse en la forma (suponiendo que n > 2 ):

${\displaystyle R_{ab}={\frac {2\Lambda }{n-2}}\,g_{ab}.}$

Por lo tanto, las soluciones de vacío de la ecuación de Einstein son variedades de Einstein (Lorentzianas) con k proporcional a la constante cosmológica.

Ejemplos

Algunos ejemplos simples de variedades de Einstein incluyen:

• Todas las variedades 2D son variedades de Einstein triviales. Esto es resultado de que el tensor de Riemann tenga un solo grado de libertad.
• Cualquier variedad con curvatura seccional constante es una variedad de Einstein, en particular:
  • El espacio euclidiano , que es plano, es un ejemplo simple de métrica de Ricci-planar, de ahí la métrica de Einstein.
  • La n -esfera , , con la métrica redonda es Einstein con . ${\displaystyle S^{n}}$ ${\displaystyle k=n-1}$
  • El espacio hiperbólico con la métrica canónica es Einstein con . ${\displaystyle k=-(n-1)}$
• El espacio proyectivo complejo , , con la métrica de Fubini–Study , tiene ${\displaystyle \mathbf {CP} ^{n}}$ ${\displaystyle k=n+1.}$
• Las variedades de Calabi-Yau admiten una métrica de Einstein que también es Kähler , con constante de Einstein . Estas métricas no son únicas, sino que vienen en familias; hay una métrica de Calabi-Yau en cada clase de Kähler, y la métrica también depende de la elección de la estructura compleja. Por ejemplo, hay una familia de 60 parámetros de tales métricas en K3 , 57 parámetros de los cuales dan lugar a métricas de Einstein que no están relacionadas por isometrías o reescalamientos. ${\displaystyle k=0}$
• Las métricas de Kähler-Einstein existen en una variedad de variedades complejas compactas debido a los resultados de existencia de Shing-Tung Yau y al estudio posterior de la K-estabilidad, especialmente en el caso de las variedades de Fano .
• Una geometría de Einstein-Weyl es una generalización de una variedad de Einstein para una conexión de Weyl de una clase conforme, en lugar de la conexión de Levi-Civita de una métrica.

Una condición necesaria para que las 4-variedades cerradas y orientadas sean de Einstein es satisfacer la desigualdad de Hitchin-Thorpe .

Aplicaciones

Las variedades de Einstein de Riemann de cuatro dimensiones también son importantes en física matemática como instantones gravitacionales en las teorías cuánticas de la gravedad . El término "instantón gravitacional" se usa generalmente restringido a las 4-variedades de Einstein cuyo tensor de Weyl es autodual, y generalmente se supone que la métrica es asintótica a la métrica estándar del 4-espacio euclidiano (y por lo tanto son completas pero no compactas ). En geometría diferencial, las 4-variedades de Einstein autoduales también se conocen como variedades hiperkähler (de cuatro dimensiones) en el caso plano de Ricci, y variedades de Kähler de cuaternión en caso contrario.

Las variedades de Einstein de Lorentz de dimensiones superiores se utilizan en teorías modernas de la gravedad, como la teoría de cuerdas , la teoría M y la supergravedad . Las variedades de Kähler hiperkähler y cuaterniones (que son tipos especiales de variedades de Einstein) también tienen aplicaciones en física como espacios objetivo para modelos σ no lineales con supersimetría .

Las variedades compactas de Einstein han sido muy estudiadas en geometría diferencial y se conocen muchos ejemplos, aunque su construcción suele ser un desafío. Las variedades compactas de Ricci-planas son particularmente difíciles de encontrar: en la monografía sobre el tema del autor seudónimo Arthur Besse , a los lectores se les ofrece una comida en un restaurante con estrellas a cambio de un nuevo ejemplo. ^[2]

Véase también

• Fibrado vectorial de Einstein-Hermitiano

Notas y referencias

1. κ no debe confundirse con k .
2. Besse (1987, pág. 18)

• Besse, Arthur L. (1987). Variedades de Einstein . Clásicos de las matemáticas. Berlín: Springer. ISBN 3-540-74120-8.