En matemáticas , la firma ( v , p , r ) de un tensor métrico g (o equivalentemente, una forma cuadrática real considerada como una forma bilineal simétrica real en un espacio vectorial de dimensión finita ) es el número (contado con multiplicidad) de Valores propios positivos, negativos y cero de la matriz simétrica real g ab del tensor métrico con respecto a una base . En física relativista , v representa convencionalmente el número de dimensiones temporales o virtuales, y p el número de dimensiones espaciales o físicas. Alternativamente, se puede definir como las dimensiones de un subespacio máximo positivo y nulo . Según la ley de inercia de Sylvester, estos números no dependen de la elección de la base y, por tanto, pueden utilizarse para clasificar la métrica. La firma a menudo se denota mediante un par de números enteros ( v , p ) que implican r = 0, o como una lista explícita de signos de valores propios como (+, −, −, −) o (−, +, +, +) para las firmas (1, 3, 0) y (3, 1, 0) , respectivamente. [1]
Se dice que la firma es indefinida o mixta si tanto v como p son distintos de cero, y degenerada si r es distinto de cero. Una métrica de Riemann es una métrica con una firma definida positiva ( v , 0) . Una métrica de Lorentz es una métrica con firma ( p , 1) o (1, p ) .
Existe otra noción de firma de un tensor métrico no degenerado dada por un solo número s definido como ( v − p ) , donde v y p son como arriba, que es equivalente a la definición anterior cuando se da la dimensión n = v + p . o implícito. Por ejemplo, s = 1 − 3 = −2 para (+, −, −, −) y su reflejo s' = − s = +2 para (−, +, +, +) .
La firma de un tensor métrico se define como la firma de la forma cuadrática correspondiente . [2] Es el número ( v , p , r ) de valores propios positivos, negativos y cero de cualquier matriz (es decir, en cualquier base para el espacio vectorial subyacente) que representa la forma, contados con sus multiplicidades algebraicas . Generalmente, se requiere r = 0 , lo que es lo mismo que decir que un tensor métrico debe ser no degenerado, es decir, ningún vector distinto de cero es ortogonal a todos los vectores.
Según la ley de inercia de Sylvester, los números ( v , p , r ) son independientes de la base.
Según el teorema espectral, una matriz simétrica n × n sobre los reales siempre es diagonalizable y, por lo tanto, tiene exactamente n valores propios reales (contados con multiplicidad algebraica ). Por tanto, v + p = n = tenue( V ) .
Según la ley de inercia de Sylvester , la firma del producto escalar (también conocido como forma bilineal simétrica real), g , no depende de la elección de la base. Además, para cada métrica g de firma ( v , p , r ) existe una base tal que g ab = +1 para a = b = 1, ..., v , g ab = −1 para a = b = v + 1, ..., v + p y g ab = 0 en caso contrario. Se deduce que existe una isometría ( V 1 , g 1 ) → ( V 2 , g 2 ) si y sólo si las firmas de g 1 y g 2 son iguales. Asimismo la firma es igual para dos matrices congruentes y clasifica una matriz hasta su congruencia. De manera equivalente, la firma es constante en las órbitas del grupo lineal general GL( V ) en el espacio de tensores contravariantes simétricos de rango 2 S 2 V ∗ y clasifica cada órbita.
El número v (resp. p ) es la dimensión máxima de un subespacio vectorial en el que el producto escalar g es positivo-definido (resp. negativo-definido), y r es la dimensión del radical del producto escalar g o nulo subespacio de la matriz simétrica g ab del producto escalar . Por tanto, un producto escalar no degenerado tiene firma ( v , p , 0) , con v + p = n . Una dualidad de los casos especiales ( v , p , 0) corresponde a dos valores propios escalares que pueden transformarse entre sí mediante la duplicación recíproca.
La firma de la matriz identidad n × n es ( n , 0, 0) . La firma de una matriz diagonal es el número de números positivos, negativos y cero en su diagonal principal .
Las siguientes matrices tienen la misma firma (1, 1, 0) , por lo tanto son congruentes debido a la ley de inercia de Sylvester :
El producto escalar estándar definido en tiene firmas n -dimensionales ( v , p , r ) , donde v + p = n y rango r = 0 .
En física, el espacio de Minkowski es una variedad de espacio-tiempo con v = 1 y p = 3 bases, y tiene un producto escalar definido por la matriz:
que tiene firma y se conoce como supremacía espacial o similar al espacio; o la firma reflejada , conocida como supremacía virtual o similar al tiempo con la matriz.
Existen algunos métodos para calcular la firma de una matriz.
En matemáticas, la convención habitual para cualquier variedad de Riemann es utilizar un tensor métrico definido positivo (lo que significa que después de la diagonalización, todos los elementos de la diagonal son positivos).
En física teórica , el espacio-tiempo está modelado por una variedad pseudo-riemanniana . La firma cuenta cuántos caracteres temporales o espaciales hay en el espacio-tiempo, en el sentido definido por la relatividad especial : tal como se usa en física de partículas , la métrica tiene un valor propio en el subespacio temporal, y su valor propio reflejado en el subespacio espacial. En el caso específico de la métrica de Minkowski ,
la firma métrica es o (+, −, −, −) si su valor propio está definido en la dirección del tiempo, o o (−, +, +, +) si el valor propio está definido en las tres direcciones espaciales x , y y z . (A veces se utiliza la convención de signos opuesta , pero con la que se proporciona aquí, s mide directamente el tiempo adecuado ).
Si una métrica es regular en todas partes, entonces la firma de la métrica es constante. Sin embargo, si se permiten métricas que son degeneradas o discontinuas en algunas hipersuperficies, entonces la firma de la métrica puede cambiar en estas superficies. [3] Estas métricas de cambio de firma posiblemente puedan tener aplicaciones en cosmología y gravedad cuántica .
