Subir y bajar índices

En matemáticas y física matemática , subir y bajar índices son operaciones sobre tensores que cambian su tipo . Subir y bajar índices es una forma de manipulación de índices en expresiones tensoriales.

Vectores, covectores y la métrica

formulación matemática

Matemáticamente los vectores son elementos de un espacio vectorial sobre un campo , y para su uso en física se suele definir con o . Concretamente, si la dimensión de es finita, entonces, después de elegir la base , podemos ver espacios vectoriales como o . ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle K=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle n={\text{dim}}(V)}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

El espacio dual es el espacio de mapeo de funcionales lineales . Concretamente, en notación matricial, estos pueden considerarse como vectores de fila, que dan un número cuando se aplican a vectores de columna. Denotamos esto por , por lo que es un mapa lineal . ${\displaystyle V\rightarrow K}$ ${\displaystyle V^{*}:={\text{Hom}}(V,K)}$ ${\displaystyle \alpha \in V^{*}}$ ${\displaystyle \alpha :V\rightarrow K}$

Luego, bajo una elección de base , podemos ver los vectores como un vector con componentes (se considera por convención que los vectores tienen índices hacia arriba). Esto selecciona una elección de base para , definida por el conjunto de relaciones . ${\displaystyle \{e_{i}\}}$ ${\displaystyle v\in V}$ ${\displaystyle K^{n}}$ ${\displaystyle v^{i}}$ ${\displaystyle \{e^{i}\}}$ ${\displaystyle V^{*}}$ ${\displaystyle e^{i}(e_{j})=\delta _{j}^{i}}$

Para las aplicaciones, la subida y bajada se realiza utilizando una estructura conocida como tensor (pseudo) métrico (el 'pseudo-' se refiere al hecho de que permitimos que la métrica sea indefinida). Formalmente, esta es una forma bilineal simétrica y no degenerada.

${\displaystyle g:V\times V\rightarrow K{\text{ a bilinear form}}}$

${\displaystyle g(u,v)=g(v,u){\text{ for all }}u,v\in V{\text{ (Symmetric)}}}$

${\displaystyle \forall v\in V{\text{ s.t. }}v\neq {\vec {0}},\exists u\in V{\text{ such that }}g(v,u)\neq 0{\text{ (Non-degenerate)}}}$

En esta base, tiene componentes y puede verse como una matriz simétrica con estos componentes. La métrica inversa existe debido a la no degeneración y se denota , y como matriz es la inversa de . ${\displaystyle g(e_{i},e_{j})=g_{ij}}$ ${\displaystyle {\text{Mat}}_{n\times n}(K)}$ ${\displaystyle g^{ij}}$ ${\displaystyle g_{ij}}$

Subir y bajar vectores y covectores.

La subida y bajada se realiza entonces en coordenadas. Dado un vector con componentes , podemos contratar con la métrica para obtener un covector : ${\displaystyle v^{i}}$

${\displaystyle g_{ij}v^{j}=v_{i}}$

y esto es lo que queremos decir con bajar el índice. Por el contrario, al contraer un covector con la métrica inversa se obtiene un vector:

${\displaystyle g^{ij}\alpha _{j}=\alpha ^{i}.}$

Este proceso se llama elevar el índice.

Subir y luego bajar el mismo índice (o a la inversa) son operaciones inversas, lo que se refleja en que los tensores métricos y métricos inversos son inversos entre sí (como lo sugiere la terminología):

${\displaystyle g^{ij}g_{jk}=g_{kj}g^{ji}={\delta ^{i}}_{k}={\delta _{k}}^{i}}$

donde está el delta de Kronecker o matriz identidad . ${\displaystyle \delta _{j}^{i}}$

Los espacios vectoriales reales de dimensión finita con (pseudo)métricas se clasifican hasta la firma, una propiedad libre de coordenadas que está bien definida por la ley de inercia de Sylvester . Las posibles métricas sobre el espacio real están indexadas por firma . Esta es una métrica asociada al espacio real dimensional. La métrica tiene firma si existe una base (denominada base ortonormal ) tal que, en esta base, la métrica toma la forma con bases positivas y negativas. ${\displaystyle (p,q)}$ ${\displaystyle n=p+q}$ ${\displaystyle (p,q)}$ ${\displaystyle (g_{ij})={\text{diag}}(+1,\cdots ,+1,-1,\cdots ,-1)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$

El espacio concreto con elementos que son -vectores y se denota esta realización concreta de la métrica , donde la tupla 2 pretende dejar en claro que el espacio vectorial subyacente es : equipar este espacio vectorial con la métrica es lo que convierte el espacio en . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{p,q}=(\mathbb {R} ^{n},g_{ij})}$ ${\displaystyle (\mathbb {R} ^{n},g_{ij})}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{p,q}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle g_{ij}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{p,q}}$

Ejemplos:

• ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$es un modelo para el espacio tridimensional. La métrica es equivalente al producto escalar estándar .
• ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n,0}=\mathbb {R} ^{n}}$, equivalente al espacio real dimensional como espacio producto interno con . En el espacio euclidiano, no es necesario subir y bajar debido a que los componentes de los vectores y covectores son los mismos. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle g_{ij}=\delta _{ij}}$
• ${\displaystyle \mathbb {R} ^{1,3}}$es el espacio de Minkowski (o más bien, el espacio de Minkowski en una elección de base ortonormal), un modelo para el espacio-tiempo con curvatura débil. Es una convención común utilizar índices griegos al escribir expresiones que involucran tensores en el espacio de Minkowski, mientras que los índices latinos se reservan para el espacio euclidiano.

Las expresiones bien formuladas están limitadas por las reglas de la suma de Einstein : cualquier índice puede aparecer como máximo una vez y, además, un índice elevado debe contraerse con un índice reducido. Con estas reglas podemos ver inmediatamente que una expresión como

${\displaystyle g_{ij}v^{i}u^{j}}$

está bien formulado mientras

${\displaystyle g_{ij}v_{i}u_{j}}$

no es.

Ejemplo en el espacio-tiempo de Minkowski

La covariante de 4 posiciones está dada por

${\displaystyle X_{\mu }=(-ct,x,y,z)}$

con componentes:

${\displaystyle X_{0}=-ct,\quad X_{1}=x,\quad X_{2}=y,\quad X_{3}=z}$

(donde x , y , z son las coordenadas cartesianas habituales ) y el tensor métrico de Minkowski con firma métrica (− + + +) se define como

${\displaystyle \eta _{\mu \nu }=\eta ^{\mu \nu }={\begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}}$

en componentes:

${\displaystyle \eta _{00}=-1,\quad \eta _{i0}=\eta _{0i}=0,\quad \eta _{ij}=\delta _{ij}\,(i,j\neq 0).}$

Para elevar el índice, multiplica por el tensor y contrae:

${\displaystyle X^{\lambda }=\eta ^{\lambda \mu }X_{\mu }=\eta ^{\lambda 0}X_{0}+\eta ^{\lambda i}X_{i}}$

entonces para λ = 0 :

${\displaystyle X^{0}=\eta ^{00}X_{0}+\eta ^{0i}X_{i}=-X_{0}}$

y para λ = j = 1, 2, 3 :

${\displaystyle X^{j}=\eta ^{j0}X_{0}+\eta ^{ji}X_{i}=\delta ^{ji}X_{i}=X_{j}\,.}$

Entonces, la posición 4 contravariante elevada por índice es:

${\displaystyle X^{\mu }=(ct,x,y,z)\,.}$

Esta operación es equivalente a la multiplicación de matrices.

${\displaystyle {\begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-ct\\x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}ct\\x\\y\\z\end{pmatrix}}.}$

Dados dos vectores, y , podemos escribir su (pseudo)producto interno de dos maneras: ${\displaystyle X^{\mu }}$ ${\displaystyle Y^{\mu }}$

${\displaystyle \eta _{\mu \nu }X^{\mu }Y^{\nu }.}$

Al reducir los índices, podemos escribir esta expresión como

${\displaystyle X_{\mu }Y^{\mu }.}$

¿Qué es esto en notación matricial? La primera expresión se puede escribir como

${\displaystyle {\begin{pmatrix}X^{0}&X^{1}&X^{2}&X^{3}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}Y^{0}\\Y^{1}\\Y^{2}\\Y^{3}\end{pmatrix}}}$

mientras que el segundo es, tras bajar los índices de , ${\displaystyle X^{\mu }}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}-X^{0}&X^{1}&X^{2}&X^{3}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}Y^{0}\\Y^{1}\\Y^{2}\\Y^{3}\end{pmatrix}}.}$

Coordinar el formalismo libre.

Es instructivo considerar lo que significa subir y bajar en el contexto del álgebra lineal abstracta.

Primero fijamos las definiciones: es un espacio vectorial de dimensión finita sobre un campo . Normalmente o . ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

${\displaystyle \phi }$es una forma bilineal no degenerada, es decir, es una aplicación que es lineal en ambos argumentos, lo que la convierte en una forma bilineal. ${\displaystyle \phi :V\times V\rightarrow K}$

Por no degenerar queremos decir que para cada , existe un tal que ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle v\in V}$ ${\displaystyle u\in V}$

${\displaystyle \phi (v,u)\neq 0.}$

En aplicaciones concretas, a menudo se considera una estructura en el espacio vectorial, por ejemplo, un producto interno o, más generalmente, un tensor métrico al que se le permite tener una firma indefinida o una forma simpléctica . En conjunto, estos cubren los casos en los que es simétrico o antisimétrico, pero en general no es necesario que sea ninguno de estos casos. ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \phi }$

Hay un mapa de evaluación parcial asociado a , ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle \phi (\cdot ,-):V\rightarrow V^{*};v\mapsto \phi (v,\cdot )}$

donde denota un argumento que se va a evaluar y denota un argumento cuya evaluación se aplaza. Entonces es un elemento de , que envía . ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle -}$ ${\displaystyle \phi (v,\cdot )}$ ${\displaystyle V^{*}}$ ${\displaystyle u\mapsto \phi (v,u)}$

Tomamos la decisión de definir este mapa de evaluación parcial como evaluado según el primer argumento. También podríamos haberlo definido basándose en el segundo argumento, y la no degeneración también es independiente del argumento elegido. Además, cuando tiene (anti)simetría bien definida, evaluar cualquiera de los argumentos es equivalente (hasta un signo menos para antisimetría). ${\displaystyle \phi }$

La no degeneración muestra que el mapa de evaluación parcial es inyectivo o, de manera equivalente, que el núcleo del mapa es trivial. En dimensión finita, el espacio dual tiene la misma dimensión que , por lo que la no degeneración es suficiente para concluir que el mapa es un isomorfismo lineal. Si es una estructura en el espacio vectorial, a veces se le llama isomorfismo canónico . ${\displaystyle V^{*}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle V\rightarrow V^{*}}$

Tiene por tanto una inversa, y esto es suficiente para definir una forma bilineal asociada en el dual: ${\displaystyle \phi ^{-1}:V^{*}\rightarrow V,}$

${\displaystyle \phi ^{-1}:V^{*}\times V^{*}\rightarrow K,\phi ^{-1}(\alpha ,\beta )=\phi (\phi ^{-1}(\alpha ),\phi ^{-1}(\beta )).}$

donde el uso repetido de queda desambiguado por el argumento adoptado. Es decir, es el mapa inverso, mientras que es la forma bilineal. ${\displaystyle \phi ^{-1}}$ ${\displaystyle \phi ^{-1}(\alpha )}$ ${\displaystyle \phi ^{-1}(\alpha ,\beta )}$

Verificar estas expresiones en coordenadas hace evidente que esto es lo que significa subir y bajar índices de manera abstracta.

Tensores

No desarrollaremos inmediatamente el formalismo abstracto para tensores. Formalmente, un tensor es un objeto descrito a través de sus componentes y tiene componentes arriba y componentes abajo. Se escribe un tensor genérico. ${\displaystyle (r,s)}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle (r,s)}$

${\displaystyle T^{\mu _{1}\cdots \mu _{r}}{}_{\nu _{1}\cdots \nu _{s}}.}$

Podemos usar el tensor métrico para subir y bajar índices tensoriales tal como subimos y bajamos índices vectoriales y subimos índices covectores.

Ejemplos

• Un tensor (0,0) es un número en el campo . ${\displaystyle \mathbb {F} }$
• Un tensor (1,0) es un vector.
• Un tensor (0,1) es un covector.
• Un tensor (0,2) es una forma bilineal. Un ejemplo es el tensor métrico. ${\displaystyle g_{\mu \nu }.}$
• Un tensor (1,1) es un mapa lineal. Un ejemplo es el delta, que es el mapa de identidad, o una transformación de Lorentz. ${\displaystyle \delta ^{\mu }{}_{\nu }}$ ${\displaystyle \Lambda ^{\mu }{}_{\nu }.}$

Ejemplo de subida y bajada.

Para un tensor (0,2), ^[1] contraerse dos veces con el tensor métrico inverso y contraerse en diferentes índices aumenta cada índice:

${\displaystyle A^{\mu \nu }=g^{\mu \rho }g^{\nu \sigma }A_{\rho \sigma }.}$

De manera similar, contraerse dos veces con el tensor métrico y contraerse en diferentes índices reduce cada índice:

${\displaystyle A_{\mu \nu }=g_{\mu \rho }g_{\nu \sigma }A^{\rho \sigma }}$

Apliquemos esto a la teoría del electromagnetismo.

El tensor electromagnético contravariante en la firma (+ − − −) viene dado por ^[2]

${\displaystyle F^{\alpha \beta }={\begin{pmatrix}0&-{\frac {E_{x}}{c}}&-{\frac {E_{y}}{c}}&-{\frac {E_{z}}{c}}\\{\frac {E_{x}}{c}}&0&-B_{z}&B_{y}\\{\frac {E_{y}}{c}}&B_{z}&0&-B_{x}\\{\frac {E_{z}}{c}}&-B_{y}&B_{x}&0\end{pmatrix}}.}$

En componentes,

${\displaystyle F^{0i}=-F^{i0}=-{\frac {E^{i}}{c}},\quad F^{ij}=-\varepsilon ^{ijk}B_{k}}$

Para obtener el tensor covariante F _αβ , contraiga con el tensor métrico inverso:

${\displaystyle {\begin{aligned}F_{\alpha \beta }&=\eta _{\alpha \gamma }\eta _{\beta \delta }F^{\gamma \delta }\\&=\eta _{\alpha 0}\eta _{\beta 0}F^{00}+\eta _{\alpha i}\eta _{\beta 0}F^{i0}+\eta _{\alpha 0}\eta _{\beta i}F^{0i}+\eta _{\alpha i}\eta _{\beta j}F^{ij}\end{aligned}}}$

y dado que F ⁰⁰ = 0 y F ^{0 i} = − F ^{i 0} , esto se reduce a

${\displaystyle F_{\alpha \beta }=\left(\eta _{\alpha i}\eta _{\beta 0}-\eta _{\alpha 0}\eta _{\beta i}\right)F^{i0}+\eta _{\alpha i}\eta _{\beta j}F^{ij}}$

Ahora para α = 0 , β = k = 1, 2, 3 :

${\displaystyle {\begin{aligned}F_{0k}&=\left(\eta _{0i}\eta _{k0}-\eta _{00}\eta _{ki}\right)F^{i0}+\eta _{0i}\eta _{kj}F^{ij}\\&={\bigl (}0-(-\delta _{ki}){\bigr )}F^{i0}+0\\&=F^{k0}=-F^{0k}\\\end{aligned}}}$

y por antisimetría, para α = k = 1, 2, 3 , β = 0 :

${\displaystyle F_{k0}=-F^{k0}}$

luego finalmente para α = k = 1, 2, 3 , β = l = 1, 2, 3 ;

${\displaystyle {\begin{aligned}F_{kl}&=\left(\eta _{ki}\eta _{l0}-\eta _{k0}\eta _{li}\right)F^{i0}+\eta _{ki}\eta _{lj}F^{ij}\\&=0+\delta _{ki}\delta _{lj}F^{ij}\\&=F^{kl}\\\end{aligned}}}$

El tensor indexado inferior (covariante) es entonces:

${\displaystyle F_{\alpha \beta }={\begin{pmatrix}0&{\frac {E_{x}}{c}}&{\frac {E_{y}}{c}}&{\frac {E_{z}}{c}}\\-{\frac {E_{x}}{c}}&0&-B_{z}&B_{y}\\-{\frac {E_{y}}{c}}&B_{z}&0&-B_{x}\\-{\frac {E_{z}}{c}}&-B_{y}&B_{x}&0\end{pmatrix}}}$

Esta operación es equivalente a la multiplicación de matrices.

${\displaystyle {\begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&-{\frac {E_{x}}{c}}&-{\frac {E_{y}}{c}}&-{\frac {E_{z}}{c}}\\{\frac {E_{x}}{c}}&0&-B_{z}&B_{y}\\{\frac {E_{y}}{c}}&B_{z}&0&-B_{x}\\{\frac {E_{z}}{c}}&-B_{y}&B_{x}&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&{\frac {E_{x}}{c}}&{\frac {E_{y}}{c}}&{\frac {E_{z}}{c}}\\-{\frac {E_{x}}{c}}&0&-B_{z}&B_{y}\\-{\frac {E_{y}}{c}}&B_{z}&0&-B_{x}\\-{\frac {E_{z}}{c}}&-B_{y}&B_{x}&0\end{pmatrix}}.}$

rango general

Para un tensor de orden n , los índices se elevan mediante (compatible con lo anterior): ^[1]

${\displaystyle g^{j_{1}i_{1}}g^{j_{2}i_{2}}\cdots g^{j_{n}i_{n}}A_{i_{1}i_{2}\cdots i_{n}}=A^{j_{1}j_{2}\cdots j_{n}}}$

y rebajado por:

${\displaystyle g_{j_{1}i_{1}}g_{j_{2}i_{2}}\cdots g_{j_{n}i_{n}}A^{i_{1}i_{2}\cdots i_{n}}=A_{j_{1}j_{2}\cdots j_{n}}}$

y para un tensor mixto:

${\displaystyle g_{p_{1}i_{1}}g_{p_{2}i_{2}}\cdots g_{p_{n}i_{n}}g^{q_{1}j_{1}}g^{q_{2}j_{2}}\cdots g^{q_{m}j_{m}}{A^{i_{1}i_{2}\cdots i_{n}}}_{j_{1}j_{2}\cdots j_{m}}={A_{p_{1}p_{2}\cdots p_{n}}}^{q_{1}q_{2}\cdots q_{m}}}$

No necesitamos subir o bajar todos los índices a la vez: está perfectamente bien subir o bajar un solo índice. Reducir el índice de un tensor da un tensor, mientras que aumentar un índice da un (donde tenemos valores adecuados, por ejemplo, no podemos reducir el índice de un tensor). ${\displaystyle (r,s)}$ ${\displaystyle (r-1,s+1)}$ ${\displaystyle (r+1,s-1)}$ ${\displaystyle r,s}$ ${\displaystyle (0,2)}$

Ver también

• cálculo de ricci
• Notación de Einstein
• tensor métrico
• Isomorfismo musical
• Espacio dual § Productos bilineales y espacios duales

Referencias

1. Kay, DC (1988). Cálculo tensorial . Esquemas de Schaum. Nueva York: McGraw Hill. ISBN 0-07-033484-6.
2. NB: Algunos textos, como: Griffiths, David J. (1987). Introducción a las Partículas Elementales . Wiley, John & Sons, Inc. ISBN 0-471-60386-4., mostrará este tensor con un factor general de −1. Esto se debe a que utilizaron el negativo del tensor métrico utilizado aquí: (− + + +) , consulte la firma métrica . En textos más antiguos como el de Jackson (2.ª edición), no existen factores de c ya que utilizan unidades gaussianas . Aquí se utilizan unidades SI .