En matemáticas y matemáticas aplicadas , la teoría de la perturbación comprende métodos para encontrar una solución aproximada a un problema, partiendo de la solución exacta de un problema relacionado más simple. [1] [2] Una característica crítica de la técnica es un paso intermedio que divide el problema en partes "solucionables" y "perturbativas". [3] En la teoría de la perturbación, la solución se expresa como una serie de potencias en un parámetro pequeño . [1] [2] El primer término es la solución conocida al problema que tiene solución. Los términos sucesivos de la serie a potencias superiores de normalmente se vuelven más pequeños. Una 'solución de perturbación' aproximada se obtiene truncando la serie, normalmente manteniendo sólo los dos primeros términos, la solución al problema conocido y la corrección de perturbación de 'primer orden'.
La teoría de la perturbación se utiliza en una amplia gama de campos, y alcanza sus formas más sofisticadas y avanzadas en la teoría cuántica de campos . La teoría de la perturbación (mecánica cuántica) describe el uso de este método en la mecánica cuántica . El campo en general sigue siendo investigado de forma activa y exhaustiva en múltiples disciplinas.
La teoría de la perturbación desarrolla una expresión para la solución deseada en términos de una serie de potencias formal conocida como serie de perturbaciones en algún parámetro "pequeño", que cuantifica la desviación del problema exactamente resoluble. El término principal en esta serie de potencias es la solución del problema exactamente resoluble, mientras que otros términos describen la desviación en la solución, debido a la desviación del problema inicial. Formalmente, para la aproximación a la solución completa tenemos una serie en el parámetro pequeño (aquí llamado ε ), como la siguiente:
En este ejemplo, sería la solución conocida al problema inicial con solución exacta, y los términos representan los términos de primer orden , segundo orden , tercer orden y orden superior , que pueden encontrarse de forma iterativa mediante un proceso mecanicista pero cada vez más difícil. procedimiento. Para los pequeños, estos términos de orden superior en la serie generalmente (pero no siempre) se vuelven sucesivamente más pequeños. Una "solución perturbativa" aproximada se obtiene truncando la serie, a menudo manteniendo sólo los dos primeros términos, expresando la solución final como una suma de la solución inicial (exacta) y la corrección perturbativa de "primer orden".
Algunos autores utilizan la notación O grande para indicar el orden del error en la solución aproximada: [2]
Si la serie de potencias converge con un radio de convergencia distinto de cero, el problema de perturbación se denomina problema de perturbación regular . [1] En problemas de perturbaciones regulares, la solución asintótica se acerca suavemente a la solución exacta. [1] Sin embargo, la serie de perturbaciones también puede divergir, y la serie truncada aún puede ser una buena aproximación a la solución verdadera si se trunca en un punto en el que sus elementos son mínimos. Esto se llama serie asintótica . Si la serie de perturbaciones es divergente o no es una serie de potencias (por ejemplo, si la expansión asintótica debe incluir potencias no enteras o potencias negativas ), entonces el problema de perturbaciones se denomina problema de perturbaciones singulares . [1] Se han desarrollado muchas técnicas especiales en la teoría de la perturbación para analizar problemas de perturbaciones singulares. [1] [2]
El primer uso de lo que ahora se llamaría teoría de la perturbación fue para abordar los problemas matemáticos de la mecánica celeste que de otro modo serían irresolubles : por ejemplo, la órbita de la Luna , que se mueve notablemente diferente de una simple elipse kepleriana debido a la gravitación competitiva de la Tierra y la Tierra. el sol . [4]
Los métodos de perturbación comienzan con una forma simplificada del problema original, que es lo suficientemente simple como para resolverse exactamente. En mecánica celeste , suele ser una elipse kepleriana . Bajo la gravedad newtoniana , una elipse es exactamente correcta cuando sólo hay dos cuerpos gravitantes (por ejemplo, la Tierra y la Luna ), pero no del todo correcta cuando hay tres o más objetos (por ejemplo, la Tierra, la Luna , el Sol y el resto de los planetas). el Sistema Solar ) y no es del todo correcto cuando la interacción gravitacional se establece usando formulaciones de la relatividad general .
Teniendo en cuenta el ejemplo anterior, se sigue una receta general para obtener la serie de perturbaciones. La expansión perturbativa se crea agregando correcciones sucesivas al problema simplificado. Las correcciones se obtienen forzando la coherencia entre la solución no perturbada y las ecuaciones que describen el sistema en su totalidad. Escribe para esta colección de ecuaciones; es decir, deje que el símbolo represente el problema a resolver. Muy a menudo, se trata de ecuaciones diferenciales, de ahí la letra "D".
El proceso es generalmente mecánico, aunque laborioso. Se comienza escribiendo las ecuaciones de modo que se divida en dos partes: una colección de ecuaciones que se pueden resolver exactamente y una parte restante adicional para algunas pequeñas . La solución (a ) es conocida y se busca la solución general a .
A continuación se inserta la aproximación en . Esto da como resultado una ecuación para , que, en el caso general, se puede escribir en forma cerrada como una suma de integrales sobre . Por tanto, se ha obtenido la corrección de primer orden y, por tanto, es una buena aproximación a . Es una buena aproximación, precisamente porque las partes que se ignoraron eran de tamaño . Luego se puede repetir el proceso, para obtener correcciones , etcétera.
En la práctica, este proceso explota rápidamente en una profusión de términos, que resultan extremadamente difíciles de manejar manualmente. Se dice que Isaac Newton dijo, respecto al problema de la órbita de la Luna , que "me duele la cabeza". [5] Esta inmanejabilidad ha obligado a la teoría de la perturbación a convertirse en un gran arte de gestionar y escribir estos términos de orden superior. Uno de los avances fundamentales para controlar la expansión son los diagramas de Feynman , que permiten escribir esquemáticamente series de perturbaciones.
La teoría de la perturbación se ha utilizado en una gran cantidad de entornos diferentes en física y matemáticas aplicadas. Ejemplos de la "colección de ecuaciones" incluyen ecuaciones algebraicas , [6] ecuaciones diferenciales (por ejemplo, las ecuaciones de movimiento [7] y comúnmente ecuaciones de ondas ), energía libre termodinámica en mecánica estadística , transferencia radiativa, [8] y operadores hamiltonianos en mecánica cuántica .
Ejemplos de los tipos de soluciones que se encuentran perturbativamente incluyen la solución de la ecuación de movimiento ( p. ej. , la trayectoria de una partícula), el promedio estadístico de alguna cantidad física ( p. ej ., magnetización promedio), la energía del estado fundamental de una mecánica cuántica. problema.
Ejemplos de problemas exactamente solucionables que pueden usarse como puntos de partida incluyen ecuaciones lineales , incluidas ecuaciones lineales de movimiento ( oscilador armónico , ecuación de onda lineal ), sistemas estadísticos o mecánicos cuánticos de partículas que no interactúan (o, en general, hamiltonianos o energías libres). que contiene sólo términos cuadráticos en todos los grados de libertad).
Ejemplos de sistemas que se pueden resolver con perturbaciones incluyen sistemas con contribuciones no lineales a las ecuaciones de movimiento, interacciones entre partículas, términos de potencias superiores en el hamiltoniano/energía libre.
Para problemas físicos que involucran interacciones entre partículas, los términos de la serie de perturbaciones se pueden mostrar (y manipular) usando diagramas de Feynman .
La teoría de la perturbación se ideó por primera vez para resolver problemas que de otro modo serían intratables en el cálculo de los movimientos de los planetas en el sistema solar. Por ejemplo, la ley de gravitación universal de Newton explicaba la gravitación entre dos cuerpos astronómicos, pero cuando se agrega un tercer cuerpo, el problema era: "¿Cómo atrae cada cuerpo a cada uno?" La ecuación de Newton sólo permitía analizar la masa de dos cuerpos. La precisión cada vez mayor de las observaciones astronómicas condujo a demandas incrementales en la precisión de las soluciones de las ecuaciones gravitacionales de Newton, lo que llevó a varios matemáticos notables de los siglos XVIII y XIX, como Lagrange y Laplace , a ampliar y generalizar los métodos de la teoría de la perturbación.
Estos métodos de perturbación bien desarrollados fueron adoptados y adaptados para resolver nuevos problemas que surgieron durante el desarrollo de la mecánica cuántica en la física atómica y subatómica del siglo XX. Paul Dirac desarrolló la teoría de la perturbación cuántica en 1927 para evaluar cuándo se emitiría una partícula en elementos radiactivos. Más tarde se la denominó regla de oro de Fermi . [9] [10] La teoría de la perturbación en mecánica cuántica es bastante accesible, ya que la notación cuántica permite escribir expresiones en una forma bastante compacta, haciéndolas más fáciles de comprender. Esto dio lugar a una explosión de aplicaciones, que van desde el efecto Zeeman hasta la división hiperfina en el átomo de hidrógeno .
A pesar de la notación más simple, la teoría de la perturbación aplicada a la teoría cuántica de campos todavía se sale de control fácilmente. Richard Feynman desarrolló los célebres diagramas de Feynman observando que muchos términos se repiten de forma regular. Estos términos pueden ser reemplazados por puntos, líneas, garabatos y marcas similares, cada una de las cuales representa un término, un denominador, una integral, etc.; por tanto, las integrales complejas se pueden escribir como diagramas simples, sin ninguna ambigüedad en cuanto a lo que significan. La correspondencia uno a uno entre los diagramas y las integrales específicas es lo que les da su poder. Aunque originalmente se desarrolló para la teoría cuántica de campos, resulta que la técnica esquemática es ampliamente aplicable a todas las series perturbativas (aunque, quizás, no siempre sea tan útil).
En la segunda mitad del siglo XX, a medida que se desarrolló la teoría del caos , quedó claro que los sistemas no perturbados eran en general sistemas completamente integrables , mientras que los sistemas perturbados no lo eran. Esto condujo rápidamente al estudio de "sistemas casi integrables", de los cuales el toro KAM es el ejemplo canónico. Al mismo tiempo, también se descubrió que muchos sistemas no lineales (bastante especiales) , a los que antes sólo se podía acceder mediante la teoría de perturbaciones, son en realidad completamente integrables. Este descubrimiento fue bastante dramático, ya que permitió dar soluciones exactas. Esto, a su vez, ayudó a aclarar el significado de la serie perturbativa, ya que ahora se podían comparar los resultados de la serie con las soluciones exactas.
La mejor comprensión de los sistemas dinámicos proveniente de la teoría del caos ayudó a arrojar luz sobre lo que se denominó el problema del pequeño denominador o problema del pequeño divisor . Se observó en el siglo XIX (por Poincaré ), y quizás antes, que a veces los términos de segundo orden y superiores en la serie perturbativa tienen "pequeños denominadores". Es decir, tienen la forma general donde , y son algunas expresiones complicadas pertinentes al problema a resolver, y y son números reales; muy a menudo son la energía de los modos normales . El problema del divisor pequeño surge cuando la diferencia es pequeña, lo que hace que la corrección perturbativa explote y se vuelva tan grande o tal vez más grande que el término de orden cero. Esta situación señala una ruptura de la teoría de la perturbación: deja de funcionar en este punto y no puede ampliarse ni resumirse más. En términos formales, la serie perturbativa es una serie asintótica : una aproximación útil para unos pocos términos, pero en última instancia inexacta. El avance de la teoría del caos fue una explicación de por qué sucedió esto: los pequeños divisores ocurren siempre que se aplica la teoría de la perturbación a un sistema caótico. Uno señala la presencia del otro.
Dado que los planetas están muy alejados unos de otros, y dado que su masa es pequeña en comparación con la masa del Sol, las fuerzas gravitacionales entre los planetas pueden despreciarse y se considera que el movimiento planetario, en una primera aproximación, tiene lugar a lo largo de las órbitas de Kepler, que están definidas por las ecuaciones del problema de los dos cuerpos , siendo los dos cuerpos el planeta y el Sol. [11]
Dado que los datos astronómicos llegaron a conocerse con mucha mayor precisión, se hizo necesario considerar cómo el movimiento de un planeta alrededor del Sol se ve afectado por otros planetas. Éste fue el origen del problema de los tres cuerpos ; por tanto, al estudiar el sistema Luna-Tierra-Sol, se eligió como parámetro pequeño la relación de masas entre la Luna y la Tierra. Lagrange y Laplace fueron los primeros en proponer la opinión de que las constantes que describen el movimiento de un planeta alrededor del Sol están "perturbadas", por así decirlo, por el movimiento de otros planetas y varían en función del tiempo; de ahí el nombre de "teoría de la perturbación". [11]
La teoría de la perturbación fue investigada por los eruditos clásicos ( Laplace , Poisson , Gauss ), como resultado de lo cual los cálculos pudieron realizarse con una precisión muy alta. El descubrimiento del planeta Neptuno en 1848 por Urbain Le Verrier , basado en las desviaciones del movimiento del planeta Urano (envió las coordenadas a Johann Gottfried Galle , quien observó con éxito a Neptuno a través de su telescopio), representó un triunfo de la teoría de la perturbación. [11]
La exposición estándar de la teoría de la perturbación se da en términos del orden en que se lleva a cabo la perturbación: teoría de la perturbación de primer orden o teoría de la perturbación de segundo orden, y si los estados perturbados son degenerados, lo que requiere una perturbación singular . En el caso singular se debe tener especial cuidado y la teoría es un poco más elaborada.
Muchos de los métodos ab initio de la química cuántica utilizan la teoría de la perturbación directamente o son métodos estrechamente relacionados. La teoría de perturbaciones implícitas [12] trabaja con el hamiltoniano completo desde el principio y nunca especifica un operador de perturbaciones como tal. La teoría de la perturbación de Møller-Plesset utiliza la diferencia entre el hamiltoniano de Hartree-Fock y el hamiltoniano no relativista exacto como perturbación. La energía de orden cero es la suma de las energías orbitales. La energía de primer orden es la energía de Hartree-Fock y la correlación electrónica se incluye en el segundo orden o superior. Los cálculos de segundo, tercer o cuarto orden son muy comunes y el código está incluido en la mayoría de programas ab initio de química cuántica . Un método relacionado pero más preciso es el método de conglomerados acoplados .
Un cruce de capas (sc) ocurre en la teoría de la perturbación cuando las trayectorias de la materia se cruzan, formando una singularidad . [13] Esto limita el poder predictivo de las simulaciones físicas a pequeña escala.
