En matemáticas , la estabilidad estructural es una propiedad fundamental de un sistema dinámico , lo que significa que el comportamiento cualitativo de las trayectorias no se ve afectado por pequeñas perturbaciones (para ser exactos C 1 -pequeñas perturbaciones).
Ejemplos de tales propiedades cualitativas son el número de puntos fijos y las órbitas periódicas (pero no sus períodos). A diferencia de la estabilidad de Lyapunov , que considera perturbaciones de las condiciones iniciales de un sistema fijo, la estabilidad estructural se ocupa de perturbaciones del propio sistema. Las variantes de esta noción se aplican a sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias , campos vectoriales en variedades suaves y flujos generados por ellos, y difeomorfismos .
Los sistemas estructuralmente estables fueron introducidos por Aleksandr Andronov y Lev Pontryagin en 1937 con el nombre de "systèmes grossiers", o sistemas aproximados . Anunciaron una caracterización de los sistemas aproximados en el avión, el criterio de Andronov-Pontryagin . En este caso, los sistemas estructuralmente estables son típicos , forman un conjunto abierto y denso en el espacio de todos los sistemas dotados de una topología adecuada. En dimensiones superiores, esto ya no es cierto, lo que indica que la dinámica típica puede ser muy compleja (cf. atractor extraño ). Una clase importante de sistemas estructuralmente estables en dimensiones arbitrarias está dada por los difeomorfismos y flujos de Anosov . Durante finales de los años 1950 y principios de los años 1960, Maurício Peixoto y Marília Chaves Peixoto , motivados por el trabajo de Andronov y Pontryagin, desarrollaron y demostraron el teorema de Peixoto , la primera caracterización global de la estabilidad estructural. [1]
Sea G un dominio abierto en R n con cierre compacto y límite dimensional ( n −1) suave . Considere el espacio X 1 ( G ) que consta de restricciones a G de campos vectoriales C 1 en R n que son transversales al límite de G y están orientados hacia adentro. Este espacio está dotado de la métrica C 1 de la forma habitual. Un campo vectorial F ∈ X 1 ( G ) es débilmente estable estructuralmente si para cualquier perturbación suficientemente pequeña F 1 , los flujos correspondientes son topológicamente equivalentes en G : existe un homeomorfismo h : G → G que transforma las trayectorias orientadas de F en trayectorias orientadas de F 1 . Si, además, para cualquier ε > 0, el homeomorfismo h puede elegirse para que sea C 0 ε -cercano al mapa de identidad cuando F 1 pertenece a una vecindad adecuada de F dependiendo de ε , entonces F se llama (fuertemente) estructuralmente estable . Estas definiciones se extienden de forma sencilla al caso de variedades lisas compactas de n dimensiones con límite. Andronov y Pontryagin originalmente lo consideraban una propiedad fuerte. Se pueden dar definiciones análogas para difeomorfismos en lugar de campos y flujos vectoriales: en este contexto, el homeomorfismo h debe ser una conjugación topológica .
Es importante señalar que la equivalencia topológica se realiza con una pérdida de suavidad: el mapa h no puede, en general, ser un difeomorfismo. Además, aunque la equivalencia topológica respeta las trayectorias orientadas, a diferencia de la conjugación topológica, no es compatible en el tiempo. Por lo tanto, la noción relevante de equivalencia topológica es un debilitamiento considerable de la ingenua conjugación C 1 de campos vectoriales. Sin estas restricciones, ningún sistema de tiempo continuo con puntos fijos u órbitas periódicas podría haber sido estructuralmente estable. Los sistemas débilmente estructuralmente estables forman un conjunto abierto en X 1 ( G ), pero se desconoce si la misma propiedad se cumple en el caso fuerte.
Las condiciones necesarias y suficientes para la estabilidad estructural de los campos vectoriales C 1 en el disco unitario D que son transversales al límite y en las dos esferas S 2 se han determinado en el artículo fundacional de Andronov y Pontryagin. Según el criterio de Andronov-Pontryagin , tales campos son estructuralmente estables si y sólo si tienen sólo un número finito de puntos singulares ( estados de equilibrio ) y trayectorias periódicas ( ciclos límite ), que son todos no degenerados (hiperbólicos) y no tienen Conexiones silla a silla. Además, el conjunto no errante del sistema es precisamente la unión de puntos singulares y órbitas periódicas. En particular, los campos vectoriales estructuralmente estables en dos dimensiones no pueden tener trayectorias homoclínicas , lo que complica enormemente la dinámica, como descubrió Henri Poincaré .
La estabilidad estructural de campos vectoriales suaves no singulares en el toro se puede investigar utilizando la teoría desarrollada por Poincaré y Arnaud Denjoy . Utilizando el mapa de recurrencia de Poincaré , la cuestión se reduce a determinar la estabilidad estructural de los difeomorfismos del círculo . Como consecuencia del teorema de Denjoy , una orientación que preserva el difeomorfismo C 2 ƒ del círculo es estructuralmente estable si y sólo si su número de rotación es racional, ρ ( ƒ ) = p / q , y las trayectorias periódicas, todas las cuales tienen período q. , no son degenerados: el jacobiano de ƒ q en los puntos periódicos es diferente de 1, ver mapa circular .
Dmitri Anosov descubrió que los automorfismos hiperbólicos del toroide, como el mapa del gato de Arnold , son estructuralmente estables. Luego generalizó esta afirmación a una clase más amplia de sistemas, que desde entonces se han denominado difeomorfismos de Anosov y flujos de Anosov. Un ejemplo célebre del flujo de Anosov lo da el flujo geodésico sobre una superficie de curvatura negativa constante, cf. Billar Hadamard .
La estabilidad estructural del sistema proporciona una justificación para aplicar la teoría cualitativa de los sistemas dinámicos al análisis de sistemas físicos concretos. La idea de tal análisis cualitativo se remonta al trabajo de Henri Poincaré sobre el problema de los tres cuerpos en la mecánica celeste . Casi al mismo tiempo, Aleksandr Lyapunov investigó rigurosamente la estabilidad de pequeñas perturbaciones de un sistema individual. En la práctica, la ley de evolución del sistema (es decir, las ecuaciones diferenciales) nunca se conoce exactamente, debido a la presencia de varias interacciones pequeñas. Por lo tanto, es crucial saber que las características básicas de la dinámica son las mismas para cualquier pequeña perturbación del sistema "modelo", cuya evolución se rige por una determinada ley física conocida. El análisis cualitativo fue desarrollado aún más por George Birkhoff en la década de 1920, pero se formalizó por primera vez con la introducción del concepto de sistema aproximado por parte de Andronov y Pontryagin en 1937. Esto se aplicó inmediatamente al análisis de sistemas físicos con oscilaciones por Andronov, Witt y Khaikin. El término "estabilidad estructural" se debe a Solomon Lefschetz , quien supervisó la traducción de su monografía al inglés. Stephen Smale y su escuela retomaron las ideas de estabilidad estructural en la década de 1960 en el contexto de la dinámica hiperbólica. Anteriormente, Marston Morse y Hassler Whitney iniciaron y René Thom desarrolló una teoría paralela de estabilidad para mapas diferenciables, que forma una parte clave de la teoría de la singularidad . Thom previó aplicaciones de esta teoría a los sistemas biológicos. Tanto Smale como Thom trabajaron en contacto directo con Maurício Peixoto, quien desarrolló el teorema de Peixoto a finales de los años cincuenta.
Cuando Smale comenzó a desarrollar la teoría de los sistemas dinámicos hiperbólicos, esperaba que los sistemas estructuralmente estables fueran "típicos". Esto habría sido consistente con la situación en dimensiones bajas: dimensión dos para flujos y dimensión uno para difeomorfismos. Sin embargo, pronto encontró ejemplos de campos vectoriales en variedades de dimensiones superiores que no pueden hacerse estructuralmente estables mediante una perturbación arbitrariamente pequeña (tales ejemplos se construyeron más tarde en variedades de dimensión tres). Esto significa que en dimensiones superiores, los sistemas estructuralmente estables no son densos . Además, un sistema estructuralmente estable puede tener trayectorias homoclínicas transversales de órbitas cerradas en silla de montar hiperbólicas e infinitas órbitas periódicas, aunque el espacio de fase sea compacto. El análogo más cercano de dimensiones superiores de los sistemas estructuralmente estables considerados por Andronov y Pontryagin lo dan los sistemas Morse-Smale .