Límite (topología)

Todos los puntos que no forman parte del interior de un subconjunto de un espacio topológico.

Un conjunto (en azul claro) y su límite (en azul oscuro).

En topología y matemáticas en general, el límite de un subconjunto S de un espacio topológico X es el conjunto de puntos en el cierre de S que no pertenecen al interior de S. Un elemento de la frontera de S se llama punto límite de S. El término operación de límites se refiere a encontrar o tomar el límite de un conjunto. Las notaciones utilizadas para el límite de un conjunto S incluyen y . ${\displaystyle \operatorname {bd} (S),\operatorname {fr} (S),}$ ${\displaystyle \partial S}$

Algunos autores (por ejemplo Willard, en General Topology ) utilizan el término frontera en lugar de límite en un intento de evitar confusiones con una definición diferente utilizada en la topología algebraica y la teoría de variedades . A pesar de la aceptación generalizada del significado de los términos límite y frontera, en ocasiones se han utilizado para referirse a otros conjuntos. Por ejemplo, Metric Spaces de ET Copson utiliza el término límite para referirse a la frontera de Hausdorff , que se define como la intersección de un conjunto con su frontera. ^[1] Hausdorff también introdujo el término residuo , que se define como la intersección de un conjunto con el cierre de la frontera de su complemento. ^[2]

Definiciones

Existen varias definiciones equivalentes para el límite de un subconjunto de un espacio topológico que se denotará por o simplemente si se entiende: ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \partial _{X}S,}$ ${\displaystyle \operatorname {Bd} _{X}S,}$ ${\displaystyle \partial S}$ ${\displaystyle X}$

1. Es el cierre de menos el interior de en : ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$
   $${\displaystyle \partial S~:=~{\overline {S}}\setminus \operatorname {int} _{X}S}$$
   donde denota el cierre de in y denota el interior topológico de in ${\displaystyle {\overline {S}}=\operatorname {cl} _{X}S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {int} _{X}S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X.}$
2. Es la intersección del cierre de con el cierre de su complemento : ${\displaystyle S}$
   $${\displaystyle \partial S~:=~{\overline {S}}\cap {\overline {(X\setminus S)}}}$$
3. Es el conjunto de puntos tal que cada vecindad de contiene al menos un punto de y al menos un punto que no es de : ${\displaystyle p\in X}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$
   $${\displaystyle \partial S~:=~\{p\in X:{\text{ for every neighborhood }}O{\text{ of }}p,\ O\cap S\neq \varnothing \,{\text{ and }}\,O\cap (X\setminus S)\neq \varnothing \}.}$$

Un punto límite de un conjunto es cualquier elemento del límite de ese conjunto. El límite definido anteriormente a veces se denomina límite topológico del conjunto para distinguirlo de otras nociones con nombres similares, como el límite de una variedad con límite o el límite de una variedad con esquinas , por nombrar solo algunos ejemplos. ${\displaystyle \partial _{X}S}$

Una componente conexa de la frontera de S se llama componente de la frontera de S.

Propiedades

La clausura de un conjunto es igual a la unión del conjunto con su frontera: ${\displaystyle S}$

$${\displaystyle {\overline {S}}=S\cup \partial _{X}S}$$

cierrecerrado^[3] ${\displaystyle {\overline {S}}=\operatorname {cl} _{X}S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle \partial _{X}S~:=~{\overline {S}}\cap {\overline {(X\setminus S)}},}$ ${\displaystyle \partial _{X}S}$ ${\displaystyle X.}$

("Tricotomía")Dado cualquier subconjunto, cada punto de se encuentra exactamente en uno de los tres conjuntos y se dice de manera diferente, ${\displaystyle S\subseteq X,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {int} _{X}S,\partial _{X}S,}$ ${\displaystyle \operatorname {int} _{X}(X\setminus S).}$

$${\displaystyle X~=~\left(\operatorname {int} _{X}S\right)\;\cup \;\left(\partial _{X}S\right)\;\cup \;\left(\operatorname {int} _{X}(X\setminus S)\right)}$$

disjuntos por pares^{[nota 1]}partición ${\displaystyle X.}$

Un punto es un punto límite de un conjunto si y sólo si cada vecindad de contiene al menos un punto en el conjunto y al menos un punto fuera del conjunto. Tanto el límite del interior de un conjunto como el límite del cierre de un conjunto están contenidos en el límite del conjunto. ${\displaystyle p\in X}$ ${\displaystyle p}$

Diagrama de Venn conceptual que muestra las relaciones entre diferentes puntos de un subconjunto de = conjunto de puntos límite del conjunto de puntos límite del área sombreado en verde = conjunto de puntos interiores del área sombreado en amarillo = conjunto de puntos aislados de áreas sombreadas en negro = conjuntos vacíos. Todo punto de es un punto interior o un punto límite. Además, cada punto de es un punto de acumulación o un punto aislado. Asimismo, cada punto límite de es un punto de acumulación o un punto aislado. Los puntos aislados son siempre puntos límite. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle B=}$ ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$

Ejemplos

Caracterizaciones y ejemplos generales.

Un conjunto y su complemento tienen la misma frontera:

$${\displaystyle \partial _{X}S=\partial _{X}(X\setminus S).}$$

Un conjunto es un subconjunto denso y abierto de si y sólo si ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \partial _{X}U=X\setminus U.}$

El interior de la frontera de un conjunto cerrado está vacío. ^{[prueba 1]} En consecuencia, el interior del límite de la clausura de un conjunto está vacío. El interior de la frontera de un conjunto abierto también está vacío. ^{[prueba 2]} En consecuencia, el interior del límite del interior de un conjunto está vacío. En particular, si es un subconjunto cerrado o abierto de entonces no existe ningún subconjunto no vacío tal que sea abierto en Este hecho es importante para la definición y el uso de subconjuntos densos en ninguna parte , subconjuntos escasos y espacios de Baire . ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U\subseteq \partial _{X}S}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X.}$

Un conjunto es el límite de algún conjunto abierto si y sólo si es cerrado y en ningún lugar denso . El límite de un conjunto está vacío si y sólo si el conjunto es cerrado y abierto (es decir, un conjunto abierto ).

Ejemplos concretos

Límite de los componentes hiperbólicos del conjunto de Mandelbrot

Considere la recta real con la topología habitual (es decir, la topología cuyos conjuntos de bases son intervalos abiertos ) y el subconjunto de números racionales (cuyo interior topológico está vacío). Entonces ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

• ${\displaystyle \partial (0,5)=\partial [0,5)=\partial (0,5]=\partial [0,5]=\{0,5\}}$
• ${\displaystyle \partial \varnothing =\varnothing }$
• ${\displaystyle \partial \mathbb {Q} =\mathbb {R} }$
• ${\displaystyle \partial (\mathbb {Q} \cap [0,1])=[0,1]}$

Estos dos últimos ejemplos ilustran el hecho de que el límite de un conjunto denso con interior vacío es su cierre. También muestran que es posible que el límite de un subconjunto contenga un subconjunto abierto no vacío de ; es decir, que el interior de in no esté vacío. Sin embargo, el límite de un subconjunto cerrado siempre tiene un interior vacío. ${\displaystyle \partial S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X:=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle \partial S}$ ${\displaystyle X}$

En el espacio de números racionales con la topología habitual (la topología subespacial de ), el límite de donde es irracional, está vacío. ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle (-\infty ,a),}$ ${\displaystyle a}$

El límite de un conjunto es una noción topológica y puede cambiar si se cambia la topología. Por ejemplo, dada la topología habitual, el límite de un disco cerrado es el círculo circundante del disco: si el disco se considera un conjunto con su propia topología habitual, es decir, entonces el límite del disco es el disco mismo: si el disco se ve como su propio espacio topológico (con la topología subespacial de ), entonces el límite del disco está vacío. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2},}$ ${\displaystyle \Omega =\left\{(x,y):x^{2}+y^{2}\leq 1\right\}}$ ${\displaystyle \partial \Omega =\left\{(x,y):x^{2}+y^{2}=1\right\}.}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \Omega =\left\{(x,y,0):x^{2}+y^{2}\leq 1\right\},}$ ${\displaystyle \partial \Omega =\Omega .}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

Límite de una bola abierta versus su esfera circundante

Este ejemplo demuestra que el límite topológico de una bola abierta de radio no es necesariamente igual a la correspondiente esfera de radio (centrada en el mismo punto); también muestra que el cierre de una bola de radio abierta no es necesariamente igual al de la bola de radio cerrada (nuevamente centrada en el mismo punto). Denotemos la métrica euclidiana habitual por ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

$${\displaystyle d((a,b),(x,y)):={\sqrt {(x-a)^{2}+(y-b)^{2}}}}$$

topología euclidiana ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle X\subseteq \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle Y:=\{0\}\times \mathbb {R} }$

$${\displaystyle S^{1}:=\left\{p\in \mathbb {R} ^{2}:d(p,\mathbf {0} )=1\right\}=\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:x^{2}+y^{2}=1\right\}}$$

subespacio topológicoespacio métricoespacio métrico completo conectado por caminosconectado localmente por caminos ${\displaystyle \mathbf {0} :=(0,0)\in \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle X:=Y\cup S^{1},}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle d.}$ ${\displaystyle Y,S^{1},Y\cap S^{1}=\{(0,\pm 1)\},}$ ${\displaystyle \{0\}\times [-1,1]}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle \mathbf {0} =(0,0)}$ ${\displaystyle (X,d)}$ ${\displaystyle (\mathbb {R} ^{2},d)}$

Denota la bola abierta de radio en by de modo que cuando entonces ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle (X,d)}$ ${\displaystyle B_{r}:=\left\{p\in X:d(p,\mathbf {0} )<r\right\}}$ ${\displaystyle r=1}$

$${\displaystyle B_{1}=\{0\}\times (-1,1)}$$

${\displaystyle y}$ ${\displaystyle y=-1}$ ${\displaystyle y=1.}$ ${\displaystyle (X,d)}$ ${\displaystyle r=1}$

$${\displaystyle \left\{p\in X:d(p,\mathbf {0} )=1\right\}=S^{1}}$$

${\displaystyle (X,d)}$

$${\displaystyle \left\{p\in X:d(p,\mathbf {0} )\leq 1\right\}=S^{1}\cup \left(\{0\}\times [-1,1]\right).}$$

Sin embargo, el límite topológico y el cierre topológico de la bola unitaria abierta son: ${\displaystyle \partial _{X}B_{1}}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}B_{1}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B_{1}}$

$${\displaystyle \partial _{X}B_{1}=\{(0,1),(0,-1)\}\quad {\text{ and }}\quad \operatorname {cl} _{X}B_{1}~=~B_{1}\cup \partial _{X}B_{1}~=~B_{1}\cup \{(0,1),(0,-1)\}~=~\{0\}\times [-1,1].}$$

propio ${\displaystyle \partial _{X}B_{1}=\{(0,1),(0,-1)\}}$ ${\displaystyle \left\{p\in X:d(p,\mathbf {0} )=1\right\}=S^{1}}$ ${\displaystyle (X,d).}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}B_{1}=B_{1}\cup \{(0,1),(0,-1)\}}$ ${\displaystyle \left\{p\in X:d(p,\mathbf {0} )\leq 1\right\}=S^{1}\cup \left(\{0\}\times [-1,1]\right)}$ ${\displaystyle (X,d).}$ ${\displaystyle (1,0)\in X,}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}B_{1}}$ ${\displaystyle B_{1}=\{0\}\times (-1,1)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{0\}\times [-1,1]}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}B_{1}.}$ ${\displaystyle B_{1}}$ ${\displaystyle B_{1}}$ ${\displaystyle \partial _{X}B_{1}}$ ${\displaystyle \{0\}\times [-1,1].}$

En cualquier espacio métrico el límite topológico de una bola abierta de radio centrada en un punto es siempre un subconjunto de la esfera de radio centrada en ese mismo punto ; eso es, ${\displaystyle (M,\rho ),}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle c\in M}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle c}$

$${\displaystyle \partial _{M}\left(\left\{m\in M:\rho (m,c)<r\right\}\right)~\subseteq ~\left\{m\in M:\rho (m,c)=r\right\}}$$

Además, la esfera unitaria en contiene un subconjunto abierto de ^{[prueba 3].} Esto muestra, en particular, que la esfera unitaria en contiene un subconjunto abierto no vacío de ${\displaystyle (X,d)}$ ${\displaystyle X\setminus Y=S^{1}\setminus \{(0,\pm 1)\},}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle \left\{p\in X:d(p,\mathbf {0} )=1\right\}}$ ${\displaystyle (X,d)}$ ${\displaystyle X.}$

Límite de un límite

Para cualquier conjunto , donde denota el superconjunto con igualdad si y solo si el límite de no tiene puntos interiores, lo cual será el caso, por ejemplo, si está cerrado o abierto. Dado que la frontera de un conjunto es cerrada, para cualquier conjunto, el operador de frontera satisface un tipo de idempotencia debilitado . ${\displaystyle S,\partial S\supseteq \partial \partial S,}$ ${\displaystyle \,\supseteq \,}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \partial \partial S=\partial \partial \partial S}$ ${\displaystyle S.}$

Al discutir los límites de variedades o simplex y sus complejos simpliciales , a menudo uno se encuentra con la afirmación de que el límite del límite siempre está vacío. De hecho, la construcción de la homología singular descansa críticamente en este hecho. La explicación de la aparente incongruencia es que el límite topológico (el tema de este artículo) es un concepto ligeramente diferente del límite de una variedad o de un complejo simplicial. Por ejemplo, el límite de un disco abierto visto como una variedad está vacío, al igual que su límite topológico visto como un subconjunto de sí mismo, mientras que su límite topológico visto como un subconjunto del plano real es el círculo que rodea el disco. Por el contrario, el límite de un disco cerrado visto como una variedad es el círculo delimitador, al igual que su límite topológico visto como un subconjunto del plano real, mientras que su límite topológico visto como un subconjunto de sí mismo está vacío. En particular, el límite topológico depende del espacio ambiental, mientras que el límite de una variedad es invariante.

Ver también

• Consulte la discusión sobre el límite en la variedad topológica para obtener más detalles.
• Límite de una variedad  : espacio topológico que se asemeja localmente al espacio euclidianoPages displaying short descriptions of redirect targets
• Punto límite  : concepto matemático relacionado con subconjuntos de espacios vectoriales
• Cierre (topología)  : todos los puntos y puntos límite en un subconjunto de un espacio topológico
• Exterior (topología) : el conjunto abierto más grande disjunto de un conjunto determinado
• Interior (topología)  : subconjunto abierto más grande de un conjunto determinado
• Conjunto denso en ninguna parte  : conjunto matemático cuyo cierre tiene un interior vacío
• Teorema de densidad de Lebesgue , para la caracterización teórica de la medida y las propiedades de la frontera
• Superficie (topología)  : variedad bidimensional

Notas

1. La condición de que estos conjuntos no estén vacíos es necesaria porque, por definición, se requiere que los conjuntos en una partición no estén vacíos.

1. Sea un subconjunto cerrado de tal que y por lo tanto también If es un subconjunto abierto de tal que entonces (porque ) de modo que (porque por definición , es el subconjunto abierto más grande de contenido en ). Pero implica que Así es simultáneamente un subconjunto y un conjunto disjunto de lo cual sólo es posible si QED ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\overline {S}}=S}$ ${\displaystyle \partial _{X}S:={\overline {S}}\setminus \operatorname {int} _{X}S=S\setminus \operatorname {int} _{X}S.}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U\subseteq \partial _{X}S}$ ${\displaystyle U\subseteq S}$ ${\displaystyle \partial _{X}S\subseteq S}$ ${\displaystyle U\subseteq \operatorname {int} _{X}S}$ ${\displaystyle \operatorname {int} _{X}S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle U\subseteq \partial _{X}S=S\setminus \operatorname {int} _{X}S}$ ${\displaystyle U\cap \operatorname {int} _{X}S=\varnothing .}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \operatorname {int} _{X}S}$ ${\displaystyle \operatorname {int} _{X}S,}$ ${\displaystyle U=\varnothing .}$
2. Sea un subconjunto abierto de de manera que Deje que lo que implica que Si luego elija de modo que Porque es una vecindad abierta de en y la definición del cierre topológico implica lo que es una contradicción. Alternativamente, si está abierto en entonces está cerrado de modo que usando la fórmula general y el hecho de que el interior del límite de un conjunto cerrado (como ) está vacío, se deduce que ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \partial _{X}S:={\overline {S}}\setminus \operatorname {int} _{X}S={\overline {S}}\setminus S.}$ ${\displaystyle U:=\operatorname {int} _{X}\left(\partial _{X}S\right)}$ ${\displaystyle U=\operatorname {int} _{X}\left(\partial _{X}S\right)\subseteq \partial _{X}S={\overline {S}}\setminus S,}$ ${\displaystyle U\cap S=\varnothing .}$ ${\displaystyle U\neq \varnothing }$ ${\displaystyle u\in U,}$ ${\displaystyle u\in U\subseteq \partial _{X}S\subseteq {\overline {S}}.}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle u\in {\overline {S}},}$ ${\displaystyle {\overline {S}}}$ ${\displaystyle U\cap S\neq \varnothing ,}$ ${\displaystyle \blacksquare }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X\setminus S}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \partial _{X}S=\partial _{X}(X\setminus S)}$ ${\displaystyle X\setminus S}$ ${\displaystyle \operatorname {int} _{X}\partial _{X}S=\operatorname {int} _{X}\partial _{X}(X\setminus S)=\varnothing .}$ ${\displaystyle \blacksquare }$
3. El eje está cerrado porque es producto de dos subconjuntos cerrados de En consecuencia, es un subconjunto abierto de Debido a que la topología subespacial inducida por la intersección es un subconjunto abierto de ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle Y=\{0\}\times \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\setminus Y}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2},}$ ${\displaystyle X\cap \left(\mathbb {R} ^{2}\setminus Y\right)=X\setminus Y}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle \blacksquare }$

Citas

1. Hausdorff, Félix (1914). Grundzüge der Mengenlehre. Leipzig: Veit. pag. 214.ISBN​ 978-0-8284-0061-9.Reimpreso por Chelsea en 1949.
2. Hausdorff, Félix (1914). Grundzüge der Mengenlehre. Leipzig: Veit. pag. 281.ISBN​ 978-0-8284-0061-9.Reimpreso por Chelsea en 1949.
3. Mendelson, Bert (1990) [1975]. Introducción a la topología (Tercera ed.). Dover. pag. 86.ISBN​ 0-486-66352-3. Corolario 4.15 Para cada subconjunto es cerrado. ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle \operatorname {Bdry} (A)}$

Referencias

• Munkres, JR (2000). Topología . Prentice Hall. ISBN 0-13-181629-2.
• Willard, S. (1970). Topología general . Addison-Wesley. ISBN 0-201-08707-3.
• van den Dries, L. (1998). Topología domesticada . ISBN 978-0521598385.