Conjunto magro

Subconjunto "pequeño" de un espacio topológico

En el campo matemático de la topología general , un conjunto exiguo (también llamado conjunto exiguo o conjunto de primera categoría ) es un subconjunto de un espacio topológico que es pequeño o despreciable en un sentido preciso que se detalla a continuación. Un conjunto que no es exiguo se denomina no exiguo o de segunda categoría . Consulte a continuación las definiciones de otros términos relacionados.

Los subconjuntos magros de un espacio fijo forman un σ-ideal de subconjuntos; es decir, cualquier subconjunto de un conjunto magro es magro, y la unión de un número contable de conjuntos magros es magra.

Los conjuntos magros desempeñan un papel importante en la formulación de la noción de espacio de Baire y del teorema de la categoría de Baire , que se utiliza en la prueba de varios resultados fundamentales del análisis funcional .

Definiciones

En todo momento será un espacio topológico . ${\displaystyle X}$

La definición de conjunto exiguo utiliza la noción de un subconjunto denso en ninguna parte de , es decir, un subconjunto de cuyo cierre tiene interior vacío . Véase el artículo correspondiente para más detalles. ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X}$

Un subconjunto de se llama ${\displaystyle X}$magro en ${\displaystyle X,}$ unsubconjunto magro de ${\displaystyle X,}$o delprimera categoría en ${\displaystyle X}$si es una unión contable desubconjuntosdensos en ninguna parte.^[1]De lo contrario, el subconjunto se llama ${\displaystyle X}$no magro en ${\displaystyle X,}$ unsubconjunto no exiguo de ${\displaystyle X,}$o delsegunda categoría en ${\displaystyle X.}$^[1] El calificador "en" se puede omitir si el espacio ambiental es fijo y se entiende a partir del contexto. ${\displaystyle X}$

Un espacio topológico se llamamagro (respectivamente,no magro ) si es un subconjunto magro (respectivamente, no magro) de sí mismo.

Un subconjunto de se llama ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$Comeagre en ${\displaystyle X,}$oresidual en ${\displaystyle X,}$si sucomplemento es magro en. (Este uso del prefijo "co" es coherente con su uso en otros términos como "cofinito".) Un subconjunto es comeagre ensi y solo si es igual a unaintersecciónde conjuntos, cada uno de cuyos interiores es denso en ${\displaystyle X\setminus A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

Observaciones sobre la terminología

No deben confundirse las nociones de no exiguo y comeagre. Si el espacio es exiguo, todo subconjunto es exiguo y comeagre, y no hay conjuntos no exiguos. Si el espacio es no exiguo, ningún conjunto es exiguo y comeagre al mismo tiempo, todo conjunto comeagre es no exiguo, y puede haber conjuntos no exiguos que no sean comeagre, es decir, con complemento no exiguo. Véase la sección de Ejemplos a continuación. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Como punto adicional de terminología, si a un subconjunto de un espacio topológico se le da la topología de subespacio inducida a partir de , se puede hablar de que es un espacio magro, es decir, que es un subconjunto magro de sí mismo (cuando se lo considera como un espacio topológico por derecho propio). En este caso también se puede llamar un subespacio magro de , es decir, un espacio magro cuando se le da la topología del subespacio. Es importante destacar que esto no es lo mismo que ser magro en todo el espacio . (Véase las secciones Propiedades y Ejemplos a continuación para la relación entre los dos). De forma similar, un subespacio no magro será un conjunto que es no magro en sí mismo, lo que no es lo mismo que ser no magro en todo el espacio. Sin embargo, tenga en cuenta que en el contexto de los espacios vectoriales topológicos algunos autores pueden utilizar la frase "subespacio magro/no magro" para referirse a un subespacio vectorial que es un conjunto magro/no magro en relación con todo el espacio. ^[2] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Los términos primera categoría y segunda categoría fueron los originales utilizados por René Baire en su tesis de 1899. ^[3] La exigua terminología fue introducida por Bourbaki en 1948. ^{[4] [5]}

Ejemplos

El conjunto vacío es siempre un subconjunto cerrado, denso en ninguna parte (y, por lo tanto, magro) de cada espacio topológico.

En el espacio no magro el conjunto es magro. El conjunto es no magro y comeagre. ${\displaystyle X=[0,1]\cup ([2,3]\cap \mathbb {Q} )}$ ${\displaystyle [2,3]\cap \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle [0,1]}$

En el espacio no magro el conjunto es no magro, pero no es comeagre, ya que su complemento también es no magro. ${\displaystyle X=[0,2]}$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle (1,2]}$

Un espacio T 1 numerable sin punto aislado es magro. Por lo tanto, también es magro en cualquier espacio que lo contenga como subespacio. Por ejemplo, es a la vez un subespacio magro de (es decir, magro en sí mismo con la topología de subespacio inducida a partir de ) y un subconjunto magro de ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$

El conjunto de Cantor no es denso en ningún sentido y, por lo tanto, es magro en . Pero no es magro en sí mismo, ya que es un espacio métrico completo . ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$

El conjunto no es denso en ningún punto en , pero es magro en . No es magro en sí mismo (ya que como subespacio contiene un punto aislado). ${\displaystyle ([0,1]\cap \mathbb {Q} )\cup \{2\}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

La recta es magra en el plano , pero es un subespacio no magro, es decir, no es magra en sí misma. ${\displaystyle \mathbb {R} \times \{0\}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}.}$

El conjunto es un subconjunto magro de aunque su subconjunto magro es un subespacio no magro ( es decir, no es un espacio topológico magro). ^[6] Un espacio de Hausdorff contable sin puntos aislados es magro, mientras que cualquier espacio topológico que contenga un punto aislado es no magro. ^[6] Debido a que los números racionales son contables, son magros como subconjunto de los reales y como espacio, es decir, no forman un espacio de Baire . ${\displaystyle S=(\mathbb {Q} \times \mathbb {Q} )\cup (\mathbb {R} \times \{0\})}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} \times \{0\}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Cualquier espacio topológico que contenga un punto aislado es no magro ^[6] (porque ningún conjunto que contenga el punto aislado puede ser denso en ninguna parte). En particular, todo espacio discreto no vacío es no magro.

Existe un subconjunto de los números reales que divide cada conjunto abierto no vacío en dos conjuntos no exiguos. Es decir, para cada conjunto abierto no vacío , los conjuntos y son ambos no exiguos. ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} }$ ${\displaystyle U\cap H}$ ${\displaystyle U\setminus H}$

En el espacio de funciones continuas de valor real en con la topología de convergencia uniforme , el conjunto de funciones continuas de valor real en que tienen una derivada en algún punto es magro. ^{[7] [8]} Como es un espacio métrico completo, es no magro. Por lo tanto, el complemento de , que consiste en las funciones continuas de valor real en ningún punto diferenciables en es comeagre y no magro. En particular, ese conjunto no está vacío. Esta es una forma de mostrar la existencia de funciones continuas de valor real en ningún punto diferenciables. ${\displaystyle C([0,1])}$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle C([0,1])}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle [0,1],}$

En un espacio de Banach de dimensión infinita, existe un funcional lineal discontinuo cuyo núcleo es no magro. ^[9] Además, según el axioma de Martin , en cada espacio de Banach separable, existe un funcional lineal discontinuo cuyo núcleo es magro (esta afirmación refuta la conjetura de Wilansky-Klee ^[10] ). ^[9]

Caracterizaciones y condiciones suficientes

Todo espacio de Baire no vacío es no magro. En particular, según el teorema de la categoría de Baire, todo espacio métrico completo no vacío y todo espacio de Hausdorff localmente compacto no vacío es no magro.

Todo espacio de Baire no vacío es no magro, pero existen espacios no magros que no son espacios de Baire. ^[6] Dado que los espacios métricos (pseudo) completos , así como los espacios localmente compactos de Hausdorff , son espacios de Baire , también son espacios no magros. ^[6]

Cualquier subconjunto de un conjunto exiguo es un conjunto exiguo, como lo es la unión de un número contable de conjuntos exiguos. ^[11] Si es un homeomorfismo , entonces un subconjunto es exiguo si y solo si es exiguo. ^[11] ${\displaystyle h:X\to X}$ ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle h(S)}$

Todo subconjunto denso en ninguna parte es un conjunto magro. ^[11] En consecuencia, cualquier subconjunto cerrado de cuyo interior en esté vacío es de la primera categoría de (es decir, es un subconjunto magro de ). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

ElEl teorema de la categoría de Banach ^[12]establece que en cualquier espaciola unión de cualquier familia de conjuntos abiertos de la primera categoría es de la primera categoría. ${\displaystyle X,}$

Todos los subconjuntos y todas las uniones numerables de conjuntos magros son magros. Por lo tanto, los subconjuntos magros de un espacio fijo forman un σ-ideal de subconjuntos, una noción adecuada de conjunto despreciable . Dualmente, todos los superconjuntos y todas las intersecciones numerables de conjuntos comeagre son comeagre. Todo superconjunto de un conjunto no magro es no magro.

Supongamos que la topología del subespacio inducida a partir de El conjunto puede ser escaso en sin ser escaso en Sin embargo, se cumplen los siguientes resultados: ^[5] ${\displaystyle A\subseteq Y\subseteq X,}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y.}$

• Si es magro en entonces es magro en ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X.}$
• Si está abierto en entonces es magro en si y sólo si es magro en ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X.}$
• Si es denso en entonces es magro en si y sólo si es magro en ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X.}$

Y correspondientemente para conjuntos no magros:

• Si no es magro en entonces no es magro en ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle Y.}$
• Si es abierto en entonces es no magro en si y sólo si es no magro en ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X.}$
• Si es denso en entonces es no magro en si y sólo si es no magro en ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X.}$

En particular, cada subconjunto de que es magro en sí mismo es magro en Cada subconjunto de que es no magro en es no magro en sí mismo. Y para un conjunto abierto o un conjunto denso en ser magro en es equivalente a ser magro en sí mismo, y lo mismo para la propiedad no magro. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X}$

Un espacio topológico no es magro si y sólo si cada intersección contable de conjuntos abiertos densos en no está vacía. ^[13] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Propiedades

Un espacio vectorial topológico localmente convexo no magro es un espacio en forma de barril . ^[6]

Todo subconjunto denso en ninguna parte de es magro. En consecuencia, cualquier subconjunto cerrado con interior vacío es magro. Por lo tanto, un subconjunto cerrado de que es de la segunda categoría en debe tener interior no vacío en ^[14] (porque de lo contrario no sería denso en ninguna parte y, por lo tanto, de la primera categoría). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Si es de la segunda categoría en y si son subconjuntos de tales que entonces al menos uno es de la segunda categoría en ${\displaystyle B\subseteq X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S_{1},S_{2},\ldots }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B\subseteq S_{1}\cup S_{2}\cup \cdots }$ ${\displaystyle S_{n}}$ ${\displaystyle X.}$

Subconjuntos magros y medida de Lebesgue

No existen en ninguna parte subconjuntos densos (que son, por tanto, subconjuntos magros) que tengan una medida de Lebesgue positiva . ^[6]

Un conjunto exiguo no necesita tener medida de Lebesgue cero, e incluso puede tener medida completa. Por ejemplo, en el intervalo fat los conjuntos de Cantor , como el conjunto de Smith-Volterra-Cantor , no son cerrados en ningún punto densos y pueden construirse con una medida arbitrariamente cercana a La unión de un número contable de tales conjuntos con medida cercana da un subconjunto exiguo de con medida ^[15] ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle 1.}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle 1.}$

Dualmente, pueden existir conjuntos no magros con medida cero. El complemento de cualquier conjunto magro de medida en (por ejemplo el del párrafo anterior) tiene medida y es comeagre en y por lo tanto no magro en puesto que es un espacio de Baire. ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle [0,1],}$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle [0,1]}$

He aquí otro ejemplo de un conjunto no magro con medida : donde es una secuencia que enumera los números racionales. ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle 0}$ $${\displaystyle \bigcap _{m=1}^{\infty }\bigcup _{n=1}^{\infty }\left(r_{n}-\left({\tfrac {1}{2}}\right)^{n+m},r_{n}+\left({\tfrac {1}{2}}\right)^{n+m}\right)}$$ ${\displaystyle r_{1},r_{2},\ldots }$

Relación con la jerarquía de Borel

Así como un subconjunto denso en ninguna parte no necesita ser cerrado, sino que siempre está contenido en un subconjunto denso en ninguna parte cerrado (es decir, su clausura), un conjunto exiguo no necesita ser un conjunto (unión contable de conjuntos cerrados), sino que siempre está contenido en un conjunto hecho de conjuntos densos en ninguna parte (tomando la clausura de cada conjunto). ${\displaystyle F_{\sigma }}$ ${\displaystyle F_{\sigma }}$

Dualmente, así como el complemento de un conjunto denso en ninguna parte no necesita ser abierto, sino que tiene un interior denso (contiene un conjunto abierto denso), un conjunto comeagre no necesita ser un conjunto (intersección contable de conjuntos abiertos ), sino que contiene un conjunto denso formado a partir de conjuntos abiertos densos. ${\displaystyle G_{\delta }}$ ${\displaystyle G_{\delta }}$

Juego de Banach-Mazur

Los conjuntos magros tienen una caracterización alternativa útil en términos del juego de Banach-Mazur . Sea un espacio topológico, sea una familia de subconjuntos de que tienen interiores no vacíos tales que cada conjunto abierto no vacío tiene un subconjunto perteneciente a y sea cualquier subconjunto de Entonces hay un juego de Banach-Mazur En el juego de Banach-Mazur, dos jugadores, y eligen alternativamente elementos sucesivamente más pequeños de para producir una secuencia El jugador gana si la intersección de esta secuencia contiene un punto en ; de lo contrario, el jugador gana. ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {W}}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {W}},}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle MZ(X,Y,{\mathcal {W}}).}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q,}$ ${\displaystyle {\mathcal {W}}}$ ${\displaystyle W_{1}\supseteq W_{2}\supseteq W_{3}\supseteq \cdots .}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Q}$

Teorema  :  Para cualquier cumplimiento de los criterios anteriores, el jugador tiene una estrategia ganadora si y solo si es magro. ${\displaystyle {\mathcal {W}}}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle X}$

La dualidad Erdos-Sierpinski

Muchos argumentos sobre conjuntos magros también se aplican a conjuntos nulos , es decir, conjuntos de medida de Lebesgue 0. El teorema de dualidad de Erdos-Sierpinski establece que si se cumple la hipótesis del continuo , hay una involución de reales a reales donde la imagen de un conjunto nulo de reales es un conjunto magro, y viceversa. ^[16] De hecho, la imagen de un conjunto de reales bajo la función es nula si y solo si el conjunto original era magro, y viceversa. ^[17]

Véase también

• Espacio en barril  : tipo de espacio vectorial topológico
• Propiedad genérica  : propiedad que se mantiene para ejemplos típicos, para análogos a los residuales.
• Conjunto despreciable  – Conjunto matemático considerado insignificante, para análogos escasos.
• Propiedad de Baire  – Diferencia de un conjunto abierto por un conjunto magro

Notas

1. Narici y Beckenstein 2011, pag. 389.
2. Schaefer, Helmut H. (1966). "Espacios vectoriales topológicos". Macmillan.
3. Baire, René (1899). "Sobre las funciones de variables reales". Annali di Mat. Pura ed Appl . 3: 1–123., página 65
4. Oxtoby, J. (1961). «Productos cartesianos de los espacios de Baire» (PDF) . Fundamentos Mathematicae . 49 (2): 157–166. doi :10.4064/fm-49-2-157-166."Siguiendo a Bourbaki [...], un espacio topológico se llama espacio de Baire si..."
5. Bourbaki 1989, pág. 192.
6. Narici y Beckenstein 2011, págs.
7. Banach, S. (1931). "Über die Baire'sche Kategorie gewisser Funktionenmengen". Estudia Matemáticas. 3 (1): 174-179. doi : 10.4064/sm-3-1-174-179 .
8. Willard 2004, Teorema 25.5.
9. https://mathoverflow.net/questions/3188/son-los-subespacios-lineales-adecuados-de-los-espacios-de-banach-siempre-pocos
10. https://www.ams.org/journals/bull/1966-72-04/S0002-9904-1966-11547-1/S0002-9904-1966-11547-1.pdf
11. Rudin 1991, pág. 43.
12. Oxtoby 1980, pág. 62.
13. Willard 2004, Teorema 25.2.
14. Rudin 1991, págs. 42-43.
15. "¿Existe alguna medida puesta a cero que no sea escasa?". MathOverflow .
16. Quintanilla, M. (2022). "Los números reales en los modelos internos de la teoría de conjuntos". arXiv : 2206.10754 .(pág. 25)
17. S. Saito, The Erdos-Sierpinski Duality Theorem, notas. Consultado el 18 de enero de 2023.

Bibliografía

• Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Espacios vectoriales topológicos . Matemáticas puras y aplicadas (segunda edición). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666.OCLC 144216834  .
• Bourbaki, Nicolás (1989) [1967]. Topología general 2: Capítulos 5 a 10 [ Topologie Générale ]. Elementos matemáticos . vol. 4. Berlín Nueva York: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-64563-4.OCLC 246032063  .
• Oxtoby, John C. (1980). "El teorema de la categoría de Banach". Medida y categoría (segunda edición). Nueva York: Springer. pp. 62–65. ISBN 0-387-90508-1.
• Rudin, Walter (1991). Análisis funcional. Serie internacional de matemáticas puras y aplicadas. Vol. 8 (segunda edición). Nueva York, NY: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN 978-0-07-054236-5.OCLC 21163277  .
• Willard, Stephen (2004) [1970]. Topología general. Mineola, NY : Dover Publications . ISBN 978-0-486-43479-7.OCLC 115240  .