Conjugación topológica

En matemáticas , se dice que dos funciones están topológicamente conjugadas si existe un homeomorfismo que conjugará una en la otra. La conjugación topológica y la equivalencia topológica de flujos § relacionados pero distintos son importantes en el estudio de funciones iteradas y, en general, sistemas dinámicos , ya que, si se puede determinar la dinámica de una función iterativa, entonces la de una función topológicamente conjugada sigue trivialmente. ^[1]

Para ilustrar esto directamente: supongamos que y son funciones iteradas, y existe un homeomorfismo tal que ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle h}$

${\displaystyle g=h^{-1}\circ f\circ h,}$

de modo que y son topológicamente conjugados. Entonces uno debe tener ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$

${\displaystyle g^{n}=h^{-1}\circ f^{n}\circ h,}$

y por tanto los sistemas iterados también son topológicamente conjugados. Aquí, denota composición de funciones . ${\displaystyle \circ }$

Definición

${\displaystyle f\colon X\to X,g\colon Y\to Y}$, y son funciones continuas en espacios topológicos , y . ${\displaystyle h\colon Y\to X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

${\displaystyle f}$ser topológicamente semiconjugado significa , por definición, que es una sobreyección tal que . ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle f\circ h=h\circ g}$

${\displaystyle f}$y ser topológicamente conjugado significa, por definición, que son topológicamente semiconjugados y además es inyectivo , luego biyectivo , y su inverso también es continuo ; es decir , es un homeomorfismo ; Además, se denomina conjugación topológica entre y . ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$

Flujos

De manera similar, on y on son flujos , con y como arriba. ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X,Y}$ ${\displaystyle h\colon Y\to X}$

${\displaystyle \phi }$ser topológicamente semiconjugado significa , por definición, que es una sobreyección tal que , para cada ,. ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle \phi (h(y),t)=h\circ \psi (y,t)}$ ${\displaystyle y\in Y}$ ${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$

${\displaystyle \phi }$y ser topológicamente conjugado significa, por definición, que son topológicamente semiconjugados y h es un homeomorfismo. ^[2] ${\displaystyle \psi }$

Ejemplos

• El mapa logístico y el mapa de tiendas de campaña están topológicamente conjugados. ^[3]
• El mapa logístico de altura unitaria y el mapa de Bernoulli son topológicamente conjugados. ^{[ cita necesaria ]}
• Para ciertos valores en el espacio de parámetros, el mapa de Hénon, cuando está restringido a su conjunto de Julia, está topológicamente conjugado o semiconjugado al mapa de desplazamiento en el espacio de secuencias bilaterales en dos símbolos. ^[4]

Discusión

La conjugación topológica, a diferencia de la semiconjugación, define una relación de equivalencia en el espacio de todas las sobreyecciones continuas de un espacio topológico consigo mismo, al declarar y estar relacionados si son topológicamente conjugados. Esta relación de equivalencia es muy útil en la teoría de sistemas dinámicos , ya que cada clase contiene todas las funciones que comparten la misma dinámica desde el punto de vista topológico. Por ejemplo, las órbitas de se asignan a órbitas homeomorfas de mediante la conjugación. La escritura hace evidente este hecho: . Hablando informalmente, la conjugación topológica es un "cambio de coordenadas" en el sentido topológico. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g=h^{-1}\circ f\circ h}$ ${\displaystyle g^{n}=h^{-1}\circ f^{n}\circ h}$

Sin embargo, la definición análoga de flujos es algo restrictiva. De hecho, requerimos que los mapas de y sean topológicamente conjugados para cada uno , lo que requiere más que simplemente que las órbitas de se mapeen a órbitas de de manera homeomórfica. Esto motiva la definición de equivalencia topológica , que también divide el conjunto de todos los flujos en clases de flujos que comparten la misma dinámica, nuevamente desde el punto de vista topológico. ${\displaystyle \phi (\cdot ,t)}$ ${\displaystyle \psi (\cdot ,t)}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle X}$

Equivalencia topológica

Decimos que dos flujos y son topológicamente equivalentes , si hay un homeomorfismo , mapeando órbitas de a órbitas de homeomorficamente y preservando la orientación de las órbitas. En otras palabras, dejando de denotar una órbita, se tiene ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle h:Y\to X}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$

${\displaystyle h({\mathcal {O}}(y,\psi ))=\{h\circ \psi (y,t):t\in \mathbb {R} \}=\{\phi (h(y),t):t\in \mathbb {R} \}={\mathcal {O}}(h(y),\phi )}$

para cada . Además, hay que alinear el flujo del tiempo: para cada , existe un tal que, si , y si s es tal que , entonces . ${\displaystyle y\in Y}$ ${\displaystyle y\in Y}$ ${\displaystyle \delta >0}$ ${\displaystyle 0<\vert s\vert <t<\delta }$ ${\displaystyle \phi (h(y),s)=h\circ \psi (y,t)}$ ${\displaystyle s>0}$

En general, la equivalencia topológica es un criterio de equivalencia más débil que la conjugación topológica, ya que no requiere que el término de tiempo se mapee junto con las órbitas y su orientación. Un ejemplo de un sistema topológicamente equivalente pero no topológicamente conjugado sería la clase no hiperbólica de sistemas bidimensionales de ecuaciones diferenciales que tienen órbitas cerradas. Si bien las órbitas se pueden transformar entre sí para superponerse en el sentido espacial, los períodos de tales sistemas no pueden coincidir de manera análoga, por lo que no se satisface el criterio de conjugación topológica y al mismo tiempo se satisface el criterio de equivalencia topológica.

Equivalencia suave y orbital

Se pueden estudiar más criterios de equivalencia si los flujos, y , surgen de ecuaciones diferenciales. ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \psi }$

Se dice que dos sistemas dinámicos definidos por las ecuaciones diferenciales, y , son suavemente equivalentes si existe un difeomorfismo , tal que ${\displaystyle {\dot {x}}=f(x)}$ ${\displaystyle {\dot {y}}=g(y)}$ ${\displaystyle h:X\to Y}$

${\displaystyle f(x)=M^{-1}(x)g(h(x))\quad {\text{where}}\quad M(x)={\frac {\mathrm {d} h(x)}{\mathrm {d} x}}.}$

En ese caso, los sistemas dinámicos pueden transformarse entre sí mediante la transformación de coordenadas, . ${\displaystyle y=h(x)}$

Se dice que dos sistemas dinámicos en el mismo espacio de estados, definidos por y , son orbitalmente equivalentes si existe una función positiva, tal que . Los sistemas orbitalmente equivalentes se diferencian sólo en la parametrización temporal. ${\displaystyle {\dot {x}}=f(x)}$ ${\displaystyle {\dot {x}}=g(x)}$ ${\displaystyle \mu :X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle g(x)=\mu (x)f(x)}$

Los sistemas que son suavemente equivalentes o orbitalmente equivalentes también son topológicamente equivalentes. Sin embargo, lo contrario no es cierto. Por ejemplo, considere sistemas lineales en dos dimensiones de la forma . Si la matriz, , tiene dos valores propios reales positivos, el sistema tiene un nodo inestable; si la matriz tiene dos valores propios complejos con parte real positiva, el sistema tiene un foco inestable (o espiral). Los nodos y focos son topológicamente equivalentes pero no orbitalmente equivalentes o suavemente equivalentes, ^[5] porque sus valores propios son diferentes (obsérvese que los jacobianos de dos sistemas localmente suavemente equivalentes deben ser similares , por lo que sus valores propios, así como sus multiplicidades algebraicas y geométricas , deben igualarse). ${\displaystyle {\dot {x}}=Ax}$ ${\displaystyle A}$

Generalizaciones de la conjugación topológica dinámica.

Hay dos extensiones reportadas del concepto de conjugación topológica dinámica:

1. Sistemas análogos definidos como sistemas dinámicos isomorfos.
2. Sistemas dinámicos adjuntos definidos mediante funtores adjuntos y equivalencias naturales en dinámica categórica. ^{[6] [7]}

Ver también

• Diagrama conmutativo

Referencias

1. Métodos geométricos de Arnold VI en la teoría de ecuaciones diferenciales ordinarias (Springer, 2020) [1]
2. Métodos geométricos de Arnold VI en la teoría de ecuaciones diferenciales ordinarias (Springer, 2020) [2]
3. Alligood, KT, Sauer, T. y Yorke, JA (1997). Caos: una introducción a los sistemas dinámicos . Saltador. págs. 114-124. ISBN 0-387-94677-2.{{cite book}}: Mantenimiento CS1: varios nombres: lista de autores ( enlace )
4. Devaney, R.; Nitecki, Z. (1979). "Automorfismos de cambio en el mapeo de Hénon". Com. Matemáticas. Física . 67 (2): 137-146. Código bibliográfico : 1979CMaPh..67..137D. doi :10.1007/bf01221362. S2CID  121479458 . Consultado el 2 de septiembre de 2016 .
5. Kuznetsov, Yuri A. (1998). Elementos de la teoría de la bifurcación (Segunda ed.). Saltador. ISBN 0-387-98382-1.
6. "Complejidad y dinámica categórica". Archivado desde el original el 19 de agosto de 2009.
7. "Sistemas analógicos, conjugación topológica y sistemas adjuntos". Archivado desde el original el 25 de febrero de 2015.

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