mapa de Henon

Sistema dinámico en tiempo discreto.

Atractor de Hénon para a = 1,4 y b = 0,3

Atractor de Hénon para a = 1,4 y b = 0,3

En matemáticas , el mapa de Hénon , a veces llamado atractor/mapa de Hénon-Pomeau , ^[1] es un sistema dinámico de tiempo discreto . Es uno de los ejemplos más estudiados de sistemas dinámicos que exhiben un comportamiento caótico . El mapa de Hénon toma un punto ( x _n , y _n ) en el plano y lo asigna a un nuevo punto

${\displaystyle {\begin{cases}x_{n+1}=1-ax_{n}^{2}+y_{n}\\y_{n+1}=bx_{n}.\end{cases}}}$

El mapa depende de dos parámetros, a y b , que para el mapa clásico de Hénon tienen valores de a = 1,4 y b = 0,3 . Para los valores clásicos, el mapa de Hénon es caótico. Para otros valores de ayb el mapa puede ser caótico , intermitente o converger a una órbita periódica . A partir de su diagrama de órbita se puede obtener una visión general del tipo de comportamiento del mapa con diferentes valores de parámetros .

El mapa fue presentado por Michel Hénon como un modelo simplificado de la sección Poincaré del modelo de Lorenz . Para el mapa clásico, un punto inicial del avión se acercará a un conjunto de puntos conocido como atractor extraño de Hénon o divergirá hasta el infinito. El atractor de Hénon es un fractal , liso en una dirección y de Cantor en otra. Las estimaciones numéricas arrojan una dimensión de correlación de 1,21 ± 0,01 o 1,25 ± 0,02 ^[2] (dependiendo de la dimensión del espacio de incrustación) y una dimensión de conteo de cajas de 1,261 ± 0,003 ^[3] para el atractor del mapa clásico.

Atractor

Diagrama de órbita del mapa de Hénon con b=0,3 . Una densidad más alta (más oscura) indica una mayor probabilidad de que la variable x adquiera ese valor para el valor dado de a . Observe las regiones satélite de caos y periodicidad alrededor de a=1,075 ; estas pueden surgir dependiendo de las condiciones iniciales para x e y .

El mapa de Hénon mapea dos puntos en sí mismos: estos son los puntos invariantes. Para los valores clásicos de a y b del mapa de Hénon, uno de estos puntos está en el atractor:

${\displaystyle x={\frac {{\sqrt {609}}-7}{28}}\approx 0.631354477,}$

${\displaystyle y={\frac {3\left({\sqrt {609}}-7\right)}{280}}\approx 0.189406343.}$

Este punto es inestable. Los puntos cercanos a este punto fijo y a lo largo de la pendiente 1,924 se acercarán al punto fijo y los puntos a lo largo de la pendiente -0,156 se alejarán del punto fijo. Estas pendientes surgen de las linealizaciones de la variedad estable y la variedad inestable del punto fijo. La variedad inestable del punto fijo del atractor está contenida en el atractor extraño del mapa de Hénon.

El mapa de Hénon no tiene un atractor extraño para todos los valores de los parámetros a y b . Por ejemplo, al mantener b fijo en 0,3, el diagrama de bifurcación muestra que para a = 1,25 el mapa de Hénon tiene una órbita periódica estable como atractor.

Variación de 'b' que muestra el diagrama de bifurcación. La forma de boomerang está dibujada en negrita en la parte superior. Las coordenadas iniciales para cada sección transversal son (0, -0,2). Logrado usando Python y Matplotlib.

Cvitanović et al. han demostrado cómo la estructura del atractor extraño de Hénon puede entenderse en términos de órbitas periódicas inestables dentro del atractor.

Relación con el diagrama de bifurcación.

Si se trazan varios mapas de Hénon, para cada mapa variando el valor de b y luego apilando todos los mapas, se produce un diagrama de bifurcación . Un diagrama de bifurcación que se dobla como un taco. De ahí su forma de boomerang cuando se ve en 2D desde arriba.

Descomposición

Mapa clásico de Hénon (15 iteraciones). Subiteraciones calculadas mediante descomposición en tres pasos.

El mapa de Hénon se puede descomponer en la composición de tres funciones que actúan sobre el dominio una tras otra.

1) una curva que preserva el área:

${\displaystyle (x_{1},y_{1})=(x,1-ax^{2}+y)\,}$,

2) una contracción en la dirección x :

${\displaystyle (x_{2},y_{2})=(bx_{1},y_{1})\,}$,

3) una reflexión en la recta y  =  x :

${\displaystyle (x_{3},y_{3})=(y_{2},x_{2})\,}$.

Descomposición unidimensional

El mapa de Hénon también se puede deconstruir en un mapa unidimensional, definido de manera similar a la secuencia de Fibonacci .

${\displaystyle x_{n+1}=1-ax_{n}^{2}+bx_{n-1}}$

Extensión de cuatro dimensiones

Mapa de Henon en 4D. El rango para b es de -1,5 a 0,5 y para a es de -2,3 a 1,0. Todas las secciones transversales planas que en cada imagen del video están vacías indican que para esas secciones transversales, los puntos divergieron hasta el infinito y no se trazaron.

Aunque el mapa de Hénon se puede trazar en los ejes x e y , al variar a y b , obtenemos dos dimensiones adicionales para trazar. Por lo tanto, el mapa de Hénon se puede trazar en un espacio de cuatro dimensiones . Podemos visualizar un gráfico de este tipo viendo un hiperplano (es decir, un cubo de espacio) a la vez que representa tres ejes y luego moviéndonos a lo largo del cuarto eje a medida que pasa el tiempo.

En el ejemplo de vídeo de la derecha, los tres ejes de cada imagen del vídeo son x , y y b . A medida que pasa el tiempo, es el eje a el que se mueve.

Casos especiales y órbitas de período bajo.

Si se resuelve el mapa unidimensional de Hénon para el caso especial:

${\displaystyle X=x_{n-1}=x_{n}=x_{n+1}}$

Se llega a la cuadrádica simple:

${\displaystyle X=1-aX^{2}+bX}$

O

${\displaystyle 0=-aX^{2}+(b-1)X+1}$

La fórmula cuadrática produce:

${\displaystyle X={b-1\pm {\sqrt {b^{2}-2b+1+4a}} \over 2a}}$

En el caso especial b=1, esto se simplifica a

${\displaystyle X={\pm {\sqrt {a}} \over a}}$

Si, además, a tiene la forma, la fórmula se simplifica aún más a ${\displaystyle {1 \over c^{n}}}$

${\displaystyle X=\pm c^{n/2}}$

En la práctica, el punto inicial (X,X) seguirá un bucle de 4 puntos en dos dimensiones que pasa por todos los cuadrantes.

${\displaystyle (X,X)=(X,-X)}$

${\displaystyle (X,-X)=(-X,-X)}$

${\displaystyle (-X,-X)=(-X,X)}$

${\displaystyle (-X,X)=(X,X)}$

Historia

En 1976, en Francia, el atractor de Lorenz es analizado por el físico Yves Pomeau , que realiza una serie de cálculos numéricos con JL Ibanez. ^[4] El análisis produce una especie de complemento al trabajo de Ruelle (y Lanford) presentado en 1975. Es el atractor de Lorenz, es decir, el correspondiente a las ecuaciones diferenciales originales, y su estructura geométrica lo que les interesa. . Pomeau e Ibanez combinan sus cálculos numéricos con los resultados del análisis matemático, basado en el uso de secciones de Poincaré. El estiramiento, el plegamiento y la sensibilidad a las condiciones iniciales se incluyen naturalmente en este contexto en relación con el atractor de Lorenz. Si bien el análisis es, en última instancia, muy matemático, Pomeau e Ibáñez siguen, en cierto sentido, un enfoque físico, experimentando numéricamente con el sistema de Lorenz.

Estas experiencias traen específicamente dos oportunidades. Permiten resaltar un comportamiento singular del sistema de Lorenz: hay una transición, caracterizada por un valor crítico de los parámetros del sistema, durante la cual el sistema pasa de una posición extraña del atractor a una configuración en un ciclo límite. La importancia será revelada por el propio Pomeau (y un colaborador, Paul Manneville) a través del "escenario" de la Intermitencia , propuesto en 1979.

El segundo camino sugerido por Pomeau e Ibáñez es la idea de realizar sistemas dinámicos aún más simples que el de Lorenz, pero que tengan características similares, y que permitirían probar más claramente las "evidencias" aportadas por los cálculos numéricos. Dado que el razonamiento se basa en la sección de Poincaré, propone realizar una aplicación del plano en sí mismo, en lugar de una ecuación diferencial, imitando el comportamiento de Lorenz y su atractor extraño. Construye uno de manera ad hoc que le permite basar mejor su razonamiento.

En enero de 1976, Pomeau presentó su trabajo durante un seminario impartido en el Observatorio de la Costa Azul, al que asistió Michel Hénon. Michel Hénon utiliza la sugerencia de Pomeau para obtener un sistema simple con un atractor extraño. ^{[5] [6]}

Modos Koopman

En un sistema dinámico, el operador de Koopman es un operador lineal natural en el espacio de campos escalares. Para sistemas no lineales generales, las funciones propias de este operador no se pueden expresar de ninguna forma agradable. En lugar de ello, hay que calcularlos numéricamente. Estos modos pueden dar una idea de la dinámica simbólica de mapas caóticos como el mapa de Hénon. ^[7] En el modo proporcionado, se puede ver claramente la variedad estable del atractor extraño .

Se encontró un modo Koopman aproximado del mapa de Hénon con una base de 50x50 gaussianos espaciados uniformemente sobre el dominio. La desviación estándar de las gaussianas es 3/45 y se utilizó una cuadrícula de puntos de 100x100 para ajustar la moda. Esta moda tiene un valor propio de 0,998 y es la más cercana a 1. En particular, la región azul oscuro es la variedad estable del atractor extraño.

Generalizaciones

Hitz y Zele propusieron una generalización tridimensional para el mapa de Hénon. ^[8] Está dado por

${\displaystyle \mathbf {s} (n+1)={\begin{bmatrix}s_{1}(n+1)\\s_{2}(n+1)\\s_{3}(n+1)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-\alpha s_{1}^{2}(n)+s_{3}(n)+1\\-\beta s_{1}(n)\\\beta s_{1}(n)+s_{2}(n)\end{bmatrix}}}$.

Porque y se puede demostrar que casi todas las condiciones iniciales dentro de la esfera unitaria generan señales caóticas con el mayor exponente de Lyapunov . ^[8] ${\displaystyle \alpha =1.07}$ ${\displaystyle \beta =0.3}$ ${\displaystyle 0.23}$

En la literatura se han propuesto muchas otras generalizaciones. Se pueden generar, por ejemplo, señales caóticas de banda limitada utilizando filtros digitales en el circuito de retroalimentación del sistema. ^[9]

Ver también

• Mapa de herradura
• Teorema de Takens

Notas

1. Sección 13.3.2; Hsu, Chieh Su. Mapeo de celda a celda: un método de análisis global para sistemas no lineales . vol. 64. Springer Ciencia y Medios de Negocios, 2013
2. P. Grassberger; I. Procaccia (1983). "Medir la extrañeza de los atractores extraños". Física . 9D (1–2): 189–208. Código bibliográfico : 1983PhyD....9..189G. doi :10.1016/0167-2789(83)90298-1.
3. Fiscal del distrito Russell; JD Hanson; E. Ott (1980). "Dimensión de los atractores extraños". Cartas de revisión física . 45 (14): 1175. Código bibliográfico : 1980PhRvL..45.1175R. doi :10.1103/PhysRevLett.45.1175.
4. "Pomeau_Ibáñez 1976".
5. "El atractivo de Hénon".
6. "Dos ejemplos franceses: Yves Pomeau y Michel Hénon".
7. Cong Zhang; Haipeng Li; Yueheng Lan (2022). "Partición del espacio de fases con análisis de Koopman". Caos . 32 (6): 063132. doi : 10.1063/5.0079812. PMID  35778118.
8. Hitzl, Donald L.; Zele, Frank (marzo de 1985). "Una exploración del mapa cuadrático de Hénon". Physica D: Fenómenos no lineales . 14 (3): 305–326. doi :10.1016/0167-2789(85)90092-2.
9. Borges, Vinícius S.; Eisencraft, Marcio (diciembre de 2022). "Un mapa de Hénon filtrado". Caos, solitones y fractales . 165 : 112865. arXiv : 2211.16964 . doi : 10.1016/j.caos.2022.112865. S2CID  254095983.

Referencias

• M. Hénon (1976). "Un mapeo bidimensional con un atractor extraño". Comunicaciones en Física Matemática . 50 (1): 69–77. Código bibliográfico : 1976CMaPh..50...69H. doi :10.1007/BF01608556. S2CID  12772992.
• Predrag Cvitanović; Gemunu Gunaratne; Itamar Procaccia (1988). "Propiedades topológicas y métricas de los atractores extraños tipo Hénon". Revisión física A. 38 (3): 1503-1520. Código bibliográfico : 1988PhRvA..38.1503C. doi :10.1103/PhysRevA.38.1503. PMID  9900529.
• Carles Simó (1979). "Sobre el atractor de Hénon-Pomeau". Revista de Física Estadística . 21 (4): 465–494. doi :10.1007/BF01009612. S2CID  122545201.
• Michel Henon e Yves Pomeau (1976). "Dos atractores extraños de estructura sencilla". Turbulencia y ecuaciones de Navier Stokes . Saltador: 29–68.
• el señor Michelitsch; OE Rössler (1989). "Una nueva característica en el mapa de Hénon". Computadoras y gráficos . 13 (2): 263–265. doi :10.1016/0097-8493(89)90070-8.. Reimpreso en: Caos y fractales, un viaje gráfico por computadora: recopilación de diez años de investigación avanzada (Ed. CA Pickover). Ámsterdam, Países Bajos: Elsevier, págs. 69–71, 1998
• Kuznetsov, Nikolay; Reitmann, Volker (2020). Estimaciones de las dimensiones del atractor para sistemas dinámicos: teoría y computación. Cham: Springer.

enlaces externos

• Mapa interactivo de Henon y atractor de Henon en Chaotic Maps
• Otra versión interactiva del mapa de Henon de A. Luhn
• Diagrama de órbita del mapa de Hénon por C. Pellicer-Lostao y R. López-Ruiz según el trabajo de Ed Pegg Jr, The Wolfram Demonstrations Project .
• Código Matlab para el mapa de Hénon de M.Suzen
• Simulación del mapa de Hénon en javascript (experiences.math.cnrs.fr) por Marc Monticelli.