conjunto de cantantes

Conjunto de puntos en un segmento de recta.

En matemáticas , el conjunto de Cantor es un conjunto de puntos que se encuentran en un solo segmento de línea que tiene una serie de propiedades no intuitivas. Fue descubierto en 1874 por Henry John Stephen Smith ^{[1] [2] [3] [4]} e introducido por el matemático alemán Georg Cantor en 1883. ^{[5] [6]}

Al considerar este conjunto, Cantor y otros ayudaron a sentar las bases de la topología moderna de conjuntos de puntos . La construcción más común es el conjunto ternario de Cantor , construido eliminando el tercio medio de un segmento de línea y luego repitiendo el proceso con los segmentos más cortos restantes. Cantor mencionó la construcción ternaria sólo de pasada, como ejemplo de una idea más general, la de un conjunto perfecto que no es denso en ninguna parte .

De manera más general, en topología, un espacio de Cantor es un espacio topológico homeomorfo al conjunto ternario de Cantor (equipado con su topología subespacial). Según un teorema de LEJ Brouwer , esto equivale a ser perfecto, no vacío, compacto, metrizable y de dimensión cero. ^[7]

Ampliación de un conjunto de Cantor. Cada punto del conjunto está representado aquí por una línea vertical.

Construcción y fórmula del conjunto ternario.

El conjunto ternario de Cantor se crea eliminando iterativamente el tercio medio abierto de un conjunto de segmentos de línea. Se comienza eliminando el tercio medio abierto del intervalo , dejando dos segmentos de línea :. A continuación, se elimina el tercio medio abierto de cada uno de estos segmentos restantes, dejando cuatro segmentos de línea: . El conjunto ternario de Cantor contiene todos los puntos del intervalo que no se eliminan en ningún paso de este proceso infinito . Los mismos hechos se pueden describir recursivamente estableciendo ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\textstyle \left({\frac {1}{3}},{\frac {2}{3}}\right)}$ ${\displaystyle \textstyle \left[0,1\right]}$ ${\textstyle \left[0,{\frac {1}{3}}\right]\cup \left[{\frac {2}{3}},1\right]}$ ${\textstyle \left[0,{\frac {1}{9}}\right]\cup \left[{\frac {2}{9}},{\frac {1}{3}}\right]\cup \left[{\frac {2}{3}},{\frac {7}{9}}\right]\cup \left[{\frac {8}{9}},1\right]}$ ${\displaystyle [0,1]}$

${\displaystyle C_{0}:=[0,1]}$

y

${\displaystyle C_{n}:={\frac {C_{n-1}}{3}}\cup \left({\frac {2}{3}}+{\frac {C_{n-1}}{3}}\right)={\frac {1}{3}}{\bigl (}C_{n-1}\cup \left(2+C_{n-1}\right){\bigr )}}$

para , para que ${\displaystyle n\geq 1}$

${\displaystyle {\mathcal {C}}:=}$ ${\displaystyle {\color {Blue}\lim _{n\to \infty }C_{n}}}$ ${\displaystyle =\bigcap _{n=0}^{\infty }C_{n}=\bigcap _{n=m}^{\infty }C_{n}}$   para cualquier   . ${\displaystyle m\geq 0}$

Los primeros seis pasos de este proceso se ilustran a continuación.

Usando la idea de transformaciones autosemejantes y las fórmulas cerradas explícitas para el conjunto de Cantor son ^[8] ${\displaystyle T_{L}(x)=x/3,}$ ${\displaystyle T_{R}(x)=(2+x)/3}$ ${\displaystyle C_{n}=T_{L}(C_{n-1})\cup T_{R}(C_{n-1}),}$

${\displaystyle {\mathcal {C}}=[0,1]\,\setminus \,\bigcup _{n=0}^{\infty }\bigcup _{k=0}^{3^{n}-1}\left({\frac {3k+1}{3^{n+1}}},{\frac {3k+2}{3^{n+1}}}\right)\!,}$

donde cada tercio medio se elimina como el intervalo abierto del intervalo cerrado que lo rodea, o ${\textstyle \left({\frac {3k+1}{3^{n+1}}},{\frac {3k+2}{3^{n+1}}}\right)}$ ${\textstyle \left[{\frac {3k+0}{3^{n+1}}},{\frac {3k+3}{3^{n+1}}}\right]=\left[{\frac {k+0}{3^{n}}},{\frac {k+1}{3^{n}}}\right]}$

${\displaystyle {\mathcal {C}}=\bigcap _{n=1}^{\infty }\bigcup _{k=0}^{3^{n-1}-1}\left(\left[{\frac {3k+0}{3^{n}}},{\frac {3k+1}{3^{n}}}\right]\cup \left[{\frac {3k+2}{3^{n}}},{\frac {3k+3}{3^{n}}}\right]\right)\!,}$

donde el tercio medio del intervalo cerrado anterior se elimina al cruzarse con ${\textstyle \left({\frac {3k+1}{3^{n}}},{\frac {3k+2}{3^{n}}}\right)}$ ${\textstyle \left[{\frac {k+0}{3^{n-1}}},{\frac {k+1}{3^{n-1}}}\right]=\left[{\frac {3k+0}{3^{n}}},{\frac {3k+3}{3^{n}}}\right]}$ ${\textstyle \left[{\frac {3k+0}{3^{n}}},{\frac {3k+1}{3^{n}}}\right]\cup \left[{\frac {3k+2}{3^{n}}},{\frac {3k+3}{3^{n}}}\right]\!.}$

Este proceso de eliminar tercios medios es un ejemplo simple de regla de subdivisión finita . El complemento del conjunto ternario de Cantor es un ejemplo de cadena fractal .

En términos aritméticos, el conjunto de Cantor consta de todos los números reales del intervalo unitario que no requieren el dígito 1 para expresarse como una fracción ternaria (base 3). Como ilustra el diagrama anterior, cada punto en el conjunto de Cantor está ubicado de manera única mediante un camino a través de un árbol binario infinitamente profundo , donde el camino gira hacia la izquierda o hacia la derecha en cada nivel según en qué lado de un segmento eliminado se encuentre el punto. Representar cada giro a la izquierda con 0 y cada giro a la derecha con 2 produce la fracción ternaria de un punto. ${\displaystyle [0,1]}$

La construcción de Mandelbrot por "cuajado"

En La geometría fractal de la naturaleza , el matemático Benoit Mandelbrot ofrece un experimento mental caprichoso para ayudar a los lectores no matemáticos a imaginar la construcción de . Su narrativa comienza imaginando una barra, tal vez de metal liviano, en la que la materia de la barra "cuaja" moviéndose iterativamente hacia sus extremos. A medida que los segmentos de la barra se vuelven más pequeños, se convierten en babosas delgadas y densas que eventualmente se vuelven demasiado pequeñas y débiles para verlas. ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

CUAJADO: La construcción de la barra Cantor resulta del proceso que yo llamo cuajado. Comienza con una barra redonda. Es mejor pensar que tiene una densidad muy baja. Luego la materia "cuaja" desde el tercio medio de esta barra hasta los tercios finales, de modo que las posiciones de estos últimos permanecen inalteradas. A continuación, la materia se cuaja desde el tercio medio de cada tercio extremo hacia sus tercios finales, y así hasta el infinito hasta que uno queda con un número infinitamente grande de babosas infinitamente delgadas de densidad infinitamente alta. Estos trozos están espaciados a lo largo de la línea de la manera muy específica inducida por el proceso de generación. En esta ilustración, el cuajado (¡que eventualmente requiere martillazos!) se detiene cuando tanto la prensa de la imprenta como nuestro ojo dejan de seguirlo; la última línea es indistinguible de la penúltima: cada una de sus partes finales se ve como una babosa gris en lugar de dos babosas negras paralelas. ^[9]

Composición

Dado que el conjunto de Cantor se define como el conjunto de puntos no excluidos, la proporción (es decir, la medida ) del intervalo unitario restante se puede encontrar por la longitud total eliminada. Este total es la progresión geométrica.

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2^{n}}{3^{n+1}}}={\frac {1}{3}}+{\frac {2}{9}}+{\frac {4}{27}}+{\frac {8}{81}}+\cdots ={\frac {1}{3}}\left({\frac {1}{1-{\frac {2}{3}}}}\right)=1.}$

De modo que la proporción que queda es 1 − 1 = 0.

Este cálculo sugiere que el conjunto de Cantor no puede contener ningún intervalo de longitud distinta de cero. Puede parecer sorprendente que quede algo; después de todo, la suma de las longitudes de los intervalos eliminados es igual a la longitud del intervalo original. Sin embargo, una mirada más cercana al proceso revela que debe quedar algo, ya que eliminar el "tercio medio" de cada intervalo implicó eliminar conjuntos abiertos (conjuntos que no incluyen sus puntos finales). Entonces, eliminando el segmento de línea (1/3,2/3) del intervalo original [0, 1] deja atrás los puntos1/3y2/3. Los pasos posteriores no eliminan estos (u otros) puntos finales, ya que los intervalos eliminados siempre son internos a los intervalos restantes. Por lo tanto, el conjunto de Cantor no está vacío y, de hecho, contiene un número infinito e incontable de puntos (como se desprende de la descripción anterior en términos de caminos en un árbol binario infinito).

Puede parecer que sólo quedan los puntos finales de los segmentos de construcción, pero tampoco es así. El número1/4, por ejemplo, tiene la forma ternaria única 0.020202... = 0. 02 . Está en el tercio inferior, y en el tercio superior de ese tercio, y en el tercio inferior de ese tercio superior, y así sucesivamente. Como nunca está en uno de los segmentos medios, nunca se elimina. Sin embargo, tampoco es un punto final de ningún segmento medio, porque no es un múltiplo de ninguna potencia de 1/3. ^{[10] Todos los puntos} finales de los segmentos son fracciones ternarias terminales y están contenidos en el conjunto

${\displaystyle \left\{x\in [0,1]\mid \exists i\in \mathbb {N} _{0}:x\,3^{i}\in \mathbb {Z} \right\}\qquad {\Bigl (}\subset \mathbb {N} _{0}\,3^{-\mathbb {N} _{0}}{\Bigr )}}$

que es un conjunto numerablemente infinito . En cuanto a la cardinalidad , casi todos los elementos del conjunto de Cantor no son puntos finales de intervalos, ni puntos racionales como 1/4. De hecho, todo el conjunto de Cantor no es contable.

Propiedades

Cardinalidad

Se puede demostrar que en este proceso quedan tantos puntos atrás como al principio y que, por tanto, el conjunto de Cantor es incontable . Para ver esto, mostramos que hay una función f del conjunto de Cantor al intervalo cerrado [0,1] que es sobreyectiva (es decir, f se mapea desde [0,1]) de modo que la cardinalidad de no es menor que esa de [0,1]. Dado que es un subconjunto de [0,1], su cardinalidad tampoco es mayor, por lo que las dos cardinalidades deben ser iguales, según el teorema de Cantor-Bernstein-Schröder . ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

Para construir esta función, considere los puntos en el intervalo [0, 1] en términos de notación de base 3 (o ternaria ). Recordemos que las fracciones ternarias propias, más precisamente: los elementos de , admiten más de una representación en esta notación, como por ejemplo ${\displaystyle {\bigl (}\mathbb {Z} \setminus \{0\}{\bigr )}\cdot 3^{-\mathbb {N} _{0}}}$1/3, que se puede escribir como 0.1 ₃ = 0.1 0 ₃ , pero también como 0.0222... ₃ = 0.0 2 ₃ , y2/3, que se puede escribir como 0.2 ₃ = 0.2 0 ₃ pero también como 0.1222... ₃ = 0.1 2 ₃ . ^[11] Cuando eliminamos el tercio medio, este contiene los números con números ternarios de la forma 0.1xxxxx... ₃ donde xxxxx... ₃ está estrictamente entre 00000... ₃ y 22222... ₃ . Entonces los números que quedan después del primer paso consisten en

• Números de la forma 0.0xxxxx... ₃ (incluido 0.022222... ₃ = 1/3)
• Números de la forma 0,2xxxxx... ₃ (incluido 0,222222... ₃ = 1)

Esto se puede resumir diciendo que aquellos números con una representación ternaria tal que el primer dígito después del punto de la base no es 1 son los que quedan después del primer paso.

El segundo paso elimina números de la forma 0.01xxxx... ₃ y 0.21xxxx... ₃ , y (con el debido cuidado de los puntos finales) se puede concluir que los números restantes son aquellos con un número ternario donde ninguno de los primeros dos dígitos es 1.

Siguiendo de esta manera, para que un número no sea excluido en el paso n , debe tener una representación ternaria cuyo enésimo dígito no sea 1. Para que un número esté en el conjunto de Cantor, no debe ser excluido en ningún paso, debe admitir una representación numérica compuesta enteramente de 0 y 2.

Vale la pena enfatizar que números como 1,1/3= 0,1 ₃ y7/9= 0,21 ₃ están en el conjunto de Cantor, ya que tienen números ternarios que consisten enteramente en 0 y 2: 1 = 0,222... ₃ = 0, 2 ₃ ,1/3= 0,0222... ₃ = 0,0 2 ₃ y7/9= 0,20222... ₃ = 0,20 2 ₃ . Todos los últimos números son "puntos finales" y estos ejemplos son puntos límite derechos de . Lo mismo es cierto para los puntos límite izquierdos de , por ejemplo ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$2/3= 0,1222... ₃ = 0,1 2 ₃ = 0,2 0 ₃ y8/9= 0,21222... ₃ = 0,21 2 ₃ = 0,22 0 ₃ . Todos estos puntos finales son fracciones ternarias propias (elementos de ) de la forma ${\displaystyle \mathbb {Z} \cdot 3^{-\mathbb {N} _{0}}}$pag/q, donde el denominador q es una potencia de 3 cuando la fracción está en su forma irreducible . ^[10] La representación ternaria de estas fracciones termina (es decir, es finita) o (recuerde lo anterior que cada una de las fracciones ternarias propias tiene 2 representaciones) es infinita y "termina" en infinitos 0 recurrentes o en infinitos 2 recurrentes. Tal fracción es un punto límite izquierdo si su representación ternaria no contiene unos y "termina" en infinitos ceros recurrentes. De manera similar, una fracción ternaria propia es un punto límite derecho si nuevamente su expansión ternaria no contiene unos y "termina" en infinitos 2 recurrentes. ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

Este conjunto de puntos finales es denso en (pero no denso en [0, 1]) y constituye un conjunto contablemente infinito . Los números en los que no son puntos extremos también tienen sólo 0 y 2 en su representación ternaria, pero no pueden terminar en una repetición infinita del dígito 0, ni del dígito 2, porque entonces sería un punto final. ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

La función de a [0,1] se define tomando los números ternarios que constan enteramente de 0 y 2, reemplazando todos los 2 por 1 e interpretando la secuencia como una representación binaria de un número real. En una fórmula, ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

${\displaystyle f{\bigg (}\sum _{k\in \mathbb {N} }a_{k}3^{-k}{\bigg )}=\sum _{k\in \mathbb {N} }{\frac {a_{k}}{2}}2^{-k}}$   dónde   ${\displaystyle \forall k\in \mathbb {N} :a_{k}\in \{0,2\}.}$

Para cualquier número y en [0,1], su representación binaria se puede traducir a una representación ternaria de un número x reemplazando todos los 1 por 2. Con esto, f ( x ) = y para que y esté en el rango de f . Por ejemplo si y = ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$3/5= 0.100110011001... ₂ = 0. 1001 , escribimos x = 0. 2002 = 0.200220022002... ₃ =7/10. En consecuencia, f es sobreyectiva. Sin embargo, f no es inyectiva : los valores para los cuales f ( x ) coinciden son aquellos en los extremos opuestos de uno de los tercios medios eliminados. Por ejemplo, tome

1/3= 0,0 2 ₃ (que es un punto límite derecho y un punto límite izquierdo del tercio medio [ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$1/3,2/3]) y

2/3= 0,2 0 ₃ (que es un punto límite izquierdo y un punto límite derecho del tercio medio [ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$1/3,2/3])

entonces

${\displaystyle {\begin{array}{lcl}f{\bigl (}{}^{1}\!\!/\!_{3}{\bigr )}=f(0.0{\overline {2}}_{3})=0.0{\overline {1}}_{2}=\!\!&\!\!0.1_{2}\!\!&\!\!=0.1{\overline {0}}_{2}=f(0.2{\overline {0}}_{3})=f{\bigl (}{}^{2}\!\!/\!_{3}{\bigr )}.\\&\parallel \\&{}^{1}\!\!/\!_{2}\end{array}}}$

Por lo tanto, hay tantos puntos en el conjunto de Cantor como en el intervalo [0, 1] (que tiene la cardinalidad incontable ). Sin embargo, el conjunto de puntos finales de los intervalos eliminados es contable, por lo que debe haber una cantidad incontable de números en el conjunto de Cantor que no sean puntos finales del intervalo. Como se señaló anteriormente, un ejemplo de tal número es ${\displaystyle {\mathfrak {c}}=2^{\aleph _{0}}}$1/4, que se puede escribir como 0,020202... ₃ = 0,02 en notación ternaria. De hecho, dado cualquiera , existen tales que . Esto fue demostrado por primera vez por Steinhaus en 1917, quien demostró , mediante un argumento geométrico, la afirmación equivalente de que para cada . ^[12] Dado que esta construcción proporciona una inyección de a , tenemos como corolario inmediato . Suponiendo que para cualquier conjunto infinito (un enunciado que se muestra equivalente al axioma de elección de Tarski ), esto proporciona otra demostración de que . ${\displaystyle a\in [-1,1]}$ ${\displaystyle x,y\in {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle a=y-x}$ ${\displaystyle \{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid y=x+a\}\;\cap \;({\mathcal {C}}\times {\mathcal {C}})\neq \emptyset }$ ${\displaystyle a\in [-1,1]}$ ${\displaystyle [-1,1]}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}\times {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle |{\mathcal {C}}\times {\mathcal {C}}|\geq |[-1,1]|={\mathfrak {c}}}$ ${\displaystyle |A\times A|=|A|}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle |{\mathcal {C}}|={\mathfrak {c}}}$

El conjunto de Cantor contiene tantos puntos como el intervalo del que se toma, pero en sí mismo no contiene ningún intervalo de longitud distinta de cero. Los números irracionales tienen la misma propiedad, pero el conjunto de Cantor tiene la propiedad adicional de ser cerrado , por lo que ni siquiera es denso en ningún intervalo, a diferencia de los números irracionales que son densos en todos los intervalos.

Se ha conjeturado que todos los números irracionales algebraicos son normales . Dado que los miembros del conjunto de Cantor no son normales, esto implicaría que todos los miembros del conjunto de Cantor son racionales o trascendentales .

autosimilitud

El conjunto de Cantor es el prototipo de un fractal . Es autosimilar , porque es igual a dos copias de sí mismo, si cada copia se reduce por un factor de 3 y se traduce. Más precisamente, el conjunto de Cantor es igual a la unión de dos funciones, las transformaciones de autosimilitud izquierda y derecha de sí mismo, y , que dejan al conjunto de Cantor invariante hasta el homeomorfismo : ${\displaystyle T_{L}(x)=x/3}$ ${\displaystyle T_{R}(x)=(2+x)/3}$ ${\displaystyle T_{L}({\mathcal {C}})\cong T_{R}({\mathcal {C}})\cong {\mathcal {C}}=T_{L}({\mathcal {C}})\cup T_{R}({\mathcal {C}}).}$

La iteración repetida de y se puede visualizar como un árbol binario infinito . Es decir, en cada nodo del árbol, se puede considerar el subárbol de la izquierda o de la derecha. Tomando el conjunto junto con la composición de funciones se forma un monoide , el monoide diádico . ${\displaystyle T_{L}}$ ${\displaystyle T_{R}}$ ${\displaystyle \{T_{L},T_{R}\}}$

Los automorfismos del árbol binario son sus rotaciones hiperbólicas y están dados por el grupo modular . Por tanto, el conjunto de Cantor es un espacio homogéneo en el sentido de que para dos puntos cualesquiera y en el conjunto de Cantor , existe un homeomorfismo con . Una construcción explícita de puede describirse más fácilmente si vemos el conjunto de Cantor como un espacio producto de un número contable de copias del espacio discreto . Entonces el mapa definido por es un homeomorfismo involutivo que intercambia y . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle h:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle h(x)=y}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle \{0,1\}}$ ${\displaystyle h:\{0,1\}^{\mathbb {N} }\to \{0,1\}^{\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle h_{n}(u):=u_{n}+x_{n}+y_{n}\mod 2}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

ley de conservacion

Se ha descubierto que alguna forma de ley de conservación siempre es responsable de la escala y la autosimilitud. En el caso del conjunto de Cantor se puede ver que el momento (donde es la dimensión fractal ) de todos los intervalos supervivientes en cualquier etapa del proceso de construcción es igual a una constante que es uno en el caso del conjunto de Cantor. ^{[13] [14]} Sabemos que hay intervalos de tamaño presentes en el sistema en el ésimo paso de su construcción. Entonces, si etiquetamos los intervalos supervivientes como, entonces el enésimo momento es desde . ${\displaystyle d_{f}}$ ${\displaystyle d_{f}=\ln(2)/\ln(3)}$ ${\displaystyle N=2^{n}}$ ${\displaystyle 1/3^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{2^{n}}}$ ${\displaystyle d_{f}}$ ${\displaystyle x_{1}^{d_{f}}+x_{2}^{d_{f}}+\cdots +x_{2^{n}}^{d_{f}}=1}$ ${\displaystyle x_{1}=x_{2}=\cdots =x_{2^{n}}=1/3^{n}}$

La dimensión de Hausdorff del conjunto de Cantor es igual a ln(2)/ln(3) ≈ 0,631.

Propiedades topológicas y analíticas.

Aunque "el" conjunto de Cantor normalmente se refiere al conjunto de Cantor original de tercios medios descrito anteriormente, los topólogos a menudo hablan de "un" conjunto de Cantor, lo que significa cualquier espacio topológico que sea homeomorfo (topológicamente equivalente) a él.

Como muestra el argumento de suma anterior, el conjunto de Cantor es incontable pero tiene medida de Lebesgue 0. Dado que el conjunto de Cantor es el complemento de una unión de conjuntos abiertos , él mismo es un subconjunto cerrado de los reales y, por lo tanto, un espacio métrico completo . Como también está totalmente acotado , el teorema de Heine-Borel dice que debe ser compacto .

Para cualquier punto del conjunto de Cantor y cualquier vecindad arbitrariamente pequeña del punto, existe algún otro número con un número ternario de sólo 0 y 2, así como números cuyos números ternarios contienen unos. Por lo tanto, cada punto del conjunto de Cantor es un punto de acumulación (también llamado punto de agrupación o punto límite) del conjunto de Cantor, pero ninguno es un punto interior . Un conjunto cerrado en el que cada punto es un punto de acumulación también se denomina conjunto perfecto en topología , mientras que un subconjunto cerrado del intervalo sin puntos interiores no es denso en ninguna parte del intervalo.

Cada punto del conjunto de Cantor es también un punto de acumulación del complemento del conjunto de Cantor.

Para dos puntos cualesquiera en el conjunto de Cantor, habrá algún dígito ternario en el que se diferencian: uno tendrá 0 y el otro 2. Al dividir el conjunto de Cantor en "mitades" dependiendo del valor de este dígito, se obtiene una partición de el conjunto de Cantor en dos conjuntos cerrados que separan los dos puntos originales. En la topología relativa del conjunto de Cantor, los puntos han sido separados por un conjunto abierto . En consecuencia, el conjunto de Cantor está totalmente desconectado . Como espacio compacto de Hausdorff totalmente desconectado , el conjunto de Cantor es un ejemplo de espacio de Piedra .

Como espacio topológico, el conjunto de Cantor es naturalmente homeomorfo al producto de un número contable de copias del espacio , donde cada copia lleva la topología discreta . Este es el espacio de todas las secuencias de dos dígitos. ${\displaystyle \{0,1\}}$

${\displaystyle 2^{\mathbb {N} }=\{(x_{n})\mid x_{n}\in \{0,1\}{\text{ for }}n\in \mathbb {N} \},}$

que también se puede identificar con el conjunto de los enteros 2-ádicos . La base de los conjuntos abiertos de la topología del producto son los conjuntos de cilindros ; el homeomorfismo los asigna a la topología subespacial que el conjunto de Cantor hereda de la topología natural en la línea real . Esta caracterización del espacio de Cantor como producto de espacios compactos proporciona una segunda prueba de que el espacio de Cantor es compacto, mediante el teorema de Tychonoff .

A partir de la caracterización anterior, el conjunto de Cantor es homeomorfo a los p -ádicos y, si se le quita un punto, a los p -ádicos .

El conjunto de Cantor es un subconjunto de los reales, que son un espacio métrico con respecto a la métrica de distancia ordinaria ; por lo tanto, el conjunto de Cantor en sí es un espacio métrico, al utilizar esa misma métrica. Alternativamente, se puede usar la métrica p -ádica en : dadas dos secuencias , la distancia entre ellas es , donde está el índice más pequeño tal que ; si no existe tal índice, entonces las dos secuencias son iguales y una define la distancia como cero. Estas dos métricas generan la misma topología en el conjunto de Cantor. ${\displaystyle 2^{\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle (x_{n}),(y_{n})\in 2^{\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle d((x_{n}),(y_{n}))=2^{-k}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle x_{k}\neq y_{k}}$

Hemos visto anteriormente que el conjunto de Cantor es un espacio métrico compacto perfecto totalmente desconectado. De hecho, en cierto sentido es el único: todo espacio métrico compacto perfecto, no vacío, totalmente desconectado, es homeomorfo al conjunto de Cantor. Consulte Espacio de Cantor para obtener más información sobre espacios homeomorfos al conjunto de Cantor.

El conjunto de Cantor a veces se considera "universal" en la categoría de espacios métricos compactos , ya que cualquier espacio métrico compacto es una imagen continua del conjunto de Cantor; sin embargo, esta construcción no es única y, por tanto, el conjunto de Cantor no es universal en el sentido categórico preciso . La propiedad "universal" tiene importantes aplicaciones en el análisis funcional , donde a veces se la conoce como teorema de representación para espacios métricos compactos . ^[15]

Para cualquier número entero q ≥ 2, la topología del grupo G = Z _q ^ω (la suma directa contable) es discreta. Aunque el dual Γ de Pontrjagin también es Z _q ^ω , la topología de Γ es compacta. Se puede ver que Γ está totalmente desconectado y es perfecto, por lo que es homeomorfo con respecto al conjunto de Cantor. Es más fácil escribir el homeomorfismo explícitamente en el caso q = 2 (ver Rudin 1962 p. 40).

Medida y probabilidad

El conjunto de Cantor puede verse como el grupo compacto de secuencias binarias y, como tal, está dotado de una medida de Haar natural . Cuando se normaliza de modo que la medida del conjunto sea 1, es un modelo de una secuencia infinita de lanzamientos de moneda. Además, se puede demostrar que la medida habitual de Lebesgue en el intervalo es una imagen de la medida de Haar en el conjunto de Cantor, mientras que la inyección natural en el conjunto ternario es un ejemplo canónico de una medida singular . También se puede demostrar que la medida de Haar es una imagen de cualquier probabilidad , lo que hace que Cantor establezca un espacio de probabilidad universal de alguna manera.

En la teoría de la medida de Lebesgue , el conjunto de Cantor es un ejemplo de un conjunto que es incontable y tiene medida cero. ^[16] En contraste, el conjunto tiene una medida de Hausdorff de 1 en su dimensión de log 2 / log 3. ^[17]

números de cantor

Si definimos un número de Cantor como miembro del conjunto de Cantor, entonces ^[18]

1. Todo número real en [0, 2] es la suma de dos números de Cantor.
2. Entre dos números de Cantor cualesquiera hay un número que no es un número de Cantor.

Teoría descriptiva de conjuntos

El conjunto de Cantor es un conjunto exiguo (o un conjunto de primera categoría) como subconjunto de [0,1] (aunque no como subconjunto de sí mismo, ya que es un espacio de Baire ). El conjunto de Cantor demuestra así que las nociones de "tamaño" en términos de cardinalidad, medida y categoría (Baire) no tienen por qué coincidir. Al igual que el conjunto , el conjunto de Cantor es "pequeño" en el sentido de que es un conjunto nulo (un conjunto de medida cero) y es un exiguo subconjunto de [0,1]. Sin embargo, a diferencia de , que es contable y tiene una cardinalidad "pequeña", la cardinalidad de es la misma que la de [0,1], el continuo , y es "grande" en el sentido de cardinalidad. De hecho, también es posible construir un subconjunto de [0,1] que sea exiguo pero de medida positiva y un subconjunto que no sea exiguo pero de medida cero: ^[19] Tomando la unión contable de Cantor "gordo" conjuntos de medidas (ver conjunto de Smith-Volterra-Cantor a continuación para la construcción), obtenemos un conjunto que tiene una medida positiva (igual a 1) pero es escaso en [0,1], ya que cada uno de ellos no es denso en ninguna parte. Luego considere el conjunto . Ya que no puede ser exiguo, pero ya que debe tener medida cero. ${\displaystyle \mathbb {Q} \cap [0,1]}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} \cap [0,1]}$ ${\displaystyle \aleph _{0}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{(n)}}$ ${\displaystyle \lambda =(n-1)/n}$ ${\textstyle {\mathcal {A}}:=\bigcup _{n=1}^{\infty }{\mathcal {C}}^{(n)}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{(n)}}$ ${\textstyle {\mathcal {A}}^{\mathrm {c} }=[0,1]\setminus \bigcup _{n=1}^{\infty }{\mathcal {C}}^{(n)}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}\cup {\mathcal {A}}^{\mathrm {c} }=[0,1]}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}^{\mathrm {c} }}$ ${\displaystyle \mu ({\mathcal {A}})=1}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}^{\mathrm {c} }}$

Variantes

Gráfico radial de los primeros diez pasos ^[20]

Conjunto Smith-Volterra-Cantor

En lugar de eliminar repetidamente el tercio medio de cada pieza como en el conjunto de Cantor, también podríamos seguir eliminando cualquier otro porcentaje fijo (que no sea 0% y 100%) del medio. En el caso de que el medio8/10Si se elimina la parte del intervalo, obtenemos un caso notablemente accesible: el conjunto consta de todos los números en [0,1] que se pueden escribir como un decimal que consta enteramente de 0 y 9. Si se elimina un porcentaje fijo en cada etapa, entonces el conjunto límite tendrá medida cero, ya que la longitud del resto es igual a cualquier tal que . ${\displaystyle (1-f)^{n}\to 0}$ ${\displaystyle n\to \infty }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle 0<f\leq 1}$

Por otro lado, se pueden generar "conjuntos gruesos de Cantor" de medida positiva eliminando fracciones más pequeñas de la mitad del segmento en cada iteración. Por lo tanto, se pueden construir conjuntos homeomorfos al conjunto de Cantor que tengan una medida de Lebesgue positiva sin ser densos en ninguna parte. Si se elimina un intervalo de longitud ( ) del centro de cada segmento en la enésima iteración, entonces la longitud total eliminada es y el conjunto límite tendrá una medida de Lebesgue de . Por tanto, en cierto sentido, el conjunto de Cantor de tercios medios es un caso límite con . Si , entonces el resto tendrá medida positiva con . El caso se conoce como conjunto Smith-Volterra-Cantor , que tiene una medida de Lebesgue de . ${\displaystyle r^{n}}$ ${\displaystyle r\leq 1/3}$ ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }2^{n-1}r^{n}=r/(1-2r)}$ ${\displaystyle \lambda =(1-3r)/(1-2r)}$ ${\displaystyle r=1/3}$ ${\displaystyle 0<r<1/3}$ ${\displaystyle 0<\lambda <1}$ ${\displaystyle r=1/4}$ ${\displaystyle 1/2}$

Conjunto estocástico de Cantor

Se puede modificar la construcción del conjunto de Cantor dividiendo aleatoriamente en lugar de equitativamente. Además, para incorporar tiempo podemos dividir solo uno de los intervalos disponibles en cada paso en lugar de dividir todos los intervalos disponibles. En el caso del conjunto estocástico triádico de Cantor, el proceso resultante se puede describir mediante la siguiente ecuación de velocidad ^{[13] [14]}

${\displaystyle {\frac {\partial c(x,t)}{\partial t}}=-{\frac {x^{2}}{2}}c(x,t)+2\int _{x}^{\infty }(y-x)c(y,t)\,dy,}$

y para el conjunto estocástico diádico de Cantor ^[21]

${\displaystyle {{\partial c(x,t)} \over {\partial t}}=-xc(x,t)+(1+p)\int _{x}^{\infty }c(y,t)\,dy,}$

donde es el número de intervalos de tamaño entre y . En el caso del conjunto triádico de Cantor, la dimensión fractal es menor que su contraparte determinista . En el caso del conjunto estocástico diádico de Cantor, la dimensión fractal es nuevamente menor que la de su contraparte determinista . En el caso del conjunto estocástico diádico de Cantor, la solución exhibe escalamiento dinámico ya que su solución en el límite de tiempo largo es donde la dimensión fractal del conjunto estocástico diádico de Cantor . En cualquier caso, al igual que el conjunto triádico de Cantor, el momento enésimo ( ) del conjunto estocástico de Cantor triádico y diádico también son cantidades conservadas. ${\displaystyle c(x,t)dx}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x+dx}$ ${\displaystyle 0.5616}$ ${\displaystyle 0.6309}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \ln(1+p)/\ln 2}$ ${\displaystyle c(x,t)}$ ${\displaystyle t^{-(1+d_{f})}e^{-xt}}$ ${\displaystyle d_{f}=p}$ ${\displaystyle d_{f}}$ ${\textstyle \int x^{d_{f}}c(x,t)\,dx={\text{constant}}}$

polvo de cantor

El polvo de Cantor es una versión multidimensional del conjunto de Cantor. Puede formarse tomando un producto cartesiano finito del conjunto de Cantor consigo mismo, convirtiéndolo en un espacio de Cantor . Al igual que el conjunto de Cantor, el polvo de Cantor tiene medida cero . ^[22]

Cantor cube la progresión de la recursividad hacia el polvo de Cantor

Un análogo 2D diferente del conjunto de Cantor es la alfombra de Sierpinski , donde un cuadrado se divide en nueve cuadrados más pequeños y se elimina el del medio. Los cuadrados restantes luego se dividen en nueve cada uno y se elimina el medio, y así hasta el infinito. ^[23] Un análogo 3D de esto es la esponja Menger .

Comentarios históricos

una imagen de la segunda iteración del polvo de Cantor en dos dimensiones

una imagen de la cuarta iteración del polvo de Cantor en dos dimensiones

Cantor presentó lo que hoy llamamos conjunto ternario de Cantor como ejemplo "de un conjunto de puntos perfecto , que no es denso en todas partes en ningún intervalo, por pequeño que sea". ^{[24] [25]} Cantor lo describe en términos de expansiones ternarias, como "el conjunto de todos los números reales dado por la fórmula: donde los coeficientes toman arbitrariamente los dos valores 0 y 2, y la serie puede consistir en un número finito o un número infinito de elementos." ^[24] ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle z=c_{1}/3+c_{2}/3^{2}+\cdots +c_{\nu }/3^{\nu }+\cdots }$ ${\displaystyle c_{\nu }}$

Un espacio topológico es perfecto si todos sus puntos son puntos límite o, equivalentemente, si coincide con su conjunto derivado . Los subconjuntos de la línea real, como , pueden verse como espacios topológicos bajo la topología del subespacio inducido. ^[7] ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P'}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

Cantor fue llevado al estudio de conjuntos derivados por sus resultados sobre la unicidad de las series trigonométricas . ^[25] Este último hizo mucho para encaminarlo hacia el desarrollo de una teoría general y abstracta de conjuntos infinitos .

Benoit Mandelbrot escribió mucho sobre los polvos de Cantor y su relación con los fractales naturales y la física estadística . ^[9] Reflexionó además sobre la naturaleza desconcertante o incluso perturbadora de tales estructuras para aquellos en la comunidad de matemáticas y física. En La geometría fractal de la naturaleza , describió cómo "Cuando comencé con este tema en 1962, todo el mundo estaba de acuerdo en que los polvos de Cantor son al menos tan monstruosos como las curvas de Koch y Peano ", y añadió que "todo físico que se precie estaba automáticamente "Desanimado por una mención de Cantor, dispuesto a huir una milla de cualquiera que afirme ser interesante en la ciencia". ^[9] ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

Ver también

• 

  una imagen de la sexta iteración del polvo de Cantor en dos dimensiones

  La función indicadora del conjunto de Cantor.
• Conjunto Smith-Volterra-Cantor
• función de cantor
• cubo de cantor
• El collar de Antonio
• copo de nieve de koch
• Fanático de Knaster-Kuratowski
• Lista de fractales por dimensión de Hausdorff
• Secuencia Moser-de Bruijn

  

  Capitel de columna con patrón que evoca el conjunto de Cantor, pero expresado en binario en lugar de ternario. Grabado de Île de Philae de Description d'Égypte de Jean-Baptiste Prosper Jollois y Édouard Devilliers, Imprimerie Impériale, París, 1809-1828

Notas

1. Smith, Henry JS (1874). "Sobre la integración de funciones discontinuas". Actas de la Sociedad Matemática de Londres . Primera serie. 6 : 140-153.
2. El "conjunto de Cantor" también fue descubierto por Paul du Bois-Reymond (1831-1889). Véase du Bois-Reymond, Paul (1880), "Der Beweis des Fundamentalsatzes der Integralrechnung", Mathematische Annalen (en alemán), 16 , nota al pie de la p. 128. El "conjunto de Cantor" también fue descubierto en 1881 por Vito Volterra (1860-1940). Véase: Volterra, Vito (1881), "Alcune osservazioni sulle funzioni punteggiate discontinue" [Algunas observaciones sobre la función discontinua puntual], Giornale di Matematiche (en italiano), 19 : 76–86.
3. Ferreirós, José (1999). Laberinto del pensamiento: una historia de la teoría de conjuntos y su papel en las matemáticas modernas . Basilea, Suiza: Birkhäuser Verlag. págs. 162-165. ISBN 9783034850513.
4. Stewart, Ian (26 de junio de 1997). ¿Dios juega a los dados?: Las nuevas matemáticas del caos . Pingüino. ISBN 0140256024.
5. Cantor, Georg (1883). "Über unendliche, lineare Punktmannigfaltigkeiten V" [Sobre variedades de puntos (conjuntos) lineales e infinitos, Parte 5]. Mathematische Annalen (en alemán). 21 : 545–591. doi :10.1007/bf01446819. S2CID  121930608. Archivado desde el original el 24 de septiembre de 2015 . Consultado el 10 de enero de 2011 .
6. Peitgen, HO; Jürgens, H.; Saupe, D. (2004). Caos y fractales: nuevas fronteras de la ciencia (2ª ed.). Nueva York, Nueva York: Springer Verlag. pag. 65.ISBN _ 978-1-4684-9396-2.
7. Kechris, Alexander S. (1995). Teoría descriptiva clásica de conjuntos. Textos de Posgrado en Matemáticas. vol. 156. Springer Nueva York, Nueva York. págs.31, 35. doi :10.1007/978-1-4612-4190-4. ISBN 978-0-387-94374-9.
8. Soltanifar, Mohsen (2006). "Una descripción diferente de una familia de conjuntos de Cantor medios-a". Revista estadounidense de investigación de pregrado . 5 (2): 9–12. doi : 10.33697/ajur.2006.014 .
9. Mandelbrot, Benoit B. (1983). La geometría fractal de la naturaleza (edición actualizada y aumentada). Nueva York. ISBN 0-7167-1186-9. OCLC  36720923.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
10. Belcastro, Sarah-Marie; Green, Michael (enero de 2001), "¿El conjunto de Cantor contiene ? ¿En serio?", The College Mathematics Journal , 32 (1): 55, doi :10.2307/2687224, JSTOR  2687224 ${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}}$
11. Esta representación recurrente alternativa de un número con un numeral terminal ocurre en cualquier sistema posicional con valor absoluto de Arquímedes .
12. Carothers, Países Bajos (2000). Análisis reales . Cambridge: Prensa de la Universidad de Cambridge. págs. 31–32. ISBN 978-0-521-69624-1.
13. Krapivsky, PL; Ben-Naim, E. (1994). "Multiescala en fractales estocásticos". Letras de Física A. 196 (3–4): 168. Código bibliográfico : 1994PhLA..196..168K. doi :10.1016/0375-9601(94)91220-3.
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15. Willard, Stephen (1968). Topología general . Addison-Wesley. ASIN  B0000EG7Q0.
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18. Schroeder, Manfred (1991). Fractales, caos, leyes de poder: a minutos de un paraíso infinito . Dover. págs. 164-165. ISBN 0486472043.
19. Gelbaum, Bernard R. (1964). Contraejemplos en el análisis . Olmsted, John MH (John Meigs Hubbell), 1911-1997. San Francisco: Holden-Day. ISBN 0486428753. OCLC  527671.
20. "Conjunto de cantor radial".
21. Hassan, MK; Pavel, NI; Pandita, RK; Kurths, J. (2014). "Conjunto diádico de Cantor y su contraparte cinética y estocástica". Caos, solitones y fractales . 60 : 31–39. arXiv : 1401.0249 . Código Bib : 2014CSF....60...31H. doi :10.1016/j.caos.2013.12.010. S2CID  14494072.
22. Helmberg, Gilbert (2007). Familiarizarse con los fractales. Walter de Gruyter. pag. 46.ISBN _ 978-3-11-019092-2.
23. Helmberg, Gilbert (2007). Familiarizarse con los fractales. Walter de Gruyter. pag. 48.ISBN _ 978-3-11-019092-2.
24. Cantor, Georg (2021). ""Fundamentos de una teoría general de conjuntos: una investigación matemático-filosófica sobre la teoría del infinito", traducción al inglés de James R Meyer". www.jamesrmeyer.com . Nota a pie de página 22 en la Sección 10 . Consultado el 16 de mayo de 2022 .
25. Fleron, Julián F. (1994). "Una nota sobre la historia del conjunto de Cantor y la función de Cantor". Revista Matemáticas . 67 (2): 136-140. doi :10.2307/2690689. ISSN  0025-570X. JSTOR  2690689.

Referencias

• Steen, Lynn Arturo ; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978]. Contraejemplos en topología ( reimpresión de Dover de 1978 ed.). Berlín, Nueva York: Springer-Verlag . Ejemplo 29. ISBN 978-0-486-68735-3. SEÑOR  0507446.
• Sabio, Gary L.; Salón, Eric B. (1993). Contraejemplos en probabilidad y análisis real . Nueva York: Oxford University Press . Capítulo 1. ISBN 0-19-507068-2.
• Falconer, KJ (24 de julio de 1986). Geometría de Conjuntos Fractales . Tratados de Cambridge en Matemáticas. Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 0521337054.
• Mattila, Pertti (25 de febrero de 1999). Geometría de conjuntos y medidas en el espacio euclidiano: fractales y rectificabilidad . Estudios de Cambridge en matemáticas avanzadas. Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 0521655951.
• Mattila, Pertti (2015). Análisis de Fourier y Dimensión de Hausdorff . Estudios de Cambridge en matemáticas avanzadas. Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 9781316227619..
• Zygmund, A. (1958). Serie trigonométrica, vols. I y II . Prensa de la Universidad de Cambridge.

enlaces externos

• "Conjunto de Cantor", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Conjuntos de Cantor y Conjunto y función de Cantor al cortar el nudo
• Cantor ambientado en los reinos platónicos