Teorema de Tarski sobre la elección

Teorema equivalente al Axioma de Elección

En matemáticas , el teorema de Tarski , demostrado por Alfred Tarski  (1924), establece que en ZF el teorema "Para cada conjunto infinito , existe una función biyectiva entre los conjuntos y " implica el axioma de elección . La dirección opuesta ya era conocida, por lo que el teorema y el axioma de elección son equivalentes. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A\times A}$

Tarski le dijo a Jan Mycielski  (2006) que cuando intentó publicar el teorema en Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris , Fréchet y Lebesgue se negaron a presentarlo. Fréchet escribió que una implicación entre dos proposiciones bien conocidas no es un resultado nuevo. Lebesgue escribió que una implicación entre dos proposiciones falsas no tiene interés.

Prueba

El objetivo es demostrar que el axioma de elección está implícito en el enunciado "para todo conjunto infinito ". Se sabe que el teorema del buen orden es equivalente al axioma de elección; por lo tanto, basta con demostrar que el enunciado implica que para todo conjunto existe un buen orden . ${\displaystyle A:}$ ${\displaystyle |A|=|A\times A|}$ ${\displaystyle B}$

Puesto que la colección de todos los ordinales tales que existe una función sobreyectiva de a el ordinal es un conjunto, existe un ordinal infinito, tal que no hay función sobreyectiva de a Suponemos sin pérdida de generalidad que los conjuntos y son disjuntos . Por la suposición inicial, entonces existe una biyección ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \beta ,}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \beta .}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle |B\cup \beta |=|(B\cup \beta )\times (B\cup \beta )|,}$ ${\displaystyle f:B\cup \beta \to (B\cup \beta )\times (B\cup \beta ).}$

Para todo es imposible que porque de lo contrario podríamos definir una función sobreyectiva de a Por lo tanto, existe al menos un ordinal tal que por lo que el conjunto no está vacío. ${\displaystyle x\in B,}$ ${\displaystyle \beta \times \{x\}\subseteq f[B],}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \beta .}$ ${\displaystyle \gamma \in \beta }$ ${\displaystyle f(\gamma )\in \beta \times \{x\},}$ ${\displaystyle S_{x}=\{\gamma :f(\gamma )\in \beta \times \{x\}\}}$

Podemos definir una nueva función: Esta función está bien definida ya que es un conjunto no vacío de ordinales, y por lo tanto tiene un mínimo. Para cada uno de los conjuntos y son disjuntos. Por lo tanto, podemos definir un buen orden en para cada uno de los que definamos ya que la imagen de esto es, es un conjunto de ordinales y por lo tanto está bien ordenado. ${\displaystyle g(x)=\min S_{x}.}$ ${\displaystyle S_{x}}$ ${\displaystyle x,y\in B,x\neq y}$ ${\displaystyle S_{x}}$ ${\displaystyle S_{y}}$ ${\displaystyle B,}$ ${\displaystyle x,y\in B}$ ${\displaystyle x\leq y\iff g(x)\leq g(y),}$ ${\displaystyle g,}$ ${\displaystyle g[B]}$

Referencias

• Rubin, Herman; Rubin, Jean E. (1985), Equivalentes del axioma de elección II , North Holland/Elsevier, ISBN 0-444-87708-8
• Mycielski, Jan (2006), "Un sistema de axiomas de la teoría de conjuntos para los racionalistas" (PDF) , Avisos de la American Mathematical Society , 53 (2): 209
• Tarski, A. (1924), "Sur quelques teoremas qui equivalente a l'axiome du choix", Fundamenta Mathematicae , 5 : 147–154, doi : 10.4064/fm-5-1-147-154