Conjunto perfecto

Subconjunto cerrado que no tiene puntos aislados

En topología general , un subconjunto de un espacio topológico es perfecto si es cerrado y no tiene puntos aislados . Equivalentemente: el conjunto es perfecto si , donde denota el conjunto de todos los puntos límite de , también conocido como el conjunto derivado de . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S=S'}$ ${\displaystyle S'}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$

En un conjunto perfecto, cada punto puede aproximarse arbitrariamente bien mediante otros puntos del conjunto: dado cualquier punto de y cualquier entorno del punto, existe otro punto de que se encuentra dentro del entorno. Además, cualquier punto del espacio que pueda aproximarse de esta manera mediante puntos de pertenece a . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$

Nótese que el término espacio perfecto también se utiliza, de manera incompatible, para referirse a otras propiedades de un espacio topológico, como ser un espacio G δ . Como otra posible fuente de confusión, nótese también que tener la propiedad de conjunto perfecto no es lo mismo que ser un conjunto perfecto.

Ejemplos

Ejemplos de subconjuntos perfectos de la recta real son el conjunto vacío , todos los intervalos cerrados , la propia recta real y el conjunto de Cantor . Este último es notable porque es totalmente desconectado . ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Que un conjunto sea perfecto o no (y que sea cerrado o no) depende del espacio que lo rodea. Por ejemplo, el conjunto es perfecto como subconjunto del espacio, pero no es perfecto como subconjunto del espacio , ya que no es cerrado en este último. ${\displaystyle S=[0,1]\cap \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Conexión con otras propiedades topológicas

Todo espacio topológico puede escribirse de manera única como la unión disjunta de un conjunto perfecto y un conjunto disperso . ^{[1] [2]}

Cantor demostró que cada subconjunto cerrado de la recta real puede escribirse de forma única como la unión disjunta de un conjunto perfecto y un conjunto numerable . Esto también es cierto de manera más general para todos los subconjuntos cerrados de los espacios polacos , en cuyo caso el teorema se conoce como teorema de Cantor-Bendixson .

Cantor también demostró que todo subconjunto perfecto no vacío de la recta real tiene cardinalidad , la cardinalidad del continuo . Estos resultados se extienden en la teoría descriptiva de conjuntos de la siguiente manera: ${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}}$

• Si X es un espacio métrico completo sin puntos aislados, entonces el espacio de Cantor 2 ^ω puede estar continuamente embebido en X. Por lo tanto, X tiene cardinalidad al menos . Si X es un espacio métrico completo separable sin puntos aislados, la cardinalidad de X es exactamente . ${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}}$ ${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}}$
• Si X es un espacio de Hausdorff localmente compacto sin puntos aislados, existe una función inyectiva (no necesariamente continua) del espacio de Cantor a X , y por lo tanto X tiene cardinalidad al menos . ${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}}$

Véase también

• Denso en sí mismo
• Propiedad de intersección finita
• Topología del subespacio

Notas

1. Engelking, problema 1.7.10, p. 59
2. "Unicidad de la descomposición en conjunto perfecto y conjunto disperso - Mathematics Stack Exchange".

Referencias

• Engelking, Ryszard (1989). Topología general . Berlín: Heldermann Verlag. ISBN 3-88538-006-4.
• Kechris, AS (1995), Teoría clásica de conjuntos descriptivos , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 3540943749
• Levy, A. (1979), Teoría básica de conjuntos , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag
• Pearl, Elliott, ed. (2007), Problemas abiertos en topología. II , Elsevier , ISBN 978-0-444-52208-5, Sr.  2367385