En geometría , la curva de Peano es el primer ejemplo de una curva que llena el espacio descubierto por Giuseppe Peano en 1890. [1] La curva de Peano es una función sobreyectiva , continua desde el intervalo unitario hasta el cuadrado unitario , sin embargo no es inyectiva . Peano se inspiró en un resultado anterior de Georg Cantor de que estos dos conjuntos tienen la misma cardinalidad . Debido a este ejemplo, algunos autores usan la frase "curva de Peano" para referirse de manera más general a cualquier curva que llena el espacio. [2]
La curva de Peano se puede construir mediante una secuencia de pasos, donde el paso i construye un conjunto S i de cuadrados y una secuencia P i de los centros de los cuadrados, a partir del conjunto y la secuencia construidos en el paso anterior. Como caso base, S 0 consiste en el cuadrado unitario único y P 0 es la secuencia de un elemento que consiste en su punto central.
En el paso i , cada cuadrado s de S i − 1 se divide en nueve cuadrados iguales más pequeños, y su punto central c se reemplaza por una subsucesión contigua de los centros de estos nueve cuadrados más pequeños. Esta subsucesión se forma agrupando los nueve cuadrados más pequeños en tres columnas, ordenando los centros de manera contigua dentro de cada columna y luego ordenando las columnas de un lado del cuadrado al otro, de tal manera que la distancia entre cada par consecutivo de puntos en la subsucesión sea igual a la longitud del lado de los cuadrados pequeños. Hay cuatro posibles ordenaciones de este tipo:
Entre estos cuatro ordenamientos, el de s se elige de tal manera que la distancia entre el primer punto del ordenamiento y su predecesor en P i también sea igual a la longitud de los lados de los cuadrados pequeños. Si c fue el primer punto en su ordenamiento, entonces se elige el primero de estos cuatro ordenamientos para los nueve centros que reemplazan a c . [3]
La curva de Peano en sí es el límite de las curvas a través de las secuencias de centros cuadrados, ya que i tiende al infinito.
En la definición de la curva de Peano, es posible realizar algunos o todos los pasos haciendo que los centros de cada fila de tres cuadrados sean contiguos, en lugar de los centros de cada columna de cuadrados. Estas opciones conducen a muchas variantes diferentes de la curva de Peano. [3]
Se puede utilizar una variante de "radio múltiple" de esta curva con diferentes números de subdivisiones en diferentes direcciones para rellenar rectángulos de formas arbitrarias. [4]
La curva de Hilbert es una variante más simple de la misma idea, basada en subdividir los cuadrados en cuatro cuadrados iguales más pequeños en lugar de en nueve cuadrados iguales más pequeños.