Mapa de Poincaré

Tipo de mapa utilizado en matemáticas, particularmente en sistemas dinámicos.

Sección de Poincaré bidimensional de la ecuación de Duffing forzada

En matemáticas , particularmente en sistemas dinámicos , un mapa de primera recurrencia o mapa de Poincaré , llamado así por Henri Poincaré , es la intersección de una órbita periódica en el espacio de estados de un sistema dinámico continuo con un cierto subespacio de menor dimensión, llamado sección de Poincaré , transversal al flujo del sistema. Más precisamente, se considera una órbita periódica con condiciones iniciales dentro de una sección del espacio, que abandona esa sección después, y se observa el punto en el que esta órbita regresa por primera vez a la sección. Luego se crea un mapa para enviar el primer punto al segundo, de ahí el nombre de mapa de primera recurrencia . La transversalidad de la sección de Poincaré significa que las órbitas periódicas que comienzan en el subespacio fluyen a través de él y no paralelas a él.

Un mapa de Poincaré puede interpretarse como un sistema dinámico discreto con un espacio de estados que es una dimensión más pequeño que el sistema dinámico continuo original. Debido a que conserva muchas propiedades de las órbitas periódicas y cuasiperiódicas del sistema original y tiene un espacio de estados de menor dimensión, a menudo se utiliza para analizar el sistema original de una manera más simple. ^{[ cita requerida ]} En la práctica, esto no siempre es posible ya que no existe un método general para construir un mapa de Poincaré.

Un mapa de Poincaré se diferencia de un diagrama de recurrencia en que el espacio, no el tiempo, determina cuándo trazar un punto. Por ejemplo, el lugar geométrico de la Luna cuando la Tierra está en el perihelio es un diagrama de recurrencia; el lugar geométrico de la Luna cuando pasa por el plano perpendicular a la órbita de la Tierra y pasa por el Sol y la Tierra en el perihelio es un mapa de Poincaré. ^{[ cita requerida ]} Fue utilizado por Michel Hénon para estudiar el movimiento de las estrellas en una galaxia , porque la trayectoria de una estrella proyectada sobre un plano parece un lío enredado, mientras que el mapa de Poincaré muestra la estructura con mayor claridad.

Definición

En la sección de Poincaré S , la función de Poincaré P proyecta un punto x sobre el punto P ( x ).

Sea ( R , M , φ ) un sistema dinámico global , con R los números reales , M el espacio de fases y φ la función de evolución . Sea γ una órbita periódica que pasa por un punto p y S una sección local diferenciable y transversal de φ que pasa por p , llamada sección de Poincaré que pasa por p .

Dado un entorno abierto y conectado de p , una función ${\displaystyle U\subset S}$

${\displaystyle P:U\to S}$

se llama mapa de Poincaré para la órbita γ en la sección de Poincaré S que pasa por el punto p si

• P ( p ) = p
• P ( U ) es un vecindario de p y P : U → P ( U ) es un difeomorfismo
• Para cada punto x en U , la semiórbita positiva de x interseca a S por primera vez en P ( x )

Ejemplo

Consideremos el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales en coordenadas polares, : ${\displaystyle (\theta ,r)\in \mathbb {S} ^{1}\times \mathbb {R} ^{+}}$

${\displaystyle {\begin{cases}{\dot {\theta }}=1\\{\dot {r}}=(1-r^{2})r\end{cases}}}$

El flujo del sistema se puede obtener integrando la ecuación: para el componente simplemente tenemos mientras que para el componente necesitamos separar las variables e integrar: ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \theta (t)=\theta _{0}+t}$ ${\displaystyle r}$

${\displaystyle \int {\frac {1}{(1-r^{2})r}}dr=\int dt\Longrightarrow \log \left({\frac {r}{\sqrt {1-r^{2}}}}\right)=t+c}$

Invirtiendo la última expresión obtenemos

${\displaystyle r(t)={\sqrt {\frac {e^{2(t+c)}}{1+e^{2(t+c)}}}}}$

y desde entonces

${\displaystyle r(0)={\sqrt {\frac {e^{2c}}{1+e^{2c}}}}}$

Encontramos

${\displaystyle r(t)={\sqrt {\frac {e^{2t}r_{0}^{2}}{1+r_{0}^{2}(e^{2t}-1)}}}={\sqrt {\frac {1}{1+e^{-2t}\left({\frac {1}{r_{0}^{2}}}-1\right)}}}}$

Por lo tanto, el flujo del sistema es

${\displaystyle \Phi _{t}(\theta ,r)=\left(\theta +t,{\sqrt {\frac {1}{1+e^{-2t}\left({\frac {1}{r_{0}^{2}}}-1\right)}}}\right)}$

El comportamiento del flujo es el siguiente:

• El ángulo aumenta monótonamente y a un ritmo constante. ${\displaystyle \theta }$
• El radio tiende al equilibrio para cada valor. ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle {\bar {r}}=1}$

Por lo tanto, la solución con datos iniciales dibuja una espiral que tiende hacia el círculo de radio 1. ${\displaystyle (\theta _{0},r_{0}\neq 1)}$

Podemos tomar como sección de Poincaré para este flujo el eje horizontal positivo, es decir : obviamente podemos utilizar como coordenada en la sección. Cada punto en vuelve a la sección después de un tiempo (esto se puede entender observando la evolución del ángulo): podemos tomar como mapa de Poincaré la restricción de a la sección calculada en el momento , . El mapa de Poincaré es por lo tanto: ${\displaystyle \Sigma =\{(\theta ,r)\ :\ \theta =0\}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle t=2\pi }$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle \Phi _{2\pi }|_{\Sigma }}$ ${\displaystyle \Psi (r)={\sqrt {\frac {1}{1+e^{-4\pi }\left({\frac {1}{r^{2}}}-1\right)}}}}$

El comportamiento de las órbitas del sistema dinámico discreto es el siguiente: ${\displaystyle (\Sigma ,\mathbb {Z} ,\Psi )}$

• El punto es fijo, por lo que para cada . ${\displaystyle r=1}$ ${\displaystyle \Psi ^{n}(1)=1}$ ${\displaystyle n}$
• Cualquier otro punto tiende monótonamente al equilibrio, porque . ${\displaystyle \Psi ^{n}(z)\to 1}$ ${\displaystyle n\to \pm \infty }$

Mapas de Poincaré y análisis de estabilidad

Los mapas de Poincaré pueden interpretarse como un sistema dinámico discreto . La estabilidad de una órbita periódica del sistema original está estrechamente relacionada con la estabilidad del punto fijo del mapa de Poincaré correspondiente.

Sea ( R , M , φ ) un sistema dinámico diferenciable con órbita periódica γ a través de p . Sea

${\displaystyle P:U\to S}$

sea ​​el mapa de Poincaré correspondiente a través de p . Definimos

${\displaystyle P^{0}:=\operatorname {id} _{U}}$

${\displaystyle P^{n+1}:=P\circ P^{n}}$

${\displaystyle P^{-n-1}:=P^{-1}\circ P^{-n}}$

y

${\displaystyle P(n,x):=P^{n}(x)}$

entonces ( Z , U , P ) es un sistema dinámico discreto con espacio de estados U y función de evolución

${\displaystyle P:\mathbb {Z} \times U\to U.}$

Por definición, este sistema tiene un punto fijo en p .

La órbita periódica γ del sistema dinámico continuo es estable si y sólo si el punto fijo p del sistema dinámico discreto es estable.

La órbita periódica γ del sistema dinámico continuo es asintóticamente estable si y sólo si el punto fijo p del sistema dinámico discreto es asintóticamente estable.

Véase también

• Recurrencia de Poincaré
• Mapa estroboscópico
• Mapa de Hénon
• Gráfico de recurrencia
• Función reflectante de Mironenko
• Medida invariante

Referencias

• Teschl, Gerald . Ecuaciones diferenciales ordinarias y sistemas dinámicos. Providence : American Mathematical Society .

Enlaces externos

• Shivakumar Jolad, Mapa de Poincaré y su aplicación al problema del “imán giratorio” , (2005)