Mapa de Hénon

Sistema dinámico de tiempo discreto

Atractor de Hénon para a = 1,4 y b = 0,3

Atractor de Hénon para a = 1,4 y b = 0,3

En matemáticas , el mapa de Hénon , a veces llamado atractor/mapa de Hénon-Pomeau , ^[1] es un sistema dinámico de tiempo discreto . Es uno de los ejemplos más estudiados de sistemas dinámicos que exhiben un comportamiento caótico . El mapa de Hénon toma un punto ( x _n , y _n ) en el plano y lo mapea a un nuevo punto

${\displaystyle {\begin{cases}x_{n+1}=1-ax_{n}^{2}+y_{n}\\y_{n+1}=bx_{n}.\end{cases}}}$

El mapa depende de dos parámetros, a y b , que para el mapa clásico de Hénon tienen valores de a = 1,4 y b = 0,3 . Para los valores clásicos, el mapa de Hénon es caótico. Para otros valores de a y b, el mapa puede ser caótico , intermitente o convergente a una órbita periódica . Se puede obtener una visión general del tipo de comportamiento del mapa con diferentes valores de parámetros a partir de su diagrama de órbita .

El mapa fue introducido por Michel Hénon como un modelo simplificado de la sección de Poincaré del modelo de Lorenz . Para el mapa clásico, un punto inicial del plano se acercará a un conjunto de puntos conocido como el atractor extraño de Hénon , o divergerá al infinito. El atractor de Hénon es un fractal , suave en una dirección y un conjunto de Cantor en otra. Las estimaciones numéricas producen una dimensión de correlación de 1,21 ± 0,01 o 1,25 ± 0,02 ^[2] (dependiendo de la dimensión del espacio de incrustación) y una dimensión de conteo de cajas de 1,261 ± 0,003 ^[3] para el atractor del mapa clásico.

Atractor

Diagrama de órbita para el mapa de Hénon con b=0,3 . Una densidad más alta (más oscura) indica una mayor probabilidad de que la variable x adquiera ese valor para el valor dado de a . Observe las regiones satélite de caos y periodicidad alrededor de a=1,075 ; estas pueden surgir dependiendo de las condiciones iniciales para x e y .

La función de Hénon proyecta dos puntos en sí mismos: estos son los puntos invariantes. Para los valores clásicos de a y b de la función de Hénon, uno de estos puntos está sobre el atractor:

${\displaystyle x={\frac {{\sqrt {609}}-7}{28}}\approx 0.631354477,}$

${\displaystyle y={\frac {3\left({\sqrt {609}}-7\right)}{280}}\approx 0.189406343.}$

Este punto es inestable. Los puntos cercanos a este punto fijo y a lo largo de la pendiente 1.924 se acercarán al punto fijo y los puntos a lo largo de la pendiente -0.156 se alejarán del punto fijo. Estas pendientes surgen de las linealizaciones de la variedad estable y la variedad inestable del punto fijo. La variedad inestable del punto fijo en el atractor está contenida en el atractor extraño de la función de Hénon.

El mapa de Hénon no tiene un atractor extraño para todos los valores de los parámetros a y b . Por ejemplo, al mantener b fijo en 0,3, el diagrama de bifurcación muestra que para a = 1,25 el mapa de Hénon tiene una órbita periódica estable como atractor.

Variación de 'b' que muestra el diagrama de bifurcación. La forma de bumerán se dibuja en negrita en la parte superior. Las coordenadas iniciales de cada sección transversal son (0, -0,2). Se logró con Python y Matplotlib.

Cvitanović et al. han demostrado cómo la estructura del atractor extraño de Hénon puede entenderse en términos de órbitas periódicas inestables dentro del atractor.

Relación con el diagrama de bifurcación

Si se trazan múltiples mapas de Hénon, variando el valor de b en cada uno de ellos , y luego se apilan todos juntos, se produce un diagrama de bifurcación . Un diagrama de bifurcación que está plegado como un taco. De ahí su forma de bumerán cuando se lo observa en 2D desde arriba.

Descomposición

Mapa clásico de Hénon (15 iteraciones). Subiteraciones calculadas mediante descomposición en tres pasos.

El mapa de Hénon puede descomponerse en la composición de tres funciones que actúan sobre el dominio una tras otra.

1) una curva que preserva el área:

${\displaystyle (x_{1},y_{1})=(x,1-ax^{2}+y)\,}$,

2) una contracción en la dirección x :

${\displaystyle (x_{2},y_{2})=(bx_{1},y_{1})\,}$,

3) una reflexión en la recta y  =  x :

${\displaystyle (x_{3},y_{3})=(y_{2},x_{2})\,}$.

Descomposición unidimensional

El mapa de Hénon también puede deconstruirse en un mapa unidimensional, definido de manera similar a la secuencia de Fibonacci .

${\displaystyle x_{n+1}=1-ax_{n}^{2}+bx_{n-1}}$

Extensión de cuatro dimensiones

Mapa de Hénon en 4D. El rango para b es de -1,5 a 0,5 y para a es de -2,3 a 1,0. Todas las secciones transversales planas que en cada imagen del vídeo están vacías indican que para esas secciones transversales, los puntos divergieron hasta el infinito y no se representaron.

Aunque el mapa de Hénon se puede representar gráficamente en los ejes x e y , al variar a y b , obtenemos dos dimensiones adicionales para representar gráficamente. Por lo tanto, el mapa de Hénon se puede representar gráficamente en un espacio de cuatro dimensiones . Podemos visualizar dicho gráfico observando un hiperplano (es decir, un cubo de espacio) a la vez que representa tres ejes, y luego moviéndonos a lo largo del cuarto eje a medida que pasa el tiempo.

En el ejemplo de video de la derecha, los tres ejes de cada imagen del video son x , y y b . A medida que pasa el tiempo, es el eje a el que se desplaza.

Casos especiales y órbitas de período bajo

Si uno resuelve el mapa unidimensional de Hénon para el caso especial:

${\displaystyle X=x_{n-1}=x_{n}=x_{n+1}}$

Se llega al cuadrádico simple:

${\displaystyle X=1-aX^{2}+bX}$

O

${\displaystyle 0=-aX^{2}+(b-1)X+1}$

La fórmula cuadrática da como resultado:

${\displaystyle X={b-1\pm {\sqrt {b^{2}-2b+1+4a}} \over 2a}}$

En el caso especial b=1, esto se simplifica a

${\displaystyle X={\pm {\sqrt {a}} \over a}}$

Si, además, a tiene la forma , la fórmula se simplifica aún más a ${\displaystyle {1 \over c^{n}}}$

${\displaystyle X=\pm c^{n/2}}$

En la práctica, el punto de partida (X, X) seguirá un bucle de 4 puntos en dos dimensiones que pasará por todos los cuadrantes.

${\displaystyle (X,X)=(X,-X)}$

${\displaystyle (X,-X)=(-X,-X)}$

${\displaystyle (-X,-X)=(-X,X)}$

${\displaystyle (-X,X)=(X,X)}$

Historia

En Francia, en 1976, el atractor de Lorenz es analizado por el físico Yves Pomeau , quien realiza una serie de cálculos numéricos con JL Ibanez. ^[4] El análisis produce una especie de complemento al trabajo de Ruelle (y Lanford) presentado en 1975. Es el atractor de Lorenz, es decir, el correspondiente a las ecuaciones diferenciales originales, y su estructura geométrica lo que les interesa. Pomeau e Ibanez combinan sus cálculos numéricos con los resultados del análisis matemático, basado en el uso de secciones de Poincaré. El estiramiento, el plegado, la sensibilidad a las condiciones iniciales se incluyen naturalmente en este contexto en relación con el atractor de Lorenz. Si el análisis es en última instancia muy matemático, Pomeau e Ibanez siguen, en cierto sentido, un enfoque físico, experimentando numéricamente con el sistema de Lorenz.

Dos son las conclusiones que aportan estas experiencias. Permiten poner de relieve un comportamiento singular del sistema de Lorenz: se produce una transición, caracterizada por un valor crítico de los parámetros del sistema, en la que el sistema pasa de una posición de atractor extraño a una configuración en ciclo límite. La importancia de esto la revelará el propio Pomeau (y un colaborador, Paul Manneville) a través del "escenario" de la intermitencia , propuesto en 1979.

La segunda vía sugerida por Pomeau e Ibanez es la idea de realizar sistemas dinámicos aún más simples que el de Lorenz, pero que tengan características similares, y que permitan demostrar con mayor claridad las "evidencias" que se desprenden de los cálculos numéricos. Como el razonamiento se basa en el apartado de Poincaré, propone producir una aplicación del plano en sí mismo, en lugar de una ecuación diferencial, imitando el comportamiento de Lorenz y su atractor extraño. Construye una de manera ad hoc que le permite fundamentar mejor su razonamiento.

En enero de 1976, Pomeau presentó su trabajo durante un seminario impartido en el Observatorio de la Costa Azul, al que asistió Michel Hénon. Michel Hénon utiliza la sugerencia de Pomeau para obtener un sistema simple con un atractor extraño. ^{[5] [6]}

Modos Koopman

En sistemas dinámicos, el operador de Koopman es un operador lineal natural en el espacio de campos escalares. Para sistemas no lineales generales, las funciones propias de este operador no se pueden expresar de ninguna forma sencilla. En su lugar, se deben calcular numéricamente. Estos modos pueden dar una idea de la dinámica simbólica de los mapas caóticos como el mapa de Hénon. ^[7] En el modo proporcionado, se puede ver claramente la variedad estable del atractor extraño .

Un modo Koopman aproximado del mapa de Hénon encontrado con una base de 50x50 gaussianas espaciadas uniformemente sobre el dominio. La desviación estándar de las gaussianas es 3/45 y se utilizó una cuadrícula de 100x100 puntos para ajustar el modo. Este modo tiene un valor propio de 0,998 y es el más cercano a 1. Cabe destacar que la región azul oscuro es la variedad estable del atractor extraño.

Generalizaciones

Hitz y Zele propusieron una generalización 3-D para el mapa de Hénon. ^[8] Está dada por

${\displaystyle \mathbf {s} (n+1)={\begin{bmatrix}s_{1}(n+1)\\s_{2}(n+1)\\s_{3}(n+1)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-\alpha s_{1}^{2}(n)+s_{3}(n)+1\\-\beta s_{1}(n)\\\beta s_{1}(n)+s_{2}(n)\end{bmatrix}}}$.

Porque se puede demostrar que casi todas las condiciones iniciales dentro de la esfera unitaria generan señales caóticas con el mayor exponente de Lyapunov . ^[8 ] ${\displaystyle \alpha =1.07}$ ${\displaystyle \beta =0.3}$ ${\displaystyle 0.23}$

En la literatura se han propuesto muchas otras generalizaciones. Por ejemplo, se pueden generar señales caóticas de banda limitada utilizando filtros digitales en el bucle de retroalimentación del sistema. ^{[9] [10]}

Véase también

• Mapa de herradura
• Teorema de Takens

Notas

1. Sección 13.3.2; Hsu, Chieh Su. Mapeo de célula a célula: un método de análisis global para sistemas no lineales . Vol. 64. Springer Science & Business Media, 2013
2. P. Grassberger; I. ​​Procaccia (1983). "Medición de la extrañeza de los atractores extraños". Physica . 9D (1–2): 189–208. Bibcode :1983PhyD....9..189G. doi :10.1016/0167-2789(83)90298-1.
3. DA Russell; JD Hanson; E. Ott (1980). "Dimensión de atractores extraños". Physical Review Letters . 45 (14): 1175. Bibcode :1980PhRvL..45.1175R. doi :10.1103/PhysRevLett.45.1175.
4. "Pomeau_Ibanez 1976".
5. "El atractivo de Hénon".
6. "Dos ejemplos franceses: Yves Pomeau y Michel Hénon".
7. Cong Zhang; Haipeng Li; Yueheng Lan (2022). "Partición del espacio de fases con análisis de Koopman". Caos . 32 (6): 063132. doi : 10.1063/5.0079812. PMID  35778118.
8. Hitzl, Donald L.; Zele, Frank (marzo de 1985). "Una exploración del mapa cuadrático de Hénon". Physica D: Nonlinear Phenomena . 14 (3): 305–326. doi :10.1016/0167-2789(85)90092-2.
9. Borges, Vinícius S.; Eisencraft, Marcio (diciembre de 2022). "Un mapa de Hénon filtrado". Caos, solitones y fractales . 165 : 112865. arXiv : 2211.16964 . doi : 10.1016/j.caos.2022.112865. S2CID  254095983.
10. Borges, Vinícius S.; Silva, MagnoTM; Eisencraft, Marcio (1 de abril de 2024). "Propiedades caóticas de un mapa de Hénon filtrado por FIR". Comunicaciones en ciencia no lineal y simulación numérica . 131 : 107845. arXiv : 2401.10281 . doi : 10.1016/j.cnsns.2024.107845. ISSN  1007-5704.

Referencias

• M. Hénon (1976). "Una aplicación bidimensional con un atractor extraño". Communications in Mathematical Physics . 50 (1): 69–77. Bibcode :1976CMaPh..50...69H. doi :10.1007/BF01608556. S2CID  12772992.
• Predrag Cvitanović; Gemunu Gunaratne; Itamar Procaccia (1988). "Propiedades topológicas y métricas de los atractores extraños de tipo Hénon". Physical Review A . 38 (3): 1503–1520. Bibcode :1988PhRvA..38.1503C. doi :10.1103/PhysRevA.38.1503. PMID  9900529.
• Carles Simó (1979). "Sobre el atractor de Hénon-Pomeau". Revista de Física Estadística . 21 (4): 465–494. doi :10.1007/BF01009612. S2CID  122545201.
• Michel Hénon y Yves Pomeau (1976). "Dos atractores extraños con una estructura simple". Turbulencia y ecuaciones de Navier-Stokes . Springer: 29–68.
• el señor Michelitsch; OE Rössler (1989). "Una nueva característica en el mapa de Hénon". Computadoras y gráficos . 13 (2): 263–265. doi :10.1016/0097-8493(89)90070-8.Reimpreso en: Caos y fractales, un viaje gráfico por ordenador: recopilación de diez años de investigación avanzada (Ed. CA Pickover). Ámsterdam, Países Bajos: Elsevier, págs. 69-71, 1998
• Kuznetsov, Nikolay; Reitmann, Volker (2020). Estimaciones de la dimensión del atractor para sistemas dinámicos: teoría y computación. Cham: Springer.

Enlaces externos

• Mapa interactivo de Henon y atractor de Henon en Chaotic Maps
• Otra versión interactiva del mapa de Henon de A. Luhn
• Diagrama de órbita del mapa de Hénon por C. Pellicer-Lostao y R. López-Ruiz según el trabajo de Ed Pegg Jr, The Wolfram Demonstrations Project .
• Código Matlab para el mapa de Hénon de M. Suzen
• Simulación del mapa de Hénon en javascript (experiences.math.cnrs.fr) por Marc Monticelli.