El mapa del gato de Arnold

Mapa caótico del toro hacia sí mismo.

Imagen que muestra cómo el mapa lineal estira el cuadrado unitario y cómo se reorganizan sus piezas cuando se realiza la operación de módulo . Las líneas con las flechas muestran la dirección de los espacios propios que se contraen y se expanden.

En matemáticas , el mapa del gato de Arnold es un mapa caótico del toro hacia sí mismo, llamado así en honor a Vladimir Arnold , quien demostró sus efectos en la década de 1960 utilizando la imagen de un gato, de ahí el nombre. ^[1] Es un ejemplo simple y pedagógico de automorfismos torales hiperbólicos.

Pensando en el toroide como el espacio cociente , el mapa del gato de Arnold es la transformación dada por la fórmula ${\displaystyle \mathbb {T} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}/\mathbb {Z} ^{2}}$ ${\displaystyle \Gamma :\mathbb {T} ^{2}\to \mathbb {T} ^{2}}$

${\displaystyle \Gamma (x,y)=(2x+y,x+y){\bmod {1}}.}$

De manera equivalente, en notación matricial , esto es

${\displaystyle \Gamma \left({\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}\right)={\begin{bmatrix}2&1\\1&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}{\bmod {1}}={\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0\\1&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}{\bmod {1}}.}$

Es decir, con una unidad igual al ancho de la imagen cuadrada, la imagen se corta una unidad hacia arriba, luego dos unidades hacia la derecha, y todo lo que se encuentra fuera de ese cuadrado unitario se desplaza hacia atrás una unidad hasta que esté dentro del cuadrado. .

Nombre

El mapa recibe su nombre del manuscrito de Arnold de 1967 con André Avez, Problèmes ergodiques de la mécanique classique , ^[1] en el que se utilizaba el contorno de un gato para ilustrar la acción del mapa sobre el toroide. En el libro original estaba subtitulado con una nota humorística a pie de página,

La Société Protectrice des Animaux ha dado permiso para reproducir esta imagen, así como otras.

En el ruso nativo de Arnold, el mapa se conoce como " okroshka (sopa fría) de un gato" ( ruso : окрошка из кошки ), en referencia a las propiedades de mezcla del mapa, y que forma un juego de palabras. Arnold escribió más tarde que el nombre "Arnold's Cat" por el que se conoce el mapa en inglés y otros idiomas le parecía "extraño". ^[2]

Propiedades

• Γ es invertible porque la matriz tiene determinante 1 y por lo tanto su inversa tiene entradas enteras ,
• Γ es la preservación del área ,
• Γ tiene un punto fijo hiperbólico único (los vértices del cuadrado). La transformación lineal que define el mapa es hiperbólica: sus valores propios son números irracionales, uno mayor y otro menor que 1 (en valor absoluto), por lo que están asociados respectivamente a un espacio propio en expansión y en contracción que son también las variedades estable e inestable. . Los espacios propios son ortogonales porque la matriz es simétrica . Dado que los vectores propios tienen componentes racionalmente independientes, ambos espacios propios cubren densamente el toro. El mapa del gato de Arnold es un ejemplo particularmente conocido de automorfismo toral hiperbólico , que es un automorfismo de un toro dado por una matriz unimodular cuadrada que no tiene valores propios de valor absoluto 1. ^[3]
• El conjunto de puntos con órbita periódica es denso sobre el toro. En realidad un punto es periódico si y sólo si sus coordenadas son racionales .
• Γ es topológicamente transitivo (es decir, hay un punto cuya órbita es densa ).
• El número de puntos con periodo es exactamente (donde y son los valores propios de la matriz). Por ejemplo, los primeros términos de esta serie son 1, 5, 16, 45, 121, 320, 841, 2205... ^[4] (La misma ecuación es válida para cualquier automorfismo toral hiperbólico unimodular si se reemplazan los valores propios. ) ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle |\lambda _{1}^{n}+\lambda _{2}^{n}-2|}$ ${\displaystyle \lambda _{1}}$ ${\displaystyle \lambda _{2}}$
• Γ es ergódica y mixta ,
• Γ es un difeomorfismo de Anosov y en particular es estructuralmente estable .
• El toro de mapeo de Γ es una variedad de solución y, como ocurre con otros difeomorfismos de Anosov, esta variedad tiene geometría de solución .

El mapa de gatos discreto

Del orden al caos y viceversa. Mapeo de muestra sobre una imagen de 150x150 píxeles. El número muestra el paso de iteración; Después de 300 iteraciones, vuelve la imagen original.

Mapeo de muestra en una imagen de un par de cerezas. La imagen tiene 74 píxeles de ancho y se necesitan 114 iteraciones para restaurarla, aunque aparece al revés en el punto medio (la iteración 57).

Es posible definir un análogo discreto del mapa del gato. Una de las características de este mapa es que la imagen aparentemente es aleatoria por la transformación pero regresa a su estado original después de varios pasos. Como se puede ver en la imagen adyacente, la imagen original del gato se corta y luego se envuelve en la primera iteración de la transformación. Después de algunas iteraciones, la imagen resultante parece bastante aleatoria o desordenada, pero después de más iteraciones la imagen parece tener más orden: imágenes fantasmales del gato, múltiples copias más pequeñas dispuestas en una estructura repetitiva e incluso copias al revés del original. imagen y, finalmente, regresa a la imagen original.

El mapa de gato discreto describe el flujo del espacio de fases correspondiente a la dinámica discreta de una cuenta que salta desde el sitio q _t (0 ≤ q _t < N ) al sitio q _{t +1} en un anillo circular con circunferencia N , de acuerdo con la ecuación de segundo orden . :

${\displaystyle q_{t+1}-3q_{t}+q_{t-1}=0\mod N}$

Al definir la variable de momento p _t = q _t  −  q _{t −1} , la dinámica de segundo orden anterior se puede reescribir como una aplicación del cuadrado 0 ≤ q , p < N (el espacio de fase del sistema dinámico discreto) sobre sí mismo. :

${\displaystyle q_{t+1}=2q_{t}+p_{t}\mod N}$

${\displaystyle p_{t+1}=q_{t}+p_{t}\mod N}$

Este mapeo del gato Arnold muestra el comportamiento de mezcla típico de los sistemas caóticos. Sin embargo, dado que la transformación tiene un determinante igual a la unidad, conserva el área y, por lo tanto, es invertible, siendo la transformación inversa:

${\displaystyle q_{t-1}=q_{t}-p_{t}\mod N}$

${\displaystyle p_{t-1}=-q_{t}+2p_{t}\mod N}$

Para las variables reales q y p , es común establecer N = 1. En ese caso, se produce una aplicación del cuadrado unitario con condiciones de contorno periódicas sobre sí mismo.

Cuando N se establece en un valor entero, las variables de posición y momento se pueden restringir a números enteros y el mapeo se convierte en un mapeo de una cuadrícula cuadrada toroidal de puntos sobre sí misma. Un mapa de gatos entero de este tipo se utiliza comúnmente para demostrar el comportamiento de mezcla con recurrencia de Poincaré utilizando imágenes digitales. Se puede mostrar que el número de iteraciones necesarias para restaurar la imagen nunca excede 3N. ^[5]

Para una imagen, la relación entre iteraciones podría expresarse de la siguiente manera:

${\displaystyle {\begin{array}{rrcl}n=0:\quad &T^{0}(x,y)&=&{\text{Input Image}}(x,y)\\n=1:\quad &T^{1}(x,y)&=&T^{0}\left({\bmod {(}}2x+y,N),{\bmod {(}}x+y,N)\right)\\&&\vdots \\n=k:\quad &T^{k}(x,y)&=&T^{k-1}\left({\bmod {(}}2x+y,N),{\bmod {(}}x+y,N)\right)\\&&\vdots \\n=m:\quad &{\text{Output Image}}(x,y)&=&T^{m}(x,y)\end{array}}}$

Modelos

Código Python para el mapa del gato de Arnold

importar  sistema operativodesde  PIL.Importación  de imagen  abierta  como  load_pic ,  nueva  como  new_picdef  main ( ruta ,  iteraciones ,  keep_all = False ,  nombre = "arnold_cat- {nombre} - {index} .png" ): """  Parámetros  ruta:str  ruta para fotografiar  iteraciones:int  número de iteraciones para calcular  nombre:str  formattable cadena para usar como plantilla para nombres de archivos  """ title = os . camino . splitext ( os . ruta . split ( ruta ) [ 1 ]) [ 0 ] contador = 0 mientras contador < iteraciones : con load_pic ( ruta ) como imagen : dim = ancho , alto = imagen . tamaño con new_pic ( imagen . modo , tenue ) como lienzo : para x en el rango ( ancho ): para y en el rango ( alto ): nx = ( 2 * x + y ) % ancho ny = ( x + y ) % alto                                                   lienzo . putpixel (( nx ,  altura - ny - 1 ),  imagen . getpixel (( x ,  altura - y - 1 ))) si  contador  >  0  y  no  keep_all :  os . eliminar ( ruta )  contador  +=  1  print ( contador ,  fin = " \r " )  ruta  =  nombre . formato ( nombre = título ,  índice = contador )  lienzo . guardar ( ruta )  lienzo de retornoif  __name__  ==  "__main__" :  ruta  =  entrada ( "Ingrese la ruta a una imagen: \n\t " )  mientras  no sea  os . camino . existe ( ruta ):  ruta  =  entrada ( "No se pudo encontrar la imagen elegida, inténtelo de nuevo: \n\t " )  resultado  =  resultado principal ( ruta ,  3 )  . espectáculo ()

Ver también

• Portal de matemáticas

• Lista de mapas caóticos
• Gráfico de recurrencia

Referencias

1. Vladimir I. Arnold ; A. Avez (1967). Problèmes Ergodiques de la Mécanique Classique (en francés). París: Gauthier-Villars.; Traducción al inglés: VI Arnold; A. Avez (1968). Problemas ergódicos en mecánica clásica . Nueva York: Benjamín.
2. Arnold, VI (2015). Conferencias y problemas: un regalo para los jóvenes matemáticos . Berkeley, CA, EE.UU.: Instituto de Investigación en Ciencias Matemáticas.
3. Franks, John M (octubre de 1977). "Conjuntos invariantes de automorfismos torales hiperbólicos". Revista Estadounidense de Matemáticas . 99 (5). Prensa de la Universidad Johns Hopkins: 1089–1095. doi :10.2307/2374001. ISSN  0002-9327. JSTOR  2374001.
4. Sloane, Nueva Jersey (ed.). "Secuencia A004146". La enciclopedia en línea de secuencias enteras . Fundación OEIS.
5. Dyson, Freeman John ; Falk, Harold (1992). "Período de un mapeo de gatos discreto". El Mensual Matemático Estadounidense . 99 (7). Asociación Matemática de América: 603–614. doi :10.2307/2324989. ISSN  0002-9890. JSTOR  2324989.

enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Mapa del gato de Arnold". MundoMatemático .
• Efecto de la aleatorización de las condiciones iniciales sobre el tiempo de recurrencia.
• Mapa del gato de Arnold por Enrique Zeleny, The Wolfram Demonstrations Project .
• Mapa del gato de Arnold: una exploración gráfica interactiva