Estabilidad de Lyapunov

Propiedad de un sistema dinámico donde las soluciones cercanas a un punto de equilibrio permanecen así

Se pueden discutir varios tipos de estabilidad para las soluciones de ecuaciones diferenciales o ecuaciones en diferencias que describen sistemas dinámicos . El tipo más importante es el que se refiere a la estabilidad de soluciones cercanas a un punto de equilibrio. Esto puede ser discutido por la teoría de Aleksandr Lyapunov . En términos simples, si las soluciones que comienzan cerca de un punto de equilibrio permanecen cerca para siempre, entonces Lyapunov es estable . Más claramente, si Lyapunov es estable y todas las soluciones que comienzan casi convergen a , entonces se dice que es asintóticamente estable (ver análisis asintótico ). La noción de estabilidad exponencial garantiza una tasa mínima de decadencia, es decir, una estimación de la rapidez con la que convergen las soluciones. La idea de estabilidad de Lyapunov se puede extender a variedades de dimensión infinita, donde se la conoce como estabilidad estructural , que se refiere al comportamiento de soluciones diferentes pero "cercanas" de ecuaciones diferenciales. La estabilidad entrada-estado (ISS) aplica las nociones de Lyapunov a sistemas con entradas. ${\displaystyle x_{e}}$ ${\displaystyle x_{e}}$ ${\displaystyle x_{e}}$ ${\displaystyle x_{e}}$ ${\displaystyle x_{e}}$ ${\displaystyle x_{e}}$ ${\displaystyle x_{e}}$

Historia

La estabilidad de Lyapunov lleva el nombre de Aleksandr Mikhailovich Lyapunov , un matemático ruso que defendió la tesis El problema general de la estabilidad del movimiento en la Universidad de Kharkov en 1892. ^[1] AM Lyapunov fue un pionero en esfuerzos exitosos para desarrollar un enfoque global para el análisis de la estabilidad de sistemas dinámicos no lineales en comparación con el método local ampliamente difundido de linealizarlos alrededor de puntos de equilibrio. Su obra, inicialmente publicada en ruso y luego traducida al francés, recibió poca atención durante muchos años. La teoría matemática de la estabilidad del movimiento, fundada por AM Lyapunov, anticipó considerablemente el momento de su implementación en la ciencia y la tecnología. Además, Lyapunov no hizo ninguna aplicación en este campo, ya que su propio interés era la estabilidad de masas fluidas en rotación con aplicación astronómica. No tuvo estudiantes de doctorado que siguieran la investigación en el campo de la estabilidad y su propio destino fue terriblemente trágico debido a su suicidio en 1918 ^{[ cita requerida ]} . Durante varias décadas la teoría de la estabilidad cayó en completo olvido. El matemático y mecánico ruso-soviético Nikolay Gur'yevich Chetaev, que trabajaba en el Instituto de Aviación de Kazán en la década de 1930, fue el primero en darse cuenta de la increíble magnitud del descubrimiento realizado por AM Lyapunov. La contribución a la teoría de NG Chetaev ^[2] fue tan significativa que muchos matemáticos, físicos e ingenieros lo consideran el sucesor directo de Lyapunov y el siguiente descendiente científico en la creación y desarrollo de la teoría matemática de la estabilidad.

El interés en él se disparó repentinamente durante el período de la Guerra Fría , cuando se descubrió que el llamado "Segundo Método de Lyapunov" (ver más abajo) era aplicable a la estabilidad de los sistemas de guía aeroespaciales que típicamente contienen fuertes no linealidades que no pueden tratarse con otros métodos. Una gran cantidad de publicaciones aparecieron entonces y desde entonces en la literatura de sistemas y control. ^{[3] [4] [5] [6] [7]} Más recientemente, el concepto de exponente de Lyapunov (relacionado con el primer método de Lyapunov para discutir la estabilidad) ha recibido un gran interés en relación con la teoría del caos . Los métodos de estabilidad de Lyapunov también se han aplicado para encontrar soluciones de equilibrio en problemas de asignación de tráfico. ^[8]

Definición de sistemas de tiempo continuo

Considere un sistema dinámico no lineal autónomo .

${\displaystyle {\dot {x}}=f(x(t)),\;\;\;\;x(0)=x_{0}}$,

donde denota el vector de estado del sistema , un conjunto abierto que contiene el origen, y es un campo vectorial continuo en . Supongamos que tiene un equilibrio en tal que entonces ${\displaystyle x(t)\in {\mathcal {D}}\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle f:{\mathcal {D}}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x_{e}}$ ${\displaystyle f(x_{e})=0}$

1. Se dice que este equilibrio es estable de Lyapunov si para cada existe un tal que si entonces para cada tenemos . ${\displaystyle \epsilon >0}$ ${\displaystyle \delta >0}$ ${\displaystyle \|x(0)-x_{e}\|<\delta }$ ${\displaystyle t\geq 0}$ ${\displaystyle \|x(t)-x_{e}\|<\epsilon }$
2. Se dice que el equilibrio del sistema anterior es asintóticamente estable si es estable de Lyapunov y existe tal que si entonces . ${\displaystyle \delta >0}$ ${\displaystyle \|x(0)-x_{e}\|<\delta }$ ${\displaystyle \lim _{t\rightarrow \infty }\|x(t)-x_{e}\|=0}$
3. Se dice que el equilibrio del sistema anterior es exponencialmente estable si es asintóticamente estable y existen tales que si entonces para todos . ${\displaystyle \alpha >0,~\beta >0,~\delta >0}$ ${\displaystyle \|x(0)-x_{e}\|<\delta }$ ${\displaystyle \|x(t)-x_{e}\|\leq \alpha \|x(0)-x_{e}\|e^{-\beta t}}$ ${\displaystyle t\geq 0}$

Conceptualmente, los significados de los términos anteriores son los siguientes:

1. La estabilidad de Lyapunov de un equilibrio significa que las soluciones que comienzan "lo suficientemente cerca" del equilibrio (dentro de una distancia de él) permanecen "lo suficientemente cerca" para siempre (dentro de una distancia de él). Tenga en cuenta que esto debe ser cierto para cualquiera que uno quiera elegir. ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle \epsilon }$
2. La estabilidad asintótica significa que las soluciones que comienzan lo suficientemente cerca no sólo permanecen lo suficientemente cerca sino que eventualmente convergen hacia el equilibrio.
3. La estabilidad exponencial significa que las soluciones no sólo convergen, sino que de hecho convergen más rápido o al menos tan rápido como una tasa conocida particular . ${\displaystyle \alpha \|x(0)-x_{e}\|e^{-\beta t}}$

La trayectoria es (localmente) atractiva si ${\displaystyle x(t)=\phi (t)}$

${\displaystyle \|x(t)-\phi (t)\|\rightarrow 0}$ como ${\displaystyle t\rightarrow \infty }$

para todas las trayectorias que comienzan lo suficientemente cerca de , y globalmente atractivas si esta propiedad se cumple para todas las trayectorias. ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle \phi (t)}$

Es decir, si x pertenece al interior de su variedad estable , es asintóticamente estable si es a la vez atractivo y estable. (Hay ejemplos que muestran que la atracción no implica estabilidad asintótica. ^{[9] [10] [11]} Estos ejemplos son fáciles de crear utilizando conexiones homoclínicas ).

Si el jacobiano del sistema dinámico en equilibrio resulta ser una matriz de estabilidad (es decir, si la parte real de cada valor propio es estrictamente negativa), entonces el equilibrio es asintóticamente estable.

Sistema de desviaciones

En lugar de considerar la estabilidad sólo cerca de un punto de equilibrio (una solución constante ), se pueden formular definiciones similares de estabilidad cerca de una solución arbitraria . Sin embargo, se puede reducir el caso más general al de equilibrio mediante un cambio de variables llamado "sistema de desviaciones". Definir , obedeciendo la ecuación diferencial: ${\displaystyle x(t)=x_{e}}$ ${\displaystyle x(t)=\phi (t)}$ ${\displaystyle y=x-\phi (t)}$

${\displaystyle {\dot {y}}=f(t,y+\phi (t))-{\dot {\phi }}(t)=g(t,y)}$.

Este ya no es un sistema autónomo, pero tiene un punto de equilibrio garantizado cuya estabilidad es equivalente a la estabilidad de la solución original . ${\displaystyle y=0}$ ${\displaystyle x(t)=\phi (t)}$

El segundo método de Lyapunov para la estabilidad.

Lyapunov, en su trabajo original de 1892, propuso dos métodos para demostrar la estabilidad . ^[1] El primer método desarrolló la solución en una serie que luego demostró ser convergente dentro de unos límites. El segundo método, que ahora se conoce como criterio de estabilidad de Lyapunov o método directo, utiliza una función de Lyapunov V(x) que tiene una analogía con la función potencial de la dinámica clásica. Se presenta de la siguiente manera para un sistema que tiene un punto de equilibrio en . Considere una función tal que ${\displaystyle {\dot {x}}=f(x)}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle V:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} }$

• ${\displaystyle V(x)=0}$ si y solo si ${\displaystyle x=0}$
• ${\displaystyle V(x)>0}$ si y solo si ${\displaystyle x\neq 0}$
• ${\displaystyle {\dot {V}}(x)={\frac {d}{dt}}V(x)=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial V}{\partial x_{i}}}f_{i}(x)=\nabla V\cdot f(x)\leq 0}$para todos los valores de . Nota: para estabilidad asintótica, se requiere for . ${\displaystyle x\neq 0}$ ${\displaystyle {\dot {V}}(x)<0}$ ${\displaystyle x\neq 0}$

Entonces V(x) se llama función de Lyapunov y el sistema es estable en el sentido de Lyapunov. (Tenga en cuenta que es obligatorio; de lo contrario, por ejemplo, "probaría" que es localmente estable). Se requiere una condición adicional llamada "propiedad" o "ilimitación radial" para concluir la estabilidad global. La estabilidad asintótica global (GAS) sigue de manera similar. ${\displaystyle V(0)=0}$ ${\displaystyle V(x)=1/(1+|x|)}$ ${\displaystyle {\dot {x}}(t)=x}$

Es más fácil visualizar este método de análisis pensando en un sistema físico (por ejemplo, un resorte vibrante y una masa) y considerando la energía de dicho sistema. Si el sistema pierde energía con el tiempo y la energía nunca se recupera, eventualmente el sistema debe detenerse y alcanzar algún estado de reposo final. Este estado final se llama atractor . Sin embargo, encontrar una función que proporcione la energía precisa de un sistema físico puede resultar difícil y, para sistemas matemáticos abstractos, sistemas económicos o sistemas biológicos, el concepto de energía puede no ser aplicable.

Lyapunov se dio cuenta de que la estabilidad se puede demostrar sin necesidad de conocer la verdadera energía física, siempre que se pueda encontrar una función de Lyapunov que satisfaga las restricciones anteriores.

Definición de sistemas de tiempo discreto

La definición de sistemas de tiempo discreto es casi idéntica a la de los sistemas de tiempo continuo. La siguiente definición proporciona esto, utilizando un lenguaje alternativo comúnmente utilizado en más textos matemáticos.

Sea ( X , d ) un espacio métrico y f  : X → X una función continua . Un punto x en X se dice que es estable de Lyapunov si,

${\displaystyle \forall \epsilon >0\ \exists \delta >0\ \forall y\in X\ \left[d(x,y)<\delta \Rightarrow \forall n\in \mathbf {N} \ d\left(f^{n}(x),f^{n}(y)\right)<\epsilon \right].}$

Decimos que x es asintóticamente estable si pertenece al interior de su conjunto estable , es decir, si,

${\displaystyle \exists \delta >0\left[d(x,y)<\delta \Rightarrow \lim _{n\to \infty }d\left(f^{n}(x),f^{n}(y)\right)=0\right].}$

Estabilidad para modelos de espacio de estados lineales.

Un modelo de espacio de estados lineal

${\displaystyle {\dot {\textbf {x}}}=A{\textbf {x}}}$,

donde es una matriz finita, es asintóticamente estable (de hecho, exponencialmente estable ) si todas las partes reales de los valores propios de son negativas. Esta condición es equivalente a la siguiente: ^[12] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle A^{\textsf {T}}M+MA}$

es definida negativa para alguna matriz definida positiva . (La función de Lyapunov relevante es ). ${\displaystyle M=M^{\textsf {T}}}$ ${\displaystyle V(x)=x^{\textsf {T}}Mx}$

En consecuencia, un modelo de espacio de estados lineal discreto en el tiempo

${\displaystyle {\textbf {x}}_{t+1}=A{\textbf {x}}_{t}}$

es asintóticamente estable (de hecho, exponencialmente estable) si todos los valores propios de tienen un módulo menor que uno. ${\displaystyle A}$

Esta última condición se ha generalizado a los sistemas conmutados: un sistema de tiempo discreto conmutado lineal (regido por un conjunto de matrices ) ${\displaystyle \{A_{1},\dots ,A_{m}\}}$

${\displaystyle {{\textbf {x}}_{t+1}}=A_{i_{t}}{\textbf {x}}_{t},\quad A_{i_{t}}\in \{A_{1},\dots ,A_{m}\}}$

es asintóticamente estable (de hecho, exponencialmente estable) si el radio espectral conjunto del conjunto es menor que uno. ${\displaystyle \{A_{1},\dots ,A_{m}\}}$

Estabilidad para sistemas con entradas.

Un sistema con entradas (o controles) tiene la forma

${\displaystyle {\dot {\textbf {x}}}={\textbf {f}}({\textbf {x}},{\textbf {u}})}$

donde la entrada (generalmente dependiente del tiempo) u(t) puede verse como una función de control , entrada externa , estímulo , perturbación o forzado . Se ha demostrado ^[13] que cerca de un punto de equilibrio que es estable según Lyapunov, el sistema permanece estable ante pequeñas perturbaciones. Para perturbaciones de entrada mayores, el estudio de dichos sistemas es objeto de la teoría de control y se aplica en la ingeniería de control . Para sistemas con insumos, se debe cuantificar el efecto de los insumos sobre la estabilidad del sistema. Los dos enfoques principales para este análisis son la estabilidad BIBO (para sistemas lineales ) y la estabilidad de entrada a estado (ISS) (para sistemas no lineales ).

Ejemplo

Este ejemplo muestra un sistema en el que se puede utilizar una función de Lyapunov para demostrar la estabilidad de Lyapunov pero no puede mostrar estabilidad asintótica. Considere la siguiente ecuación, basada en la ecuación del oscilador de Van der Pol con el término de fricción cambiado:

${\displaystyle {\ddot {y}}+y-\varepsilon \left({\frac {{\dot {y}}^{3}}{3}}-{\dot {y}}\right)=0.}$

Dejar

${\displaystyle x_{1}=y,x_{2}={\dot {y}}}$

para que el sistema correspondiente sea

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\dot {x}}_{1}=x_{2},\\&{\dot {x}}_{2}=-x_{1}+\varepsilon \left({\frac {x_{2}^{3}}{3}}-{x_{2}}\right).\end{aligned}}}$

El origen es el único punto de equilibrio. Elijamos como función de Lyapunov ${\displaystyle x_{1}=0,\ x_{2}=0}$

${\displaystyle V={\frac {1}{2}}\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\right)}$

lo cual es claramente positivo y definitivo . Su derivada es

${\displaystyle {\dot {V}}=x_{1}{\dot {x}}_{1}+x_{2}{\dot {x}}_{2}=x_{1}x_{2}-x_{1}x_{2}+\varepsilon {\frac {x_{2}^{4}}{3}}-\varepsilon {x_{2}^{2}}=\varepsilon {\frac {x_{2}^{4}}{3}}-\varepsilon {x_{2}^{2}}.}$

Parece que si el parámetro es positivo, la estabilidad es asintótica para Pero esto es incorrecto, ya que no depende de y será 0 en todas partes del eje. El equilibrio es estable de Lyapunov pero no asintóticamente estable. ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle x_{2}^{2}<3.}$ ${\displaystyle {\dot {V}}}$ ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle x_{1}}$

El lema de Barbalat y la estabilidad de sistemas variables en el tiempo

Supongamos que f es función únicamente del tiempo.

• Tener no implica que tenga un límite en . Por ejemplo, . ${\displaystyle {\dot {f}}(t)\to 0}$ ${\displaystyle f(t)}$ ${\displaystyle t\to \infty }$ ${\displaystyle f(t)=\sin(\ln(t)),\;t>0}$
• El hecho de haberse acercado a un límite no implica eso . Por ejemplo, . ${\displaystyle f(t)}$ ${\displaystyle t\to \infty }$ ${\displaystyle {\dot {f}}(t)\to 0}$ ${\displaystyle f(t)=\sin \left(t^{2}\right)/t,\;t>0}$
• Tener acotado inferior y decreciente ( ) implica que converge a un límite. Pero no dice si es así o no . ${\displaystyle f(t)}$ ${\displaystyle {\dot {f}}\leq 0}$ ${\displaystyle {\dot {f}}\to 0}$ ${\displaystyle t\to \infty }$

El Lema de Barbalat dice:

Si tiene un límite finito como y si es uniformemente continuo (una condición suficiente para la continuidad uniforme es que esté acotado), entonces como . ^[14] ${\displaystyle f(t)}$ ${\displaystyle t\to \infty }$ ${\displaystyle {\dot {f}}}$ ${\displaystyle {\ddot {f}}}$ ${\displaystyle {\dot {f}}(t)\to 0}$ ${\displaystyle t\to \infty }$

Una versión alternativa es la siguiente:

Deja y . Si y , entonces como ^[15] ${\displaystyle p\in [1,\infty )}$ ${\displaystyle q\in (1,\infty ]}$ ${\displaystyle f\in L^{p}(0,\infty )}$ ${\displaystyle {\dot {f}}\in L^{q}(0,\infty )}$ ${\displaystyle f(t)\to 0}$ ${\displaystyle t\to \infty .}$

En la siguiente forma, el lema es verdadero también en el caso de valores vectoriales:

Sea una función uniformemente continua con valores en un espacio de Banach y supongamos que tiene un límite finito como . Entonces como . ^[dieciséis] ${\displaystyle f(t)}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \textstyle \int _{0}^{t}f(\tau )\mathrm {d} \tau }$ ${\displaystyle t\to \infty }$ ${\displaystyle f(t)\to 0}$ ${\displaystyle t\to \infty }$

El siguiente ejemplo está tomado de la página 125 del libro Applied Nonlinear Control de Slotine y Li .

Considere un sistema no autónomo

${\displaystyle {\dot {e}}=-e+g\cdot w(t)}$

${\displaystyle {\dot {g}}=-e\cdot w(t).}$

Esto no es autónomo porque la entrada es función del tiempo. Supongamos que la entrada está acotada. ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle w(t)}$

tomando da ${\displaystyle V=e^{2}+g^{2}}$ ${\displaystyle {\dot {V}}=-2e^{2}\leq 0.}$

Esto dice que por las dos primeras condiciones y, por tanto, y están acotados. Pero no dice nada sobre la convergencia de a cero. Además, el teorema del conjunto invariante no se puede aplicar porque la dinámica no es autónoma. ${\displaystyle V(t)\leq V(0)}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle e}$

Usando el lema de Barbalat:

${\displaystyle {\ddot {V}}=-4e(-e+g\cdot w)}$.

Esto está acotado porque y están acotados. Esto implica como y por tanto . Esto prueba que el error converge. ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle {\dot {V}}\to 0}$ ${\displaystyle t\to \infty }$ ${\displaystyle e\to 0}$

Ver también

• función de Lyapunov
• Principio de invariancia de LaSalle
• Teorema de Lyapunov-Malkin
• Conjetura de Markus-Yamabe
• Órbita del punto de libración
• Teorema de Hartman-Grobman
• Teoría de la perturbación

Referencias

1. Lyapunov, AM El problema general de la estabilidad del movimiento (en ruso), tesis doctoral, Univ. Kharkov 1892 Traducciones al inglés: (1) Stability of Motion , Academic Press, Nueva York y Londres, 1966 (2) The General Problem of the Stability of Motion , (AT Fuller trad.) Taylor & Francis, Londres 1992. Se incluye un biografía de Smirnov y una extensa bibliografía de la obra de Lyapunov.
2. Chetaev, NG Sobre trayectorias estables de la dinámica, Kazan Univ Sci Notes, vol.4 no.1 1936; La estabilidad del movimiento, publicado originalmente en ruso en 1946 por ОГИЗ. Гос. изд-во технико-теорет. лит., Москва-Ленинград. Traducido por Morton Nadler, Oxford, 1961, 200 páginas.
3. Letov, AM (1955). Устойчивость нелинейных регулируемых систем [ Estabilidad de sistemas de control no lineales ] (en ruso). Moscú: Gostekhizdat.trad. inglesa. Princeton 1961
4. Kalman, RE ; Bertram, JF (1960). "Análisis y diseño de sistemas de control mediante el" segundo método "de Lyapunov: I — Sistemas de tiempo continuo". Revista de Ingeniería Básica . 82 (2): 371–393. doi :10.1115/1.3662604.
5. LaSalle, JP ; Lefschetz, S. (1961). Estabilidad por el segundo método de Lyapunov con aplicaciones . Nueva York: Academic Press.
6. Parques, PC (1962). "El método de Liapunov en la teoría del control automático". Control . I noviembre de 1962 II diciembre de 1962.
7. Kalman, RE (1963). "Lyapunov funciona para el problema de Lur'e en control automático". Proc Natl Acad Sci Estados Unidos . 49 (2): 201–205. Código bibliográfico : 1963PNAS...49..201K. doi : 10.1073/pnas.49.2.201 . PMC 299777 . PMID  16591048. 
8. Smith, MJ; Wisten, MB (1995). "Un modelo de asignación de tráfico continuo en el día a día y la existencia de un equilibrio dinámico continuo de usuarios". Anales de investigación de operaciones . 60 (1): 59–79. doi :10.1007/BF02031940. S2CID  14034490.
9. Hahn, Wolfgang (1967). Estabilidad del movimiento. Saltador. págs. 191–194, sección 40. doi :10.1007/978-3-642-50085-5. ISBN 978-3-642-50087-9.
10. Braun, Philipp; Grune, Lars; Kellett, Christopher M. (2021). (In-)estabilidad de inclusiones diferenciales: nociones, equivalencias y caracterizaciones tipo Lyapunov. Saltador. Págs. 19 y 20, ejemplo 2.18. doi :10.1007/978-3-030-76317-6. ISBN 978-3-030-76316-9. S2CID  237964551.
11. Vinogrado, RE (1957). "La insuficiencia del método de exponentes característicos para el estudio de ecuaciones diferenciales no lineales". Doklady Akademii Nauk (en ruso). 114 (2): 239–240.
12. Goh, BS (1977). "Estabilidad global en sistemas de muchas especies". El naturalista americano . 111 (977): 135-143. doi :10.1086/283144. S2CID  84826590.
13. Teoría de la estabilidad del movimiento de Malkin IG, Moscú 1952 (Gostekhizdat) Capítulo II para 4 (ruso) Engl. transl, Oficina de Servicios Lingüísticos, Washington AEC -tr-3352; originalmente Sobre la estabilidad bajo perturbaciones que actúan constantemente Prikl Mat 1944, vol. 8 n° 3 241-245 (ruso); América. Matemáticas. Soc. trad. No. 8
14. I. Barbălat, Systèmes d'équations différentielles d'oscillations non Linéaires, Rev. Math. Pures Appl. 4 (1959) 267–270, pág. 269.
15. B. Farkas et al., Variaciones sobre el lema de Barbălat, Amer. Matemáticas. Mensual (2016) 128, núm. 8, 825-830, DOI: 10.4169/amer.math.monthly.123.8.825, pág. 827.
16. B. Farkas et al., Variaciones sobre el lema de Barbălat, Amer. Matemáticas. Mensual (2016) 128, núm. 8, 825-830, DOI: 10.4169/amer.math.monthly.123.8.825, pág. 826.

Otras lecturas

• Bhatia, Nam Parshad; Szegő, Giorgio P. (2002). Teoría de la estabilidad de sistemas dinámicos . Saltador. ISBN 978-3-540-42748-3.
• Chervin, Robert (1971). Estabilidad de Lyapunov y control de retroalimentación de sistemas de plasma de dos corrientes (PhD). Universidad de Colombia.
• Gandolfo, Giancarlo (1996). Dinámica económica (Tercera ed.). Berlín: Springer. págs. 407–428. ISBN 978-3-540-60988-9.
• Parques, PC (1992). "La teoría de la estabilidad de AM Lyapunov: 100 años después". Revista IMA de información y control matemático . 9 (4): 275–303. doi :10.1093/imamci/9.4.275.
• Slotine, Jean-Jacques E.; Weiping Li (1991). Control no lineal aplicado . Nueva Jersey: Prentice Hall.
• Teschl, G. (2012). Ecuaciones diferenciales ordinarias y sistemas dinámicos. Providencia : Sociedad Matemática Estadounidense . ISBN 978-0-8218-8328-0.
• Wiggins, S. (2003). Introducción al caos y los sistemas dinámicos no lineales aplicados (2ª ed.). Nueva York: Springer Verlag . ISBN 978-0-387-00177-7.

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