Principio de invariancia de LaSalle

El principio de invariancia de LaSalle (también conocido como principio de invariancia , ^[1] principio de Barbashin-Krasovskii-LaSalle , ^[2] o principio de Krasovskii-LaSalle ) es un criterio para la estabilidad asintótica de un sistema dinámico autónomo (posiblemente no lineal) .

Versión global

Supongamos que un sistema se representa como

${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}=f\left(\mathbf {x} \right)}$

donde es el vector de variables, con ${\displaystyle \mathbf {x} }$

${\displaystyle f\left(\mathbf {0} \right)=\mathbf {0} .}$

Si se puede encontrar una función (ver Suavidad ) tal que ${\displaystyle C^{1}}$ ${\displaystyle V(\mathbf {x} )}$

${\displaystyle {\dot {V}}(\mathbf {x} )\leq 0}$ para todos (semidefinido negativo), ${\displaystyle \mathbf {x} }$

entonces el conjunto de puntos de acumulación de cualquier trayectoria ^{[ aclaración necesaria ]} está contenido en donde es la unión de trayectorias completas contenidas enteramente en el conjunto . ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ ${\displaystyle \{\mathbf {x} :{\dot {V}}(\mathbf {x} )=0\}}$

Si además tenemos que la función es definida positiva, es decir ${\displaystyle V}$

${\displaystyle V(\mathbf {x} )>0}$, para todos ${\displaystyle \mathbf {x} \neq \mathbf {0} }$

${\displaystyle V(\mathbf {0} )=0}$

y si no contiene ninguna trayectoria del sistema excepto la trayectoria trivial para , entonces el origen es asintóticamente estable . ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ ${\displaystyle \mathbf {x} (t)=\mathbf {0} }$ ${\displaystyle t\geq 0}$

Además, si no está acotado radialmente, es decir ${\displaystyle V}$

${\displaystyle V(\mathbf {x} )\to \infty }$, como ${\displaystyle \Vert \mathbf {x} \Vert \to \infty }$

entonces el origen es globalmente asintóticamente estable .

Versión local

Si

${\displaystyle V(\mathbf {x} )>0}$, cuando ${\displaystyle \mathbf {x} \neq \mathbf {0} }$

${\displaystyle {\dot {V}}(\mathbf {x} )\leq 0}$

se mantiene sólo en algún vecindario del origen y el conjunto ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ${\displaystyle D}$

${\displaystyle \{{\dot {V}}(\mathbf {x} )=0\}\cap D}$

no contiene ninguna trayectoria del sistema además de la trayectoria , entonces la versión local del principio de invariancia establece que el origen es localmente asintóticamente estable . ${\displaystyle \mathbf {x} (t)=\mathbf {0} ,t\geq 0}$

Relación con la teoría de Lyapunov

Si es definida negativa, entonces la estabilidad asintótica global del origen es una consecuencia del segundo teorema de Lyapunov . El principio de invariancia proporciona un criterio para la estabilidad asintótica en el caso en que es solo semidefinida negativa. ${\displaystyle {\dot {V}}(\mathbf {x} )}$ ${\displaystyle {\dot {V}}(\mathbf {x} )}$

Ejemplos

Una gráfica del campo vectorial y la función de Lyapunov . ${\displaystyle ({\dot {x}},{\dot {y}})=(-y-x^{3},x^{5})}$ ${\displaystyle V(x,y)=x^{6}+3y^{2}}$

Ejemplo sencillo

Ejemplo tomado de "Principio de invariancia de LaSalle, lección 23, Matemáticas 634", de Christopher Grant . ^[3]

Consideremos el campo vectorial en el plano. La función satisface y no tiene límites radiales, lo que demuestra que el origen es globalmente asintóticamente estable. ${\displaystyle ({\dot {x}},{\dot {y}})=(-y-x^{3},x^{5})}$ ${\displaystyle V(x,y)=x^{6}+3y^{2}}$ ${\displaystyle {\dot {V}}=-6x^{8}}$

Péndulo con fricción

En esta sección se aplicará el principio de invariancia para establecer la estabilidad asintótica local de un sistema simple, el péndulo con fricción. Este sistema puede ser modelado con la ecuación diferencial ^[4]

${\displaystyle ml{\ddot {\theta }}=-mg\sin \theta -kl{\dot {\theta }}}$

donde es el ángulo que forma el péndulo con la normal vertical, es la masa del péndulo, es la longitud del péndulo, es el coeficiente de fricción y g es la aceleración debida a la gravedad. ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle k}$

Esto, a su vez, puede escribirse como el sistema de ecuaciones.

${\displaystyle {\dot {x}}_{1}=x_{2}}$

${\displaystyle {\dot {x}}_{2}=-{\frac {g}{l}}\sin x_{1}-{\frac {k}{m}}x_{2}}$

Utilizando el principio de invariancia, se puede demostrar que todas las trayectorias que comienzan en una bola de cierto tamaño alrededor del origen convergen asintóticamente al origen. Definimos como ${\displaystyle x_{1}=x_{2}=0}$ ${\displaystyle V(x_{1},x_{2})}$

${\displaystyle V(x_{1},x_{2})={\frac {g}{l}}(1-\cos x_{1})+{\frac {1}{2}}x_{2}^{2}}$

Esta es simplemente la energía escalada del sistema. ^[4] Claramente, es definida positiva en una esfera abierta de radio alrededor del origen. Calculando la derivada, ${\displaystyle V(x_{1},x_{2})}$ ${\displaystyle V(x_{1},x_{2})}$ ${\displaystyle \pi }$

${\displaystyle {\dot {V}}(x_{1},x_{2})={\frac {g}{l}}\sin x_{1}{\dot {x}}_{1}+x_{2}{\dot {x}}_{2}=-{\frac {k}{m}}x_{2}^{2}}$

Observe que y . Si fuera cierto que , podríamos concluir que toda trayectoria se acerca al origen por el segundo teorema de Lyapunov . Desafortunadamente, y es solo semidefinido negativo ya que puede ser distinto de cero cuando . Sin embargo, el conjunto ${\displaystyle V(0)=0}$ ${\displaystyle {\dot {V}}(0)=0}$ ${\displaystyle {\dot {V}}<0}$ ${\displaystyle {\dot {V}}\leq 0}$ ${\displaystyle {\dot {V}}}$ ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle {\dot {V}}=0}$

${\displaystyle S=\{(x_{1},x_{2})|{\dot {V}}(x_{1},x_{2})=0\}}$

que es simplemente el conjunto

${\displaystyle S=\{(x_{1},x_{2})|x_{2}=0\}}$

no contiene ninguna trayectoria del sistema, excepto la trayectoria trivial . En efecto, si en algún momento , , entonces porque debe ser menor que lejos del origen, y . Como resultado, la trayectoria no permanecerá en el conjunto . ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle x_{2}(t)=0}$ ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \sin x_{1}\neq 0}$ ${\displaystyle {\dot {x}}_{2}(t)\neq 0}$ ${\displaystyle S}$

Se satisfacen todas las condiciones de la versión local del principio de invariancia y podemos concluir que toda trayectoria que comienza en algún vecindario del origen convergerá al origen como . ^[5] ${\displaystyle t\rightarrow \infty }$

Historia

El resultado general fue descubierto independientemente por JP LaSalle (entonces en RIAS ) y NN Krasovskii , quienes lo publicaron en 1960 y 1959 respectivamente. Si bien LaSalle fue el primer autor en Occidente en publicar el teorema general en 1960, un caso especial del teorema fue comunicado en 1952 por Barbashin y Krasovskii , seguido por una publicación del resultado general en 1959 por Krasovskii . ^[6]

Véase también

• Teoría de la estabilidad
• Estabilidad de Lyapunov

Documentos originales

• LaSalle, JP Algunas extensiones del segundo método de Liapunov, IRE Transactions on Circuit Theory, CT-7, págs. 520–527, 1960. (PDF archivado el 30 de abril de 2019 en Wayback Machine )
• Barbashin, EA; Nikolai N. Krasovskii (1952). Об устойчивости движения в целом[Sobre la estabilidad del movimiento en su conjunto]. Doklady Akademii Nauk SSSR (en ruso). 86 : 453–456.
• Krasovskii, NN Problemas de la teoría de la estabilidad del movimiento, (ruso), 1959. Traducción al inglés: Stanford University Press, Stanford, CA, 1963.

Libros de texto

• LaSalle, JP ; Lefschetz, S. (1961). Estabilidad por el método directo de Liapunov . Academic Press.
• Haddad, WM ; Chellaboina, VS (2008). Sistemas dinámicos no lineales y control, un enfoque basado en Lyapunov. Princeton University Press. ISBN 9780691133294.
• Teschl, G. (2012). Ecuaciones diferenciales ordinarias y sistemas dinámicos. Providence : American Mathematical Society . ISBN 978-0-8218-8328-0.
• Wiggins, S. (2003). Introducción a los sistemas dinámicos no lineales aplicados y al caos (2.ª ed.). Nueva York : Springer Verlag . ISBN. 0-387-00177-8.

Conferencias

• Notas de la Universidad Texas A&M sobre el principio de invariancia (PDF)
• Notas de la Universidad Estatal de Carolina del Norte sobre el principio de invariancia de LaSalle (PDF).
• Notas de Caltech sobre el principio de invariancia de LaSalle (PDF).
• Notas del MIT OpenCourseware sobre el análisis de estabilidad de Lyapunov y el principio de invariancia (PDF).

Referencias

1. Khalil, Hasan (2002). Sistemas no lineales (3.ª ed.). Upper Saddle River, Nueva Jersey: Prentice Hall.
2. Wassim, Haddad; Chellaboina, VijaySekhar (2008). Sistemas dinámicos no lineales y control, un enfoque basado en Lyapunov . Princeton University Press.
3. Grant, Christopher (22 de octubre de 1999). «Principio de invariancia de LaSalle, lección 23, Matemáticas 634» (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 14 de julio de 2019. Consultado el 28 de junio de 2022 .
4. Notas de clase sobre control no lineal, Universidad de Notre Dame, Instructor: Michael Lemmon, clase 4.
5. Notas de clase sobre análisis no lineal, Universidad Nacional de Taiwán, Instructor: Feng-Li Lian, clase 4-2.
6. Vidyasagar, M. Análisis de sistemas no lineales, Clásicos SIAM en Matemáticas Aplicadas, SIAM Press, 2002.