Difeomorfismo de Anosov

Diffeomorfismo que tiene una estructura hiperbólica en el paquete tangente

En matemáticas , más particularmente en los campos de los sistemas dinámicos y la topología geométrica , un mapa de Anosov en una variedad M es un cierto tipo de mapeo, de M a sí mismo, con direcciones locales de "expansión" y "contracción" bastante claramente marcadas. Los sistemas Anosov son un caso especial de los sistemas Axiom A.

Los difeomorfismos de Anosov fueron introducidos por Dmitri Victorovich Anosov , quien demostró que su comportamiento era, en un sentido apropiado, genérico (cuando existen). ^[1]

Descripción general

Hay que distinguir tres definiciones estrechamente relacionadas:

• Si un mapa diferenciable f en M tiene una estructura hiperbólica en el fibrado tangente , entonces se llama mapa de Anosov . Los ejemplos incluyen el mapa de Bernoulli y el mapa del gato de Arnold .
• Si el mapa es un difeomorfismo , entonces se llama difeomorfismo de Anosov .
• Si un flujo en una variedad divide el paquete tangente en tres subpaquetes invariantes , con un subpaquete que se contrae exponencialmente y otro que se expande exponencialmente, y un tercer subpaquete unidimensional que no se expande ni se contrae (abarcado por la dirección del flujo), entonces el flujo se llama flujo de Anosov .

Un ejemplo clásico de difeomorfismo de Anosov es el mapa del gato de Arnold .

Anosov demostró que los difeomorfismos de Anosov son estructuralmente estables y forman un subconjunto abierto de mapeos (flujos) con la topología C ¹ .

No todas las variedades admiten un difeomorfismo de Anosov; por ejemplo, no existen tales difeomorfismos en la esfera . Los ejemplos más simples de variedades compactas que los admiten son los toros: admiten los llamados difeomorfismos lineales de Anosov , que son isomorfismos que no tienen valor propio de módulo 1. Se demostró que cualquier otro difeomorfismo de Anosov en un toro está topológicamente conjugado con uno de estos. amable.

El problema de clasificar variedades que admiten difeomorfismos de Anosov resultó ser muy difícil y aún en 2023 ^[actualizar]no tiene respuesta para la dimensión superior a 3. Los únicos ejemplos conocidos son variedades infranil, y se conjetura que son los únicos.

Una condición suficiente para la transitividad es que todos los puntos no sean errantes: . Esto a su vez es válido para los difeomorfismos de Anosov de codimensión uno (es decir, aquellos para los cuales el subconjunto que se contrae o se expande es unidimensional) ^[2] y para los difeomorfismos de Anosov de codimensión uno fluyen en variedades de dimensión mayor que tres ^[3], así como para los de Anosov. Flujos cuyo espectro Mather está contenido en dos anillos suficientemente delgados. ^[4] No se sabe si los difeomorfismos de Anosov son transitivos (excepto en variedades infranil), pero los flujos de Anosov no necesitan ser topológicamente transitivos. ^[5] ${\displaystyle \Omega (f)=M}$

Además, se desconoce si cada difeomorfismo de Anosov que conserva el volumen es ergódico. Anosov lo demostró bajo una suposición. También es válido para los difeomorfismos de Anosov que conservan el volumen. ${\displaystyle C^{1}}$ ${\displaystyle C^{2}}$ ${\displaystyle C^{1+\alpha }}$

Para el difeomorfismo transitivo de Anosov existe una medida SRB única (el acrónimo significa Sinai, Ruelle y Bowen) sustentada de tal manera que su cuenca sea de volumen completo, donde ${\displaystyle C^{2}}$ ${\displaystyle f\colon M\to M}$ ${\displaystyle \mu _{f}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle B(\mu _{f})}$

${\displaystyle B(\mu _{f})=\left\{x\in M:{\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}\delta _{f^{k}x}\to \mu _{f}\right\}.}$

Flujo de Anosov sobre (haces tangentes de) superficies de Riemann

A modo de ejemplo, esta sección desarrolla el caso del flujo de Anosov sobre el haz tangente de una superficie de Riemann de curvatura negativa . Este flujo puede entenderse en términos del flujo en el haz tangente del modelo de semiplano de geometría hiperbólica de Poincaré. Las superficies de Riemann de curvatura negativa pueden definirse como modelos fucsianos , es decir, como los cocientes del semiplano superior y un grupo fucsiano . Para lo siguiente, sea H el semiplano superior; sea ​​Γ un grupo fucsiano; sea ​​M  =  H /Γ una superficie de Riemann de curvatura negativa como el cociente de "M" por la acción del grupo Γ, y sea el paquete tangente de vectores de longitud unitaria en la variedad M , y sea el paquete tangente de vectores unitarios de longitud en H . Tenga en cuenta que un conjunto de vectores de longitud unitaria sobre una superficie es el conjunto principal de un conjunto de líneas complejas . ${\displaystyle T^{1}M}$ ${\displaystyle T^{1}H}$

Campos vectoriales de mentira

Se comienza observando que es isomorfo al grupo de Lie PSL(2, R ) . Este grupo es el grupo de isometrías del semiplano superior que preservan la orientación . El álgebra de Lie de PSL(2, R ) es sl(2, R ), y está representada por las matrices ${\displaystyle T^{1}H}$

${\displaystyle J={\begin{pmatrix}1/2&0\\0&-1/2\\\end{pmatrix}}\qquad X={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\\\end{pmatrix}}\qquad Y={\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}}}$

que tienen el álgebra

${\displaystyle [J,X]=X\qquad [J,Y]=-Y\qquad [X,Y]=2J}$

Los mapas exponenciales

${\displaystyle g_{t}=\exp(tJ)={\begin{pmatrix}e^{t/2}&0\\0&e^{-t/2}\\\end{pmatrix}}\qquad h_{t}^{*}=\exp(tX)={\begin{pmatrix}1&t\\0&1\\\end{pmatrix}}\qquad h_{t}=\exp(tY)={\begin{pmatrix}1&0\\t&1\\\end{pmatrix}}}$

defina flujos invariantes a la derecha en la variedad de y también en . Al definir y , estos flujos definen campos vectoriales en P y Q , cuyos vectores se encuentran en TP y TQ . Estos son solo los campos vectoriales de Lie estándar y ordinarios en la variedad de un grupo de Lie, y la presentación anterior es una exposición estándar de un campo vectorial de Lie. ${\displaystyle T^{1}H=\operatorname {PSL} (2,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle T^{1}M}$ ${\displaystyle P=T^{1}H}$ ${\displaystyle Q=T^{1}M}$

flujo de anosov

La conexión con el flujo de Anosov proviene de la comprensión de que es el flujo geodésico en P y Q. Como los campos vectoriales de mentira (por definición) se dejan invariantes bajo la acción de un elemento de grupo, se tiene que estos campos se dejan invariantes bajo los elementos específicos del flujo geodésico. En otras palabras, los espacios TP y TQ se dividen en tres espacios unidimensionales, o subconjuntos , cada uno de los cuales es invariante bajo el flujo geodésico. El paso final es observar que los campos vectoriales en un subconjunto se expanden (y se expanden exponencialmente), los de otro no cambian y los de un tercero se contraen (y lo hacen exponencialmente). ${\displaystyle g_{t}}$ ${\displaystyle g_{t}}$

Más precisamente, el paquete tangente TQ puede escribirse como la suma directa

${\displaystyle TQ=E^{+}\oplus E^{0}\oplus E^{-}}$

o, en un punto , la suma directa ${\displaystyle g\cdot e=q\in Q}$

${\displaystyle T_{q}Q=E_{q}^{+}\oplus E_{q}^{0}\oplus E_{q}^{-}}$

correspondiente a los generadores de álgebra de Lie Y , J y X , respectivamente, llevados, por la acción izquierda del elemento del grupo g , desde el origen e hasta el punto q . Es decir, se tiene y . Estos espacios son cada uno de ellos subconjuntos y se conservan (son invariantes) bajo la acción del flujo geodésico ; es decir, bajo la acción de elementos del grupo . ${\displaystyle E_{e}^{+}=Y,E_{e}^{0}=J}$ ${\displaystyle E_{e}^{-}=X}$ ${\displaystyle g=g_{t}}$

Para comparar las longitudes de vectores en diferentes puntos q , se necesita una métrica. Cualquier producto interno en se extiende a una métrica de Riemann invariante a la izquierda en P y, por tanto, a una métrica de Riemann en Q. La longitud de un vector se expande exponencialmente como exp(t) bajo la acción de . La longitud de un vector se reduce exponencialmente como exp(-t) bajo la acción de . Los vectores en no cambian. Esto se puede ver examinando cómo se conmutan los elementos del grupo. El flujo geodésico es invariante, ${\displaystyle T_{q}Q}$ ${\displaystyle T_{e}P=sl(2,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle v\in E_{q}^{+}}$ ${\displaystyle g_{t}}$ ${\displaystyle v\in E_{q}^{-}}$ ${\displaystyle g_{t}}$ ${\displaystyle E_{q}^{0}}$

${\displaystyle g_{s}g_{t}=g_{t}g_{s}=g_{s+t}}$

pero los otros dos se encogen y se expanden:

${\displaystyle g_{s}h_{t}^{*}=h_{t\exp(-s)}^{*}g_{s}}$

y

${\displaystyle g_{s}h_{t}=h_{t\exp(s)}g_{s}}$

donde recordemos que un vector tangente en viene dado por la derivada , respecto de t , de la curva , el ajuste . ${\displaystyle E_{q}^{+}}$ ${\displaystyle h_{t}}$ ${\displaystyle t=0}$

Interpretación geométrica del flujo de Anosov.

Al actuar sobre el punto del semiplano superior, corresponde a una geodésica sobre el semiplano superior, que pasa por el punto . La acción es la acción de transformación estándar de Möbius de SL(2, R ) en el semiplano superior, de modo que ${\displaystyle z=i}$ ${\displaystyle g_{t}}$ ${\displaystyle z=i}$

${\displaystyle g_{t}\cdot i={\begin{pmatrix}\exp(t/2)&0\\0&\exp(-t/2)\end{pmatrix}}\cdot i=i\exp(t)}$

Una geodésica general está dada por

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\cdot i\exp(t)={\frac {ai\exp(t)+b}{ci\exp(t)+d}}}$

con a , b , cyd reales , con . Las curvas y se llaman horociclos . Los horociclos corresponden al movimiento de los vectores normales de una horósfera en el semiplano superior. ${\displaystyle ad-bc=1}$ ${\displaystyle h_{t}^{*}}$ ${\displaystyle h_{t}}$

Ver también

• flujo ergódico
• Sistema Morse-Smale
• Mapa pseudo-Anosov

Notas

1. Dmitri V. Anosov , Flujos geodésicos en variedades de Riemann cerradas con curvatura negativa , (1967) Proc. Instituto Steklov. Matemáticas. 90 .
2. Casa nueva, Sheldon E. (1970). "Sobre los difeomorfismos de codimensión uno de Anosov". Revista Estadounidense de Matemáticas . 92 : 761–770. doi :10.2307/2373372.
3. Verjovsky, Alberto (1974). "Codimension one Anosov fluye". Boletín de la Sociedad Matemática Mexicana. Segunda Serie . 19 (2): 49–77.
4. Brin, MI (1977). "Puntos no errantes de los difeomorfismos de Anosov". Astérisque . 49 : 11-18.
5. Béguin, François; Bonatti, cristiano; Yu, Bin (2017). "La construcción de Anosov fluye en 3 colectores". Geometría y topología . 21 (3): 1837-1930. doi :10.2140/gt.2017.21.1837.

Referencias

• "Sistema Y, sistema U, sistema C", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Anthony Manning, Dinámica de flujos geodésicos y horocíclicos en superficies de curvatura negativa constante , (1991), que aparece como Capítulo 3 en Teoría ergódica, dinámica simbólica y espacios hiperbólicos , Tim Bedford, Michael Keane y Caroline Series, Eds. Prensa de la Universidad de Oxford, Oxford (1991). ISBN 0-19-853390-X (Proporciona una introducción expositiva al flujo de Anosov en SL (2, R ).) 
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• Toshikazu Sunada , Flujos magnéticos sobre una superficie de Riemann , Proc. Matemáticas KAIST. Taller (1993), 93–108.