Transformación de Möbius

Rational function of the form (az + b)/(cz + d)

En geometría y análisis complejo , una transformación de Möbius del plano complejo es una función racional de la forma de una variable compleja z ; aquí los coeficientes a , b , c , d son números complejos que satisfacen ad − bc ≠ 0 . $${\displaystyle f(z)={\frac {az+b}{cz+d}}}$$

Geométricamente, una transformación de Möbius se puede obtener aplicando primero la proyección estereográfica inversa desde el plano a la esfera unitaria , moviendo y rotando la esfera a una nueva ubicación y orientación en el espacio, y luego aplicando una proyección estereográfica para mapear desde la esfera nuevamente al plano. ^[1] Estas transformaciones preservan los ángulos, mapean cada línea recta a una línea o círculo, y mapean cada círculo a una línea o círculo.

Las transformaciones de Möbius son las transformaciones proyectivas de la recta proyectiva compleja . Forman un grupo llamado grupo de Möbius , que es el grupo lineal proyectivo PGL(2, C ) . Junto con sus subgrupos , tiene numerosas aplicaciones en matemáticas y física.

Las geometrías de Möbius y sus transformaciones generalizan este caso a cualquier número de dimensiones sobre otros campos.

Las transformaciones de Möbius reciben su nombre en honor a August Ferdinand Möbius ; son un ejemplo de homografías , transformaciones fraccionarias lineales , transformaciones bilineales y transformaciones de espín (en la teoría de la relatividad). ^[2]

Descripción general

Las transformaciones de Möbius se definen en el plano complejo extendido (es decir, el plano complejo aumentado por el punto en el infinito ). ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {C} }}=\mathbb {C} \cup \{\infty \}}$

La proyección estereográfica se identifica con una esfera, que se denomina entonces esfera de Riemann ; alternativamente, se puede considerar como la línea proyectiva compleja . Las transformaciones de Möbius son exactamente las aplicaciones conformes biyectivas de la esfera de Riemann a sí misma, es decir, los automorfismos de la esfera de Riemann como una variedad compleja ; alternativamente, son los automorfismos de como una variedad algebraica. Por lo tanto, el conjunto de todas las transformaciones de Möbius forma un grupo bajo composición . Este grupo se llama grupo de Möbius y a veces se denota como . ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {C} }}}$ ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {C} }}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} \mathbb {P} ^{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} \mathbb {P} ^{1}}$ ${\displaystyle \operatorname {Aut} ({\widehat {\mathbb {C} }})}$

El grupo de Möbius es isomorfo al grupo de isometrías que preservan la orientación del 3-espacio hiperbólico y, por lo tanto, juega un papel importante al estudiar las 3-variedades hiperbólicas .

En física , el componente identidad del grupo de Lorentz actúa sobre la esfera celeste de la misma manera que el grupo de Möbius actúa sobre la esfera de Riemann. De hecho, estos dos grupos son isomorfos. Un observador que acelera a velocidades relativistas verá que el patrón de constelaciones visto cerca de la Tierra se transforma continuamente de acuerdo con transformaciones infinitesimales de Möbius. Esta observación se toma a menudo como el punto de partida de la teoría de twistores .

Ciertos subgrupos del grupo de Möbius forman los grupos de automorfismos de las otras superficies de Riemann simplemente conexas (el plano complejo y el plano hiperbólico ). Como tal, las transformaciones de Möbius juegan un papel importante en la teoría de superficies de Riemann . El grupo fundamental de cada superficie de Riemann es un subgrupo discreto del grupo de Möbius (ver grupo fuchsiano y grupo kleiniano ). Un subgrupo discreto particularmente importante del grupo de Möbius es el grupo modular ; es central para la teoría de muchos fractales , formas modulares , curvas elípticas y ecuaciones de Pellian .

Las transformaciones de Möbius pueden definirse de manera más general en espacios de dimensión n > 2 como las aplicaciones biyectivas conformes que preservan la orientación de la n -esfera a la n -esfera. Dicha transformación es la forma más general de aplicación conforme de un dominio. Según el teorema de Liouville, una transformación de Möbius puede expresarse como una composición de traslaciones, semejanzas , transformaciones ortogonales e inversiones.

Definición

La forma general de una transformación de Möbius está dada por donde a , b , c , d son números complejos cualesquiera que satisfagan ad − bc ≠ 0 . $${\displaystyle f(z)={\frac {az+b}{cz+d}},}$$

En el caso c ≠ 0 , esta definición se extiende a toda la esfera de Riemann definiendo $${\displaystyle f\left({\frac {-d}{c}}\right)=\infty {\text{ and }}f(\infty )={\frac {a}{c}}.}$$

Si c = 0 , definimos $${\displaystyle f(\infty )=\infty .}$$

Por lo tanto, una transformación de Möbius es siempre una función holomorfa biyectiva de la esfera de Riemann a la esfera de Riemann.

El conjunto de todas las transformaciones de Möbius forma un grupo bajo composición . A este grupo se le puede dar la estructura de una variedad compleja de tal manera que la composición y la inversión sean aplicaciones holomorfas . El grupo de Möbius es entonces un grupo de Lie complejo . El grupo de Möbius se denota usualmente como el grupo de automorfismos de la esfera de Riemann. ${\displaystyle \operatorname {Aut} ({\widehat {\mathbb {C} }})}$

Si ad = bc , la función racional definida anteriormente es una constante (a menos que c = d = 0 , en cuyo caso no está definida): donde se ignora una fracción con denominador cero. Una función constante no es biyectiva y, por lo tanto, no se considera una transformación de Möbius. $${\displaystyle {\frac {az+b}{cz+d}}={\frac {a}{c}}={\frac {b}{d}},}$$

Puntos fijos

Toda transformación de Möbius no idéntica tiene dos puntos fijos en la esfera de Riemann. Los puntos fijos se cuentan aquí con multiplicidad ; las transformaciones parabólicas son aquellas en las que los puntos fijos coinciden. Cualquiera de estos puntos fijos o ambos pueden ser el punto en el infinito. ${\displaystyle \gamma _{1},\gamma _{2}}$

Determinación de los puntos fijos

Los puntos fijos de la transformación se obtienen resolviendo la ecuación de punto fijo f ( γ ) = γ . Para c ≠ 0 , esto tiene dos raíces que se obtienen expandiendo esta ecuación a y aplicando la fórmula cuadrática . Las raíces son con discriminante donde la matriz representa la transformación. Las transformadas parabólicas tienen puntos fijos coincidentes debido al discriminante cero. Para c distinto de cero y discriminante distinto de cero, la transformada es elíptica o hiperbólica. $${\displaystyle f(z)={\frac {az+b}{cz+d}}}$$ $${\displaystyle c\gamma ^{2}-(a-d)\gamma -b=0\ ,}$$ $${\displaystyle \gamma _{1,2}={\frac {(a-d)\pm {\sqrt {(a-d)^{2}+4bc}}}{2c}}={\frac {(a-d)\pm {\sqrt {\Delta }}}{2c}}}$$ $${\displaystyle \Delta =(\operatorname {tr} {\mathfrak {H}})^{2}-4\det {\mathfrak {H}}=(a+d)^{2}-4(ad-bc),}$$ $${\displaystyle {\mathfrak {H}}={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}}$$

Cuando c = 0 , la ecuación cuadrática degenera en una ecuación lineal y la transformada es lineal. Esto corresponde a la situación en la que uno de los puntos fijos es el punto en el infinito. Cuando a ≠ d el segundo punto fijo es finito y está dado por $${\displaystyle \gamma =-{\frac {b}{a-d}}.}$$

En este caso la transformación será una transformación simple compuesta de traslaciones , rotaciones y dilataciones : $${\displaystyle z\mapsto \alpha z+\beta .}$$

Si c = 0 y a = d , entonces ambos puntos fijos están en el infinito y la transformación de Möbius corresponde a una traslación pura: $${\displaystyle z\mapsto z+\beta .}$$

Prueba topológica

Topológicamente, el hecho de que las transformaciones de Möbius (no identidad) fijen 2 puntos (con multiplicidad) corresponde a la característica de Euler de que la esfera es 2: $${\displaystyle \chi ({\hat {\mathbb {C} }})=2.}$$

En primer lugar, el grupo lineal proyectivo PGL(2, K ) es claramente 3-transitivo  : para dos ternas ordenadas cualesquiera de puntos distintos, existe una función única que lleva una terna a la otra, al igual que para las transformadas de Möbius, y por la misma prueba algebraica (esencialmente, conteo de dimensiones , ya que el grupo es tridimensional). Por lo tanto, cualquier función que fije al menos 3 puntos es la identidad.

A continuación, se puede ver al identificar el grupo de Möbius con que cualquier función de Möbius es homotópica a la función identidad. De hecho, cualquier miembro del grupo lineal general se puede reducir a la función identidad mediante la eliminación de Gauss-Jordan, lo que demuestra que el grupo lineal proyectivo también está conectado por trayectorias, lo que proporciona una homotopía a la función identidad. El teorema de Lefschetz-Hopf establece que la suma de los índices (en este contexto, la multiplicidad) de los puntos fijos de una función con un número finito de puntos fijos es igual al número de Lefschetz de la función, que en este caso es la traza de la función identidad en los grupos de homología, que es simplemente la característica de Euler. ${\displaystyle \mathrm {PGL} (2,\mathbb {C} )}$

Por el contrario, el grupo lineal proyectivo de la línea proyectiva real, PGL(2, R ), no necesita fijar ningún punto –por ejemplo, no tiene puntos fijos (reales): como transformación compleja, fija ± i ^{[nota 1]}  – mientras que la función 2 x fija los dos puntos de 0 e ∞. Esto corresponde al hecho de que la característica de Euler del círculo (línea proyectiva real) es 0, y por lo tanto el teorema de punto fijo de Lefschetz dice solamente que debe fijar al menos 0 puntos, pero posiblemente más. ${\displaystyle (1+x)/(1-x)}$

Forma normal

Las transformaciones de Möbius también se escriben a veces en función de sus puntos fijos en la llamada forma normal . Primero trataremos el caso no parabólico, para el cual hay dos puntos fijos distintos.

Caso no parabólico :

Toda transformación no parabólica es conjugada a una dilatación/rotación, es decir, una transformación de la forma ( k ∈ C ) con puntos fijos en 0 e ∞. Para ver esto, definamos una función que envíe los puntos ( γ ₁ , γ ₂ ) a (0, ∞). Aquí asumimos que γ ₁ y γ ₂ son distintos y finitos. Si uno de ellos ya está en el infinito, entonces g puede modificarse para fijar el infinito y enviar el otro punto a 0. $${\displaystyle z\mapsto kz}$$ $${\displaystyle g(z)={\frac {z-\gamma _{1}}{z-\gamma _{2}}}}$$

Si f tiene puntos fijos distintos ( γ ₁ , γ ₂ ) entonces la transformación tiene puntos fijos en 0 y ∞ y por lo tanto es una dilatación: . La ecuación de punto fijo para la transformación f puede entonces escribirse ${\displaystyle gfg^{-1}}$ ${\displaystyle gfg^{-1}(z)=kz}$ $${\displaystyle {\frac {f(z)-\gamma _{1}}{f(z)-\gamma _{2}}}=k{\frac {z-\gamma _{1}}{z-\gamma _{2}}}.}$$

Resolviendo f obtenemos (en forma matricial): o, si uno de los puntos fijos está en el infinito: $${\displaystyle {\mathfrak {H}}(k;\gamma _{1},\gamma _{2})={\begin{pmatrix}\gamma _{1}-k\gamma _{2}&(k-1)\gamma _{1}\gamma _{2}\\1-k&k\gamma _{1}-\gamma _{2}\end{pmatrix}}}$$ $${\displaystyle {\mathfrak {H}}(k;\gamma ,\infty )={\begin{pmatrix}k&(1-k)\gamma \\0&1\end{pmatrix}}.}$$

A partir de las expresiones anteriores se pueden calcular las derivadas de f en los puntos fijos: y $${\displaystyle f'(\gamma _{1})=k}$$ $${\displaystyle f'(\gamma _{2})=1/k.}$$

Obsérvese que, dado un orden de los puntos fijos, podemos distinguir uno de los multiplicadores ( k ) de f como la constante característica de f . Invertir el orden de los puntos fijos es equivalente a tomar el multiplicador inverso para la constante característica: $${\displaystyle {\mathfrak {H}}(k;\gamma _{1},\gamma _{2})={\mathfrak {H}}(1/k;\gamma _{2},\gamma _{1}).}$$

Para las transformaciones loxodrómicas, siempre que | k | > 1 , se dice que γ ₁ es el punto fijo repulsivo y γ ₂ es el punto fijo atractivo . Para | k | < 1 , los roles se invierten.

Caso parabólico :

En el caso parabólico sólo hay un punto fijo γ . La transformación que envía ese punto a ∞ es o la identidad si γ ya está en el infinito. La transformación fija el infinito y por lo tanto es una traslación: $${\displaystyle g(z)={\frac {1}{z-\gamma }}}$$ ${\displaystyle gfg^{-1}}$ $${\displaystyle gfg^{-1}(z)=z+\beta \,.}$$

Aquí, β se denomina longitud de traslación . La fórmula de punto fijo para una transformación parabólica es entonces $${\displaystyle {\frac {1}{f(z)-\gamma }}={\frac {1}{z-\gamma }}+\beta .}$$

Resolviendo f (en forma matricial) obtenemos : Nótese que $${\displaystyle {\mathfrak {H}}(\beta ;\gamma )={\begin{pmatrix}1+\gamma \beta &-\beta \gamma ^{2}\\\beta &1-\gamma \beta \end{pmatrix}}}$$ ${\displaystyle \det {\mathfrak {H}}(\beta ;\gamma )=|{\mathfrak {H}}(\beta ;\gamma )|=\det {\begin{pmatrix}1+\gamma \beta &-\beta \gamma ^{2}\\\beta &1-\gamma \beta \end{pmatrix}}=1-\gamma ^{2}\beta ^{2}+\gamma ^{2}\beta ^{2}=1}$

Si γ = ∞ : $${\displaystyle {\mathfrak {H}}(\beta ;\infty )={\begin{pmatrix}1&\beta \\0&1\end{pmatrix}}}$$

Nótese que β no es la constante característica de f , que siempre es 1 para una transformación parabólica. A partir de las expresiones anteriores se puede calcular: $${\displaystyle f'(\gamma )=1.}$$

Polos de la transformación

El punto se llama polo de ; es aquel punto que se transforma en el punto en el infinito bajo ⁠ ⁠ . ${\textstyle z_{\infty }=-{\frac {d}{c}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$

El polo inverso es aquel punto en el que se transforma el punto en el infinito. El punto medio entre los dos polos es siempre el mismo que el punto medio entre los dos puntos fijos: ${\textstyle Z_{\infty }={\frac {a}{c}}}$ $${\displaystyle \gamma _{1}+\gamma _{2}=z_{\infty }+Z_{\infty }.}$$

Estos cuatro puntos son los vértices de un paralelogramo que a veces se denomina paralelogramo característico de la transformación.

Se puede especificar una transformación con dos puntos fijos γ ₁ , γ ₂ y el polo . ${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$ ${\displaystyle z_{\infty }}$

$${\displaystyle {\mathfrak {H}}={\begin{pmatrix}Z_{\infty }&-\gamma _{1}\gamma _{2}\\1&-z_{\infty }\end{pmatrix}},\;\;Z_{\infty }=\gamma _{1}+\gamma _{2}-z_{\infty }.}$$

Esto nos permite derivar una fórmula para la conversión entre k y dado : que se reduce a ${\displaystyle z_{\infty }}$ ${\displaystyle \gamma _{1},\gamma _{2}}$ $${\displaystyle z_{\infty }={\frac {k\gamma _{1}-\gamma _{2}}{1-k}}}$$ $${\displaystyle k={\frac {\gamma _{2}-z_{\infty }}{\gamma _{1}-z_{\infty }}}={\frac {Z_{\infty }-\gamma _{1}}{Z_{\infty }-\gamma _{2}}}={\frac {a-c\gamma _{1}}{a-c\gamma _{2}}},}$$ $${\displaystyle k={\frac {(a+d)+{\sqrt {(a-d)^{2}+4bc}}}{(a+d)-{\sqrt {(a-d)^{2}+4bc}}}}.}$$

La última expresión coincide con una de las razones de valores propios (mutuamente recíprocas) de (compárese la discusión en la sección anterior sobre la constante característica de una transformación). Su polinomio característico es igual a que tiene raíces ${\textstyle {\frac {\lambda _{1}}{\lambda _{2}}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$ $${\displaystyle \det(\lambda I_{2}-{\mathfrak {H}})=\lambda ^{2}-\operatorname {tr} {\mathfrak {H}}\,\lambda +\det {\mathfrak {H}}=\lambda ^{2}-(a+d)\lambda +(ad-bc)}$$ $${\displaystyle \lambda _{i}={\frac {(a+d)\pm {\sqrt {(a-d)^{2}+4bc}}}{2}}={\frac {(a+d)\pm {\sqrt {(a+d)^{2}-4(ad-bc)}}}{2}}=c\gamma _{i}+d\,.}$$

Transformaciones y composiciones sencillas de Möbius

Una transformación de Möbius puede componerse como una secuencia de transformaciones simples.

Las siguientes transformaciones simples también son transformaciones de Möbius:

• ${\displaystyle f(z)=z+b\quad (a=1,c=0,d=1)}$es una traducción
• ${\displaystyle f(z)=az\quad (b=0,c=0,d=1)}$es una combinación de una homotecia y una rotación . Si entonces es una rotación, si entonces es una homotecia. ${\displaystyle |a|=1}$ ${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$
• ${\displaystyle f(z)=1/z\quad (a=0,b=1,c=1,d=0)}$( inversión y reflexión respecto al eje real)

Composición de transformaciones simples

Si , sea: ${\displaystyle c\neq 0}$

• ${\displaystyle f_{1}(z)=z+d/c\quad }$( traducción de d / c )
• ${\displaystyle f_{2}(z)=1/z\quad }$( inversión y reflexión respecto al eje real)
• ${\displaystyle f_{3}(z)={\frac {bc-ad}{c^{2}}}z\quad }$( homotecia y rotación )
• ${\displaystyle f_{4}(z)=z+a/c\quad }$(traducción por a / c )

Luego estas funciones se pueden componer , mostrando que, si se tiene En otros términos, se tiene con $${\displaystyle f(z)={\frac {az+b}{cz+d}},}$$ $${\displaystyle f=f_{4}\circ f_{3}\circ f_{2}\circ f_{1}.}$$ $${\displaystyle {\frac {az+b}{cz+d}}={\frac {a}{c}}+{\frac {e}{z+{\frac {d}{c}}}},}$$ $${\displaystyle e={\frac {bc-ad}{c^{2}}}.}$$

Esta descomposición hace evidentes muchas propiedades de la transformación de Möbius.

Propiedades elementales

Una transformación de Möbius es equivalente a una secuencia de transformaciones más simples. La composición hace evidentes muchas propiedades de la transformación de Möbius.

Fórmula para la transformación inversa

La existencia de la transformación inversa de Möbius y su fórmula explícita se derivan fácilmente mediante la composición de las funciones inversas de las transformaciones más simples. Es decir, definamos funciones g ₁ , g ₂ , g ₃ , g ₄ tales que cada g _i sea la inversa de f _i . Luego, la composición da una fórmula para la inversa. $${\displaystyle g_{1}\circ g_{2}\circ g_{3}\circ g_{4}(z)=f^{-1}(z)={\frac {dz-b}{-cz+a}}}$$

Conservación de ángulos y círculos generalizados.

A partir de esta descomposición, vemos que las transformaciones de Möbius transfieren todas las propiedades no triviales de la inversión del círculo . Por ejemplo, la preservación de los ángulos se reduce a demostrar que la inversión del círculo preserva los ángulos, ya que los otros tipos de transformaciones son las dilataciones y las isometrías (traslación, reflexión, rotación), que preservan los ángulos de manera trivial.

Además, las transformaciones de Möbius asignan círculos generalizados a círculos generalizados, ya que la inversión de círculos tiene esta propiedad. Un círculo generalizado es un círculo o una línea, siendo esta última considerada como un círculo que pasa por el punto en el infinito. Nótese que una transformación de Möbius no asigna necesariamente círculos a círculos y líneas a líneas: puede mezclar los dos. Incluso si asigna un círculo a otro círculo, no asigna necesariamente el centro del primer círculo al centro del segundo círculo.

Preservación de la relación cruzada

Las razones cruzadas son invariantes bajo las transformaciones de Möbius. Es decir, si una transformación de Möbius asigna cuatro puntos distintos a cuatro puntos distintos respectivamente, entonces ${\displaystyle z_{1},z_{2},z_{3},z_{4}}$ ${\displaystyle w_{1},w_{2},w_{3},w_{4}}$ $${\displaystyle {\frac {(z_{1}-z_{3})(z_{2}-z_{4})}{(z_{2}-z_{3})(z_{1}-z_{4})}}={\frac {(w_{1}-w_{3})(w_{2}-w_{4})}{(w_{2}-w_{3})(w_{1}-w_{4})}}.}$$

Si uno de los puntos es el punto en el infinito, entonces la razón cruzada debe definirse tomando el límite apropiado; por ejemplo, la razón cruzada de es ${\displaystyle z_{1},z_{2},z_{3},z_{4}}$ ${\displaystyle z_{1},z_{2},z_{3},\infty }$ $${\displaystyle {\frac {(z_{1}-z_{3})}{(z_{2}-z_{3})}}.}$$

La razón cruzada de cuatro puntos diferentes es real si y solo si hay una línea o un círculo que los atraviesa. Esta es otra forma de demostrar que las transformaciones de Möbius preservan los círculos generalizados.

Conjugación

Dos puntos z ₁ y z ₂ son conjugados con respecto a un círculo generalizado C , si, dado un círculo generalizado D que pasa por z ₁ y z ₂ y corta a C en dos puntos a y b , ( z ₁ , z ₂ ; a , b ) están en razón cruzada armónica (es decir, su razón cruzada es −1). Esta propiedad no depende de la elección del círculo D . Esta propiedad también se conoce a veces como simetría con respecto a una línea o círculo. ^{[3] [4]}

Dos puntos z , z ^∗ son conjugados respecto de una recta si son simétricos respecto de ella. Dos puntos son conjugados respecto de una circunferencia si se intercambian por inversión respecto de esta circunferencia.

El punto z ^∗ es conjugado a z cuando L es la recta determinada por el vector basado en e ^iθ , en el punto z ₀ . Esto se puede dar explícitamente como $${\displaystyle z^{*}=e^{2i\theta }\,{\overline {z-z_{0}}}+z_{0}.}$$

El punto z ^∗ es conjugado a z cuando C es el círculo de radio r , centrado en z ₀ . Esto se puede expresar explícitamente como $${\displaystyle z^{*}={\frac {r^{2}}{\overline {z-z_{0}}}}+z_{0}.}$$

Dado que las transformaciones de Möbius preservan los círculos generalizados y las razones cruzadas, también preservan la conjugación.

Representaciones matriciales proyectivas

Isomorfismo entre el grupo de Möbius yPGL(2, C)

La acción natural de PGL(2, C ) sobre la línea proyectiva compleja CP ¹ es exactamente la acción natural del grupo de Möbius sobre la esfera de Riemann.

Correspondencia entre la recta proyectiva compleja y la esfera de Riemann

Aquí, la línea proyectiva CP ¹ y la esfera de Riemann se identifican de la siguiente manera: $${\displaystyle [z_{1}:z_{2}]\ \thicksim {\frac {z_{1}}{z_{2}}}.}$$

Aquí [ z ₁ : z ₂ ] son ​​coordenadas homogéneas en CP ¹ ; el punto [1:0] corresponde al punto ∞ de la esfera de Riemann. Al utilizar coordenadas homogéneas, se pueden simplificar muchos cálculos que involucran transformaciones de Möbius, ya que no se requieren distinciones de casos que traten con ∞ .

Acción de PGL(2, C) sobre la recta proyectiva compleja

Toda matriz compleja invertible 2×2 actúa sobre la línea proyectiva como donde $${\displaystyle {\mathfrak {H}}={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}}$$ $${\displaystyle z=[z_{1}:z_{2}]\mapsto w=[w_{1}:w_{2}],}$$ $${\displaystyle {\begin{pmatrix}w_{1}\\w_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}z_{1}\\z_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}az_{1}+bz_{2}\\cz_{1}+dz_{2}\end{pmatrix}}.}$$

El resultado es por tanto $${\displaystyle w=[w_{1}:w_{2}]=[az_{1}+bz_{2}:cz_{1}+dz_{2}]}$$

Lo cual, utilizando la identificación anterior, corresponde al siguiente punto en la esfera de Riemann:

$${\displaystyle w=[az_{1}+bz_{2}:cz_{1}+dz_{2}]\thicksim {\frac {az_{1}+bz_{2}}{cz_{1}+dz_{2}}}={\frac {a{\frac {z_{1}}{z_{2}}}+b}{c{\frac {z_{1}}{z_{2}}}+d}}.}$$

Equivalencia con una transformación de Möbius en la esfera de Riemann

Como la matriz anterior es invertible si y solo si su determinante ad − bc no es cero, esto induce una identificación de la acción del grupo de transformaciones de Möbius con la acción de PGL(2, C ) sobre la recta proyectiva compleja. En esta identificación, la matriz anterior corresponde a la transformación de Möbius ${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$ ${\displaystyle z\mapsto {\frac {az+b}{cz+d}}.}$

Esta identificación es un isomorfismo de grupo , ya que la multiplicación de por un escalar distinto de cero no cambia el elemento de PGL(2, C ) y, como esta multiplicación consiste en multiplicar todas las entradas de la matriz por esto no cambia la transformación de Möbius correspondiente. ${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda ,}$

Otros grupos

Para cualquier cuerpo K , se puede identificar de manera similar el grupo PGL(2, K ) de los automorfismos lineales proyectivos con el grupo de transformaciones lineales fraccionarias. Esto se usa ampliamente; por ejemplo, en el estudio de homografías de la línea real y sus aplicaciones en óptica .

Si se divide por la raíz cuadrada de su determinante, se obtiene una matriz de determinante uno. Esto induce un homomorfismo de grupo sobreyectivo del grupo lineal especial SL(2, C ) a PGL(2, C ) , con como núcleo. ${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$ ${\displaystyle \pm I}$

Esto permite demostrar que el grupo de Möbius es un grupo de Lie complejo tridimensional (o un grupo de Lie real hexadimensional), que es semisimple y no compacto , y que SL(2, C ) es una doble cobertura de PSL(2, C ) . Como SL(2, C ) es simplemente conexo , es la cobertura universal del grupo de Möbius, y el grupo fundamental del grupo de Möbius es  Z ₂ .

Especificación de una transformación mediante tres puntos

Dado un conjunto de tres puntos distintos en la esfera de Riemann y un segundo conjunto de puntos distintos ⁠ ⁠ , existe precisamente una transformación de Möbius con para ⁠ ⁠ . (En otras palabras: la acción del grupo de Möbius en la esfera de Riemann es marcadamente 3-transitiva .) Hay varias formas de determinar a partir de los conjuntos de puntos dados. ${\displaystyle z_{1},z_{2},z_{3}}$ ${\displaystyle w_{1},w_{2},w_{3}}$ ${\displaystyle f(z)}$ ${\displaystyle f(z_{j})=w_{j}}$ ${\displaystyle j=1,2,3}$ ${\displaystyle f(z)}$

Asignando primero a 0, 1,∞

Es fácil comprobar que la transformación de Möbius con matrices se asigna a ⁠ ⁠ , respectivamente. Si uno de los es , entonces la fórmula adecuada para se obtiene a partir de la anterior dividiendo primero todas las entradas por y luego tomando el límite ⁠ ⁠ . $${\displaystyle f_{1}(z)={\frac {(z-z_{1})(z_{2}-z_{3})}{(z-z_{3})(z_{2}-z_{1})}}}$$ $${\displaystyle {\mathfrak {H}}_{1}={\begin{pmatrix}z_{2}-z_{3}&-z_{1}(z_{2}-z_{3})\\z_{2}-z_{1}&-z_{3}(z_{2}-z_{1})\end{pmatrix}}}$$ ${\displaystyle z_{1},z_{2}{\text{ and }}z_{3}}$ ${\displaystyle 0,1,\ {\text{and}}\ \infty }$ ${\displaystyle z_{j}}$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle {\mathfrak {H}}_{1}}$ ${\displaystyle z_{j}}$ ${\displaystyle z_{j}\to \infty }$

Si se define de manera similar para mapear a entonces la matriz que mapea a se convierte en ${\displaystyle {\mathfrak {H}}_{2}}$ ${\displaystyle w_{1},w_{2},w_{3}}$ ${\displaystyle 0,1,\ {\text{and}}\ \infty ,}$ ${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$ ${\displaystyle z_{1,2,3}}$ ${\displaystyle w_{1,2,3}}$ $${\displaystyle {\mathfrak {H}}={\mathfrak {H}}_{2}^{-1}{\mathfrak {H}}_{1}.}$$

El estabilizador de (como conjunto desordenado) es un subgrupo conocido como grupo anarmónico . ${\displaystyle \{0,1,\infty \}}$

Fórmula determinante explícita

La ecuación es equivalente a la ecuación de una hipérbola estándar en el plano . El problema de construir una transformación de Möbius que asigne una tripleta a otra tripleta es, por tanto, equivalente a encontrar los coeficientes de la hipérbola que pasa por los puntos ⁠ ⁠ . Se puede encontrar una ecuación explícita evaluando el determinante por medio de una expansión de Laplace a lo largo de la primera fila. Esto da como resultado las fórmulas del determinante para los coeficientes de la matriz representativa ⁠ ⁠ . La matriz construida tiene determinante igual a ⁠ ⁠ , que no se anula si las resp. son diferentes por pares, por lo que la transformación de Möbius está bien definida. Si uno de los puntos o es ⁠ ⁠ , entonces primero dividimos los cuatro determinantes por esta variable y luego tomamos el límite cuando la variable se acerca a ⁠ ⁠ . $${\displaystyle w={\frac {az+b}{cz+d}}}$$ $${\displaystyle cwz-az+dw-b=0}$$ ${\displaystyle (z,w)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {H}}(z)}$ ${\displaystyle (z_{1},z_{2},z_{3})}$ ${\displaystyle (w_{1},w_{2},w_{3})}$ ${\displaystyle a,b,c,d}$ ${\displaystyle (z_{i},w_{i})}$ $${\displaystyle \det {\begin{pmatrix}zw&z&w&1\\z_{1}w_{1}&z_{1}&w_{1}&1\\z_{2}w_{2}&z_{2}&w_{2}&1\\z_{3}w_{3}&z_{3}&w_{3}&1\end{pmatrix}}\,}$$ $${\displaystyle a=\det {\begin{pmatrix}z_{1}w_{1}&w_{1}&1\\z_{2}w_{2}&w_{2}&1\\z_{3}w_{3}&w_{3}&1\end{pmatrix}}}$$ $${\displaystyle b=\det {\begin{pmatrix}z_{1}w_{1}&z_{1}&w_{1}\\z_{2}w_{2}&z_{2}&w_{2}\\z_{3}w_{3}&z_{3}&w_{3}\end{pmatrix}}}$$ $${\displaystyle c=\det {\begin{pmatrix}z_{1}&w_{1}&1\\z_{2}&w_{2}&1\\z_{3}&w_{3}&1\end{pmatrix}}}$$ $${\displaystyle d=\det {\begin{pmatrix}z_{1}w_{1}&z_{1}&1\\z_{2}w_{2}&z_{2}&1\\z_{3}w_{3}&z_{3}&1\end{pmatrix}}}$$ ${\displaystyle a,b,c,d}$ ${\displaystyle {\mathfrak {H}}={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$ ${\displaystyle (z_{1}-z_{2})(z_{1}-z_{3})(z_{2}-z_{3})(w_{1}-w_{2})(w_{1}-w_{3})(w_{2}-w_{3})}$ ${\displaystyle z_{j}}$ ${\displaystyle w_{j}}$ ${\displaystyle z_{j}}$ ${\displaystyle w_{j}}$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle \infty }$

Subgrupos del grupo de Möbius

Si requerimos que los coeficientes de una transformación de Möbius sean números reales con ⁠ ⁠ , obtenemos un subgrupo del grupo de Möbius denotado como PSL(2, R ) . Este es el grupo de aquellas transformaciones de Möbius que mapean el semiplano superior H = { x + i y  : y > 0} a sí mismo, y es igual al grupo de todos los mapas biholomorfos (o equivalentemente: biyectivos , conformes y que preservan la orientación) H → H . Si se introduce una métrica apropiada , el semiplano superior se convierte en un modelo del plano hiperbólico H ² , el modelo del semiplano de Poincaré , y PSL(2, R ) es el grupo de todas las isometrías que preservan la orientación de H ² en este modelo. ${\displaystyle a,b,c,d}$ ${\displaystyle ad-bc=1}$

El subgrupo de todas las transformaciones de Möbius que mapean el disco abierto D = { z  : | z | < 1} a sí mismo consiste en todas las transformaciones de la forma con ∈ R , b ∈ C y | b | < 1 . Esto es igual al grupo de todos los mapas biholomorfos (o equivalentemente: biyectivos, que preservan el ángulo y la orientación) D → D . Al introducir una métrica adecuada, el disco abierto se convierte en otro modelo del plano hiperbólico, el modelo del disco de Poincaré , y este grupo es el grupo de todas las isometrías que preservan la orientación de H ² en este modelo. $${\displaystyle f(z)=e^{i\phi }{\frac {z+b}{{\bar {b}}z+1}}}$$ ${\displaystyle \phi }$

Dado que ambos subgrupos anteriores sirven como grupos de isometría de H ² , son isomorfos. Un isomorfismo concreto se obtiene mediante la conjugación con la transformación que asigna biyectivamente el disco unitario abierto al semiplano superior. $${\displaystyle f(z)={\frac {z+i}{iz+1}}}$$

Como alternativa, considere un disco abierto con radio r , centrado en r  i . El modelo de disco de Poincaré en este disco se vuelve idéntico al modelo del semiplano superior a medida que r se acerca a ∞.

Un subgrupo compacto maximalista del grupo de Möbius está dado por (Tóth 2002) ^[5] y corresponde bajo el isomorfismo al grupo unitario especial proyectivo PSU(2, C ) que es isomorfo al grupo ortogonal especial SO(3) de rotaciones en tres dimensiones, y puede interpretarse como rotaciones de la esfera de Riemann. Cada subgrupo finito es conjugado en este grupo compacto maximalista, y por lo tanto estos corresponden exactamente a los grupos poliédricos, los grupos puntuales en tres dimensiones . ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ $${\displaystyle {\mathcal {M}}_{0}:=\left\{z\mapsto {\frac {uz-{\bar {v}}}{vz+{\bar {u}}}}:|u|^{2}+|v|^{2}=1\right\},}$$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}\cong \operatorname {PSL} (2,\mathbb {C} )}$

Felix Klein utilizó grupos icosaédricos de transformaciones de Möbius para dar una solución analítica a la ecuación quíntica en (Klein 1913); una exposición moderna se da en (Tóth 2002). ^[6]

Si requerimos que los coeficientes a , b , c , d de una transformación de Möbius sean números enteros con ad − bc = 1 , obtenemos el grupo modular PSL(2, Z ) , un subgrupo discreto de PSL(2, R ) importante en el estudio de redes en el plano complejo, funciones elípticas y curvas elípticas . Los subgrupos discretos de PSL(2, R ) se conocen como grupos fuchsianos ; son importantes en el estudio de superficies de Riemann .

Clasificación

Se muestra una transformación hiperbólica. Las preimágenes del círculo unitario son círculos de Apolonio con una relación de distancias c / a y focos en − b / a y − d / c .

Para los mismos focos − b / a y − d / c los círculos rojos corresponden a rayos que pasan por el origen.

En la siguiente discusión siempre asumiremos que la matriz representativa está normalizada tal que ⁠ ⁠ . ${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$ ${\displaystyle \det {\mathfrak {H}}=ad-bc=1}$

Las transformaciones de Möbius no identitarias se clasifican comúnmente en cuatro tipos: parabólicas , elípticas , hiperbólicas y loxodrómicas , siendo las hiperbólicas una subclase de las loxodrómicas. La clasificación tiene importancia tanto algebraica como geométrica. Geométricamente, los diferentes tipos dan como resultado diferentes transformaciones del plano complejo, como ilustran las figuras siguientes.

Los cuatro tipos se pueden distinguir observando la traza . La traza es invariante bajo conjugación , es decir, y por lo tanto cada miembro de una clase de conjugación tendrá la misma traza. Cada transformación de Möbius se puede escribir de manera que su matriz representativa tenga determinante uno (multiplicando las entradas con un escalar adecuado). Dos transformaciones de Möbius (ambas no iguales a la transformación identidad) con son conjugadas si y solo si ${\displaystyle \operatorname {tr} {\mathfrak {H}}=a+d}$ $${\displaystyle \operatorname {tr} \,{\mathfrak {GHG}}^{-1}=\operatorname {tr} \,{\mathfrak {H}},}$$ ${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {H}},{\mathfrak {H}}'}$ ${\displaystyle \det {\mathfrak {H}}=\det {\mathfrak {H}}'=1}$ ${\displaystyle \operatorname {tr} ^{2}{\mathfrak {H}}=\operatorname {tr} ^{2}{\mathfrak {H}}'.}$

Transformadas parabólicas

Una transformación de Möbius no identidad definida por una matriz de determinante uno se dice que es parabólica si (por lo que la traza es más o menos 2; cualquiera de las dos puede ocurrir para una transformación dada ya que se determina solo hasta el signo). De hecho, una de las opciones para tiene el mismo polinomio característico X ² − 2 X + 1 que la matriz identidad y, por lo tanto, es unipotente . Una transformada de Möbius es parabólica si y solo si tiene exactamente un punto fijo en el plano complejo extendido , lo que sucede si y solo si puede definirse por una matriz conjugada a que describe una traslación en el plano complejo. ${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$ $${\displaystyle \operatorname {tr} ^{2}{\mathfrak {H}}=(a+d)^{2}=4}$$ ${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$ ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {C} }}=\mathbb {C} \cup \{\infty \}}$ $${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}}$$

El conjunto de todas las transformaciones parabólicas de Möbius con un punto fijo dado en , junto con la identidad, forma un subgrupo isomorfo al grupo de matrices; este es un ejemplo del radical unipotente de un subgrupo de Borel (del grupo de Möbius, o de SL(2, C ) para el grupo de matrices; la noción se define para cualquier grupo de Lie reductivo ). ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {C} }}}$ $${\displaystyle \left\{{\begin{pmatrix}1&b\\0&1\end{pmatrix}}\mid b\in \mathbb {C} \right\};}$$

Constante característica

Todas las transformaciones no parabólicas tienen dos puntos fijos y están definidas por una matriz conjugada con el número complejo λ no igual a 0, 1 o −1, correspondiente a una dilatación/rotación mediante la multiplicación por el número complejo k = λ ² , llamado constante característica o multiplicador de la transformación. $${\displaystyle {\begin{pmatrix}\lambda &0\\0&\lambda ^{-1}\end{pmatrix}}}$$

Transformadas elípticas

El diagrama de Smith , utilizado por los ingenieros eléctricos para analizar líneas de transmisión , es una representación visual de la transformación elíptica de Möbius Γ = ( z − 1)/( z + 1) . Cada punto del diagrama de Smith representa simultáneamente un valor de z (abajo a la izquierda) y el valor correspondiente de Γ (abajo a la derecha), para |Γ |<1.

Se dice que la transformación es elíptica si se puede representar mediante una matriz de determinante 1 tal que ${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$ $${\displaystyle 0\leq \operatorname {tr} ^{2}{\mathfrak {H}}<4.}$$

Una transformada es elíptica si y solo si | λ | = 1 y λ ≠ ±1 . Escribiendo , una transformada elíptica es conjugada a con α real. ${\displaystyle \lambda =e^{i\alpha }}$ $${\displaystyle {\begin{pmatrix}\cos \alpha &-\sin \alpha \\\sin \alpha &\cos \alpha \end{pmatrix}}}$$

Para cualquier con constante característica k , la constante característica de es k ⁿ . Por lo tanto, todas las transformaciones de Möbius de orden finito son transformaciones elípticas, es decir, exactamente aquellas donde λ es una raíz de la unidad o, equivalentemente, donde α es un múltiplo racional de π . La posibilidad más simple de un múltiplo fraccionario significa α = π /2 , que también es el caso único de , también se denota como ${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {H}}^{n}}$ ${\displaystyle \operatorname {tr} {\mathfrak {H}}=0}$transformada circular ; esto corresponde geométricamente a una rotación de 180° alrededor de dos puntos fijos. Esta clase se representa en forma matricial como: Hay 3 representantes que fijan {0, 1, ∞}, que son las tres transposiciones en el grupo de simetría de estos 3 puntos:que fija 1 e intercambia 0 con∞(rotación de 180° alrededor de los puntos 1 y −1),, que fija∞e intercambia 0 con 1 (rotación de 180° alrededor de los puntos 1/2 e∞), yque fija 0 e intercambia 1 con∞(rotación de 180° alrededor de los puntos 0 y 2). $${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}.}$$ ${\displaystyle 1/z,}$ ${\displaystyle 1-z}$ ${\displaystyle z/(z-1)}$

Transformaciones hiperbólicas

Se dice que la transformación es hiperbólica si se puede representar mediante una matriz cuya traza es real con ${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$ $${\displaystyle \operatorname {tr} ^{2}{\mathfrak {H}}>4.}$$

Una transformada es hiperbólica si y solo si λ es real y λ ≠ ±1 .

Transformaciones loxodrómicas

Se dice que la transformación es loxodrómica si no está en [0, 4] . Una transformación es loxodrómica si y solo si . ${\displaystyle \operatorname {tr} ^{2}{\mathfrak {H}}}$ ${\displaystyle |\lambda |\neq 1}$

Históricamente, la navegación por loxodrómica o línea loxodrómica se refiere a una trayectoria de rumbo constante ; la trayectoria resultante es una espiral logarítmica , similar en forma a las transformaciones del plano complejo que realiza una transformación loxodrómica de Möbius. Vea las figuras geométricas a continuación.

Clasificación general

El caso real y una nota sobre terminología

Sobre los números reales (si los coeficientes deben ser reales), no hay transformaciones loxodrómicas no hiperbólicas, y la clasificación es en elíptica, parabólica e hiperbólica, como para las cónicas reales . La terminología se debe a considerar la mitad del valor absoluto de la traza, |tr|/2, como la excentricidad de la transformación: la división por 2 corrige la dimensión, por lo que la identidad tiene excentricidad 1 (tr/ n a veces se usa como una alternativa para la traza por esta razón), y el valor absoluto corrige la traza solo definida hasta un factor de ±1 debido al trabajo en PSL. Alternativamente, se puede usar la mitad de la traza al cuadrado como un proxy para la excentricidad al cuadrado, como se hizo anteriormente; estas clasificaciones (pero no los valores exactos de excentricidad, ya que el cuadrado y los valores absolutos son diferentes) coinciden para trazas reales pero no para trazas complejas. La misma terminología se utiliza para la clasificación de elementos de SL(2, R ) (la cubierta doble), y se utilizan clasificaciones análogas en otros lugares. Las transformaciones loxodrómicas son un fenómeno esencialmente complejo y corresponden a excentricidades complejas.

Interpretación geométrica de la constante característica

La siguiente imagen representa (después de la transformación estereográfica de la esfera al plano) los dos puntos fijos de una transformación de Möbius en el caso no parabólico:

La constante característica se puede expresar en términos de su logaritmo : Cuando se expresa de esta manera, el número real ρ se convierte en un factor de expansión. Indica cuán repulsivo es el punto fijo γ ₁ y cuán atractivo es γ _{2. El número real} α es un factor de rotación, que indica en qué medida la transformada gira el plano en sentido antihorario alrededor de γ ₁ y en sentido horario alrededor de  γ ₂ . $${\displaystyle e^{\rho +\alpha i}=k.}$$

Transformaciones elípticas

Si ρ = ​​0 , entonces los puntos fijos no son ni atractivos ni repulsivos sino indiferentes, y se dice que la transformación es elíptica . Estas transformaciones tienden a mover todos los puntos en círculos alrededor de los dos puntos fijos. Si uno de los puntos fijos está en el infinito, esto es equivalente a hacer una rotación afín alrededor de un punto.

Si tomamos el subgrupo de un parámetro generado por cualquier transformación elíptica de Möbius, obtenemos una transformación continua, de modo que cada transformación en el subgrupo fija los mismos dos puntos. Todos los demás puntos fluyen a lo largo de una familia de círculos que está anidada entre los dos puntos fijos en la esfera de Riemann. En general, los dos puntos fijos pueden ser dos puntos distintos cualesquiera.

Esto tiene una importante interpretación física. Imaginemos que un observador gira con velocidad angular constante sobre un eje. Entonces podemos tomar los dos puntos fijos como los polos norte y sur de la esfera celeste. La apariencia del cielo nocturno se transforma ahora de manera continua exactamente de la manera descrita por el subgrupo de un parámetro de transformaciones elípticas que comparten los puntos fijos 0, ∞ y con el número α correspondiente a la velocidad angular constante de nuestro observador.

A continuación se muestran algunas figuras que ilustran el efecto de una transformación elíptica de Möbius en la esfera de Riemann (después de la proyección estereográfica al plano):

Estas imágenes ilustran el efecto de una única transformación de Möbius. El subgrupo de un parámetro que genera mueve continuamente los puntos a lo largo de la familia de arcos circulares sugeridos por las imágenes.

Transformaciones hiperbólicas

Si α es cero (o un múltiplo de 2 π ), entonces se dice que la transformación es hiperbólica . Estas transformaciones tienden a mover puntos a lo largo de trayectorias circulares desde un punto fijo hacia el otro.

Si tomamos el subgrupo de un parámetro generado por cualquier transformación hiperbólica de Möbius, obtenemos una transformación continua, de modo que cada transformación en el subgrupo fija los mismos dos puntos. Todos los demás puntos fluyen a lo largo de una cierta familia de arcos circulares que se alejan del primer punto fijo y se dirigen hacia el segundo punto fijo. En general, los dos puntos fijos pueden ser dos puntos distintos cualesquiera en la esfera de Riemann.

Esto también tiene una importante interpretación física. Imaginemos que un observador acelera (con una magnitud de aceleración constante) en dirección al polo norte de su esfera celeste. Entonces, la apariencia del cielo nocturno se transforma exactamente de la manera descrita por el subgrupo de transformaciones hiperbólicas de un parámetro que comparten los puntos fijos 0, ∞, con el número real ρ correspondiente a la magnitud de su vector de aceleración. Las estrellas parecen moverse a lo largo de longitudes, alejándose del polo sur hacia el polo norte. (Las longitudes aparecen como arcos circulares bajo la proyección estereográfica desde la esfera al plano).

A continuación se muestran algunas figuras que ilustran el efecto de una transformación hiperbólica de Möbius en la esfera de Riemann (después de la proyección estereográfica al plano):

Estas imágenes se asemejan a las líneas de campo de una carga eléctrica positiva y negativa ubicadas en los puntos fijos, porque las líneas de flujo circulares subtienden un ángulo constante entre los dos puntos fijos.

Transformaciones loxodrómicas

Si tanto ρ como α son distintos de cero, se dice que la transformación es loxodrómica . Estas transformaciones tienden a mover todos los puntos en trayectorias en forma de S desde un punto fijo al otro.

La palabra " loxodromia " proviene del griego: "λοξος (loxos), inclinado + δρόμος (dromos), rumbo ". Cuando se navega con un rumbo constante (por ejemplo, hacia el noreste), se acabará navegando alrededor del polo norte en una espiral logarítmica . En la proyección de Mercator, dicho rumbo es una línea recta, ya que los polos norte y sur se proyectan hasta el infinito. El ángulo que subtiende la loxodromia en relación con las líneas de longitud (es decir, su pendiente, la "estrechez" de la espiral) es el argumento de k . Por supuesto, las transformaciones de Möbius pueden tener sus dos puntos fijos en cualquier lugar, no solo en los polos norte y sur. Pero cualquier transformación loxodrómica será conjugada con una transformación que mueva todos los puntos a lo largo de dichas loxodromias.

Si tomamos el subgrupo de un parámetro generado por cualquier transformación loxodrómica de Möbius, obtenemos una transformación continua, de modo que cada transformación en el subgrupo fija los mismos dos puntos. Todos los demás puntos fluyen a lo largo de una cierta familia de curvas, alejándose del primer punto fijo y acercándose al segundo punto fijo. A diferencia del caso hiperbólico, estas curvas no son arcos circulares, sino ciertas curvas que bajo la proyección estereográfica desde la esfera al plano aparecen como curvas espirales que giran en sentido antihorario infinitamente a menudo alrededor de un punto fijo y giran en sentido horario infinitamente a menudo alrededor del otro punto fijo. En general, los dos puntos fijos pueden ser dos puntos distintos cualesquiera en la esfera de Riemann.

Probablemente se puede adivinar la interpretación física en el caso en que los dos puntos fijos son 0, ∞: un observador que está rotando (con velocidad angular constante) sobre algún eje y moviéndose a lo largo del mismo eje, verá la apariencia del cielo nocturno transformarse de acuerdo con el subgrupo de un parámetro de transformaciones loxodrómicas con puntos fijos 0, ∞, y con ρ , α determinados respectivamente por la magnitud de las velocidades lineal y angular reales.

Proyección estereográfica

Estas imágenes muestran transformaciones de Möbius proyectadas estereográficamente sobre la esfera de Riemann . Nótese en particular que, cuando se proyectan sobre una esfera, el caso especial de un punto fijo en el infinito no se ve diferente a tener los puntos fijos en una ubicación arbitraria.

Iterando una transformación

Si una transformación tiene puntos fijos γ ₁ , γ ₂ y constante característica k , entonces tendrá . ${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {H}}'={\mathfrak {H}}^{n}}$ ${\displaystyle \gamma _{1}'=\gamma _{1},\gamma _{2}'=\gamma _{2},k'=k^{n}}$

Esto se puede utilizar para iterar una transformación o para animarla dividiéndola en pasos.

Estas imágenes muestran tres puntos (rojo, azul y negro) iterados continuamente bajo transformaciones con varias constantes características.

Y estas imágenes demuestran lo que sucede cuando se transforma un círculo con transformaciones hiperbólicas, elípticas y loxodrómicas. En las imágenes elípticas y loxodrómicas, el valor de α es 1/10.

Dimensiones superiores

En dimensiones superiores, una transformación de Möbius es un homeomorfismo de ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} ^{n}}}}$ , la compactificación de un punto de ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ , que es una composición finita de inversiones en esferas y reflexiones en hiperplanos . ^[7] El teorema de Liouville en geometría conforme establece que en la dimensión al menos tres, todas las transformaciones conformes son transformaciones de Möbius. Cada transformación de Möbius se puede poner en la forma donde , , es una matriz ortogonal , y es 0 o 2. El grupo de transformaciones de Möbius también se llama grupo de Möbius . ^[8] $${\displaystyle f(x)=b+{\frac {\alpha A(x-a)}{|x-a|^{\varepsilon }}},}$$ ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \varepsilon }$

Las transformaciones de Möbius que preservan la orientación forman el componente conectado de la identidad en el grupo de Möbius. En la dimensión n = 2 , las transformaciones de Möbius que preservan la orientación son exactamente las aplicaciones de la esfera de Riemann que se tratan aquí. Las que invierten la orientación se obtienen a partir de estas mediante conjugación compleja. ^[9]

El dominio de las transformaciones de Möbius, es decir , ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} ^{n}}}}$ , es homeomorfo a la esfera n -dimensional . El isomorfismo canónico entre estos dos espacios es la transformada de Cayley , que es en sí misma una transformación de Möbius de ⁠ ⁠ . Esta identificación significa que las transformaciones de Möbius también pueden considerarse como isomorfismos conformes de . La n -esfera, junto con la acción del grupo de Möbius, es una estructura geométrica (en el sentido del programa de Erlangen de Klein ) llamada geometría de Möbius . ^[10] ${\displaystyle S^{n}}$ ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} ^{n+1}}}}$ ${\displaystyle S^{n}}$

Aplicaciones

Transformación de Lorentz

Varios autores observaron un isomorfismo del grupo de Möbius con el grupo de Lorentz : Basándose en trabajos previos de Felix Klein (1893, 1897) ^[11] sobre funciones automórficas relacionadas con la geometría hiperbólica y la geometría de Möbius, Gustav Herglotz (1909) ^[12] demostró que los movimientos hiperbólicos (es decir, automorfismos isométricos de un espacio hiperbólico ) que transforman la esfera unitaria en sí misma corresponden a transformaciones de Lorentz, por lo que Herglotz pudo clasificar las transformaciones de Lorentz de un parámetro en grupos loxodrómicos, elípticos, hiperbólicos y parabólicos. Otros autores incluyen a Emil Artin (1957), ^[13] HSM Coxeter (1965), ^[14] y Roger Penrose , Wolfgang Rindler (1984), ^[15] Tristan Needham (1997) ^[16] y WM Olivia (2002). ^[17]

El espacio de Minkowski consiste en el espacio de coordenadas reales de cuatro dimensiones R ⁴ que consiste en el espacio de cuadruples ordenados ( x ₀ , x ₁ , x ₂ , x ₃ ) de números reales, junto con una forma cuadrática $${\displaystyle Q(x_{0},x_{1},x_{2},x_{3})=x_{0}^{2}-x_{1}^{2}-x_{2}^{2}-x_{3}^{2}.}$$

Tomando prestada la terminología de la relatividad especial , los puntos con Q > 0 se consideran temporales ; además, si x ₀ > 0 , entonces el punto se llama que apunta al futuro . Los puntos con Q < 0 se llaman espaciales . El cono nulo S consiste en aquellos puntos donde Q = 0 ; el cono nulo futuro N ⁺ son aquellos puntos en el cono nulo con x ₀ > 0. La esfera celeste se identifica entonces con la colección de rayos en N ⁺ cuyo punto inicial es el origen de R ⁴ . La colección de transformaciones lineales en R ⁴ con determinante positivo que preservan la forma cuadrática Q y preservan la dirección del tiempo forman el grupo de Lorentz restringido SO ⁺ (1, 3) .

En relación con la geometría de la esfera celeste, el grupo de transformaciones SO ⁺ (1, 3) se identifica con el grupo PSL(2, C ) de las transformaciones de Möbius de la esfera. A cada ( x ₀ , x ₁ , x ₂ , x ₃ ) ∈ R ⁴ , asociar la matriz hermítica $${\displaystyle X={\begin{bmatrix}x_{0}+x_{1}&x_{2}+ix_{3}\\x_{2}-ix_{3}&x_{0}-x_{1}\end{bmatrix}}.}$$

El determinante de la matriz X es igual a Q ( x ₀ , x ₁ , x ₂ , x ₃ ) . El grupo lineal especial actúa sobre el espacio de tales matrices a través de

para cada A ∈ SL(2, C ) , y esta acción de SL(2, C ) preserva el determinante de X porque det A = 1 . Puesto que el determinante de X se identifica con la forma cuadrática Q , SL(2, C ) actúa por transformaciones de Lorentz. Por razones dimensionales, SL(2, C ) cubre un entorno de la identidad de SO(1, 3) . Puesto que SL(2, C ) es conexo, cubre todo el grupo de Lorentz restringido SO ⁺ (1, 3) . Además, puesto que el núcleo de la acción ( 1 ) es el subgrupo {± I }, entonces pasar al grupo cociente da el isomorfismo de grupo

Centrando ahora la atención en el caso en que ( x ₀ , x ₁ , x ₂ , x ₃ ) es nulo, la matriz X tiene determinante cero, y por tanto se descompone como el producto externo de un bivector complejo ξ con su conjugado complejo:

El vector de dos componentes ξ es afectado por SL(2, C ) de una manera compatible con ( 1 ). Ahora está claro que el núcleo de la representación de SL(2, C ) en matrices hermíticas es {± I }.

La acción de PSL(2, C ) sobre la esfera celeste también puede describirse geométricamente utilizando la proyección estereográfica . Considérese primero el hiperplano en R ⁴ dado por x ₀  = 1. La esfera celeste puede identificarse con la esfera S ⁺ de intersección del hiperplano con el futuro cono nulo N ⁺ . La proyección estereográfica desde el polo norte (1, 0, 0, 1) de esta esfera sobre el plano x ₃ = 0 toma un punto con coordenadas (1, x ₁ , x ₂ , x ₃ ) con hasta el punto $${\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=1}$$ $${\displaystyle \left(1,{\frac {x_{1}}{1-x_{3}}},{\frac {x_{2}}{1-x_{3}}},0\right).}$$

Introducing the complex coordinate $${\displaystyle \zeta ={\frac {x_{1}+ix_{2}}{1-x_{3}}},}$$the inverse stereographic projection gives the following formula for a point (x₁, x₂, x₃) on S⁺:

The action of SO⁺(1, 3) on the points of N⁺ does not preserve the hyperplane S⁺, but acting on points in S⁺ and then rescaling so that the result is again in S⁺ gives an action of SO⁺(1, 3) on the sphere which goes over to an action on the complex variable ζ. In fact, this action is by fractional linear transformations, although this is not easily seen from this representation of the celestial sphere. Conversely, for any fractional linear transformation of ζ variable goes over to a unique Lorentz transformation on N⁺, possibly after a suitable (uniquely determined) rescaling.

A more invariant description of the stereographic projection which allows the action to be more clearly seen is to consider the variable ζ = z:w as a ratio of a pair of homogeneous coordinates for the complex projective line CP¹. The stereographic projection goes over to a transformation from C² − {0} to N⁺ which is homogeneous of degree two with respect to real scalings

which agrees with (4) upon restriction to scales in which ${\displaystyle z{\bar {z}}+w{\bar {w}}=1.}$ The components of (5) are precisely those obtained from the outer product $${\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{0}+x_{1}&x_{2}+ix_{3}\\x_{2}-ix_{3}&x_{0}-x_{1}\end{bmatrix}}=2{\begin{bmatrix}z\\w\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\bar {z}}&{\bar {w}}\end{bmatrix}}.}$$

In summary, the action of the restricted Lorentz group SO⁺(1,3) agrees with that of the Möbius group PSL(2, C). This motivates the following definition. In dimension n ≥ 2, the Möbius group Möb(n) is the group of all orientation-preserving conformal isometries of the round sphere Sⁿ to itself. By realizing the conformal sphere as the space of future-pointing rays of the null cone in the Minkowski space R^1,n+1, there is an isomorphism of Möb(n) with the restricted Lorentz group SO⁺(1,n+1) of Lorentz transformations with positive determinant, preserving the direction of time.

Coxeter began instead with the equivalent quadratic form ⁠ ${\displaystyle Q(x_{1},\ x_{2},\ x_{3}\ x_{4})=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}-x_{4}^{2}}$⁠.

He identified the Lorentz group with transformations for which {x | Q(x) = −1} is stable. Then he interpreted the x's as homogeneous coordinates and {x | Q(x) = 0}, the null cone, as the Cayley absolute for a hyperbolic space of points {x | Q(x) < 0}. Next, Coxeter introduced the variables $${\displaystyle \xi ={\frac {x_{1}}{x_{4}}},\ \eta ={\frac {x_{2}}{x_{4}}},\ \zeta ={\frac {x_{3}}{x_{4}}}}$$so that the Lorentz-invariant quadric corresponds to the sphere ⁠ ${\displaystyle \xi ^{2}+\eta ^{2}+\zeta ^{2}=1}$⁠. Coxeter notes that Felix Klein also wrote of this correspondence, applying stereographic projection from (0, 0, 1) to the complex plane ${\textstyle z={\frac {\xi +i\eta }{1-\zeta }}.}$ Coxeter used the fact that circles of the inversive plane represent planes of hyperbolic space, and the general homography is the product of inversions in two or four circles, corresponding to the general hyperbolic displacement which is the product of inversions in two or four planes.

Hyperbolic space

As seen above, the Möbius group PSL(2, C) acts on Minkowski space as the group of those isometries that preserve the origin, the orientation of space and the direction of time. Restricting to the points where Q = 1 in the positive light cone, which form a model of hyperbolic 3-space H³, we see that the Möbius group acts on H³ as a group of orientation-preserving isometries. In fact, the Möbius group is equal to the group of orientation-preserving isometries of hyperbolic 3-space. If we use the Poincaré ball model, identifying the unit ball in R³ with H³, then we can think of the Riemann sphere as the "conformal boundary" of H³. Every orientation-preserving isometry of H³ gives rise to a Möbius transformation on the Riemann sphere and vice versa.

See also

• Bilinear transform
• Conformal geometry
• Fuchsian group
• Generalised circle
• Hyperbolic geometry
• Infinite compositions of analytic functions
• Inversion transformation
• Kleinian group
• Lie sphere geometry
• Linear fractional transformation
• Liouville's theorem (conformal mappings)
• Lorentz group
• Modular group
• Poincaré half-plane model
• Projective geometry
• Projective line over a ring
• Representation theory of the Lorentz group
• Schottky group
• Smith chart

Notes

1. Geometrically this map is the stereographic projection of a rotation by 90° around ±i with period 4, which takes ${\displaystyle 0\mapsto 1\mapsto \infty \mapsto -1\mapsto 0.}$

References

Specific

1. Arnold & Rogness 2008, Theorem 1.
2. Needham, Tristan (2021). Differential Geometry and Forms; A Mathematical Drama in Five Acts. Princeton University Press. p. 77, footnote 16. ISBN 9780691203690.
3. Olsen, John, The Geometry of Mobius Transformations (PDF)
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5. Tóth 2002, Section 1.2, Rotations and Möbius Transformations, p. 22.
6. Tóth 2002, Section 1.6, Additional Topic: Klein's Theory of the Icosahedron, p. 66.
7. Iwaniec, Tadeusz and Martin, Gaven, The Liouville theorem, Analysis and topology, 339–361, World Sci. Publ., River Edge, NJ, 1998
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13. Emil Artin (1957) Geometric Algebra, page 204
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General

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• Beardon, Alan F. (1995), The Geometry of Discrete Groups, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90788-8
• Hall, G. S. (2004), Symmetries and Curvature Structure in General Relativity, Singapore: World Scientific, ISBN 978-981-02-1051-9 (See Chapter 6 for the classification, up to conjugacy, of the Lie subalgebras of the Lie algebra of the Lorentz group.)
• Katok, Svetlana (1992), Fuchsian Groups, Chicago:University of Chicago Press, ISBN 978-0-226-42583-2 See Chapter 2.
• Klein, Felix (1913) [1st German ed. 1884], Lectures on the icosahedron and the solution of equations of the fifth degree, translated by Morrice, George Gavin (2nd ed.), London: Kegan Paul, Trench, Trübner, & Co. translated from Vorlesungen über das Ikosaeder und die Auflösung der Gleichungen vom fünften Grade (in German), Teubner, 1884
• Knopp, Konrad (1952), Elements of the Theory of Functions, New York: Dover, ISBN 978-0-486-60154-0 (Consulte los capítulos 3 a 5 de este libro clásico para obtener una hermosa introducción a la esfera de Riemann, la proyección estereográfica y las transformaciones de Möbius).
• Mumford, David ; Series, Caroline; Wright, David (2002), Las perlas de Indra: La visión de Felix Klein , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-35253-6 (Dirigido a quienes no son matemáticos, proporciona una excelente exposición de la teoría y los resultados, profusamente ilustrada con diagramas).
• Needham, Tristan (1997), Análisis complejo visual , Oxford: Clarendon Press, ISBN 978-0-19-853446-4 (Vea el Capítulo 3 para una introducción bellamente ilustrada a las transformaciones de Möbius, incluida su clasificación hasta la conjugación).
• Penrose, Roger ; Rindler, Wolfgang (1984), Espinores y espacio-tiempo, Volumen 1: Cálculo de dos espinores y campos relativistas , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-24527-2
• Schwerdtfeger, Hans (1979), Geometría de números complejos , Dover, ISBN 978-0-486-63830-0 (Consulte el Capítulo 2 para obtener una introducción a las transformaciones de Möbius).
• Tóth, Gábor (2002), Grupos finitos de Möbius, inmersiones mínimas de esferas y módulos

Lectura adicional

• Lawson, MV (1998). "El monoide inverso de Möbius". Journal of Algebra . 200 (2): 428. doi : 10.1006/jabr.1997.7242 .

Enlaces externos

• "Mapeo cuasi-conforme", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Galería de mapas conformes
• Weisstein, Eric W. "Transformación fraccionaria lineal". MathWorld .