casco convexo

En geometría , la cáscara convexa , envoltura convexa o cierre convexo ^[1] de una forma es el conjunto convexo más pequeño que la contiene. La cáscara convexa puede definirse como la intersección de todos los conjuntos convexos que contienen un subconjunto dado de un espacio euclidiano , o de manera equivalente como el conjunto de todas las combinaciones convexas de puntos en el subconjunto. Para un subconjunto acotado del avión, el casco convexo puede visualizarse como la forma encerrada por una banda elástica estirada alrededor del subconjunto.

Los cascos convexos de conjuntos abiertos son abiertos y los cascos convexos de conjuntos compactos son compactos. Todo conjunto convexo compacto es la cáscara convexa de sus puntos extremos . El operador de casco convexo es un ejemplo de operador de cierre , y cada antimatroide se puede representar aplicando este operador de cierre a conjuntos finitos de puntos. Los problemas algorítmicos de encontrar el casco convexo de un conjunto finito de puntos en el plano u otros espacios euclidianos de baja dimensión, y su problema dual de intersección de semiespacios , son problemas fundamentales de la geometría computacional . Se pueden resolver a tiempo para conjuntos de puntos bidimensionales o tridimensionales, y a tiempo igualar la complejidad de salida del peor de los casos dada por el teorema del límite superior en dimensiones superiores. $O(n\log n)$

Además de para conjuntos de puntos finitos, también se han estudiado cascos convexos para polígonos simples , movimientos brownianos , curvas espaciales y epígrafes de funciones . Los cascos convexos tienen amplias aplicaciones en matemáticas, estadística, optimización combinatoria, economía, modelado geométrico y etología. Las estructuras relacionadas incluyen el casco convexo ortogonal , las capas convexas , la triangulación de Delaunay y el diagrama de Voronoi , y el cráneo convexo .

Definiciones

Casco convexo de un conjunto plano acotado: analogía con la banda elástica

Un conjunto de puntos en un espacio euclidiano se define como convexo si contiene los segmentos de línea que conectan cada par de sus puntos. El casco convexo de un conjunto dado se puede definir como ^[2] $X$

El (único) conjunto convexo mínimo que contiene $X$
La intersección de todos los conjuntos convexos que contienen $X$
El conjunto de todas las combinaciones convexas de puntos en $X$
La unión de todos los simples con vértices en $X$

Para conjuntos acotados en el plano euclidiano, no todos en una línea, el límite del casco convexo es la curva cerrada simple con un perímetro mínimo que contiene . Uno puede imaginarse estirar una banda elástica para que rodee todo el conjunto y luego soltarla, permitiendo que se contraiga; cuando se tensa, encierra el casco convexo de . ^[3] Esta formulación no se generaliza inmediatamente a dimensiones superiores: para un conjunto finito de puntos en el espacio tridimensional, una vecindad de un árbol generador de los puntos los encierra con un área de superficie arbitrariamente pequeña, más pequeña que el área de la superficie del convexo. cáscara. ^[4] Sin embargo, en dimensiones superiores, las variantes del problema del obstáculo de encontrar una superficie de mínima energía sobre una forma dada pueden tener el casco convexo como solución. ^[5] $X$ $S$ $S$

Para objetos en tres dimensiones, la primera definición establece que la cáscara convexa es el volumen delimitador convexo más pequeño posible de los objetos. La definición que utiliza intersecciones de conjuntos convexos puede extenderse a la geometría no euclidiana , y la definición que utiliza combinaciones convexas puede extenderse desde espacios euclidianos a espacios vectoriales reales arbitrarios o espacios afines ; Los cascos convexos también pueden generalizarse de una manera más abstracta, a matroides orientadas . ^[6]

Equivalencia de definiciones

No es obvio que la primera definición tenga sentido: ¿por qué debería existir un conjunto convexo mínimo único que contenga , para cada ? Sin embargo, la segunda definición, la intersección de todos los conjuntos convexos que contienen , está bien definida. Es un subconjunto de cualquier otro conjunto convexo que contenga , porque está incluido entre los conjuntos que se cruzan. Por lo tanto, es exactamente el único conjunto convexo mínimo que contiene . Por tanto, las dos primeras definiciones son equivalentes. ^[2] $X$ $X$ $X$ $Y$ $X$ $Y$ $X$

Cada conjunto convexo que contiene debe (suponiendo que es convexo) contener todas las combinaciones convexas de puntos en , por lo que el conjunto de todas las combinaciones convexas está contenido en la intersección de todos los conjuntos convexos que contienen . Por el contrario, el conjunto de todas las combinaciones convexas es en sí mismo un conjunto convexo que contiene , por lo que también contiene la intersección de todos los conjuntos convexos que contienen y, por lo tanto, la segunda y tercera definiciones son equivalentes. ^[7] $X$ $X$ $X$ $X$ $X$

In fact, according to Carathéodory's theorem, if $X$ is a subset of a $d$ -dimensional Euclidean space, every convex combination of finitely many points from $X$ is also a convex combination of at most $d+1$ points in $X$ . The set of convex combinations of a $(d+1)$ -tuple of points is a simplex; in the plane it is a triangle and in three-dimensional space it is a tetrahedron. Therefore, every convex combination of points of $X$ belongs to a simplex whose vertices belong to $X$ , and the third and fourth definitions are equivalent.^[7]

Upper and lower hulls

In two dimensions, the convex hull is sometimes partitioned into two parts, the upper hull and the lower hull, stretching between the leftmost and rightmost points of the hull. More generally, for convex hulls in any dimension, one can partition the boundary of the hull into upward-facing points (points for which an upward ray is disjoint from the hull), downward-facing points, and extreme points. For three-dimensional hulls, the upward-facing and downward-facing parts of the boundary form topological disks.^[8]

Topological properties

Closed and open hulls

The closed convex hull of a set is the closure of the convex hull, and the open convex hull is the interior (or in some sources the relative interior) of the convex hull.^[9]

The closed convex hull of $X$ is the intersection of all closed half-spaces containing $X$ . If the convex hull of $X$ is already a closed set itself (as happens, for instance, if $X$ is a finite set or more generally a compact set), then it equals the closed convex hull. However, an intersection of closed half-spaces is itself closed, so when a convex hull is not closed it cannot be represented in this way.^[10]

If the open convex hull of a set $X$ is $d$ -dimensional, then every point of the hull belongs to an open convex hull of at most $2d$ points of $X$ . The sets of vertices of a square, regular octahedron, or higher-dimensional cross-polytope provide examples where exactly $2d$ points are needed.^[11]

Preservation of topological properties

The witch of Agnesi. The points on or above the red curve provide an example of a closed set whose convex hull is open (the open upper half-plane).

Topológicamente, la cáscara convexa de un conjunto abierto siempre es ella misma abierta, y la cáscara convexa de un conjunto compacto siempre es compacta. Sin embargo, existen conjuntos cerrados para los cuales el casco convexo no está cerrado. ^[12] Por ejemplo, el conjunto cerrado

\left\{(x,y)\mathop {\bigg |} y\geq {\frac {1}{1+x^{2}}}\right\}

(el conjunto de puntos que se encuentran sobre o encima de la bruja de Agnesi ) tiene el semiplano superior abierto como casco convexo. ^[13]

La compacidad de las carcasas convexas de conjuntos compactos, en espacios euclidianos de dimensión finita, está generalizada por el teorema de Krein-Smulian , según el cual la carcasa convexa cerrada de un subconjunto débilmente compacto de un espacio de Banach (un subconjunto que es compacto bajo el débil topología ) es débilmente compacto. ^[14]

Puntos extremos

Un punto extremo de un conjunto convexo es un punto del conjunto que no se encuentra en ningún segmento de línea abierta entre otros dos puntos del mismo conjunto. Para una cáscara convexa, cada punto extremo debe ser parte del conjunto dado, porque de lo contrario no puede formarse como una combinación convexa de puntos dados. Según el teorema de Krein-Milman , todo conjunto compacto convexo en un espacio euclidiano (o más generalmente en un espacio vectorial topológico localmente convexo ) es la cáscara convexa de sus puntos extremos. ^[15] Sin embargo, esto puede no ser cierto para conjuntos convexos que no son compactos; por ejemplo, todo el plano euclidiano y la bola unitaria abierta son ambos convexos, pero ninguno tiene puntos extremos. La teoría de Choquet extiende esta teoría desde combinaciones finitas convexas de puntos extremos hasta combinaciones infinitas (integrales) en espacios más generales. ^[dieciséis]

Propiedades geométricas y algebraicas.

Operador de cierre

El operador de casco convexo tiene las propiedades características de un operador de cierre : ^[17]

Es extenso , lo que significa que la cubierta convexa de cada conjunto es un superconjunto de . $X$ $X$
No es decreciente , lo que significa que, por cada dos conjuntos y con , la carcasa convexa de es un subconjunto de la carcasa convexa de . $X$ $Y$ $X\subseteq Y$ $X$ $Y$
Es idempotente , lo que significa que para cada , la cáscara convexa de la cáscara convexa de es la misma que la cáscara convexa de . $X$ $X$ $X$

Cuando se aplica a un conjunto finito de puntos, este es el operador de cierre de un antimatroide , el antimatroide de bombardeo del conjunto de puntos. Cada antimatroide puede representarse de esta manera mediante cascos convexos de puntos en un espacio euclidiano de dimensión suficientemente alta. ^[18]

suma de minkowski

Las operaciones de construir la cáscara convexa y tomar la suma de Minkowski conmutan entre sí, en el sentido de que la suma de Minkowski de cáscaras convexas de conjuntos da el mismo resultado que la cáscara convexa de la suma de Minkowski de los mismos conjuntos. Esto proporciona un paso hacia el teorema de Shapley-Folkman que limita la distancia de una suma de Minkowski a su casco convexo. ^[19]

Dualidad proyectiva

La operación dual proyectiva para construir el casco convexo de un conjunto de puntos es construir la intersección de una familia de semiespacios cerrados que contienen el origen (o cualquier otro punto designado). ^[20]

Casos especiales

conjuntos de puntos finitos

La cáscara convexa de un conjunto de puntos finitos forma un polígono convexo cuando , o más generalmente un politopo convexo en . Cada punto extremo de la cáscara se llama vértice y (según el teorema de Krein-Milman) cada politopo convexo es la cáscara convexa de sus vértices. Es el único politopo convexo cuyos vértices pertenecen y que encierra a todos . ^[3] Para conjuntos de puntos en posición general , la cáscara convexa es un politopo simple . ^[21] $S\subset \mathbb {R} ^{d}$ $d=2$ $\mathbb {R} ^{d}$ $S$ $S$

Según el teorema del límite superior , el número de caras de la capa convexa de puntos en el espacio euclidiano de dimensiones es . ^[22] En particular, en dos y tres dimensiones el número de caras es como máximo lineal en . ^[23] $n$ $d$ $O(n^{\lfloor d/2\rfloor })$ $n$

Polígonos simples

La cáscara convexa de un polígono simple encierra el polígono dado y está dividida por éste en regiones, una de las cuales es el polígono mismo. Las otras regiones, delimitadas por una cadena poligonal del polígono y un único borde de casco convexo, se denominan bolsas . Calcular la misma descomposición de forma recursiva para cada bolsillo forma una descripción jerárquica de un polígono dado llamado árbol de diferencias convexas . ^[24] Reflejar un bolsillo a través de su borde convexo del casco expande el polígono simple dado en un polígono con el mismo perímetro y área más grande, y el teorema de Erdős-Nagy establece que este proceso de expansión eventualmente termina. ^[25]

movimiento browniano

La curva generada por el movimiento browniano en el plano, en cualquier instante fijo, tiene probabilidad 1 de tener una cáscara convexa cuyo límite forma una curva continuamente diferenciable . Sin embargo, para cualquier ángulo en el rango , habrá momentos durante el movimiento browniano en los que la partícula en movimiento toca el límite de la cáscara convexa en un punto del ángulo . La dimensión Hausdorff de este conjunto de tiempos excepcionales es (con alta probabilidad) . ^[26] $\theta$ $\pi /2<\theta <\pi$ $\theta$ $1-\pi /2\theta$

Curvas espaciales

Para el casco convexo de una curva espacial o un conjunto finito de curvas espaciales en posición general en un espacio tridimensional, las partes del límite alejadas de las curvas son superficies desarrollables y regladas . ^[27] Los ejemplos incluyen el oloide , la cáscara convexa de dos círculos en planos perpendiculares, cada uno de los cuales pasa por el centro del otro, ^[28] el esfericón , la cáscara convexa de dos semicírculos en planos perpendiculares con un centro común, y las formas D, las formas convexas obtenidas del teorema de unicidad de Alexandrov para una superficie formada pegando dos conjuntos planos convexos de igual perímetro. ^[29]

Funciones

La cáscara convexa o envoltura convexa inferior de una función en un espacio vectorial real es la función cuyo epígrafe es la cáscara convexa inferior del epígrafe de . Es la única función convexa máxima mayorizada por . ^[30] La definición se puede extender a la cáscara convexa de un conjunto de funciones (obtenida de la cáscara convexa de la unión de sus epígrafes, o equivalentemente de su mínimo puntual ) y, de esta forma, es dual a la operación conjugada convexa . ^[31] $f$ $f$ $f$

Cálculo

En geometría computacional , se conocen varios algoritmos para calcular la cáscara convexa para un conjunto finito de puntos y para otros objetos geométricos. Calcular el casco convexo significa construir una representación inequívoca y eficiente de la forma convexa requerida. Las representaciones de salida que se han considerado para cascos convexos de conjuntos de puntos incluyen una lista de desigualdades lineales que describen las facetas del casco, un gráfico no dirigido de facetas y sus adyacencias, o la red de cara completa del casco. ^[32] En dos dimensiones, puede ser más simple enumerar los puntos que son vértices, en su orden cíclico alrededor del casco. ^[3]

Para cascos convexos en dos o tres dimensiones, la complejidad de los algoritmos correspondientes generalmente se estima en términos de , el número de puntos de entrada y , el número de puntos en el casco convexo, que puede ser significativamente menor que . Para cascos de dimensiones superiores, el número de caras de otras dimensiones también puede entrar en el análisis. El escaneo de Graham puede calcular el casco convexo de puntos en el plano en el tiempo . Para puntos en dos y tres dimensiones, se conocen algoritmos sensibles a la salida más complicados que calculan el casco convexo en el tiempo . Estos incluyen el algoritmo de Chan y el algoritmo de Kirkpatrick-Seidel . ^[33] Para las dimensiones , el tiempo para calcular el casco convexo es , que coincide con la complejidad de salida del peor de los casos del problema. ^[34] El casco convexo de un polígono simple en el plano se puede construir en tiempo lineal . ^[35] $n$ $h$ $n$ $n$ $O(n\log n)$ $O(n\log h)$ $d>3$ $O(n^{\lfloor d/2\rfloor })$

Las estructuras de datos de casco convexo dinámico se pueden utilizar para realizar un seguimiento del casco convexo de un conjunto de puntos que experimentan inserciones y eliminaciones de puntos, ^[36] y las estructuras de casco convexo cinético pueden realizar un seguimiento del casco convexo para puntos que se mueven continuamente. ^[37] La construcción de cascos convexos también sirve como herramienta, un bloque de construcción para una serie de otros algoritmos geométricos computacionales, como el método de calibradores giratorios para calcular el ancho y el diámetro de un conjunto de puntos. ^[38]

Estructuras relacionadas

Se pueden definir varias otras formas a partir de un conjunto de puntos de manera similar al casco convexo, como el superconjunto mínimo con alguna propiedad, la intersección de todas las formas que contienen los puntos de una familia dada de formas, o la unión de todas las combinaciones de puntos para un determinado tipo de combinación. Por ejemplo:

La carcasa afín es el subespacio afín más pequeño de un espacio euclidiano que contiene un conjunto dado, o la unión de todas las combinaciones afines de puntos del conjunto. ^[39]
El casco lineal es el subespacio lineal más pequeño de un espacio vectorial que contiene un conjunto dado, o la unión de todas las combinaciones lineales de puntos del conjunto. ^[39]
La casco cónico o casco positivo de un subconjunto de un espacio vectorial es el conjunto de todas las combinaciones positivas de puntos en el subconjunto. ^[39]
El casco visual de un objeto tridimensional, con respecto a un conjunto de puntos de vista, consta de puntos tales que cada rayo desde un punto de vista cruza el objeto. De manera equivalente es la intersección de los conos (no convexos) generados por el contorno del objeto con respecto a cada punto de vista. Se utiliza en la reconstrucción 3D como la forma más grande que podría tener los mismos contornos desde los puntos de vista dados. ^[40] $p$ $p$
El casco circular o casco alfa de un subconjunto del plano es la intersección de todos los discos con un radio determinado que contienen el subconjunto. ^[41] $1/\alpha$
La casco relativamente convexo de un subconjunto de un polígono simple bidimensional es la intersección de todos los superconjuntos relativamente convexos, donde un conjunto dentro del mismo polígono es relativamente convexo si contiene la geodésica entre dos de sus puntos. ^[42]
La casco convexo ortogonal o casco convexo rectilíneo es la intersección de todos los superconjuntos conectados y ortogonalmente convexos, donde un conjunto es ortogonalmente convexo si contiene todos los segmentos paralelos al eje entre pares de sus puntos. ^[43]
La carcasa convexa ortogonal es un caso especial de una construcción mucho más general, la carcasa hiperconvexa , que puede considerarse como el espacio métrico inyectivo más pequeño que contiene los puntos de un espacio métrico dado . ^[44]
La carcasa holomórficamente convexa es una generalización de conceptos similares a variedades analíticas complejas , obtenida como una intersección de conjuntos de subniveles de funciones holomorfas que contienen un conjunto dado. ^[45]

La triangulación de Delaunay de un conjunto de puntos y su dual , el diagrama de Voronoi , están matemáticamente relacionados con cascos convexos: la triangulación de Delaunay de un conjunto de puntos puede verse como la proyección de un casco convexo en ^[46] Las formas alfa de un conjunto finito conjunto de puntos proporciona una familia anidada de objetos geométricos (no convexos) que describen la forma de un conjunto de puntos en diferentes niveles de detalle. Cada forma alfa es la unión de algunas de las características de la triangulación de Delaunay, seleccionadas comparando su circunradio con el parámetro alfa. El conjunto de puntos en sí forma un punto final de esta familia de formas, y su casco convexo forma el otro punto final. ^[41] Las capas convexas de un conjunto de puntos son una familia anidada de polígonos convexos, el más externo de los cuales es el casco convexo, con las capas internas construidas recursivamente a partir de los puntos que no son vértices del casco convexo. ^[47] $\mathbb {R} ^{n}$ $\mathbb {R} ^{n+1}.$

El cráneo convexo de un polígono es el polígono convexo más grande contenido en su interior. Se puede encontrar en tiempo polinómico , pero el exponente del algoritmo es alto. ^[48]

Aplicaciones

Los cascos convexos tienen amplias aplicaciones en muchos campos. Dentro de las matemáticas, las cáscaras convexas se utilizan para estudiar polinomios , valores propios de matrices y elementos unitarios , y varios teoremas en geometría discreta involucran cáscaras convexas. Se utilizan en estadísticas sólidas como el contorno más externo de la profundidad de Tukey , son parte de la visualización de diagramas de datos bidimensionales y definen conjuntos de riesgos de reglas de decisión aleatorias . Las carcasas convexas de vectores indicadores de soluciones a problemas combinatorios son fundamentales para la optimización combinatoria y la combinatoria poliédrica . En economía, las cáscaras convexas se pueden utilizar para aplicar métodos de convexidad en economía a mercados no convexos. En el modelado geométrico, la propiedad del casco convexo de las curvas de Bézier ayuda a encontrar sus cruces, y los cascos convexos son parte de la medición de los cascos de los barcos. Y en el estudio del comportamiento animal, los cascos convexos se utilizan en una definición estándar del área de distribución .

Matemáticas

Los polígonos de Newton de polinomios univariados y los politopos de Newton de polinomios multivariados son cascos convexos de puntos derivados de los exponentes de los términos del polinomio y pueden usarse para analizar el comportamiento asintótico del polinomio y las valoraciones de sus raíces. ^[49] Las cáscaras convexas y los polinomios también se unen en el teorema de Gauss-Lucas , según el cual todas las raíces de la derivada de un polinomio se encuentran dentro de la cáscara convexa de las raíces del polinomio. ^[50]

En análisis espectral , el rango numérico de una matriz normal es la capa convexa de sus valores propios . ^[51] El teorema de Russo-Dye describe las cáscaras convexas de elementos unitarios en un álgebra C* . ^[52] En geometría discreta , tanto el teorema de Radón como el teorema de Tverberg se refieren a la existencia de particiones de conjuntos de puntos en subconjuntos con cascos convexos que se cruzan. ^[53]

Las definiciones de un conjunto convexo que contiene segmentos de línea entre sus puntos, y de una cáscara convexa como la intersección de todos los superconjuntos convexos, se aplican tanto a espacios hiperbólicos como a espacios euclidianos. Sin embargo, en el espacio hiperbólico, también es posible considerar las cáscaras convexas de conjuntos de puntos ideales , puntos que no pertenecen al espacio hiperbólico en sí sino que se encuentran en el límite de un modelo de ese espacio. Los límites de las cáscaras convexas de puntos ideales del espacio hiperbólico tridimensional son análogos a las superficies regladas en el espacio euclidiano, y sus propiedades métricas juegan un papel importante en la conjetura de geometrización en topología de baja dimensión . ^[54] Los cascos hiperbólicos convexos también se han utilizado como parte del cálculo de triangulaciones canónicas de variedades hiperbólicas y se han aplicado para determinar la equivalencia de nudos . ^[55]

Véase también la sección sobre movimiento browniano para la aplicación de cascos convexos a este tema, y la sección sobre curvas espaciales para su aplicación a la teoría de superficies desarrollables .

Estadísticas

Un complot . La región sombreada exterior es el casco convexo y la región sombreada interior es el contorno de profundidad de Tukey del 50%.

En estadística robusta , el casco convexo proporciona uno de los componentes clave de un diagrama de bolsa , un método para visualizar la dispersión de puntos de muestra bidimensionales. Los contornos de profundidad de Tukey forman una familia anidada de conjuntos convexos, con el casco convexo más externo, y el diagrama de bolsa también muestra otro polígono de esta familia anidada, el contorno del 50% de profundidad. ^[56]

En la teoría de la decisión estadística , el conjunto de riesgos de una regla de decisión aleatoria es la capa convexa de los puntos de riesgo de sus reglas de decisión deterministas subyacentes. ^[57]

Optimización combinatoria

En optimización combinatoria y combinatoria poliédrica , los objetos centrales de estudio son las cáscaras convexas de vectores indicadores de soluciones a un problema combinatorio. Si se pueden encontrar las facetas de estos politopos, describiendo los politopos como intersecciones de semiespacios, entonces se pueden usar algoritmos basados en programación lineal para encontrar soluciones óptimas. ^[58] En la optimización multiobjetivo , también se utiliza un tipo diferente de casco convexo, el casco convexo de los vectores de peso de soluciones. Se puede maximizar cualquier combinación cuasiconvexa de pesos encontrando y verificando cada vértice del casco convexo, a menudo de manera más eficiente que verificando todas las soluciones posibles. ^[59]

Ciencias económicas

En el modelo de equilibrio económico general de Arrow-Debreu , se supone que los agentes tienen conjuntos de presupuestos y preferencias convexas . Estos supuestos de convexidad en economía se pueden utilizar para demostrar la existencia de un equilibrio. Cuando los datos económicos reales no son convexos , se pueden hacer convexos tomando cascos convexos. El teorema de Shapley-Folkman se puede utilizar para demostrar que, para mercados grandes, esta aproximación es precisa y conduce a un "cuasi equilibrio" para el mercado no convexo original. ^[60]

Modelado geométrico

En el modelado geométrico , una de las propiedades clave de una curva de Bézier es que se encuentra dentro del casco convexo de sus puntos de control. Esta llamada "propiedad de casco convexo" se puede utilizar, por ejemplo, para detectar rápidamente intersecciones de estas curvas. ^[61]

En la geometría del diseño de barcos y barcos, la circunferencia de la cadena es una medida del tamaño de un velero, definida utilizando el casco convexo de una sección transversal del casco del barco. Se diferencia de la circunferencia de la piel , el perímetro de la propia sección transversal, excepto en barcos y barcos que tienen un casco convexo. ^[62]

Etología

El casco convexo se conoce comúnmente como el polígono convexo mínimo en etología , el estudio del comportamiento animal, donde es un enfoque clásico, aunque quizás simplista, para estimar el área de distribución de un animal en función de los puntos donde el animal ha sido observado. ^[63] Los valores atípicos pueden hacer que el polígono convexo mínimo sea excesivamente grande, lo que ha motivado enfoques relajados que contienen solo un subconjunto de las observaciones, por ejemplo, eligiendo una de las capas convexas que esté cerca de un porcentaje objetivo de las muestras, ^[64] o en el método de casco convexo local combinando cascos convexos de vecindades de puntos. ^{[sesenta y cinco]}

Física cuántica

En física cuántica , el espacio de estados de cualquier sistema cuántico (el conjunto de todas las formas en que se puede preparar el sistema) es una cáscara convexa cuyos puntos extremos son operadores semidefinidos positivos conocidos como estados puros y cuyos puntos interiores se llaman estados mixtos. ^[66] El teorema de Schrödinger-HJW demuestra que cualquier estado mixto puede, de hecho, escribirse como una combinación convexa de estados puros de múltiples maneras. ^[67]

Termodinámica

Josiah Willard Gibbs (1873), ^[69] identificó una carcasa convexa en termodinámica , aunque el artículo se publicó antes de que la carcasa convexa recibiera ese nombre. En un conjunto de energías de varias estequiometrías de un material, sólo serán estables aquellas mediciones en el casco convexo inferior. Al eliminar un punto del casco y luego calcular su distancia al casco, su distancia al nuevo casco representa el grado de estabilidad de la fase. ^[70]

Historia

La carcasa convexa inferior de puntos en el plano aparece, en forma de polígono de Newton, en una carta de Isaac Newton a Henry Oldenburg en 1676. ^[71] El término "casco convexo" aparece ya en el trabajo de Garrett Birkhoff. (1935), y el término correspondiente en alemán aparece antes, por ejemplo en la reseña de Hans Rademacher sobre Kőnig (1922). En este período también se utilizaron otros términos, como "sobre convexo". ^[72] En 1938, según Lloyd Dines , el término "casco convexo" se había convertido en estándar; Dines añade que encuentra el término desafortunado, porque el significado coloquial de la palabra "casco" sugeriría que se refiere a la superficie de una forma, mientras que el casco convexo incluye el interior y no sólo la superficie. ^[73]

Notas

^ La terminología cierre convexo se refiere al hecho de que el casco convexo define un operador de cierre . Sin embargo, este término también se utiliza frecuentemente para referirse al casco convexo cerrado , con el que no debe confundirse; véase, por ejemplo, Fan (1959), p.48.
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