Elemento unitario

En matemáticas , un elemento de un *-álgebra se llama unitario si es invertible y su elemento inverso es el mismo que su elemento adjunto. ^[1]

Definición

Sea un *-álgebra con unidad . Un elemento se llama unitario si . En otras palabras, si es invertible y se cumple, entonces es unitario. ^[1] ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle aa^{*}=a^{*}a=e}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a^{-1}=a^{*}}$ ${\displaystyle a}$

El conjunto de elementos unitarios se denota por o . ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{U}}$ ${\displaystyle U({\mathcal {A}})}$

Un caso especial de particular importancia es el caso en el que hay una *-álgebra normalizada completa . Esta álgebra satisface la identidad C* ( ) y se llama álgebra C* . ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle \left\|a^{*}a\right\|=\left\|a\right\|^{2}\ \forall a\in {\mathcal {A}}}$

Criterios

• Sea un álgebra C* unital y un elemento normal . Entonces, es unitario si el espectro está formado únicamente por elementos del grupo circular , es decir . ^[2] ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}_{N}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \sigma (a)}$ ${\displaystyle \mathbb {T} }$ ${\displaystyle \sigma (a)\subseteq \mathbb {T} =\{\lambda \in \mathbb {C} \mid |\lambda |=1\}}$

Ejemplos

• La unidad es unitaria. ^[3] ${\displaystyle e}$

Sea un álgebra C* unital, entonces: ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

• Cada proyección , es decir, cada elemento con , es unitario. Porque el espectro de una proyección se compone como máximo de y , como se desprende del cálculo funcional continuo . ^[4] ${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle a=a^{*}=a^{2}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 1}$
• Si es un elemento normal de un álgebra C* , entonces para cada función continua en el espectro el cálculo funcional continuo define un elemento unitario , si . ^[2] ${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}_{N}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \sigma (a)}$ ${\displaystyle f(a)}$ ${\displaystyle f(\sigma (a))\subseteq \mathbb {T} }$

Propiedades

Sea un álgebra unital * y . Entonces: ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle a,b\in {\mathcal {A}}_{U}}$

• El elemento es unitario, ya que . En particular, forma un grupo multiplicativo . ^[1] ${\displaystyle ab}$ ${\textstyle ((ab)^{*})^{-1}=(b^{*}a^{*})^{-1}=(a^{*})^{-1}(b^{*})^{-1}=ab}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{U}}$
• El elemento es normal. ^[3] ${\displaystyle a}$
• El elemento adjunto también es unitario, ya que es válido para la involución *. ^[1] ${\displaystyle a^{*}}$ ${\displaystyle a=(a^{*})^{*}}$
• Si es un álgebra C*, tiene norma 1, es decir . ^[5] ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \left\|a\right\|=1}$

Ver también

• Matriz unitaria
• Operador unitario

Notas

1. Dixmier 1977, pag. 5.
2. Kadison y Ringrose 1983, pág. 271.
3. Dixmier 1977, págs.
4. Blackadar 2006, págs.57, 63.
5. Dixmier 1977, pag. 9.

Referencias

• Blackadar, Bruce (2006). Álgebras de operadores. Teoría de C*-Álgebras y Álgebras de von Neumann . Berlín/Heidelberg: Springer. págs.57, 63. ISBN 3-540-28486-9.
• Dixmier, Jacques (1977). C*-álgebras . Traducido por Jellett, Francis. Ámsterdam/Nueva York/Oxford: Holanda Septentrional. ISBN 0-7204-0762-1.Traducción al inglés de Les C*-algèbres et leurs représentations (en francés). Gauthier-Villars. 1969.
• Kadison, Richard V.; Ringrose, John R. (1983). Fundamentos de la Teoría de Álgebras de Operadores. Volumen 1 Teoría elemental . Nueva York/Londres: Academic Press. ISBN 0-12-393301-3.