En matemáticas , la teoría de Choquet , llamada así en honor a Gustave Choquet , es un área de análisis funcional y análisis convexo que se ocupa de medidas que tienen apoyo en los puntos extremos de un conjunto convexo C. En términos generales, cada vector de C debería aparecer como un promedio ponderado de puntos extremos, un concepto que se vuelve más preciso al generalizar la noción de promedio ponderado de una combinación convexa a una integral tomada sobre el conjunto E de puntos extremos. Aquí C es un subconjunto de un espacio vectorial real V , y el objetivo principal de la teoría es tratar los casos en los que V es un espacio vectorial topológico de dimensión infinita (Hausdorff localmente convexo) a lo largo de líneas similares al caso de dimensión finita. Las principales preocupaciones de Gustave Choquet estaban en la teoría potencial . La teoría de Choquet se ha convertido en un paradigma general, particularmente para tratar los conos convexos como determinados por sus rayos extremos , y así para muchas nociones diferentes de positividad en matemáticas.
Los dos extremos de un segmento de recta determinan los puntos intermedios: en términos vectoriales, el segmento de v a w consta de λ v + (1 − λ) w con 0 ≤ λ ≤ 1. El resultado clásico de Hermann Minkowski dice que en El espacio euclidiano , un conjunto convexo cerrado y acotado C, es la capa convexa de su conjunto de puntos extremos E , de modo que cualquier c en C es una combinación convexa (finita) de puntos e de E. Aquí E puede ser un conjunto finito o infinito . En términos vectoriales, al asignar pesos no negativos w ( e ) a e en E , casi todos 0, podemos representar cualquier c en C como
En cualquier caso, w ( e ) da una medida de probabilidad apoyada en un subconjunto finito de E. Para cualquier función afín f en C , su valor en el punto c es
En el entorno de dimensiones infinitas, a uno le gustaría hacer una afirmación similar.
En la práctica, V será un espacio de Banach . El teorema original de Krein-Milman se deriva del resultado de Choquet. Otro corolario es el teorema de representación de Riesz para estados de funciones continuas en un espacio compacto de Hausdorff metrizable.
De manera más general, para V un espacio vectorial topológico localmente convexo , el teorema de Choquet-Bishop-de Leeuw [1] da la misma afirmación formal.
Además de la existencia de una medida de probabilidad apoyada en el límite extremo que representa un punto c dado , también se podría considerar la unicidad de tales medidas. Es fácil ver que la unicidad no se mantiene ni siquiera en el entorno de dimensiones finitas. Se puede tomar, como contraejemplo, que el conjunto convexo sea un cubo o una bola en R 3 . Sin embargo, la unicidad se mantiene cuando el conjunto convexo es un simplex de dimensión finita . Un simplex de dimensión finita es un caso especial de un simplex de Choquet . Cualquier punto en un Choquet simplex está representado por una medida de probabilidad única en los puntos extremos.
