Teorema de Krein-Milman

Cuando un espacio es igual a la cáscara convexa cerrada de sus puntos extremos

Dada una forma convexa (azul claro) y su conjunto de puntos extremos (rojo), el casco convexo de es ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle K.}$

En la teoría matemática del análisis funcional , el teorema de Krein-Milman es una proposición sobre conjuntos convexos compactos en espacios vectoriales topológicos localmente convexos (TVS).

Teorema de Krein-Milman ^[1]  -  Un subconjunto convexo compacto de un espacio vectorial topológico localmente convexo de Hausdorff es igual al casco convexo cerrado de sus puntos extremos .

Este teorema generaliza a espacios de dimensión infinita y a conjuntos convexos compactos arbitrarios la siguiente observación básica: un triángulo convexo (es decir, "relleno"), incluido su perímetro y el área "dentro de él", es igual al casco convexo de sus tres vértices, donde estos vértices son exactamente los puntos extremos de esta forma. Esta observación también es válida para cualquier otro polígono convexo en el plano. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}.}$

Declaración y definiciones

Preliminares y definiciones

Un conjunto convexo en azul claro y sus puntos extremos en rojo.

En todo momento, será un espacio vectorial real o complejo . ${\displaystyle X}$

Para cualquier elemento y en un espacio vectorial, el conjunto se llama ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle [x,y]:=\{tx+(1-t)y:0\leq t\leq 1\}}$segmento de línea cerrado ointervalo cerradoentreyEl ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y.}$segmento de línea abierta ointervalo abiertoentreyescuandomientras escuando^[2]satisfaceyLos puntosyse denominanpuntos finalesde estos intervalos. Se dice que un intervalo es ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle (x,x):=\varnothing }$ ${\displaystyle x=y}$ ${\displaystyle (x,y):=\{tx+(1-t)y:0<t<1\}}$ ${\displaystyle x\neq y;}$ ${\displaystyle (x,y)=[x,y]\setminus \{x,y\}}$ ${\displaystyle [x,y]=(x,y)\cup \{x,y\}.}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$no degenerado opropiosi sus puntos finales son distintos.

Los intervalos y siempre contienen sus puntos finales, mientras que y nunca contienen ninguno de sus puntos finales. Si y son puntos en la recta real, entonces la definición anterior de es la misma que su definición habitual como intervalo cerrado . ${\displaystyle [x,x]=\{x\}}$ ${\displaystyle [x,y]}$ ${\displaystyle (x,x)=\varnothing }$ ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle [x,y]}$

Para cualquiera, se dice que el punto (estrictamente) ${\displaystyle p,x,y\in X,}$ ${\displaystyle p}$se encuentra entre ysipertenece al segmento de línea abierta^[2] ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle (x,y).}$

Si es un subconjunto de y entonces se llama punto extremo. ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p\in K,}$ ${\displaystyle p}$de si no se encuentra entre dos puntos distintos de Es decir, si no existe y tal que y En este artículo, el conjunto de todos los puntos extremos de se denotará por ^[2] ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K.}$ ${\displaystyle x,y\in K}$ ${\displaystyle 0<t<1}$ ${\displaystyle x\neq y}$ ${\displaystyle p=tx+(1-t)y.}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \operatorname {extreme} (K).}$

Por ejemplo, los vértices de cualquier polígono convexo en el plano son los puntos extremos de ese polígono. Los puntos extremos del disco unitario cerrado son el círculo unitario . Todo intervalo abierto e intervalo cerrado degenerado no tiene puntos extremos, mientras que los puntos extremos de un intervalo cerrado no degenerado son y ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle [x,y]}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y.}$

Un conjunto se llama convexo si para dos puntos cualesquiera contiene el segmento de línea El conjunto convexo más pequeño que contiene se llama casco convexo de y se denota por El casco convexo cerrado de un conjunto denotado por es el conjunto cerrado y convexo más pequeño que contiene También es igual a la intersección de todos los subconjuntos convexos cerrados que contienen y al cierre de la cáscara convexa de ; eso es, ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x,y\in S,}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle [x,y].}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \operatorname {co} S.}$ ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle {\overline {\operatorname {co} }}(S),}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$

$${\displaystyle {\overline {\operatorname {co} }}(S)={\overline {\operatorname {co} (S)}},}$$

colinealesno ${\displaystyle \operatorname {co} (S)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2},}$

El espacio separable de Hilbert Lp de secuencias cuadradas sumables con la norma habitual tiene un subconjunto compacto cuyo casco convexo no está cerrado y, por tanto, tampoco es compacto. ^[3] Sin embargo, como en todos los espacios localmente convexos completos de Hausdorff, el casco convexo cerrado de este subconjunto compacto será compacto. ^[4] Pero si un espacio localmente convexo de Hausdorff no es completo, entonces en general no se garantiza que sea compacto siempre que lo sea; incluso se puede encontrar un ejemplo en un subespacio vectorial (no completo) anterior a Hilbert de Cada subconjunto compacto está totalmente acotado (también llamado "precompacto") y el casco convexo cerrado de un subconjunto totalmente acotado de un espacio localmente convexo de Hausdorff está garantizado estar totalmente delimitado. ^[5] ${\displaystyle \ell ^{2}(\mathbb {N} )}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{2}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \operatorname {co} (S)}$ ${\displaystyle {\overline {\operatorname {co} }}S}$ ${\displaystyle {\overline {\operatorname {co} }}S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \ell ^{2}(\mathbb {N} ).}$

Declaración

Teorema de Krein-Milman ^[6]  -  Si es un subconjunto compacto de un espacio vectorial topológico localmente convexo de Hausdorff , entonces el conjunto de puntos extremos de tiene el mismo casco convexo cerrado que ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K.}$

En el caso de que el conjunto compacto también sea convexo, el teorema anterior tiene como corolario la primera parte del siguiente teorema, ^[6] que también suele denominarse teorema de Krein-Milman. ${\displaystyle K}$

Teorema de Krein-Milman ^[2]  -  Supongamos que es un espacio vectorial topológico localmente convexo de Hausdorff (por ejemplo, un espacio normado ) y es un subconjunto compacto y convexo de Entonces es igual al casco convexo cerrado de sus puntos extremos : ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle K}$

$${\displaystyle K~=~{\overline {\operatorname {co} }}(\operatorname {extreme} (K)).}$$

Además, si entonces es igual al casco convexo cerrado de si y sólo si dónde es el cierre de ${\displaystyle B\subseteq K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \operatorname {extreme} K\subseteq \operatorname {cl} B,}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} B}$ ${\displaystyle B.}$

La cáscara convexa de los puntos extremos de forma un subconjunto convexo de, por lo que la carga principal de la prueba es mostrar que hay suficientes puntos extremos para que su cáscara convexa cubra todos los Por esta razón, el siguiente corolario del teorema anterior también es A menudo se le llama teorema de Krein-Milman. ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K.}$

(KM ) Teorema de Krein-Milman (Existencia) ^[2]  - Cada subconjunto convexo compacto no vacío de unespacio vectorial topológicolocalmente convexoHausdorff tiene unpunto extremo; es decir, el conjunto de sus puntos extremos no está vacío.

Para visualizar este teorema y su conclusión, considere el caso particular donde hay un polígono convexo . En este caso, las esquinas del polígono (que son sus puntos extremos) son todo lo que se necesita para recuperar la forma del polígono. El enunciado del teorema es falso si el polígono no es convexo, ya que entonces hay muchas formas de dibujar un polígono teniendo puntos como esquinas. ${\displaystyle K}$

El requisito de que el conjunto convexo sea compacto puede debilitarse para dar la siguiente versión de generalización reforzada del teorema. ^[7] ${\displaystyle K}$

(SKM )Teorema fuerte de Krein-Milman (Existencia) ^[8]  - Supongamosque es unespacio vectorial topológicolocalmente convexode Hausdorffy quees un subconjunto convexo no vacío decon la propiedad de que siempre queesté cubiertoporsubconjuntos cerradosconvexostal quetenga laintersección finita propiedad, entoncesno está vacía. Entoncesno está vacío. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{K\cap C:C\in {\mathcal {C}}\}}$ ${\displaystyle K\cap \bigcap _{C\in {\mathcal {C}}}C}$ ${\displaystyle \operatorname {extreme} (K)}$

La propiedad anterior a veces se llamacuasicompacto ocompacidad convexa . La compacidadimplica compacidad convexa porque unespacio topológicoes compacto si y sólo si cadafamiliade subconjuntos cerrados que tienen lapropiedad de intersección finita(FIP) tiene una intersección no vacía (es decir, sunúcleono está vacío). La definición de compacidad convexa es similar a esta caracterización deespacios compactosen términos del FIP, excepto que solo involucra aquellos subconjuntos cerrados que también sonconvexos(en lugar de todos los subconjuntos cerrados).

Configuraciones más generales

El supuesto de convexidad local para el espacio ambiental es necesario, porque James Roberts (1977) construyó un contraejemplo para el espacio no localmente convexo donde ^[9] ${\displaystyle L^{p}[0,1]}$ ${\displaystyle 0<p<1.}$

La linealidad también es necesaria, porque la afirmación falla para conjuntos convexos débilmente compactos en espacios CAT(0) , como lo demuestra Nicolas Monod  (2016). ^[10] Sin embargo, Theo Buehler (2006) demostró que el teorema de Krein-Milman sí se cumple para espacios CAT(0) métricamente compactos. ^[11]

Resultados relacionados

Según los supuestos anteriores sobre si es un subconjunto de y la carcasa convexa cerrada de es todo de, entonces cada punto extremo de pertenece al cierre de. Este resultado se conoce como inverso (parcial) de Milman del teorema de Krein-Milman. ^[12] ${\displaystyle K,}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle K,}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle T.}$

El teorema de Choquet-Bishop-de Leeuw establece que cada punto de es el baricentro de una medida de probabilidad apoyada en el conjunto de puntos extremos de ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K.}$

Relación con el axioma de elección.

Según el marco axiomático de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel ( ZF ), el axioma de elección ( AC ) es suficiente para demostrar todas las versiones del teorema de Krein-Milman dadas anteriormente, incluido el enunciado KM y su generalización SKM . El axioma de elección también implica, pero no es equivalente, el teorema booleano del ideal primo ( BPI ), que es equivalente al teorema de Banach-Alaoglu . Por el contrario, el teorema de Krein-Milman KM junto con el teorema del ideal primo booleano ( BPI ) implican el axioma de elección. ^[13] En resumen, AC se cumple si y sólo si tanto KM como BPI se cumplen. ^[8] De ello se deduce que según ZF , el axioma de elección es equivalente a la siguiente afirmación:

La bola unitaria cerrada del espacio dual continuo de cualquier espacio normado real tiene un punto extremo. ^[8]

Además, SKM junto con el teorema de Hahn-Banach para espacios vectoriales reales ( HB ) también son equivalentes al axioma de elección. ^[8] Se sabe que BPI implica HB , pero que no es equivalente a él (dicho de otra manera, BPI es estrictamente más fuerte que HB ).

Historia

La afirmación original demostrada por Mark Kerin y David Milman  (1940) era algo menos general que la forma aquí expuesta. ^[14]

Anteriormente, Hermann Minkowski  (1911) demostró que si es tridimensional entonces es igual a la cáscara convexa del conjunto de sus puntos extremos. ^[15] Esta afirmación fue ampliada al caso de cualquier dimensión finita por Ernst Steinitz  (1916). ^[16] El teorema de Krein-Milman generaliza esto a arbitrario localmente convexo ; sin embargo, para generalizar desde espacios de dimensiones finitas a infinitas, es necesario utilizar la clausura. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle X}$

Ver también

• Teorema de Banach-Alaoglu  – Teorema en análisis funcional
• Teorema de Carathéodory (casco convexo)  – El punto en el casco convexo de un conjunto P en Rd, es la combinación convexa de d+1 puntos en P
• Teoría de Choquet  – Área de análisis funcional y análisis convexo
• Teorema de Helly  : teorema sobre las intersecciones de conjuntos convexos d-dimensionales
• Teorema del radón  : dice que d+2 puntos en d dimensiones se pueden dividir en dos subconjuntos cuyos cascos convexos se cruzan.
• Lema de Shapley-Folkman  : las sumas de conjuntos de vectores son casi convexas
• Espacio vectorial topológico  : espacio vectorial con noción de cercanía

Citas

1. Rudin 1991, pag. 75 Teorema 3.23.
2. Narici y Beckenstein 2011, págs.
3. Aliprantis y Frontera 2006, pag. 185.
4. Tréves 2006, pag. 145.
5. Tréves 2006, pag. 67.
6. Grothendieck 1973, págs.
7. Pincus 1974, págs. 204-205.
8. Bell, JL; Jellett, F. (1971). "Sobre la relación entre el teorema del ideal primo booleano y dos principios del análisis funcional" (PDF) . Toro. Acad. Polon. Ciencia . ciencias matemáticas., astr. et phys. 19 (3): 191–194 . Consultado el 23 de diciembre de 2021 .
9. Roberts, J. (1977), "Un conjunto convexo compacto sin puntos extremos", Studia Mathematica , 60 (3): 255–266, doi : 10.4064/sm-60-3-255-266
10. Monod, Nicolas (2016), "Puntos extremos en curvatura no positiva", Studia Mathematica , 234 : 265–270, arXiv : 1602.06752
11. Buehler, Theo (2006), El teorema de Krein-Mil'man para espacios métricos con bicombinación convexa , arXiv : math/0604187 , Bibcode :2006math......4187B
12. Milman, D. (1947), Характеристика экстремальных точек регулярно-выпуклого множества[Características de los puntos extremos de conjuntos regularmente convexos], Doklady Akademii Nauk SSSR (en ruso), 57 : 119–122
13. Campana, J.; Fremlin, David (1972). "Una forma geométrica del axioma de elección" (PDF) . Fundamentos Mathematicae . 77 (2): 167-170. doi : 10.4064/fm-77-2-167-170 . Consultado el 11 de junio de 2018 . Teorema 1.2. BPI [el teorema booleano del ideal primo] & KM [Krein-Milman] (*) [la bola unitaria del dual de un espacio vectorial normado tiene un punto extremo].... Teorema 2.1. (*) AC [el Axioma de Elección]. ${\displaystyle \implies }$ ${\displaystyle \implies }$
14. Krein, Mark ; Milman, David (1940), "Sobre puntos extremos de conjuntos convexos regulares", Studia Mathematica , 9 : 133–138, doi : 10.4064/sm-9-1-133-138
15. Minkowski, Hermann (1911), Gesammelte Abhandlungen , vol. 2, Leipzig: Teubner, págs. 157-161
16. Steinitz, Ernst (1916), "Bedingt konvergente Reihen und konvexe Systeme VI, VII", J. Reine Angew. Matemáticas. , 146 : 1–52, doi : 10.1515/crll.1916.146.1, S2CID  122897233; (ver página 16)

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