Para cualquiera decir esose encuentra entre [2] ysiexistetal que
Si es un subconjunto de y entonces se llamapunto extremo [2]desi no se encuentra entre dospuntosdistintosEs decir, si no existeytalqueyElconjunto de todos los puntos extremos dese denota por
Generalizaciones
Si es un subconjunto de un espacio vectorial, entonces una subvariedad lineal (es decir, un subespacio afín ) del espacio vectorial se llamavariedad de soporte sise encuentra(es decir,no está vacía) y cada segmento abiertocuyo interior se encuentraes necesariamente un subconjunto de[3]Una variedad de soporte de dimensión 0 se llama punto extremo de[3]
Caracterizaciones
Elpunto medio [2]de dos elementosyen un espacio vectorial es el vector
Para cualquier elemento y en un espacio vectorial, el conjunto se llamasegmento de recta cerrada ointervalo cerrado entreyElsegmento de recta abierta ointervalo abierto entreyescuandomientras escuando[2]Los puntosyse llamanpuntos finales de estos intervalos. Se dice que un intervalo es unintervalo no degenerado o unintervalo adecuado si sus puntos finales son distintos. ElEl punto medio de un intervalo es el punto medio de sus extremos.
El intervalo cerrado es igual a la cáscara convexa de si (y sólo si) Entonces si es convexo y entonces
Si es un subconjunto no vacío de y es un subconjunto no vacío de entonces se llamacara [2]desi siempre que un puntose encuentra entre dos puntos deentonces esos dos puntos necesariamente pertenecen a
Teorema [2] - Sea un subconjunto convexo no vacío de un espacio vectorial y sea
Entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes:
es un punto extremo de
es convexo.
no es el punto medio de un segmento de recta no degenerado contenido en
para cualquiera si entonces
si es tal que ambos y pertenecen a entonces
es una cara de
Ejemplos
Si son dos números reales entonces y son puntos extremos del intervalo. Sin embargo, el intervalo abierto no tiene puntos extremos. [2]
Cualquier intervalo abierto en no tiene puntos extremos, mientras que cualquier intervalo cerrado no degenerado no igual a tiene puntos extremos (es decir, los puntos finales del intervalo cerrado). De manera más general, cualquier subconjunto abierto del espacio euclidiano de dimensión finita no tiene puntos extremos.
El perímetro de cualquier polígono convexo en el plano es una cara de ese polígono. [2]
Los vértices de cualquier polígono convexo en el plano son los puntos extremos de ese polígono.
Un mapa lineal inyectivo envía los puntos extremos de un conjunto convexo a los puntos extremos del conjunto convexo [2] Esto también es cierto para mapas afines inyectivos.
Propiedades
Los puntos extremos de un conjunto convexo compacto forman un espacio de Baire (con topología subespacial), pero es posible que este conjunto no se cierre en [2]
Teoremas
Teorema de Krein-Milman
El teorema de Krein-Milman es posiblemente uno de los teoremas más conocidos sobre puntos extremos.
Un teorema de Joram Lindenstrauss establece que, en un espacio de Banach con la propiedad Radón-Nikodym, un conjunto cerrado y acotado no vacío tiene un punto extremo. (En espacios de dimensiones infinitas, la propiedad de compacidad es más fuerte que las propiedades conjuntas de estar cerrado y acotado. [4] )
Teorema (Gerald Edgar) - Sea un espacio de Banach con la propiedad Radon-Nikodym, sea un subconjunto separable, cerrado, acotado y convexo de y sea un punto en Entonces hay una medida de probabilidad en los conjuntos universalmente medibles en tal que es el baricentro de y el conjunto de puntos extremos de tiene -medida 1. [5]
El teorema de Edgar implica el teorema de Lindenstrauss.
De manera más general, un punto en un conjunto convexo es extremo si se encuentra en el interior de un conjunto convexo de dimensiones interiores, pero no de un conjunto convexo de dimensiones interiores. Por lo tanto, un punto extremo también es un punto extremo. Si es un politopo, entonces los puntos extremos son exactamente los puntos interiores de las caras dimensionales de. Más generalmente, para cualquier conjunto convexo, los puntos extremos se dividen en caras abiertas dimensionales.
El teorema de Krein-Milman de dimensión finita, que se debe a Minkowski, se puede demostrar rápidamente utilizando el concepto de puntos extremos. Si es cerrado, acotado y -dimensional, y si es un punto en entonces es -extremo para algunos. El teorema afirma que es una combinación convexa de puntos extremos. Si entonces es inmediato. De lo contrario, se encuentra en un segmento de línea en el que se puede extender al máximo (porque está cerrado y acotado). Si los puntos finales del segmento son y entonces su rango extremo debe ser menor que el de y el teorema se sigue por inducción.
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