En topología general , una rama de las matemáticas , se dice que una familia A no vacía de subconjuntos de un conjunto tiene la propiedad de intersección finita (FIP) si la intersección sobre cualquier subcolección finita de no está vacía . Tiene la propiedad de intersección finita fuerte (SFIP) si la intersección sobre cualquier subcolección finita de es infinita. Los conjuntos con la propiedad de intersección finita también se denominan sistemas centrados y subbases de filtro .
La propiedad de intersección finita se puede utilizar para reformular la compacidad topológica en términos de conjuntos cerrados ; esta es su aplicación más destacada. Otras aplicaciones incluyen demostrar que ciertos conjuntos perfectos son incontables y la construcción de ultrafiltros .
Definición
Sea un conjunto y una familia no vacía de subconjuntos de ; es decir, es un subconjunto del conjunto potencia de . Entonces se dice que tiene la propiedad de intersección finita si cada subfamilia finita no vacía tiene una intersección no vacía; se dice que tiene la propiedad de intersección finita fuerte si esa intersección es siempre infinita.
En símbolos, tiene el FIP si, para cualquier elección de un subconjunto finito no vacío de , debe existir un punto. Asimismo, tiene el SFIP si, para cada elección de tales , hay infinitos tales .
En el estudio de los filtros , la intersección común de una familia de conjuntos se llama núcleo, de la misma etimología que el girasol . Las familias con núcleo vacío se denominan libres ; aquellos con kernel no vacío, arreglados.
Familias de ejemplos y no ejemplos.
El conjunto vacío no puede pertenecer a ninguna colección con la propiedad de intersección finita.
Una condición suficiente para la propiedad de intersección FIP es un núcleo no vacío. Lo contrario es generalmente falso, pero es válido para familias finitas; es decir, si es finito, entonces tiene la propiedad de intersección finita si y sólo si es fijo.
Intersección por pares
La propiedad de intersección finita es estrictamente más fuerte que la intersección por pares; la familia tiene intersecciones por pares, pero no el FIP.
De manera más general, sea un número entero positivo mayor que la unidad , y . Entonces, cualquier subconjunto de con menos de elementos tiene una intersección no vacía, pero carece del FIP.
Construcciones de tipo final
Si es una secuencia decreciente de conjuntos no vacíos, entonces la familia tiene la propiedad de intersección finita (e incluso es un sistema π ). Si las inclusiones son estrictas , entonces también se admite la propiedad de intersección finita fuerte.
De manera más general, cualquiera que esté totalmente ordenado por inclusión tiene el FIP.
Al mismo tiempo, el núcleo de puede estar vacío: si , entonces el núcleo de es el conjunto vacío . De manera similar, la familia de intervalos también tiene el (S)FIP, pero el núcleo está vacío.
Conjuntos y propiedades "genéricos"
La familia de todos los subconjuntos de Borel con medida de Lebesgue tiene el FIP, al igual que la familia de conjuntos de comeagre . Si es un conjunto infinito, entonces el filtro de Fréchet (la familia ) tiene el FIP. Todos estos son filtros gratuitos ; están cerrados hacia arriba y tienen una intersección infinitaria vacía.
Si y, para cada número entero positivo, el subconjunto son precisamente todos los elementos que tienen un dígito en el ésimo lugar decimal , entonces cualquier intersección finita de no está vacía; solo tome esos un número finito de lugares y el resto. Pero la intersección de for all está vacía, ya que ningún elemento de tiene todos los dígitos cero.
Ampliación del conjunto de terreno.
La propiedad de intersección finita (fuerte) es una característica de la familia , no del conjunto de bases . Si una familia en el set admite (S)FIP y , entonces también es una familia en el set con FIP (resp. SFIP).
Filtros y topologías generados.
Si son conjuntos con entonces la familia tiene el FIP; esta familia se llama filtro principal generado por . El subconjunto tiene el FIP por la misma razón: los núcleos contienen el conjunto no vacío . Si es un intervalo abierto, entonces el conjunto es de hecho igual a los núcleos de o , y también lo es un elemento de cada filtro. Pero, en general, el núcleo de un filtro no tiene por qué ser un elemento del filtro.
Un filtro adecuado en un conjunto tiene la propiedad de intersección finita. Cada subbase de vecindad en un punto en un espacio topológico tiene el FIP, y lo mismo ocurre con cada base de vecindad y cada filtro de vecindad en un punto (porque cada uno es, en particular, también una subbase de vecindad).
Relación conπ-sistemas y filtros
Un sistema π es una familia de conjuntos no vacía que está cerrada bajo intersecciones finitas. El conjunto de todas las intersecciones finitas de uno o más conjuntos de se llama sistema π generado por , porque es el sistema π más pequeño que tiene como subconjunto.
El cierre hacia arriba de in es el conjunto
Para cualquier familia , la propiedad de intersección finita es equivalente a cualquiera de las siguientes:
- El sistema π generado por no tiene el conjunto vacío como elemento; eso es,
- El conjunto tiene la propiedad de intersección finita.
- El conjunto es un prefiltro (adecuado) [nota 1] .
- La familia es un subconjunto de algún prefiltro (adecuado) .
- El cierre hacia arriba es un filtro (adecuado) . En este caso, se llama filtro generado por , porque es el filtro mínimo (con respecto a ) que contiene como subconjunto.
- es un subconjunto de algún filtro (adecuado) [nota 1] .
Aplicaciones
Compacidad
La propiedad de intersección finita es útil para formular una definición alternativa de compacidad :
Teorema : un espacio es compacto si y solo si cada familia de subconjuntos cerrados que tienen la propiedad de intersección finita tienen una intersección no vacía. [6]
Esta formulación de compacidad se utiliza en algunas demostraciones del teorema de Tychonoff .
Incontabilidad de espacios perfectos
Otra aplicación común es demostrar que los números reales son incontables .
Todas las condiciones del enunciado del teorema son necesarias:
- No podemos eliminar la condición de Hausdorff; un conjunto contable (con al menos dos puntos) con topología indiscreta es compacto, tiene más de un punto y satisface la propiedad de que ningún conjunto de puntos es abierto, pero no es incontable.
- No podemos eliminar la condición de compacidad, como muestra el conjunto de números racionales .
- No podemos eliminar la condición de que los conjuntos de un punto no puedan ser abiertos, como lo muestra cualquier espacio finito con topología discreta .
PruebaDemostraremos que if no está vacío y está abierto, y if es un punto de entonces hay una vecindad cuyo cierre no contiene ( ' puede o no estar en ). Elija diferente de (si entonces debe existir tal for, de lo contrario sería un conjunto abierto de un punto; si esto es posible, ya que no está vacío). Luego, según la condición de Hausdorff, elija barrios disjuntos y de y respectivamente. Entonces habrá un vecindario de contenido cuyo cierre no contiene como se desea.
Ahora supongamos que es una biyección y denotemos la imagen de Sea el primer conjunto abierto y elija un vecindario cuyo cierre no contenga En segundo lugar, elija un vecindario cuyo cierre no contenga Continúe este proceso eligiendo un vecindario cuyo cierre no contenga Entonces la colección satisface la propiedad de intersección finita y, por lo tanto, la intersección de sus cierres no está vacía por la compacidad de Por lo tanto, hay un punto en esta intersección. No puede pertenecer a esta intersección porque no pertenece al cierre de Esto significa que no es igual para todos y no es sobreyectivo ; una contradicción. Por tanto, es incontable.
Ultrafiltros
Sea no vacío y tenga la propiedad de intersección finita. Entonces existe un ultrafiltro (in ) tal que este resultado se conoce como lema del ultrafiltro . [7]
Ver también
Referencias
Notas
- ^ ab Un filtro o prefiltro en un conjunto esadecuado ono degenerado si no contiene el conjunto vacío como elemento. Como muchos autores, pero no todos, este artículo requerirá la no degeneración como parte de las definiciones de "prefiltro" y "filtro".
Citas
fuentes generales
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- Bourbaki, Nicolás (1989) [1967]. Topología general 2: Capítulos 5 a 10 [ Topologie Générale ]. Elementos matemáticos . vol. 4. Berlín Nueva York: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-64563-4. OCLC 246032063.
- Bourbaki, Nicolás (1987) [1981]. Espacios vectoriales topológicos: capítulos 1 a 5 . Elementos matemáticos . Traducido por Eggleston, HG; Madan, S. Berlín Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 3-540-13627-4. OCLC 17499190.
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enlaces externos